算数・数学科における位相的概念の指導についての実験的研究
13
0
0
全文
(2) . 第 博巻 第１号. ‐ 北海道教育大学紀要（第一部Ｃ ）. 昭和４ ３年９月. 算数・数学科における位相的概念の指導についての実験的研究・ 佐 々 木－ 幸 一 北海道教育大学旭川分校数学教室. Ｋ０ｃｈｉ ＳＡＳＡＫｒ 、 Ａｎ Ｅｘｐｅｒ ｉｍｅｎｔａＩ Ｒｅｓｅａｒｃｈｆｏｒ Ｌｅａｄｉｎｇ Ｓｃｈｂｏ１ｂｏｙｓ ａｎｄ Ｇｉ ｒ１ ｓ Ｐ ｉ ｄ Ｊ ｉ Ｈ Ｓ ｉ ｈ ｈ ｌ Ｏ Ｔ ｂ （ ｒ ｍａｒｙ ａｎ ｕｎｏｒ ｃ ｏｏｓ） ｔ ｏｐ ｌｏｇｉｃａＩ Ｃｏｎｃｅｐｔ ｓ ｇ ． Ａ ｈ ｉ ｋ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔ ｉ Ｂ ｈ Ｈ ｓ ｋ ｓ ｉ ｋ ｉ ｄ ａ ａ ｗ ａ ｒ ａ ｃ ｃ， ｎ ， ｏ ａ ｏ Ｕｎｉｖｅｒｓ ｉ ｔｙ ｏｆ Ｂｄｕｃａｔ ｉｏｄ ） ， Ａｓａｈｉｋａｗａ－ｓｈｉ. は. じ. め. に. 最近数学の位相的分野に属する内容を， ある程度まとまった形において中学校以下で指導する試 みが， 外国の教科書の中に見られるようになっ た， そしてそこでは以前のような断片的事項の寄せ 集めではなく，ある系統に従っ た内容の構成が行なわれているのである．一方我が国では現在， 此の 種の教材の本格的取り扱いは試みら れていないということが できる 著者は先に，児童生徒が位相の ． 概念については自然的発達にまかせられているという条件下において， 図 形の位相的性質を理解す. る能力を調査して，学年差や学力，知能との関連において これを研究したことがあり 〔１〕， さらに 調査対象学級の一部を実験学級としてこ れに対し約二時間の位相的内容の 指導を行なっ た後 結果 ， を比較して指導の効果を調べ， また得られた能力の他の 形の位相的問題を解決する能力への転移を. 調べたことがある 〔２〕． 今回の研究はこれ等の調査に続いて， プログラム方式を用い ることと被 験者を上位， 下位の二 群に分けて比較することを 新たな手段として取り入れ， 児童生徒が位相につ いて学習する過程の特徴をより深い程度において捉えようとして試みたもの である ， １. 研 究 の 目 的. 概括的に述べれば， 本研究の 目的は， 一つの位相的教育内容指導の実験的モ デルを構成して， そ の児童生徒への適合の状況を知り， 得られた能力が類似の問題 へ一般化される程度を把握するこ と に あ る， こ の た め 中 間 テ ス ト， 終末 テ ス トを も 行 な っ て 次 の 諸 点 を 考 察 し ょ う と し た ：. １ ） 成果について学年間の差異を 検討する， （. ） 各学年を上位， 下位の 二群に分け， 同一学年における両群の差異， 隣接学年間の同種の群の （ ２ 差異を検討する， ３ ） 両テス トを通して問題の適合度を知り位相に関する教育内容を構成するための資料を得る （ ． ４ ） Ｓ，Ｍ．Ｐ，の 教 科 書 〔３〕 の， 位相に関する部分の一部を追跡的に実験する （ ， ２ ２． １. 対. 研 究 の 方 法. 象. 一 ５６ 一.
(3) . 算数・数学科における位相的概念の指導についての実験的研究 ２名女３ ９名）， 旭川市北都中学校１ 年２学級８１名 （男４２名 旭川市北鎮小学校６年２学級８１名 （男４ ２６名女１１５名）を対象とした． 何れも位相に １名 （男１ ２名女３ ７名）， 計２４ 女３ ９名）， 同２年７９名 （男４. 関して特別な指導を受けたことのない児童生徒である． 前述の比較をするために， 各学年毎に， 最 近実施した算数・数学の学力テ ストの結果及び ＩＱの両者を総合して上位群， 下位群を設定した， ” “ 以下例えば６年の 上位群を６十の指標で示し， 他もこの記法に従う， ６年全員を示すには 単に ６. ） ３９ ）， ２十 （ ）， １－ （ ４ ０ １ ４ ４１ ）， １十 （ ４０ ）， ６‐ （ の指標を用いる． 各群の人員は， ６十 （ ， ２‐ ０月 下旬から１１月 上旬にわたって実施した． ４ ） である． なお指導とテス トは昭和４２年１ （ ０. ２， ２ 指 導 法 次 節 に 述 べ る 方 法 で 作製 し た プロ グ ラ ム を 使 用 し た， プロ グ ラ ム は Ｓ １， ２， ３に分れＳ１とＳ. ２との間に中間テス ト問題を挿入し， 他にプログラムとは分離された終末テ ストを準備した， 実験 の全体を３部に分け， 各部は２～３日を隔てて実施し， 第１回にはＳＩ及び 中間テス トを， 第２回 ． にはＳ２及びＳ３を， 第３回には終末テス トをそれぞ れ配当した， 児童生徒がプログラムによる学 習をするのに要する時間は制限しない，. ２， ３. 教材構成. プロ グ ラ ムの Ｓ Ｉは， （資料１） にそのステップの一部を示すように， 曲線で構成された図形の. 位相的変形， 及びその変形に関して不変な性質を取り扱う． 特にその前半小 部分を組むにあたって は， 英国の教科書 〔３〕 の第１章 Ｔｏｐｏｌｏｇｙ の部分を参照した， ‘網” について （ ）頂点， 面， 辺の個数の関係を帰納的に発見する プロ グ ラ ムの Ｓ ２は平面上の ‘ ， １ １ ）の性質の論理的説明を与えることの二つを中 心とする． こと，（ ２ ）網を構成する過程を分析して，（ Ｓ３では多面体に関するオイラーの定理を導くのであるが， それには 一つの面を取り外した上で， 平面上に弾性的に ひきのばし， （所謂 Ｓｃｈｌｅｇｅｌ 図表示） 得られた網にＳ２で得た結果を適用 す る 方法を用いる， 中間テス トは概して当該学習事項を直接に利 用し得る問題とはなっていない， ＳＩ で学習した内容との類似性を発見 して， 学習した考え 方を適 用することを要求されるやや高度の問. 題といえ よう， これに反して終末テス トは学習した内容に比較的近い問題を選び， これによって学 習の成果を直接に評価しよう とした， なお問題の 一部を前論文 〔１〕， 〔２〕 及び小高 〔４〕 から 引用したが， そこで得られている結果と本調 査の結果とを比較するために この方法をとった， ３. 結 果 と 考 察. （註） 以下で行なう平均値の差の検定では， 分散に有意差がないときは ！－. ×．－ Ｘ２ ‐２ ）蜘 岬 ・髭‐叱を 分散 馳師 禰ｚ こ有意差 力坊 磁 は ， ， る 鰯醤 当 獅 暦 Ｎ，十 弾２. ２. － 一 と た 毎 当 十 計当） ＮＩ. ２（』 ・， ２） はそれぞれ人数， 平均， 分散を ｉ に対する わ， ｏ ５（′） とを， それぞれ比較する， ここで Ｎｉ ， ギトＳ ｉ ｉ ｉ Ｃ ｔ ｌｒ ｔ を用いて検定する ） 差はＣ Ｒ （ ｒ ｃ ａ ａ ｏ 表わす， また比率の ． 何れの場合でも５％水準， １％水準の有 ． ． ＊ ＊ ＊ 意差があるときそれぞれ， 及び の記号で示す，. ３ ， １ ステッ プ通過の所要時間 所要時間は児童生徒にとっての難易の程 度による外， 実施時の条件 （午前， 午後の別， 前時限の 一５ ７一.
(4) . 佐 々 木 第１表. ６４ １ ７ ３６ ３７ ４０ ４ ２. ３９ ５１ ２ ５ ２５ ２ ７ ２６. ６男 ６女 １男. １女 ２男 ２女. （分）. ステップ通過の平均所要時間. 長１ Ｓ２，３ ６＋ ６‐ １＋ １‐ ２＋ ２－. 其１ 長２，３ ４８ 街鱗 ３７ ２６ ２ ５ ２７ ２７. ＳＩ 登２ ，３. ５ だ ｎ ４ Ｕ. ３６. ５ Ｉ Ｉ ２. ４３ ４１. ウ ム ２ ７. 総. 幸. ６ ７. 学習の影響など） 等外的要因と， それ 等による学級の雰囲気に依存する処が 大 き い と 考 え ら れ る の で あ る が， こ の. 所要時間が学習の成果を 左右する大き. ３７. な 因 子 と な る の で， 重 要 な 資 料 で あ. ４ １. る． 第１表で見られるように所要時間 は 中 １， 中 ２， 小６の順に長くなり， 上位群と下位群との間には殆ど差が認. められず， 男女間には小６について のみ差が認められる， 所要時間の点からは， 小学校・中学校の 間に条件の差が認められるのであって， このことは慎重さという 点の外に数学的文章の読解力の差 も関係しているとみられ， 何れにしても以下の考察において常に念頭に置かなけ ればならないこと で あ る， ３， ２. 通. 過. 率. ” 通過率の低いステ ップを拾ってみると第一に，具体的な場面である関係に着目して，これを つ な ’●とし● て表現することが難しいよう である， また二 つの図の 一方に線を加えて他の がりを表わす図’ つ図を作ることも通過率が低い， これ等についてはプログラムの構成 図と同じつながりの関係をも・ の不備もあろうが， むしろプログラ ム方式による新内容の導入ということに限界があるのを感じさ. せる． 特に６年生には， 図形の計量的性質に固執して， 位相的性質のみに着目することの意味がつ かみにくい傾 向があることが認められ， また位相に直接には関係しないことであるが， 場合の数を かぞえることが他の学 年に比して困難であ るのが認められる． 各学年とも多面体の Ｓｃｈｌｅｇｅｌ図表 示の意味は比 較的よく理解したといえるが， 実際自分でその表示を行なえるにはまだかなりの距離. があることが， 終末テス トで認められる， 平面上の網について， 頂点， 面， 辺の個数の間の関係を 帰納的に発見 した者の比率は， 小６， 中１， 中みの順に５ ％， ２％， １０％で， 多面体に つ い て 同 種の関係を発見した者の比 率は， ７ ％， ８％， ３３％である， この点については高学年ほど 学習の効 ● 果が顕著に現われるといってよいであろう． 平均通過率の上では， 小６と中１との間に 大きな差が あり， 更に中２では上位群と下 位群との間に差が認められる， （第２，第３表参照） なお各学年各群 ごとの通過率の分布をそれぞれ第１図， 第２園 によって示す， 付記：ＩＱのみによって両群を設定しても， 通過率は上記と高々１％しか変わらない，. 第２表 通過率 （％）. 平 均 分 散 ６＋. ６‐ １＋ １州 ２＋ ２－. ６ ｌ ２. ７１ ６３ ７ ９ ７４ ８３ ７１ ６７ ７６ ７７. ８０ ２２ ０ １２６ １ ６５ １３８ １５３ １ ７１ ２２３ １７０. 第３表 通過率の比較. . ｔ. ｆ＝４，４２ ２ （ ）＊ ，８６ １ ，８７ ＊＊ ４ ，３８ ＊ ＊ ３ ．５２ ＊ ＊ ３ ７ ，４ １ ，５４ １ ．０６ ３ ，７５＊＊ ０ ．４２. 一 ５８ －. － ー － － － － － －６ ‐ ‐－－１＋ 一－－－ －１ “. －. ‐一２ －． ＋. 第１ 園.
(5) . 算数・数学科における位相的概念の指導についての実験的研究 雌数命 じ. ３， ３ 中 間 テ ス トに つ いて ３， ３， １ 問 題 １ ね ら い は， 点 と線 と の 連 絡 の 関 係. に着目してその位相的な意味 での異同を識別する能力 を 知 る こ と で あ る， こ れ は 〔１〕 に お い て も 使 用 し た. ； 問題で （〔１〕 では特別の指導をせず直接問題を課し た） ，その際の結果と比 較する必要からここでは小中 （３）と（３）′ ） で一部異なっ た問題を使用している （ ， ５ 通過率 （ ％ ） ５ ７ ５ ８ ５ ９ 第４表は各小間ごとに， 誤選択をしなかっ た 生 徒 の 第 ２ 図 うちから， 正しい選択肢の各々についてそれを選択し ＊ た生徒を抽出し，その全員に対する比率を記したものであり，６＊ ， １ は比較のために 〔１〕 の結果 を再録したものである， この表によれば小６と中１とは高低が一定せず， その原因を分析し得ない. が， 中２は概して高位を示 し， 更に上位群下位群の差も明確になっている， 特に（４）におけるＡ， ０％の少数の生徒ではあるが， これ等の生徒はか Ｂの位置決定の成功率を見れば， 中２について約１ なり深く位相的変換の意味を理解しているといえ よう， 〔１〕 との比較の結果からは， プログラム. のＳＩの学習が問題 ”こはあまり効果 を及ぼさなかっ たことが見られる， 問題１の結果を点数で表現して（その方法は省略するが誤選択に対しては減点する手 段をとっ た） 比較したのが第５表である， 学年間に有意の差がないことがわかる， 第４表 問題１における正しい選択 ） （１）ａ ６→ ６ ． －. １＋ １‐ ２＋ ２‐ ６＊ １＊. （２）. ′ａ ） （３）または（３ ）. ３ ０ 琶 ｝２ ５ ６ ５１. ｉ. （４）. （４）のＡ （４）のＢ. ｉ 蔓 ｝・ ・. ４ ３〒 ２ ２ さ・ 竺 ７昼 静３ ｝ 誓４ ｇ. １ ｇ ｝９ ； ４ ｝７ ｇ. （％）. 警. ５. 言 ｉ７ ，. 語２ ・ 宣 ≦ ０デ １ｉ 晃 ｝・ ７デ ｝２ ８ ｝２. 琶 ・ 電 ｇ ｝９ ｝・ Ｏ １ １・ ３ １ ８ デ 静２ 》・ ４デ 旨 ６壷 ろ ｝２ 寧 士６. 琶 呈 呈 え 琶 】. ０ ２. ′ ）（１） Ｑ ， （３） の選択肢は正しいものが２個である，. 第５表 問題１の平均点の比較 平 Ｃ Ｕ. ５７３ Ｉ １，. ′を除いた平均 均 １（ ３ ） ３ ） ，（. ≧ ； ｇ ｝－－ ，. （ ‘. 鰹“. ０ 言 ｝ｔ『５ 宣 屋. ３， ３ ，２. 問題２と問題３. 問題２の前半は小高. 〔４〕 か ら の 問 題 であ っ て， 後 半 と 共に， “つ な が. りの関係” を抽出して “網” で表現することの理解 の程度を見ようとするものである． 問題３はより身 近な問題から題 材を選んで， その中で位相的な考察. 処理が行なえるかどうかということをねらっ た， 第 問題２についてはおそらくかなり直観的にではあろうが，. ６表は各小間の正答率を示すものであ る． 問題の本質を捉え得たとみられ る生徒が多く， 適切な問題であるといえよう， 因に前半につ いての 〔４〕 におけ る正答率は， 実験学級・比較学級とも４１％であ る （対象は中１）， 問題３で正答率の. 高いものは， 対応する２ 点の地図上の位置と位相図上の位置とが計量的な意味 で近似しているもの であって， 此の結果からみ るとやはり図形の計量的面に固着した観念は破られて いない， なお此の － ５９ 一.
(6) . 佐 々 木. 幸. 一. 第６表 問題２， 問題３の正答率. ２の（ １ ） ６＋ ６‐ １＋ １－ ２＋ ２‐. ２の（２ ）. ｇ ｝６ ｇ ４. ３の（ １ ）. ３の（ ２）のＡ ３の（２）のＢ. 寄６ デ 》・ ６. 鶏４ ０. １‐ １‐ ２＋ ２－ ６ ｌ ２. ｇ ８ ｝７ ４. ３の（３）の◎ ３の（３）の△. １ 芸・ Ｏ. 皇 室 圭３ ７. ８ １１ ｇ ・ 宣 ｝・ 言 ｝４ ・ 発｝７ ２ ３６ 墓 誌３ Ｑ １ き ８ ｝ ５ ４ 言 ｝８ デ ２ 驚 言 ・ ８ 瀞５ ｝ ｝７ ・ 子 ８ ｝・ ５ 募 ｝４ ９ 磐 ｝３ ・. 第７表 中間テストの平均得点と分散. ６＋ ６‐ ‐. （％）. 平 均 分 散. ） 分散ａ ） 平均ａ. １２ ，０ ９ ．６ ９ ．９ ８ ，２ １ ４ ．ｌ ８ ，８ ｌｏ ．８ ９ ．↑ ”，４. ＩＱ ．８ ８ ，３ ８，８ ７ ，７. ｌｏ ，２ １１ ，８ １７ ．０ ｌ ｏ ．３. ９ ．５ ８ ．３. １２ ．４ １４ ．０. ９ ，９ １３ ，Ｏ ｆ９ ．０ １２ ，５ ２ １ ，９ ９ ．５ ３ １ ，Ｏ １６ ．４ ２２ ．５. 第８表 中間テス トの平均の比較 ｔ. ６十～６‐ ｉ十～１‐ ２＋＾）２－. ６十～１＋ ６‐～１‐ １十～２＋ １‐～２‐ ６ ～ｌ １ ～２. ） 第３， ４欄は， 小と中に共通でない問題 ａ １の（３ ）と（３）′ とを除いた得点について のもの，. ａ） 共通でない問題を除いて比較した ，. 問題では中１に陥没現象が見られるが 原因は不明である ， ． ３ ３ ３ 総合的考 察 テス ト結果を得点化 して比較すると第７表第８表の結果を得るが 中１ ． ， ， と中２との間， 特にその上位群の間に大きな差が見られる その結果中２の上位群と下 位 群との ， 間に大きな差が現われて いるが， このことは小６ に つ い て も 同 様 で あ る こ れ 等 の こ と か ら 直 観 ，. ，. 的な 意味での位相的概念把握 の能力 それは主として意識的な指導な しに自然に発達 したものであ ， ろうが， その能力は知能指数として表わされた知能や伝 統的内容の既習事項について の学力に かな り深く関係するとみ られる 中１と中２との 間の差について は， 中１の陥没 現象の原因が明確にさ ， ， れない限り断糾できないが， 後に述べる終末テス トの結果を見るとこの現象は消えているのであ っ て， 何 等かの特殊な条件が中１に作用したのではないかとも考えられる なお中間テス トの総合得 ， 点分布を第３～６図に示す 第５ ′を除いてある ３ば たは（ ３ ） ，６図では問題１の（ ． ．. . ””” － －６ － ． 一 －－ ２ ＋. . １ ０. １ ３. １. 第 ３ 園. 第 ４ 図. 一 ６０ 一.
(7) . 算数・数学科における位相的概念の指導についての実験的研究. ４. １ １４ ４. ７. ０ １. １ ３. １ ６. 零点 Ｓｉ ２ ２ １ ９ ２. 第 ６ 図. 第 ５ 図. 終末テス トについて. 位相的な性質を抽象する能力と， 位相的に同型な図形を識別する能力とを測 ４， １ 問題１ ３ ． 定す 定するために設定した，正当に選択した個数から不当に選択した個数を減じて得点としたので，可能 性と 性 と して は －１１～ ９ の間に得点が分布するわけであるが，実際の分布状況は第７図，第８ 図 の よ う で ある. ある， また平均得点の差について見れば（第９表， 第１０表） ， 中１， 中２においては上位群， 下位群 度 蔓 彰. 第 ８ 図. 第 ７ 図 第９表 問題１の平均得点 平 ６＋ ６‐ １＋ １‐ ２＋ ２－ ６ ｌ ２. 第１０表 問題１の平均得点の比較. 均 ５．０３ ４ ，１７ ５ １ ，４ ９ ３ ，０ １ ５ ．４ ０ ４ ，８ ４ ，５９ ４ ７ ，６ ４ ３ ７ ．. ｔ. ６十～６‐ １十～１‐ ２＋～ ２Ｍ. ６十～１＋ ６冊～１一 ↑＋～２＋ １‐～２‐ ６ ～ｌ １ ～２. １ ２ ．９ ＊＊ ３ ０ ７ ， ＊＊ ６ ５ ２ ， ０ ，７８ ０ ０ ，６ ０ ０ ，０ ５ ０ ，３ ３ ０ ，２ ５ ０ ，１. の間に大きな差が見られ， 小６では それ等の間に有意差はないがそれに 近い傾向がうかがわれる， これに反 して学年による差は認められない，. 本問題は 〔２〕 でも使用したのであ るが， 其の際には位相に関連した指 導が全く行なわれていない条件のも と で，小 ６，中１， 中２ そ れ ぞ れ２，９３ ，. １ ３ ， ４，９５という平均得点を示し， ，８ 隣接学年間に５％水準の有意差が現. われたのであった． 今回得た結果で ： は各学年とも 〔２〕 における中２の得点４ ，９５に近い平均を得て学年間の差が消滅したわけで， この プログラムによる指導の効果が認められる一方， 中２が伸びないことを見れば， この指導内容また は指導方式の限界をも感ぜざるを得ない， また得られた効果は各学 年とも主として上位群によるも. のであっ て， 下位群に対しては伝統的教材と 同様に位相教材もまたある限界以上には受け入れられ 難 い も の で あ る よ う に 見 え る， 将 来 追 究 し た い こ と の 一 つ で あ る，. 前間を通して位相的性質の 抽象について経験が得られたと考え， ここでは問 ３，４ ， ２ 問題２ 題１と類似の問題の能率的処理能力を見ることをねらいとする， このため問題の構成はかなり複雑 １表であり，仮に６ー１－－２の順に となっ ている，２群各７個の小間に対する正答率を示したのが 第１ 一６ １一.
(8) . . 佐 々 木. 幸. 第１ １表 問題２の小間ごとの正答率. （％） ２. ３. ２２. ４. ５. ７. ６. ２ 尋 ３. ４. ５. ６. ー ７. ６ ０. 総. ４ ７. 旧. 弱. 引. ５７. ４２井. ４ ７. ２７. ４ ２. 弱. ４ ７. ５８. ２ ７. ４８. ５ ３. ５５. ５９. 毅. 測. 溌. ６２. ３８. ５１. ７０. ６３ ， ６３. ２２. ４３. ６ ０. ６ ６. ５９. ２８. 正答率が増すのを正 常と考えるならば， 順位の逆転は１４問中小６～中ｉ間で４個 中１～中２間で ， ４個， 小６～中２間で１個である， 此の種の問題とこの程度の被験者数では これは比較的普通の ， ことである， 学年ごとに， 上位群下位群に分けて小間に対する正答率を 示せば第９ ～１ １図となる．. １１１ 争. 第 ９ 図. 第 １０ 図. 第１ ２表号問題２の得点の平均と分散 平 ６＋ ６‐ １＋ １－ ２＋ ２－. ６ ｌ ２. 均. ７ ．０３ ４ ，５９ ７ ，ｍ ５ ．８３ ８ ，５１ ５ ，７０ ５ ，７９ ６ ７ ．４ ７ ，０９. 分. 散. ７ ，８１ ４ ８ ，９ ９ ８ ．１ ６ ．７４. 第１ ３表 問題２の平均得点の比較 ｒ 」. ｔ. 正答数を得点として平均の差 を 検 定 す れ ば （第１２表， 第１３. . . . . ６十～６－ ｉ十～１－. ，. １ １ ，２２ ８ ，５６ ヱ９２ ８ ．格 ＝，８１. 第 １１ 図. ２十～２ ６十～１＋ ６‐～１‐ １十～２＋ す皿～２－ ６ ～ｌ １ ～２. Ｊ. ４ ９＊本 ．２ １ ９ ，６ ＊ ３，９５＊ １ ｏ ．ｌ ２ ２ ７ ． ＊. １ ２ ．９ ０ ２ ．１ ｆ ４ ８ ． １．２２. . 間に 大 きい差があ ることが認. . れる（ であるが， 中１と中２ との間 に１ ％水 準の有意 差が. あっ て， 位相概念を自 然の発達に任せた場合 中学校低学年でその伸長が認められることが結論さ ， れた． しかし今回の調査によっ て， 若干の指導の過程が あればこの差はある程度縮まるものである こと が 認め られ る ． 問 題 ３と 問題４. ３． ４， ３. プ ロ グ ラ ム の 葺 ３ で９８～１０３の ６ ス テ ッ プ に わ た っ て， 左 図 の 多 面. 電器欄霊滋麹雪 御霊潔１署１ 辱 凋 中 ２ の 順 に２５％， ３１％， ３５％ と 極 め て 低 い こ と か ら 推 察 さ れ る よ う に 本 問 題 の 成 ，. 功者は 第１４表に見 られる通りご く少数である ・上記の比率よりかな り下まわ た比率とな た理由 ， っ っ. は， ６ ス テ ッ プ が １ ス テ ッ プ に 縮 め ら れ たこ と に よ る こ の 問 題 に 関 す る限 り 小６ 中 １ の 両 学孝『 ． ， ，. 年と中２との間の学 年差が甚だしく， 特に中２の上位 群の伸長は著しい オイラーの多面体定理を ． － ６２ －.
(9) . 算数・数学科における位相的概念の指導についての実験的研究. ４表 問題３， 問題４の正答率 第１. （％）. 中学校で指導する場合， その証明乃至 説明の 方法はいくつか考えられるが，. 本 プロ グ ラ ム に 示 し た 過 程 を 選 ぶ と き ３ ） ４の（ ） ４の（４ ２ １ ） ４の（ １） ３の（２） ４の（ ３の（ ＡつＴＵ ０ ０ には， 上の事実から して中２の段階で ６ ５ ８ ６ ８ ６＋ Ｑ７Ｕ十 ０ ０ ６ １ その指導を行なうことが適当ではない ７ ６ １， ６－ ▲ 争 ５ ２０ Ｕ ６ ８ ２９ ８ １ １÷ っＯんＸ Ｕ か と 思 う の で あ る， ０ ５０ ０ ６ ８ １而 【Ｑ ３ Ｕ 問題４はやはり線を追加して つなが ３１ ２ ８ ６９ ３３ ６９ ２＋ つＱムＵ ３ ３ り方が 同じである図形を作るというこ ５８ １３ ７０ ２而 ｑＱＵＪ ０ ０ と で， 基 本 的 に は 本 プロ グ ラ ム に お い ６３ ７ ６４ ６ Ｑ７Ｕ十 １ ２ ５ ９ １ ５ であるが， 空間図形で 了４ ｌ 人リ”ヘ すリ て学習した内容 １５ １ ７ ４ ６ ３ ２ ７０ ２ あるための困難が伴う 事実点線の意. ，. 味がつかめないためか， または球面上の図形であることが理解できないためかで， 球の内部を線が 貫通するか小 ようなつなぎ 方をする生徒が少なからずいるの である， しか し一面では図形が変形し. ていく様子を脳裏に描 き得る問題 でもあるので直 観を働かし易いともいえる， 結果を第１４表にっい １ ）の形状に解答の暗 １ 矧がよいのは，（ ） ４ ） ｝の順に正答率 が下っているが，（ ２ ３ １ ） て見ると，（ ） ，（ ，（ ，（ ，（ ４ ）が低いのは直 ） ２ ，（ ３ ）は変形され る際の線の動きが直観され易いから であると見られ，（ 示があり，（ 接線のつながりを追っていかなければならな いためであると考えられる， また中１と中２ に お い て は， 正答率の低いもの程上位群と下位群との差が大き いことが認められる． この問題は， 多面体と ・ 球面上の地図とを関連させるという意味での例題と も見ることができる ， ６表 終末テストの平均の比較 第ｔ. ５表 終末テストの平均得点と分散 第１ 平 ６＋ ６‐. １＋ １－ ２＋ ２‐ ６ ｆ ２. ，. 均 １５ ，７ １２ ，ｌ １７ ．３ １２ ，６ ２ ０．９. １３ ，２ ３，９ １. １５ ０ ． １７ ，０. 分. ｔ. 散 ６十 ＋～ ６－. １ ２ ．９ １９ ，７ ３７ ，６ １３ ．５. ～ － １十 ＋～１ ２十～ ２‐ ‐. ～１＋ ６＋ 十～ ｖ － ～１ ６‐＾ ～２＋ ｆ＋ 十～ ～ ‐ １‐ －～２. ５３ ，３ ２６ ，４ ４ ２ ，４ ３ １ ．ｌ ５４ ６ ，. ～ｌ ６ ～ ～２ １ ～. ド 暑 く ３ ，５３ ５ ）＊＊ ４ ２（ １ ，６ ． ｆ；６ ｆ＝６ ７ ）＃ ５ ．８ ，３６（. １，２９ ０ ．６１ ＊ ２ ．３７ ｆ＝７ ０ ０ ，１） ．５４（ １ ，３５ ｆ＝１４ ） ４ １ ０（ ，４ ，９. 終末テス ト全体を総合的に得点化して平均と分散の差を考察したのが第 ３，４ ， ４ 総合的考察 １５表と第１６表である， 平均については各学 年内の上位群と下位群との間に何れも大きな差が認めら れ， また学年間では１十と２十との間に有意の差が見られ るが， 小６， 中１， 中２の間では， この順 に若干の上昇が あるとはいうものの有意の差には 至らない， これは下 位群相互間に殆ど平均の差が な い こ と の 影 響 に よ る も の で， 結 局 総 括 的 に い え ば こ の プ ロ グ ラ ム を 受け 入 れ る能 力 に つ い て は，. 専ら上位群に学年差があって下位群にはその差がないということになろう， 〔２〕 で課したのは問 題１と問題２のみ であっ たが， そこでは学年間に有意の 差が認められ たの であって， 〔２〕 では 上 位群， 下位群を実際には設定しなかったが， 下位群に相当する層に 得点差があっ たことが推定され る， 終末テス トにおいて下位群に差が出なかっ たのは， 中２の下 位群の水準に他の下 位群が達した と見るべきで，この意味で下位群に対する指導の効果を認め ることがで きよう，なお中１， 中２にお － ６３ －.
(10) . 佐 々 木. 幸. いて上位群の分散が大きいことは注目を要する， 上位群全体としては下位群全体よりも位相的概念 ノ ＼ をよく受け入 れるのであるが， 上位群の内部ではこの概念を理解する能力 に大きな差があるのであ ’ って， この傾向は第１２図からも読みとられる， 第１３図は学年毎の得点分布を示すものである， 坂 牧（ 髪. １ ” ー－－． ”. －一２ 一． ＋. ー２ －. 第１ ２図. 第１ ３図 ４. ま. と. め. 位相的内容の指導の方法として今回利用したプログラム方式は， 主として調査研究の 手段として の意味を重視したのであって， 実際的指導法の最善なものと考えたのではない． 条件の均整をはか り， 個々の児童生徒の思考過程を分析することではこの方式の長所がかなり発揮された と 考 え る. が， 実験に及ぼす各種の要因の影響を除いたり， 分離したりすることは困難でもあり， 事実十分に はできなかっ た， この錯綜した要因の影響は考察段階の各所に原因不明の現象として現 わ れ て い. る， 他方この内容をプログラム方式で指導する際の主な問題点を認識することにはかなり成功 した と考える． 以下此の調査研究で認 められたことを要約して述べる，. ｉ ） ステッ プの通過率と， 所要時間とから， 小６に対する本プログラムは無理 であっ たと考えら （ れる， 位相教材を身辺の現象や経験と結びつけて指導する場合， 必要とされる前提が小６では十分. には準備されていないこと， 長い数学的文章を読解する能力が不十分であること， 論理的思考の経 験が不十分であることなどがその理由である， 本指導内容は既に固定している概 念の打破を必要と. す ることから， その最重要な部分は直接指導によることが必要 で， かつこのことは各学年について. 共通であると考える， ） 終末テス トのみから判断 すれば学年間に成果上の大きな差は認められない， しかしこのテス （ ２. トが成果全体を代表するものとは考え難く， ステッ プ通過の状況等を考慮に入れればむしろ小６ に おいてこの水準の位相教材を扱うことは適当でないと考える．. ３ ） 学年内における上位群と下位群との差は概して大きい， また若干の例外はある が， 学年間で （ は上位群について差が認められる一方， 下位群には殆ど差が認められない， このこと及び 既に述べ た 〔２〕 の結果とこの調査結果との比較考察を通して， 中２に対する指導が， 上位， 下位の両群を. 総合して考えれば最もよい効率を示したと考えられる． 従っ て研究の現段階では， 本プログラムに 組まれた程度の水準の内容は中２に適当であると結論してよいであろう， この内容は， 法則が普遍. 的説明を伴っ ているという意味で本格的である， この指導の前段階として， 経験を 準備する意味で の位相的内容の指導は勿論中１以下で行なうことができるが， 今回はそれに触れなかっ た， ４ ） 位相についての教材の理解能力も， ＩＱ で示される知能や他の伝統的内容の理解能力と， 隔 ｛. た る も の で は な い こ と が 認 め ら れ た．. ６ ） Ｓ， Ｍ， Ｐ， 〔３〕 の位相に関する内容は， 我が国のほぼ同年令の生徒に無理なく指導し得る （ （少なくとも他の伝統的内容と同程度には） という見通しが得られた， 以上をもっ てまとめを終わるが指導内容についても， 指導法についても， 本教材にはなお不明な － ６４ －.
(11) . 算数・数学科における位相的概念の指導についての実験的研究 点が多いので積極的な研究が期待されるのである， 水上幸 信， 宮崎進， 堀久美子， 北都中 各先生に協力を頂いた， 記して深く感謝の意を表わしたい． 本研究調査にあたっては， 北鎮小. 文. 福井庄次， 宮村慧の. 献. ４７（ １ ９６５ ） 〔１〕 佐々木幸一：図形の位相的性質の指導について， 北海道学大紀要 （第１部Ｃ） ，２， １ ， １５ ， Ｎｏ ９６ ） ７ 〔２〕 佐々木幸一：児童生徒における図形の位相的性質の認識について， 数学教育学論究 即， １ （ｉ ｉｄｇｅ（ ｉ ｕｎ ）（１９６６ ） ｖ，Ｐｒｅｓｓ 〔３〕 Ａ，Ｂ，Ｂｏｌｔ 他：Ｔｈｅ ｓｃｈ（ｍＩ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ Ｐｒｏｊｅｃｔ Ｂｏｏｋ２ Ｃａｍｂｒ. ９ ９ ６ ） １ ７ 〔４〕 小高俊夫：ＳＭＳＧの教科書の実験的研究， 日本数学教育会誌 ４ ， １， ８（. － ６５ 一.
(12) . 算数・数学科における位相的概念の指導についての実験的研究 （資料 １）. プログラムの内容と通過率 （抜粋） 「変. ＳＩ. の. 形」. 数. 学. 通. つながりを表わす園. 小６. 過 率 （％） 中１. 中２. では第８図を変形して第９図にできるかどうかを 考えましょう． ひもで下のような形を作り， 矢印の ように変形します． この変形では， つながり方が 変わりません， 変わ ってしまいます．. ３０. 第ｆ図はある都市の中心部の地図です． 小さい. ６９. ８ １. ８５. ８１. ９０. ９３. 了９ ＼７６ ７０ ”. ８０ ８５ ６８ ７０. ８７ ８７ ７８ ８５. ２５. ３２. ３３. ４５. ５９. ５４. ６ ０. ６ ４. ６ ７. 道路ははぶいてありますが， 全体としては正しく ちぢめて書かれています． ふとい線は地下鉄で， 黒いまるはその駅です．. このことから第８図と第９図とは， つながりの図としてみれば 同 じもの， ちが うもの です．. ３ １. つながり方を変えないで変形するときは， １ ． 線のまがりぐあいを変えることが できます， できません． ２ ． 線を途中で切ることが できます， できません． ３ ． つながっていないところをつなぐことが できます， できません． ４ ． 線を動かして他の線の下をくぐらせることが できます， できません．. ３ ２. 第１ 園 この地図を見て， Ｃ駅とＤ駅との距離はＤ駅とＥ駅との距離よりもみじかいとい えるでしょうか． いえる， いえない．. ７７. ７７. ７８. 略． 第ｌ ｏ図で示される部屋の配置の関係を第. ｆ. 図で表わすことを取り扱う ．. ガ. 第２図は， 第ｉ図から駅と地下鉄とだけを取り出し て， 変形して書いたものです． 地下鉄の電車は４糸統 あって， それぞれちがった線で書いてあります．. 頂点， 辺， 面の数. Ｓ２ ４. 第２図では距離が正しく表わされています， いません．. ８０. ９０. ７０. ８２. ９４. ８２. ４９. ６ ５. ４７. Ｇ駅からＤ駅まで地下鉄で行く方法は全部で 通りあります． このことは， 第１図から， 第２図から， どち らの図からでも知ることができます ．. ３０ ５０. ５６ ５６. ４３ ５２. そのうちどの距離が１番みじかいかは， 第１図から， 第２図から， どちらの図 か らでも， 知ることができます．. ５７. ６３. ６ ７. ８９. ９ ８. ９５. ６ ８. ７ ８. ４ ７. Ｂ駅からＥ駅まで地下鉄でなるべく近い線を通っていこうとするとき 途中で通 ， 過する駅の数は つです． このことは， 第１図から， 第２園から， どち らの図か らでも知ることができます．. 第３図は第２図にくらべて， 複雑， 簡単になって います． ある駅から他のある駅に行くとき， のりかえ が必要かどうかは， 第２図から， 第３図から， どちら からでも， わかります． 第 ３ 図. 凶＝. ５２. １ ５. また， このとき長さをもとの長さの割合で書くことは 必要 不必要 です ， ．. ４ ８. ６５. ６ １. １ ６. 線が集まっているところで， 集まった線の数を正しく書くことは くことは 必要， 不必要 です．. ８３. ８ １. ９３. １ ９ ２ ０. ７ ２. ２ ５. いま考えた網を， つながり方を変えずに変形してみましょう． 右の 図のどこをつなげばまえの網と同じつながり方の絹になりますか．. ４８. 略．. ８２. ８６. ２０・ ３ １. つながり方が同じである図は， その１つを変形していって他の図と同じ形にする ことが いつでもできます， できるとは限りません ． このときの変形で変えてもよいものは， 次のどれとどれでしょう． １ ． 長さ ２ ． 線のまがりぐあい ３ ． 線でかこまれたところの面積 ４ ． 線でかこまれたところがいくつあるか， その数 右の第６図と第７図とが同じつながり方をしているか どうかを考えましょう． 線が３本以上集まっている点は. 第６図では. 個， 第７図では. 個あります．. ８７. このことをことばの式で書くと，. ６１. ４ ８. ９４ ９３ ５ ８ ８８. これらの点をつなぐ線は， 第６図では. 本， 第了図では. これらの点をつなぐ線は， ひとまわりしてもとにもどるものもかぞえることにす 本で，数が. 同じです， ちがいます．. ６ ０. 変わらない， 頂点， 面， 辺 です． だから頂点十面は このときふえるのは １ふえる， ２ふえる し， 辺十 日ま 変わらない， １ふえる， ２ふえるから， 上 やはり正しい， 正しくない のです． の ★ の 式 は この網では. ６ １. このし方では辺だけでなく， 頂点も新しくできましたが， 頂点をふやさないで辺 だけ１本作ることができます． どんな網になりますか．. ７３. ９１ ９０ ８４ ８４. ６ ２. 略．. ７３ ７３. ８０ ８４. ８８ ８５. ７０. ９４. ８８. ７ １. ９６. ８ ５. ６３. １ ９. ８２. ６０ ５２. ８ ０ ７４ ７５. ６ ７. ６５. 『 ４ ７. ６ ７ ８０ －－ ６ ‐ ７‐. ８６ ７８ ７４十・ １ ７９ ７十. ７つ十ム. 辺を１本ふやすのに２種類の方法があることがわかりました‐ １つの方法では頂 も１つふえます， は変りません． 点が新しくできますが， このとき面の数 もふえません， ば１つふえ. １だけ １だ どちらの方法でも， 頂点， 面， 頂点十面 は１だけふえ， 辺十 目ま 、ェ 式， ふえる， 変わらない から， 辺を１本ふやしたとき ☆の式は やはり正しい まちがいの式 です． 園 の網を， 頂点Ａから始めて順次辺を加えることによって構成し， 各段階にお いて ★の式が成り立つことを理由づけしてこの規則の正当性と一般性とを理解す る．. Ｓ３. ヨ８８７３. ７９ ８ １ にｎＵＵ ６５. ７ｎ十Ｕ. ９１ ８５ ８ ４. ８ ０ ８０. ９４ ８３. ７８ ９１ 纏 ７６. ７８ ８ ７ ５ ３ 斜 ６ ０ 国. ７８. ８３. ５９. . 苔 苫 葺き. ８ ０. ８６. ８２. ５５. ７３. ３ ６. １００. ６ ２. ８４. ７２ ８６ ８１. ７８ ９３ ７９. ８ １ ９４ ７１. 回 と同じ．. もう１つの方法では， 頂点はふえませんが面の数 まず，. ５７. となります。. 次に辺を１本作りましょう． 新しく頂点ができるようにすると， 網はどのように なりますか． その網を書きなさい．. 本あります．. ８ ２. 多く， す. ２. ＲＵ. １頂点 十 面 ＝ 辺 十 １← …★ と書くことにします．. . こんどは右の２つの図のつながり方をくらべまし ょう。 ３本以上の線が集まっている点が あ り ま す ね． その数は、 左の図では 個， 右の図では 個で， 数が 同じです， ちがいます．. 本，右の図では. 軸 の数十 卿 の数；. だけ. ５９. ６ ３. 第６図を変形して第７図と同じにすることは 可能， 不可能 です． だから２つ の図はつながり方が 同じです， ちがいます．. れば， 左の図では. で， それは辺の数より. にＱＪＪ（ 乙. ３０. これを簡単に. ７７ ７６ ６ ３ ７７. ２ ７. ２ ９. 頂点の数と面の数とを加えると くなく なっています．. ３ ５. 第７図. ６ ２. 倒 圃 の３つの網について ， 臆 面， 辺の数を表る 靴 め 仙 う ，. この表には何か規則がみられるでし うか 規則をみつけたと思う人はそれを書. ５８ 第４図に線を１本入れて， 第１図の， つながりの図になるようにしなさい ．. 定義の補足説明． 頂点その他をかぞえること．. ょ ． . ５ ７. 榊. ． Ａ 。Ｅ. る駕翻 繋 駕 ５撰 駆憂欝 驚喜. . ２ ２. このような図を網ということにします． 家にあたるところは頂点， 道にあたると ころは辺といいます． 辺でかこまれたところを面といいます．. 了３. できた図 （１番左の図） は第５図と線のつな がり方が同じですね． このときこれを変形して 第５図と同じにすることができます とがで ま ． １ ２. ＡからＢへ， ＡからＥへ， ＢからＣへ， ＢからＤへ， ＢからＥへ， ＣからＥへ の道があって， 途中でぶつかる道はありません． これらの道を図に書 き入れなさい，. ５ ５１ １翻. つながりの図を書くときには， 直線を図の上でも直線で， 曲線を図の上でも曲線 で書くことは， 必要， 不必要です．. 負 け. こ のほかに. ４ ５. ５４. 鉄道のように， いくつかの線がつながっているものは， 第３図のようにそのつな がり方だけを図で表わすことができます． これを つながりの図といいます ， ．. 右の図のうち第ｉ図のつながりの図になっている のは， 第 ４， ５図 のほうです ．. 園のＡ， Ｂ， Ｃ， Ｄ， Ｅは家を表わし， ＡとＤ， ＣとＤ が線でつないであるのは， その間に道があることを表わし ています．. 多面体についての規則. ２ ．３で述べた通り．. １圏Ｄ （園～.
(13) . . 佐 々 木 （資料２） ー. 一. 幸. 問題２. テ ス ト の 内 容. 中 間 テ ス ト. 右の図のうちで， 左の図と線のつながり方が同じである ものに○じるしをつけなさい． （４） の○をつけた図で， 左の図の. 問題１. Ａ， Ｂにあたる点はどれですか， Ａ， Ｂの記号をつけなさい，. ６⑫▽ 金 Ｂ６６. １ ）悶. ◎ド ダド ◎ ③. Ｈ 格納 黙稔 り. Ｂ愈 ※ ： ） ‘１. 右の （ア）， （イ） は長方形の 刺こある３つの部分Ａ， Ｂ， Ｃのっ ながりの関係を示したものです．. 問題２. （“. 右のけト㈲のうち 》 Ｃ‐Ｄ と 織 れるもの 醐 １ですか，. . （ ア ） ′▽. （）. この問題では線のつながり方だけに目をつけます． たとえば上の （ア）， （イ）， （ウ） は線のつながり方が同じだ から， 同じ図と考えるのです． 上の （Ａ） の図は （Ｂ） のどの図と同じですか， 番号を記入しなさい， （これは練習. 肱. であり， 正答を示して照合させる） を 同じように考えて次の問題をしなさい．. ２３ 間. 団３ ４ ５ ６ ７ ） １ ２ （ Ａ. ぃ 両国 ｏ間回国劇画 ）（｝（） （）（）｛ 面２｝（ 副｝ 梱｛ ４４ 園. 暇画面卵割画面面画面 ５ ３ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９. ● ｛１. ２３. ⑭◎ ④ ◎ ◎. ５. ） １ ２酬３両４面５面６ （ Ａ. ７. 唱酬 Ｏ ｏｏ ｏ両面面肺弾 （）（）（） ｛）（｝｛）（）. （ ィ ）ハー８ーｃ. 回. . . ○ 鋭 ‘）. . ゥ讃 ィ １（ ｛ ” ‘ 仰. 回回. ◎画面朝 四回割画面耐 ４ １ ２ ３. ４ ５ ６ ７ ８ ９. 問題３. 図の多面体は 面がゴムでできているとします， ふとい線でかこまれた面を取り除いて， 平らなところにひきのばし た図を書きなさい．. 問題４. ｏ１６ ０３ ′ まで ０５８ ′ から北緯 ４３ ′ から東経 １４ ′ まで 北緯 ４２ ０ （東経１ １ ４１０１０ ， の地図を小学校用地図から転載して） 右の図は， 地図の国鉄線， 私鉄線のつながりを表わ. 問題３. すために書いたものです，. （１） （２） （３）. ！本たりない線があります． その線を書き入れなさい．. ＡとＢの駅の名を書きなさい， この図の中で， 札幌のところに◎， 定山渓のところに△のしるしをつけなさい．. ２ 終 末 テ ス ト. . 面がゴムでできた上の左のような多面体に空気を入れてふくらまし， 球にしたのが右の図で， 点線はむこう側にある 線です． 同じように上の角柱をふくらました図が下の （０ （２） （３） （４） ですが， 形が大へん変わっているう えに， 線が１本ずったりなくなっています． たりない線を書き入れなさい．. （ １ ２ ３ ⑩ ② ⑩ ③. . の匡 あ る 歩 ＆ 幻 上の （１） のグループの図はみなある同じ性質をもっていますが， （２） のグループの図はどれもこの性質をもっ ていません， それはどんな性質であるかを考えて， 次の図のなかで （１） の図と同じ性質をもつものに○をつけなさ. . － ６８ －.
(14)
関連したドキュメント
問についてだが︑この間いに直接に答える前に確認しなけれ
私は，２ ，３ ，５ ，１ ，４ の順で手をつけたいと思った。私には立体図形を脳内で描くことが難
けることには問題はないであろう︒
LUNA 上に図、表、数式などを含んだ問題と回答を LUNA の画面上に同一で表示する機能の必要性 などについての意見があった。そのため、 LUNA
夜真っ暗な中、電気をつけて夜遅くまで かけて片付けた。その時思ったのが、全 体的にボランティアの数がこの震災の規
都調査において、稲わら等のバイオ燃焼については、検出された元素数が少なか
学年進行による差異については「全てに出席」および「出席重視派」は数ポイント以内の変動で
大村 その場合に、なぜ成り立たなくなったのか ということ、つまりあの図式でいうと基本的には S１ という 場
