ON AN EVALUATION OF CHARACTERISTIC BEHAVIOR CONCERNED WITH TANDEM QUEUING PROCESS

ON AN EVALUATION OF C且ARACTERISTIC BEHAVIOR

     CONCERNED WITH TANDEM QUEUING PROCESS

BY

TOJI MAKINO

  1．亘ntroduction． The Tandem type queuing system is， from the practical point of view， one of the㎞portant topics in the theory of queues． However， we can not say that we have enough results ill this丘eld to apply them to individual prac− tical problems．   The useful techniques introduced by Lindley［1］have bee！l apPlied to the study of Tandem type systems as wen as other various types of queui皿g systems， and have produced interesting works by Reich［7］， Sacks［12］， and recently， papers by Ghosal ［16］，Mastersoll and Sherman［17］．   Jackson［3］，［4］used another technique and obtained the distribution of length of waiting line at each stage or service station of a multi−stage Tandem type queuing system．   III all of these papers are treated the cases where no restriction is made on the length of queues at each stage of queuing systems．   On the contrary， there are not so many studies in the case of the limited size of Waiting rooms at each stage．．The・reason why is the di伍culty of analysis which due to the o㏄urren㏄of blocking effect．   In thiS COntext， Hunt［5］Obtained the va1Ue of maxirnum posSible utilizatiOnρmax fbr some types of Tandem queue， and Finch［9］fbund the distributidn of waiting t㎞ein the system with waiting roolns． In［9］was treated the single stage system with limited size 2V of waiting room． Finch mainly discussed the type M／M／1（N） in detail． His result was extended by Jain［15］to the typeルt／E，／1（N）and Jain presented the table of customer lost fbr various values of utilizationρand various size 2V of waiting． room．   Kishi［13］a皿d Makino［18］， in conn㏄tion with Hunt［5］， discussed two−stage Tandem system with Poisson arrival distribution and exponential service distribution． The results of these papers were extended by Makino［19］to the tvyg−stage systenl where the number of first stage station is larger than one．   In these works was used the method of g皿erating functions． However， using such adevice the study of more complex systems will be rather di｛ficult． To avoid this di伍culty， introducing the concept of Mean Passage． T㎞e， Makino treated two and． three srage Tandem systems in his paper；

18

_T．MAKINO

  ‘‘On the Mean Passage Time concerning some queuing problems of the Tandem 寸ype．” ［21］   Shortly after the recept輌on of［21］by OR Society， Suzuki published‘‘On a Tan− dem Queue with Blocking．”［20］   These two papers published independently， and the fbrmer is practical， the latter ．is rather theoretica1， but the themes treated are quite similar． The main purpose ・of［20］is the study of blocking eff㏄t which is similar to the study treated in［21］． However the model treated in［20］is the two−stage system without the waiting room −at the s㏄ond stage． Since blocking ef￡㏄t is influenced by the size of wait輌ng room at the second stage， the study of the system with waiting room seems to be necessary． But by the method of［20］， the analysis is diMcult because of the increase of the ．number of states．   Of course， we do Ilot n㏄d to consider blocking effect in the case where infinite ・queue length is allowed at each stage． The problem of blocking occurs only fbr ．the system with limited queue length．   The purpose of this paper is to present the practical table of mean blocking rate ．PB fbr each size of waitillg room at each stage of the system．   The systems treated．here are those of three stages， each stage havillg s姐gle service station， With exponential service time distribution， and the＆st stage station being ・never empty．   Noting that       ［M…Passag・T・m・コr三馬去・       （μ1：mean service rate at the丘rst service station） −we may investigate［M．P．T．］in place of PB．   We know teat the reversibility of［M．P．T．］holds fbr the systems in［21］． This property which hold fbr血ore extended class of systems is very usefu1 for numerical ・calculation of PB．   Moreover， treating usual system（considering the arrival customers皿ake the queue ：in front of the first service station）， the necessary and su丘icient condition that the system be in steady state is obta輌ned dir㏄tly using the value of［M．P．T．］． Con− ・ceming this point， we shan discuss it in paragraph 4．   2．Balance Equations． We are going to evaluate some characteristics of the sys− ＾tem with the structure model of following chart． （Warehouse_{eirst queue）⇒}       1 First stage serVlce S楓tlon →

Second

_queue

→ S・。・ndil stage i→： serVlce  ・ statlon （servlcerate；μ1）

Third

que「e →

Th辻d

S伍ge servlce statlon ご麗9）（serVlcerate；μ2）          Fig． 1 （waltlngroom）

⇒Output

（servlcerate；μ3）

ON AN EVALUATION OF CHARACTERISTIC BEHAVIOR CONCERNED

19   SupPose that in the s㏄ond queue and the third queue are anowed finite number of customers M， N， whereas in the first queue exist always infinite number of cus− tomers， i．e． assume’that there are a warehouse instead of丘rst queue．   The service time distributtons at the first， s㏄ond and third station are assumed to be exponential with service rateμ1，μ2 a皿d・μ3 respectively．．   The symbol伽， n）of the state represent the fbllowing situations；the secOnd and the third station are in busy， moreover the queue lellgth of secolld and third queue are（m−1），（n−1）， resp㏄tively．   The steady state probability that the system be in the state（m， n）is denoted by P。，n．   Then we have the following balance equations． State （0，0） （0，1） （0，2） （0，N） （0，N＋1） （0，N＋2）      lNo．      of cus．      tomers  lst      at the ・t・・i・n認．       1ng      l      rOO皿

2nd

lstati°n

110

1 1 1 1 ’ 0 0 0 0 0 1 （1，0） 1 （2，0） ⋮： （κ，0） ⋮： （M，0） （M＋1，0） （M＋2，0） −一丁− 0 0 0 0 0

_B

1

1一−一β

0一1

k−1

ゴ

M

_÷

−一− 1 −一−一−上 No． of cus． tomers       3rd at the  3rd      station

麟

0 0

゜11

1 」V−1 1 1

N

1

N

1 〇一〇 0

0一〇︸0

0［0

︵UO∨0

（for 1≦9m≦二M，1≦：n≦9N）  （m，n）      1   m−1 1 n−1 1     Balance Equation （where，μ2／μ1＝γ2，μ3／μ1＝γ3） γ3Po1−Poo＝0 γ2Plo＋γ3Po2−（1＋γ3）Pb1＝0 γ2P11＋γ3Po3−（1＋γ3）Po2＝0 γ2Pl，N−1＋γ3Po．N＋1−（1＋γ3）Po，N＝0 γ2P1，N十γ3Po， N＋2−（1十γ3）Po，N＋1＝0 γ2P1，N＋1−（1十γ3）1㌔，N＋2＝0 Pb，o十γ3Pll−（1十γ2）PiO＝O PI，o＋γ3P21−（1＋γ2）P20＝0 Pk−1，0十γ3Pk，1−（1十γ2）Pb，o＝0 PM−1，0＋γ3PM，1−（1＋γ2）PM， o＝O PM， o＋γ3PM＋1，1−（1＋γ2）PM＋1．o＝0        ’』＼ PM＋1，0＋γ3PM＋2，1一γ2PM＋2，0＝0 Pm−1，π＋γ2」㌦＋1，蕗一1＋γ3P．，カ＋1   −（1＋γ2＋γ3）Pm，銘＝0

20

_T．MAKINO

State  1st station （M，N＋1） 1 （M＋1，N） 1 （M＋1，1V＋1）11       t （M＋2，1） （M＋2，2） （M十2，N十1） （M十2，∧r十2） ．． ’

B

B

B

B

 No． of cus． tomers at the

2nd

wait−  ing

room

M−1

M

M

2nd

station

L鑑．

tomers at the  3rd wait・  ing

room

11N

1

M

1 1

M

1

M

1

M

B

N−1

0 1

N

 3rd station 1 1 1     Balance Equation （where，μ2／μ1＝γ2，μ3／μ1＝γ3） PM−1，N＋1＋γ2PM＋1，N＋γ3PM， N＋2   −（1＋γ2＋γ3）九，肝1＝0 PM． N＋γ2PM・2，N−1＋γ3PM＋1，N＋1   −（1＋γ2＋γ3）PM・1，N＝0   PM，N＋1＋γ2PM＋2，N＋γ3PM＋2，N＋2 i −（1＋γ2＋γ3）PM＋1，Ntl＝O 1 1 1 1 PM＋1，1＋γ3PM＋2，2−（γ2＋γ3）PM＋2．1＝0 PM＋1，2＋γ3PM・2，3−（γ2＋γ3）PM＋2，2＝O PM＋1，N＋1」（γ2十γ3）PM＋2， N＋1＝0 PM，N＋2．＋γ2PM・2，N＋1一γ3PM・2，N＋2＝0 （1， ハr十2）     1          ｜ ｜ 1

B

N

1 _{Pb，N＋2＋γ2P2，N＋1−（1＋γ3）Pl．N＋2＝0} （M，N＋2） 1

M

B

1 PM−1，rv「＋2十γ2PM＋1，N＋1−（1十γ3）PM，ハr＋2＝0   Where the symbols O，1，8denote the states that the service station be in empty， in busy， and in blocking， respectively．   We want to丘nd the value of」Piゴ． For this purpose we have take care that the normality condition holds． That is， we can obtain Pii by noting that        ΣP已一1．        ‘，5  Thus we can calculate the mean blocking rate PB． FurthCrmore the mean length of the second queue and the third queue will be obtained by fbllowillg procedure；   First， denote by X and Y the．queue length of the second queue（second waiting roo皿）and the third queue・（third waiting room）， respectively．  Let us denote by E（X）， E（Y）， E（X十γ）the Expectation of X，〕陥（X十y）．  Then， we have          M       ユ M ユ       N      E（X）一Σん・｛Pk．、．。＋Pk，N．2｝＋ΣΣ｛（〃1−1）・Pm，外｝＋MΣ1「M．2．．          k＝1       n＝1 秘＝1      カ＝J E（・）−

狽s，k・｛P・， ＋P…，…｝＋螢｛（−1働＋N｛誉九，…＋PM・ ・・｝・

          P．一Σ PM ．2，k．   E（x＋Y）−E（x）＋E（Y）．        k＝O  Where M and 2V are limitations of the size of the second and third waiting room．  The numerical value of above expression in the case of       μ1＝μ2＝μ3       ．

   ON AN EVALUATION OF CHARACTERISTIC BEHAVIOR CONCERNED  21

will be shown ill Table 1．       Table L State Probabilities， Expectations of the Queue Length       and M剛Blocking Rates in t血e Case ofμ宜＝μ2＝μ3

M＝0，Nニ0

・ta・・1

 oo

●

 01

 02

 10

 20

112122

E（x） E（y） E（x  ＋Y）

PB

Prob． 0．1026 0．1026 0．0769 0．1282 0．2051 0．1539 0．0769 0．1539 0 0 0 0．4359 ルf＝0，2V＝1 ・t・t・1

0123000001

01212

21ふ122

23 E（x） E（Y） E（x ＋Y）

PB

Prob． 0．0933 0．0933 0．0800 0．0400 0．1067 0．1867 0．1200 0．0800 0．0800 0．0400 0．0800 0 0．320 0．320 0．3867

M＝0，N＝2

State 00 O1 O2 O3

､

00123

ープ一11▲−

12今34﹁

∩∠︹∠︵∠2

E（x） E（Y） E（x ＋y）

PB

1…b・

0．0879 0．0879 0．0769 0．0440 0．0220 0．0989 0．1758 0．1099 0．0659 0．0440 0．0769 0．0440 0．0220 0．0440 0 0．538 0．538 0．3626

lMto，N＝3

1・t・t・1馳． 00 O1 O2 O3

O4

5001∩∠

01︵∠111

︹541▲23

11︵∠22

45

ラ一2

E（x） E（y） E（x  ＋y）

PB

0．0849 0．0849 0．0745 0．0435 0．0248 0．0124 0．0952 0．1698 0．1056 0．0621 0．0373 0．0248 0．0745 0．0435 0．0248 0．0124 0．0248 0 0．689 0．689 0．3499 M＝1，ハr＝0 State 00 O1 O2 P0

ﾁ

0111う一

︵51︵∠31

32 E（x） E（ Y）

E（x

＋Y）

PB

1 Pr… 0．0533 0．0533 0．0400 0．0667 0．1000 0．1667 0．0800 0．1333 0．0667 0．0867 0．1533 0．707 0 0．707 0．3867 ハ∬＝1，N＝1 State 00 O1 O2 O3 P0

︵UO121▲

︵∠31ーエ︵∠

︵∠1233

23331

E（x） E（γ） E（x ＋y）

PB

1蹴・

0．0539 0．0539 0．0485 0．0322 0．0594 0．0759 0．1403 0．0648 0．0645 0．0925 0．0725 0．0644 0．0362 0．0886 0．0524 0．623 0．395 1．018 0．3295

22

T．MAKINO

M−1，N−・IM−1，N−・

State i i

IM＝2・

N＝0

…b・1・・…1…b・1・ta・・1・・… M＝2，∧「＝1 State Prob．

M＝2，N＝2

・・…1 Prob． M＝2，N＝ 3 State l Prob．

Ol︹∠︵﹂41

00000

     1 0．0518i OO      l O．05181 01      ： 0．04851 02

1：鵠92

10   0．0551  05 20   0．0671  10 30   0．1256． 20       … 1；i9：1：12…i？

31﹁∠31

12223

0．0416      1 0．0791i      l O．0533i      l O・0449i ゜・°585

自∠ぺ34丁12

111︹∠へ∠

             0．03791 23 32 33｝。．。225i24       1 34   0．05531 31         14   0．0328i 32       …       ：33       … E（x）1 E（Y）

Eζη1

PB

0．577 0．709 1．286 0．2997

455

3つ⊃−

     i      i      l      i      ：      1      … E（x）l      i E（y），

xi

E（ ＋γ）． PB l      i      1 0．04ggi O．0498： 0．0471i      l O．0392．      1 0．02571 ・．・1351 0．05241      1 0．062si O．1172‘ O・0551i      i O．0527i      E O．03781 0．0271i      ； O・07311 0．0471… 0．0342 0．02911 0．0545…      ！ 0．0358i      ； 0．02441      i O．0146’ 0．0359 0．0213・ 0．550 O．955 1．505 0．2822 00 O1 O2 P0 Q0

00111

惚﹂4112︵﹂

−︹∠︹∠﹁∠ 414﹁−︵∠

1

E（x） E（Y） ・1㍍）l

PB

     i O．02931      1 0．02931 0．02201 0・0366｝ 0．0550；      i O．08971      1 0．1520i O．0440i      l O．0733i O．1245i O．0623i O．1484i O．0476： 0．08611 1．502 0 1．502 0．3626

0123000001

00012

2341玉

−︹∠121

︹∠︹∠3341

︹∠333

44﹁イー︵∠ IE（x）l lE（Y） E（x ＋γ）

PB

。．。。631 O．0034・ 0．0034， O．00301      i O．002L      l O．0037i      l      ｜ 0．0045i      i O．12051      ｜ 0．04021      1 0．04141      1      E O．0540i O．0587i O．0808・ 0．0680； 0．0574’      d ・…4・1 0．0878 0．0397 0．0538      i 1．174 O．388 1．562 0．2997

01∩∠34丁

00000

0000112341

23123

11∩∠2︵∠

−︹∠312

3334．4

3444

44﹁イー2

     ； 0．0340：      … 0．0340． 0．0323 0．02721 0．0171i      i      d O．03571 0．0408 0．0529 0．1026． 0．0374、 0．0374i  O．03411  0．0458・ L。．。471i  O．0389：        i ︶ ︵

E

     i E（Y）l

Eα1

＋γ）l

PB

0．0651 0・0468 O．0436i O．04971      i O．0343i      l      i O．02工8；      ） 0．0576i      シ 0．028ぴ      … 0．0358i      i      …      i 00 ， 01 02 03 04

’︶000nU

O1234﹁

12341

1111︹∠

23412

2223つ﹂

3412333444

       44i      ll目              i251      1   i        l 1．。，6i。（X）｝      … 1      ’E（Y）t O。806 ；： ：：k 

l㌣︶i

0．0332 0．0332 0．0320 0．0286 0．0221       ■ 0．0124 0．0343 0．0380 0．0479 0．0923 0．0355 0。0352 0。0317 0．0248 0．0417 0．0418 0．0326 0．0269 0．0577 0．0392 0．0312 0．0299 0．0442 0．0311 0．0231 0．0150 0．0398 0．Ol97 0．0248 1．153 1．120 2．273 0．2457

ON AN EVALUATION OF CHARACTERISTIC BEHAVIOR CONCERNED

23

M＝3，ハr＝0 State 00 O1 O2 P0

S

30

I

  011

  ＜＞−▲2 11些ーユ22 34τ5ーエ角∠ 2︵∠ 3く∨ E（x） E（y） E（x＋Y）

PB

Ik・b・

0．0166 0．0166 0．0124 0．0207 0．0311 0．0507 0．0854 0．1455・ 0．0248 0．0414 0．0704 0．1201 0．0600 0．0269 0．0487 0．0844 0．1444 2．358 0 2．358 0．3499 M・3，」V＝1

・t・t・1…b・

00 O1

_ﾌ0310

M＝3，N＝2

00001

2︹34﹁51

State 887”︶0／

l10／33

2211200000

ロ  の      コ  コ

000︵UO

    1

⑪：鍋

00 O1

O2

O3 O4

00000

ーエ︵∠34﹁5 1 …b・ 0．0235 0．0235 0．0224 0．0191 0．0123

M＝3，N＝3

12 、21 22 31 32

12412⇔544二︶55

0．0571i O．1108i O・0260 i     I O．026gl O．0348i O．0390’ 0．0492 0．0556 0．0749 0．0649 0．0537i l：器｝引

12312

111︹∠2

⑲⊃1231

23334

13       0．0262     42 23      0．04091   43 33       0．0529 1   51     1         52        53 E（．￥） E（Y） E（x＋γ）

PB

i

2．095 0．457 2．552 0．2822

4444

㌘﹂−ふ23 E（x） E（y） E（x＋Y）

PB

State 00 O1 O2 O3 O4

1

Prob． 0．0246 0．02761 0．0336 1 0．04571      l ．O．09071      i      ： 0．02571： O．0259i O．02471 0．0306； 0・03261      1      … O．03231

⑪：麟1

0．03711     ： 0．0578｜     1     … 1：腸；i ⑪：8111i O．0210i 。．。569 I O．0223i O．0297i O．03591     …     1 1．922 0．866 2．788 0．2457 ｜ ︷

｜

05

18

281

Ol∩∠34

ξ﹂111A11

1234122223

︹∠34丁−︵∠

33344

34123

44﹁く∨55 4丁5∼︾r︶’︶

55123

E（x） E（Y） E（x＋γ）

PB

｜

1

i

0．0236 0．0236 0．0229・ 0．0209 0．017b 0．OIO3・ 0．024Z O．026Z O．0305 0．0400・ 0．0789・ 0．0249・ 0．0249・ 0．0236 0．0207 0．028Z O．0292． 0．0279 0．0240・ 0．034ア 0．0361 0．0296 0．0263 0．0494・ 0．0347 0．0292、 O． 0296 0．0389 0．0284 0．0220 0．0148、 0．0404 0．0172． 0．02171 0．0257 1．806 1．226 3．032 0．2233

：24

_T．MAKINO

  3．Some E▼aluations on the Numerical Values of the Mean Blocking ’ Rate PB ．in the Case ofμi＝μS2＝11e． Using Table 1， we get the value of（1−PB）．   These values will be shown in the Table 2．   Let us denote by」PB（M， N）the meall blocking rate in the case where the size of ：second waiting room is 1imited by N．   Then we s㏄that        PB（M， N）−PB（凡ルの ’using the Table 2． Table 2． Numerical Value of eB（＝1−PB）        （forμ、＝陶＝k） 0 0 10．5641 1 2 3 0．6133 0．6374 1 4 5 6 0．6501 O．6572 0．6612

i

0．6635 ∞ 2／3 1 0．6133 0．6705 0．7003 0．7178 0．7286 0．7359 3／4 2 0．6374 0．7003 0．7340 0．7543 0．7676 3 4 0．6501 0．7178 0．7543 0．7767 0．6572 0．7286 0．7676 4／5 5／6 6／7 5 0．6612 0．7359 7／8 6 0．6635 8／9 oo 2／3 3／4 4／5 5／6 6／7 7／8 8／9 1   The fact pointed out above may also be clear by the argument that the revers− ：ibility of［M．P．T．（Mean Passage Time）］holds．   To evaluate the effectiveness of the waiting room， it is convenient to calculate the achievement rates．   Where the achievement rates are de丘11ed as fbllows；        A≡孟1吉1麗吉吉鵠（8）も）｝       M，ハr→。。       22        ｛1−P8（M，1V）｝−       39        17      ，       万       ・・≡li量1譜謬2吉甥1。1）1）｝        M→。。       22        ｛1−P．（M，N）｝−       39        1V十2  22    ’        1V十3  39

ON AN EVALUATION OF CHARACTERISTIC BEHAVIOR CONCERNED

2∫        ん≡1、蓋1言i耀識吉≧碧1。1）1）｝        」v→。。       22        ｛1一PB（M， N）｝−       39        M十2  22   ’        M十3  39  The numerical values of achievement rates are shown in the Table 3．   Now Let us discuss the property of the system using the numerical values in the・ preceding tables．   At｛irst， consider the probability       Q・（M，N）≡1−PB（M， N）， that the first station be not in the blocking state．   From the property of the system， we see easily that the follOwing formulas hold：

       ・・（…）一誇…（…N）一芸i…（M，・・）一鵠

  Now， we shall compare the value of（2．（M，1V）with above values， notillg that二 the value of eB（M，1V）is monotone increasing with the values of M and 2V．   By using the Table 2 we see， fbr example，        （∼B（0，4）＝0．6572． Table 3． i） Numerical Value of AN Achie▼ement Rate（％） （forμi＝二μ2＝k） ’、

DxN

        ＼ 0 1 2

0123456

1

1

1

00．0 00．0 00．0 00．0 00．0 00．0 00．0 48．0 41．8 38．7 37．0 35．7 34．5 71．5 63．6 59．6 56．9 55．2 3 ₄ 「 ・  90．8

i 84．3

 

i80・1

1

5 83．9 76．4 71．9 69．1 94．7 92．6 6 96．9 ii）Numerical Value of AM 0

0123456

00．0 48．0 71．5 83．9 90．8 94．7 96．9 1

1

00．0 41．8 63．6 76．4 84．3 92．6 2 ．｜ ︽ 00．0 38．7 59．6 71．9 80．1 3 00．0 37．0 56．9 69．1 4 OO．0 35．7 55．2 5 6 。。．。1 34．5 00．0

26       T．MAKINO

  This value is close to the value of        2       ρ・（o・°°）＝了・   In other wards， we s◎e the achievement rate b㏄omes go．8％．   Therefbre， in practice， we can conclude that if        M＝O， 1V≧4 寸hen the system may be treated that with the third station which is assumed to be ．an independent channel．       〆   On the other hand， f（）r fixed M（or 2V）the values of       ．警）（・・￥／x））  ’ ・ べwill also be a measure of the effect of the waiting room．      ．   4．Ergodicity of a System． The necessary and sumcient condition that the sys一 寸em be in steady state is discussed very often．   So， we shall consider the relation between the condition of ergodicity and［M．T．P．］． At first we are going to study the ergodicity for the system with two phases which ゴssimilar to the system treated in the pr㏄eding paragraph． That is，     ．『       1 ．一一・−       1        ；i        i

     穰e鵬：⇒・・rs・・ta…n→・・…nd q・…i→・・・…d・ta・…！⇒・咽

       （wa輌ting room）       Fig・1   We have already calculated the［M．P．T．］ρn the above syst㎝．   III the study of the system with above structure， we supposed the probability that the且rst stage be in empty to vanish．      ・   But we usUally treat the system with the following model；       ；      −1 【       i       l I・p・・⇒

w一し竺・……n］→じ…ndq・・u・−i・・c・nd諏…ni⇒…p・・

       qUeUe      （Waiting rOOm）       Fig． 3   That is， if a customer arrive to the system at the time where the丘rst stage is in busy（or block）， then the cuStome士have to wait in the丘rst queue． Where the ］ength of the丘rst queue may be infinite．     ・   For simplicity， we shall assume that the customer’s arr輌val distribution fbllows Poisson distribution with mean arrival rate R．   Now， put       ρs＝λ［M．P．T．］．   It is clear by the preceding results that if the system is ergodic， then        ρs＜1

ON AN． EVALUATION OF CHARACTERISTIC BEHAVIOR CONCERNED

27  holds．    Thus we shall show ollly that if the relation        ρs＜1 holds， then the§ystem is ergodic．    In order to prove this statement， we wi皿use the fbllowing Foster’s Theo］rem［2］，    Lemma（Foste〆ぷTheore〃1）    」Let       （Pij）   （i，ノ＝0， 1，2， … ） be the in17nite st・吻ぷがc砲〃Zxσ’んwεm．メ〃ぴe吻〃a∬醐θ’hat the s［ stem is irredticible and aperiodic．    The syste〃τis ergodic if there exiぷtぷanon−〃egati昭solution of the inequalitieぷ       

．       ΣPiiy；一≦γi−1 （iキO）

       ゴ＝0  ぷueh that              ΣP。ゴyj＜◎。．       ト     Then we have「the fbllowillg Theorem．    ［Theore〃T］    The system is ergodicぴ        ρs＜1．    ［PROOF］      x（’）………the size of first queue at the instant’．        （include a customer be in first station）      y（t）……… the size of s㏄ond queue at the instant’．        （inc1Ude a customer be in s㏄ond station）    Letτ1，τ2，… ，τn，…うdenote the．instants of the su㏄essive departures from the  丘rst station．    Define      ’       x。−x（τ。＋0）       み＝y（τ。−0）．    We assulne the Poisson arrival and the．exponential servi◎e distributions．    By the symbo1（1，〃1）we denote the state        the size of the五rst queue………（1−1）        the size of the s㏄ond queue… …（〃2−i）．    The process        z。・＝＝（Xns Yn） fbrms an aperiodic and irreducible Markov Chain．    So， we consider the transit輌qn probabiHties to all possible states from tlle states （1＋1，0），（1＋1，1），…，（1＋i，M＋1）．    That is，

28

_T．MAKINO

（1＋1，0） （1＋1，1） （1＋1，2） ．●● （1＋1，i） ⋮ （1＋1，M） ︵O。、︶ （〔 g、︶

00

丘

10

ゐ

10

丘

褐

え司褐 ︵N。∼︶ ︵否、∼︶ ・ ． ・

・1・L

     1た

00

0

00

丘

10

た

1

i

（一 {ミ．じ 0 0 0  ．   ’      kt＋11 k8 k3’11 kS−2i ，瑠＋’1

｛［

嚇一1ピー・

H

  L

    l      ］、         F l  l  I 0 ︵O．一ま︶

11

瓦

21

丘 1k？ k｛＋1 ﹁ （】 ｲま︶

10

ゐ ︵N．︼＋、︶ 0

01

瓦

11

此 （否 ﾐ一ま︶

21

左 ●81 丘

01

瓦

11

瓦 （一 {ミ、［ま︶ 1 1 ︵O、、＋、︶ （〔 D、ま︶ 、 ｝ 「 0 0 k｛“i 一2 ・81 た 0 ‖U 0 ー＝

ー

0

i一

0

︸

ー

    1−1ー．．ー

1駆9

1渥・｝

1

2．豆 丘 3◆フ 丘

た81iた㍗・同ザ十

ロ

ー2

ﾟ

1：m堰c  k；一一1 ］i’ ︵N．、ま︶ （ひ D、ま︶ 0 0 0．ノ 丘 0 ． ． ．

1

−’﹂ ん 1 一 ・3．﹂ 〃 ，‘・7’ 瓦 0．’ た 2 一 ・3．ブ ん （一 ¥ミ．、十∼︶ 0 0

L

0 0 liザ＋1｝ザ1ザ一ll  i i ザー21 1一 た 0．﹂   Whereん∼is de丘ned as the conditional probability that the number of arrivals to the first queue is／and the number of departures from the second stage is匡between the time of the dCpai加re of a customer and the time of the next customer departure 丘om the五rst stage， co皿ditioning the states be in（1十1，0），（1十1，1），…，（1十1，ハの at the time of the departure of the fbrmer customer from丘rst stage．   Pr㏄isely they must be written as        kノ（1十1，0），kji（1十1， 1），… ， kノ（1十1，ルの．   However， we shall omit the symbols in（ ）， since confusion will llot occur．   Let        P｛1＋1，ml｝，σ＋∫．御る｝ denote the transition probability to the state（1十ノ，〃！2）．from the state（1十1，〃1）．   Then the symbol in the table above means       、．        Pσ．・．m、），α。∫．m，）−kim・ト1−m・（1＋1，〃1・） （f（）r m・＋1≧〃1・）        −0      ’（for〃1、＋1＜〃t，）．   Now we put        び”＝（M十1）x鈴十ア％．   Thell the process｛vn｝is equivalent to the process        ．       ・   Zn＝（Xn， Yn）．   Therefbre， the｛（M十1）（1十1）十i｝−th row of the transition matrix is shown as fbllows． State    …    i（M＋1）       （M＋1）

2i×1＋ぴ×1＋1

   ‘ （ハイ十1）（1十1）十i

［

1 koi＋1 kol （M＋1）L＿．』 ×∼＋2

P1

koi−1

i嬬R。畑！、

l  l

⋮ 1 kji＋1 kji （M＋1） ×（1＋ゾ）＋2 kji−1 ● ・ ・ ● ・ ・

ON AN EVALUATION OF CHARACTERISTIC BEHAVIOR CONCERNED

29   Let       ρs≡λ／μs， using the value ofμ5． Whereμs is a r㏄ipr㏄al of［M．P．T．］， i．e．       1       μs＝［M．P．T．］’   The distribution function of the passage t㎞e through the丘rst stage conditioned the state of the system be in｛（M十1）（1十1）十匡｝is delloted by珂［（脇1）ぱ＋1｝÷ξ｝（x）．（The subscript｛（M十1）（1．十1）十i｝will be omitted later．）  −   The probability」Pn that there wiU be precisely n new arrivals during a single occupation time fbr the丘rst stage is

     ．・  Pn−s：e−…（λ詔”跡ω・

  And        ヨ〃・⇔ヨ｛・・1：e−…（λxln！）1・F（・）ト・・∼：・・在ω≦…   Letting       〃・・・…一・一・・＋・一…−u−・一・r三ρs（・≧・）・ we can see that the condition of the Lemma（Foster’s Theo醐holds．   B㏄ause the inequalities in regard to｛（M十1）（∫十1）十匡｝・th row，         co         Σρ《∫μ」＝ク〔M．1｝“．・）．‘，（M．・）1・U（M．・）汁ρ（M・・｝σ・1｝・《，（M・1）ハ・1’U（M＋・）鍵・・＋’・’         ∫＝0        「』，、・［1・｛k♂・・＋k・・＋…＋k・・）＋（・・‘＋1＋k・‘＋…＋k・°）＋…｝        ＋墓ノ・（・ノ・・撒…＋k・・）］        ≦1−，、（’＋・・）イ圭；、−1−・・…）…−1・

and

      eo        Σρ。∫〃」＜。◎        ∫＝O holds．   This complete the proof．   Thus we can derive the ergodic condition fbr the two stage system from the value of Mean Passage Time．   In the case of no waitillg room， we n㏄ed皿ot to take into consideration that the service distributions at two stages are exponentia1． However， in the case where the a皿owable maximum size of the waiting room is equal to or greateぱhan one， we assumed exponential service distributions． This assumption has an advantage when we observe at the rellewal time instant， the probability of finishing the second stage service is independent of the past history of．the system．   The results obtained are easily extended to the three stage service system（ass㎜一 ing exponential service）．

30   ‘       T．MAKINO

  The procedure of analysis fbr the three stage system goes on as fbllows． ． ・・p・⇔

P鑑一睡1一麺Llミ翻ト…聯…−i＝…⇒…p・・

       queue      （size：・M−D       （size：∧r−1）       Fig． 4   Similarly to the two stage system， we use the notations       x（’）…・…・・the size of the丘rst queue       ’       （include a customer being served）       y（t）……… the size of the second queue       （include a customer being served）       z（’）……… the size of the third queue       （include a customer being served） and de丘ne       』       ・        Xn−x（τ。＋0），γ。一γ（τ仁0）， z。−Z（τ仁0）．   Considering the random variable       Vn−（M＋1）（N＋i）x。＋（N＋1）Y。＋z。， this process is equivalent to the process（xn， Yn， z．）．   And in this case we． putthlg ．        n       U‘M’1｝（脚力＝U（酬N＋1｝カ＋1＝＝’”＝U・M・・）｛N・…＋M⑭「一ρs instead of        U（”＋1’”＝U』’・＋1＝1”＝u・M・…＋M＝了二万：・     ’ we call conclude that the necessary and suMcient condition that the system be ergodic is         ．       ρs＜1， since ｛ui｝ is a non−negative solution of        co       co        ．Σρi∫物≦Ui−1 （f（）r i＞0）， ΣP。iuゴ＜。。．        FO      j＝O   In general， we can obtain by the similar argument， the ergodic condition fo’r the mUlti−Stage SyStem iS   ．       ρs＜1．   That is， the ergodic condition of a system is obtained easily using the value of ［M．P．T．］．』  Jn conclusion， the author wishes express his gratitude to Prof． Y． Tsumura， Asst． Prof． K． Hayashi，． Dr． H． Hatori and Mr． E． Suzuki who have given valuable advices and suggestions to h㎞．   Appendix． The Table 4 shows numerical values of（1−」PB）， that is， the maxh皿um utilization factorρm。。 for various numbers ofルf（0∼3），1V（0∼3）andμ‘（’＝1，2，3）．   Now let us note that        、・’：’

ON AN EVALUATION OF CHARACTERISTIC BEHAVIOR CONCERNED

3r．       ［M…i・コ「寺・］、 holds．   （Where PB denotes the mean blocking．rate at the丘rst stage．）   The fbllowing descriptions ca皿be derived from the Table 4；   In the case where the order of service stations are interchangeable， we can recognlze that the maximum Value Of pmax iS obtained by aSSigning the ServiCe、which has max−・

i㎜ms瓠vice rateμξ＠＝1，2，3）to theぽond stage．

  This statement in a㏄ordance with the description in［21エ   The calculatiOns fbr the Table 4 was cut in haif， b㏄ause we assumed that the， reversibility of［M．P．T．］is satis丘ed．   The fb皿owing is an example．   The Mean Passage Time and the mean bl㏄king rate in Figure 1 are described as ［M．P．T．（1）コ・・d P．（1）・esp㏄ti・ely，・nd i・F迦e 2…［M・P・T・（2）コ・・d P・（2）・   Thus we have       ・−x（・）一÷・一（1）・ since        ［M．P．T．（1）］＝［M．P．T．（2）］ holds．

（W…eρ一・ω一1−P・⑦（f…−1・・）…一＝‘1）・   ’

  ［EXAMPLE］   In the case of       M＝O， N＝1， XL1 ・＝ 1， μ2＝1．2， μ3＝1．4，

we have

       ρiitax（1）＝0．6988， using the Table 4．   Therefore， in the case of       M＝1， N＝O， μ1＝1．4， μ2＝1．2， μ3＝1，

we have

       ・一（・）r！、…6988・・一・・4991・ In thiS way， if We knOw the value Ofρmax in the caSe Of        M・−i，N一ノ， then’翌?@can easily obtain the value ofρ皿ax in the case of        ルt＝ノ，N＝ i．

T．MAKINO

32

OOON卜箇●N寸一②ooい一〇

ひひo②嶋o●寸←吟oの寸o

_{ぬooひ②N←oひ崎←Ao−o}

th寸嫡②←r∼oo◎o oo o◎ooひ・o

・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ …   ．ひ ・

       一

8

oo一寸ooo一寸い②②ひ一N

←めNぬ一め←［寸一ぬトトo

ぬoo ooい一め◎〇一否め②←o◎←

否寸い②卜←←◎o．oo oo oo oo．

・ ・ …   ． ・ ・oo ． ・ ． ・ひ

゜。 DN

いo吟NNめ寸［〔ooo■ひN

②寸othooo∩ひo←ON一寸

い◎o◎oめoぬ◎oo否寸②←oo②

th寸い②卜←←oo oo・◎o・◎oひ

・ ・ ・ ・ …   ． ．o◎ ． oo ． ．

②．N

o◎o寸ひ、◎画②一吟一ゆひ否ぬ

ONooo寸②◎o寸寸一寸いぬ②

吟co←めo寸卜ON寸嶋②トめ

否寸い②卜←卜oo◎o oo oo◎◎ooひ

寸．N

否一←めσ、oo寸寸めぬ←卜◎oぬ

い一ぬ②ひON←←否②ト②②

いoo←寸ひ寸←ひ一■寸い②マ

th寸い②②卜卜←oo◎o◎o◎o ooひ

N．N

否ひ一いトぬn②ひい否ひ。。否

寸OO N一め［寸oo←［“）②ぬ箇

のト←寸ひ否◎OOONm⑰い∩

［寸頃ゆ②卜←←oo oo o◎oo ooひ

O．N

ooo−oo寸ooいoo［否いo一〇〇

のぬ←寸ぬ否め②いONPt一い

頃卜②而OONめトA−N面寸一

否・冶ゆ②←卜卜卜oo◎o o◎ooひ

・「

轣@・ 呼 。 ． ． ． ． ． ． ． ． ．

oo D一

一ぬN寸ひぬト←N的◎o寸■o

一一〇い面Ooooo◎N画否一N

い←MりN←−m②←⑳o−N⑳

th寸1ハ●②卜←卜←卜OO◎O◎O OO

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否∩∩Ptooo一い℃②一ひNN

ooめON←Noooo寸卜o◎●寸ひ

寸②ぬ一いひ一否い②卜ooひい

め寸ぬゆ②ゆト←卜←ト←←oo

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