第８回資料

構造設計Ⅲ

モデル化

x k c m x c k m 0 x 0 x 0 x m , k c 0 x x 0 x₀ x x 地動 0 x

運動方程式



0



0

m x

x

cx

kx











0

mx



cx



kx

 

mx

運動方程式 2 2 0 2 2

d x

d x

dx

m

c

kx

m

dt



dt



 

dt

x c k m 0 x 0 x 地動加速度

外力をインパルス外力の連続と考える

 

x t インパルス外力

 

f

 

d

単位インパルス外力による応答変位





g t





インパルス外力による応答変位

 





f

 

d g t





応答変位x(t)は次式となる

 

  



0 t

x t





f



g t



 

d

単位インパルス外力に対する応答変位

 

2

2

x



h x







x





t

 

 

  



 

0,

0

1

t

t

t dt

x t

t

dt

x











   















デルタ関数 この方程式の解は初速度１ (d₀=0, v₀=1)の自由振動解となる

 

2 _{0 0} 2 0 ₂ 2 2

e

cos 1

sin 1

1

1

1

e

sin 1

e

sin

1

h t h t h t

v

h d

g t

d

h

t

h

t

h

h

t

t

h

  

















  









_







_



















2

0

2

x



h x







x

 

x

 

 





 

_

_

0

1

e

h t

sin

f

x

g t

 

t













 

 











 

  



 

 

_

_

0 0 0

1

e

sin

t t _{h t}

x t

f

g t

d

x

 

t

d



 





 



 







 









であるから，解は，

速度と加速度は？

 

 

 

_

_

0 0

1

e

sin

t _{h t}

x t

x



 



t

 

d



 

_

 







 

 

 

_

_

_{ }

 

 

 

 

0 0 2 0

e

cos

2

t _{h t}

x t

x

t

d

h x t

x t

h x t

x t

x t

 





 







 

_

 





 







変位応答が求まれば，速度，加速度応答は簡単に求まる

どうやって計算する？

 

 

 

_

_

0 0

1

e

sin

t _{h t}

x t

x



 



t

 

d



 

_

 







三角関数の加法定理を利用すると

 

 

sin

 

cos

x t



A t





t



B t





t

 

 

 

 

 

 

0 0 0 0

1

e

cos

1

e

sin

t _{h t} t _{h t}

A t

x

d

B t

x

d

   



  





  



   



 





 







ここで

A（t）を増分形で表す

 

 

 

 





 

 





 

 

0 0 0 0 0 0

1

e

cos

1

e

cos

1

e

cos

1

e

e

cos

t _{h t} t t _{h t t t} t _{h t} t t t _{h t} h t t t

A t

x

d

x

d

x

d

A t

t

x

d

        



  





  





  





  



   _{   }        



 





 













 













B（t）も同様に増分形で表すと

 





 

 

 





 

 

0 0

1

e

e

cos

1

e

e

sin

t _{h t} h t t t t _{h t} h t t t

A t

A t

t

x

d

B t

B t

t

x

d

     



  





  



         





 









 









このように変形すれば，前ステップの値に，増分値を逐次加えてゆけばよい ただし，第２項の積分は解析的には行えないので，数値的に積分する。

数値積分法

 

 

 





0 2 0 1

1

e

cos

1

e

i

cos

t _{h t} t t h t i i i i

x

d

w x

   



  





 



     

















A(t)の第２項の計算 ここで



 











2

2

2

i i i i i i i

t

t

t

w

t







 



  

 

 



 

1

0.57735026918963,

2

0.57735026918963,

1 2

1



 





 





,

i i

 

はGaussの数値積分の選点と重み係数

以上から

 





 





 





 





2 0 1 2 0 1

1

e

e

cos

1

e

e

sin

i i h t h t i i i i h t h t i i i i

A t

A t

t

w x

B t

B t

t

w x

     



 





 



         





 









 











2

 

2



,



2



i

t

t

t

i

w

i

t

i



  

 



 



1

0.57735026918963,

2

0.57735026918963,

1 2

1



 





 





 

 

sin

 

cos

x t



A t





t



B t





t

 

0

0,

 

0

0

A



B



初期条件　

速度と加速度は？

 

 

 

_

_

_{ }

 

 





 

 

 

 

 

0 0 2 0

e

cos

cos

sin

2

t _{h t}

x t

x

t

d

h x t

A t

t

B t

t

h x t

x t

h x t

x t

x t

 





 















 

_

 

















 





