A CAUCHY TYPE THEOREM ON ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS AND ITS APPLICATIONS

SUT Journat of Hath●ロat ics （Pormerly TRU 盟atllematics） ▼01ume 26， 貰田ロbo苫 1 （1990）， 69−88

     ACAUCHY TYPE THEOREM ON ORDINARY

DIFFERENTIAL EQuATIoNs AND ITs APPLIcATIoNs

ToMINosuKE OTSUKI

（Recei▼ed February 27， t990； Revised Hay 14， 1990） Abstract． This paper presents a Cauchy type theorem on ordinary differen− tial equations and its applications in the theorey of geodesics in spaces with general connections・ ∫980Matb￠πじ4‡‘c8 subject classification（1985 R￠ガ‘8‘oπノ． Pr輌mary 53CO5，53C22． Keywords． Cauchy theorem， geodesics．

§0．Motivation．

  Let．Mn be a ll n−dimensional manifbld with a n afiine connection r       ， which is represented in local coordinates x l，x2，…，xn as

r一Σ￡、

    i ⑧（d2x‘＋Σ rl、d・i⑧・d・h），         」，九 where d2 xi are the differentia1 of xi of order 2． Then， any geodes三c 70f （Mn，r）is given by a solution of the system of the ordinary differential equations of order 20n Mn：

d2xi

    十 ∂32       あ九     i＝．

Σr；、

    ds ds       ● 1，2，… ，n7 dxi’ dxh        ＝0，

where s is an affine parameter of 7 and determined皿iquely except

af丑ne transformations． SupPosing a su三table di丑εrentiabiHty of Mn and r，we can expect the differentiability of 7 depending on vo∈T．。Mn，

vo＝7’

i80）， by mea皿s of Cauchy−LipsChitz Theorem， which per｛brms the essential role in the theory of geodesics of mani丘）1ds with a伍ne

comections． Under the scheme of a田ne comections， there d6es not

occur the phenomenon such that all or a proper subset of geodesics near a smooth submanifold with at least 2 codimensions are absorbed to it．

69

70

C▲uC宜Y TYPE THEOREIH 、﹂   As a・meanS of tfeating the ab㎝e phenomenon， we℃o磁der a general cohhecti6n r・011；Mタ， which ｛is repreSented二as∵；二・…’、’1：・：＾．こ       r一Σ∂9X輌⑭（ΣP／rd・・」＋Σr；・d・」⑧・d・h）・       ‘      j       j，九

皿d恥・・he cbm・・n・n・・6f…n…丘・1δP両・・（・，・）・fM・・A・y

geodesic 70f（Mπ，r）is given by a solution of the differential equations：

     “  Σ巧餐＋Σr；、誓誓＝o，

      」        あ施        i＝1，2，、・・．，n．・ L・tQ一Σ・，」∂x’⑧Q｝d・’ b・皿y t・n…丘・ld・f typ・．q・1）・f Mnl Then・ 7is a拓o a geodesic fbr the general co血ection       ”

      Qr一Σ∂x’⑧（ΣQ財d2・」．、， ．、．

       ‘     k，」        ．＋：Σo沽4爽4♂）∫．一．』∫ ’一        夫，」，九 with th・・am・affin・p碇可・ter・ごW・d・n・t・t坤・t・f p・i・t・， wh・・e        P＝Σ∂♂⑧申♂        、 ； ． 、、．8，，J I are degenerate，・by sing r． Jf sing r≠’・のand 1レfn．−sing r≠0， then ageodesic of（Mn，r）inハイπ 一sing r is’alsb a geodesic Of the．afiine co皿ectiol P−1r． Therefbre the above men七ioned phQomellon can ap− pear fbr subma皿ifblds includedl in sing T． In．order to treat geodesics staエting f士om a point Of sing・r，1We have tg consider a Cauchy−Lipschitz type theorem as described in§2． §1・FigulresΩ（v，6）and◎（”，θ）・   For positiveξeal．草umbers、αa屯d b， we define， ap． aiiXiliary，6gUre on the ⑳駿Plaロe鍋   ・  ・’  ご   ．．．  ．．、．    ．、

⑲’∴1．．Ω⑭〒．「U B2i（（tα，0）・i？a2b）・．’

         ㌧．、一’、 、 、o≦t≦1．『 where B2（（xo，lyo），r）den6tes the open disk of・・radiusアwith center （’xo s Yo）． For tih6 fa mily’of circles with paτameter才   ・ 『』     ・        尾・（X−t・）2＋y2＝t‘a4b2，

T． eTSUKI「

71

蓋esee’㎜ed’ately血a趾r°卿ρ〒（°・°）’s°uts’de Kf’f a”d・gn’・

（1・2）     ． b〈は三・

   r W・・btai・・a・ily th・ ・ny・19ping⑰Cγ（t）・f K・ in・th・upP・r・h・Jf・plqn・

：y＞Ois given by

（1．3）      x＝ta（1−2t2a2b『），  y＝t2．a2b  1−4t2a2b2        1  0．5        f‘）r O＜t〈    ニー       2α6        α6

and

（1・4）    ’）’（2i6）＝（；・0）

is inside 6r outside Kl fbr己b＞ ∨写デ10r』o＜ab−〈 ∨タデ1，、respectively二 Since we have from（1．3）

（・・5）書一・（・−6t…6・），誓一4t…6・（・−6・・α・b・），

we see that （1．6）    ．       ． 、 xごand  y．興e ：／        −  1    0．40824…

      ≡°d≦畑r，．・・b，

（・・7）    、」㌦濃一握    、、．

皿d

_{@11（』1∨「t6ab）一認）・∫，1：：}

is acusp of’）’． N・xt・we c・n・id・・、th・9。pditi。n th・V 7（t）i・・曲・｝Er・the cu随μ＝bx2， w］hich is equivalent’狽       1・“’4t2−a2b2 …（i−2t2a？b2）4＞0

72

CAUCHY’ISPE’T血OREN 丘om（1．3）． Setting X＝2t2a2b2， the above i血equality is equivalent to

2−6X十4×2−X3＞0． Since the cubic equation of X：

      2−6X十4×2−X3＝0        ・、、 has the uni（lue real solution Xo r・き（4十（3∨短一17）113−（3y短十

17）1／3）＝0．456… and∼／耶＝0．477… ，we see that

（・・8）  ’・’（t）i・ab・v・・h・P・・ab・1・．y一垣2        0．477…        f（）r O＜t〈        ab and the cut point of’）’and the parabola y＝bx2 is given by

（L9）｛；：曇蕊x堂〉☆・

  Last， we investiga七e the position of the cusp 7（1／∼n6αb）of the curve． 7」for the circle K1． Since we have

       （壽一う2＋（爵）2−a・・b2

      −・・−2壽α＋、；t、一・・b・       −3；6，（36・・b・−8％・b＋3−36・・b・）       −3；6，（・−VE。b）・（3＋砺・b）， we see that

（・…） ・（詰。b）i・・u・・id…i・・id・K・・

      1        1       if 76＞ab°「7E＜ab・ 「espec‘ivel・’・

F瓢ly， wh…b≦圭，’w・hav・輪m（L3）孤d（1．5）’「

D、

       7（1）＝（・（1二2α2め，・2b 1−4α2，b2）∈K、

T．OTsuk工

73

and at 7（1）

坐血

2a4 b2（1−6α2 b3）       ／a2b  α（1−6a2b2）

1−4a2b2＝

2ab

       ●

1−4α2b2

Noticing these facts， we obtain the graph of 7 as in Fig．1．  Now， we de丘ne an analogous figureΩ（び， b）in Rn fbr v∈Rn， v≠0， and b＞OtoΩ（α，b）in R2 ’by （1．11） Ω（V，b）−UBn（t・，・t2・“vll2b），        0＜t≦1

andf‘）rO＜θ＜9

（1．12） _{◎（”，θ）＝｛x∈Rn−｛0｝；} ∠（x，v）＜θ， x・v≦1回12｝． We denote the sets obtained fromΩ＠，b）and◎（v，θ）by the parallel translation from． the origin to a point p by Stp（v， b）and◎p（v，θ）， respec− tively． Fig．1・ y

711循αの

         7（品） （i）き≦・6＜1 Y＝ bx2 Ic1

y

_y＝6♂

γ（1 1 7（1／vliab） α     κ1 γ（ 2α6 ）・ ￠ （ii）0・477…≦・b＜｝

74

C▲ucmr TYPE THEOIunI

y＝6エ2

1 y・ r κ1 γ（1／v’Gqb）

／

（1． @ ，γ 0〃7・・

@αb

1_‘ 1 α

0

γ（語）∵・ 工

（iii）吉≦・b＜0・477…

、． 工 1π． ♂6 ＝

y

≠ 1   ⋮  77訪，／  4      ／ T  ・      ノ5   04ブ7 ’ ，  ’  ，’ ︶  ’   ，r．皇．  ’         ，7雨 ‘㌃一46二  ’︶．⊥鋤駅 ゜﹁︰﹄、 ﹁     吟 f 芦 、τ び ’

0

       c、・．（三・）牟く・b＜毒

§2・A CauchY ， ype theorem on otdinary di丑brential equations・

 Letσ⊂Rn−a丑dγ⊂Rm be connected open subsets and W⊂σbe

aO1−subma tiifold with dim VV＜n． Let 『一．       F：  σ×γ→丑π ・aπld  G：． （び一『］レ1づ×γ→Rm

1T・．’OTS研【1 be・Oi 7mapPings，、We．consider、．the differentia1 equatigns

（2・・）  誓一鞠い一・，…，・，〉

      篭α一σ・⑭α一1，∵二担，

where F＝（Fl，… 1）Fn）and（7＝（G1，… ，Gm）． SinCe F and C are．C1− class， it is clear that（2．1）has．d unique solution（xi（り，Yα（り）through

xo∈σ一W， yo∈γand d6pending on them of O1−class． We want to

treat solutions through xo∈W， yo∈γ． Fbr this purpose， we consider’ theπ二vectors and lm−veCtors as fbllows：  …         「

      ’ ・・Fi−（莞・票・…・勤 

’，

      ∂・Fi〒傷・1曇・…・蒜）

onσ×γand

       ∂・G・一（∂Gα∂σα ∂σα∂Xl’∂￠2”∂Xn）・

      ∂・c・一（蒜α・蒜α・…謝

・n（σ一w）×γ．

 ．Now， fbr a point（xo，yo）∈W×γwe suppose that．

（22）    ’・F（・・，y・）￠Tx。死1

And fbrδ（0＜δ＜1）andθ（0＜θ＜琴）we suppose that

（2・3）｛9：ll：：1荒。（霊1三㌶。，，。）II，θ）∩W一の

a皿d （2．4）         ll∂xFi ll≦NI  and  II∂y民ll≦N2， （2．5）     ．  ”ll∂llGαll≦ハ41 and  ll∂診Gαll≦ハ42’，

for i＝1，2，…，πandα＝1，2，…，mand

（2．6） liσ（iC，y）一：H（。。ly。llk L、11。一。。ll＋L、11；二y。ll・・    ・n（Bn（X。，δ）∩◎。。（F（￠。，’y。）／llF（￠。，y。）II，θ））×Bm（y。，δ）． 75’

76

C▲UCHY TYPE r EORE貰 The condition（2．4）may be sti ppot’ted．naturally丘o血the condition for Fbut（2．5）and（2．6）are essential and additional requirements f（）r G． （2．6）imp五es       ，  ｝鴻G（x（t）・y（t））＝∬（Xo・yo） fbr any cllrve￠（りstarting from元o and ’ih       Bn（Xo，δ）∩◎xo（F（x6，yo）／11F（￠o，yo）‖，θ） and y（t）starting fξom yo inγ・ THEOREM 1．砺tder the condition （2．2ノ∼イ2．のt九e system Of differ− ・nti・1・gu・ti・n・（2．1ノ克・・a unigu・ s・luti・n（x（t），y（t））for O≦t≦δ・ witんx（0）・＝x。， y（0）＝y。， wん…δ3 i・α迦加・c・π吻励娠・九i・ deterη｝ined編the beginning｛ザ‘九e proOf．   PROOF． We use the method of So called Cauchy approximation．  R）r simplicity， set七ing κ＝max｛1V、，N2，M・，M2，L・，L2｝， E＝：mα￠｛llF（Xe，yo）ll，llH（XO，yo）ll｝， letδ2 be the positive number such that

（・）  δ・＋δ砺κ一嘉

and b be the constant defined by （2）．

@b4榔襟毒癖）Kδ2）・

where g is the function： （3） 9（x）＝：

（eX−x−1）

−占一り白

X2

f（）rX≠0，

for X＝0，

which is／in O＜X＜∞． In the following， we ．may．put K≠0． Then， we choose positive constants夫o andδ3’such that ko as fbllows： （4）Ω・・（k・F（x・・y・）・b）⊂Bn（x・・δ）∩◎・・（F（x・・y・）／IIF（x・・Yg）11・θ）・       1       ko llF（XO，yo）llb＜

T． OTSUKI’ andδ3 a8 fbllows： （5） δ・≦mi・｛llF（。：，。）II・ll恥1，，。）ll・先・｝・ （6）      ． tt    δ3≦δ2，

（7）    δ、（∨⊆＋㎡㌃）K〈1，

（8） δ・＋緬κ＋1緬砺＋＞tll）頁・≦嘉，

where we omit the second component in the right hand side in（5）when ∬（XO，yo）＝0．  First， we put （9） ・（1；t）＝x。＋tF（x。，y。）， y（1；t） ly。＋田（・。，y。）      f…≦t≦mi・｛    δllF（x。，y。）ll・llH（。1，，。）ll・k・｝一・δ・・ 丘om which we see       x（1；t）∈Bn（Xo，δ）∩ΩZo（瓦oF（Xo，yo），6）

and

       y（1；t）∈B”1（yo，δ） fbr O＜t≦δ1． Then， we defi已e x（2；毒）and y（2；t）by

（・・）ぱ；：；1綴lll；：19111㌃

       ＆）rO＜t≦δ1， whe・e we put c・nventi・nany G（x・．， y・）＝∬（￠・，y・）・Then， we・hav・      ・（2・t）一・（・・t）−f。t｛F（・（…）・y（…））−F（鋤｝d・ and， fbr the components， by（2．3）∼（2．4），（4）we have 匡（2・り一・1（・・り1≦f，‘IFi（・（…）・y（…））一恥・・y・）ld・          ≦f。t（N、Ilx（1；r）…ll＋’N・Ily（…）−y・・11）d・・          ≦；（N・・11F（！・，y・’）II ・＋ N・ 11H（q・，・・）ll）≦t・KE，

77

78

_{CAUCHY−TYPE THEOREH}

a取danalogously

−−y・（…）1≦ル・ll・（…）一・ll＋・L・U・（…）−y・IDd・

       ≦姜（L・llF（・・，y・）ll＋L・llH（・・，刷）≦醐 theref（）re we obtain

（・・）  ｛ll㌫：榴1ほ：濃霊

We have七〇 check whether x（2；t）（t＞0）belongs to the above mentioned domainΩエo（ko F（xo，yo）， b）． We see that the condition：        t・∼／T・1〈E〈lblltF（X・，y・）ll2 is equivalent to       b＞2∼㌃KID／llF（Xo，yo）ll2， which turns out by（2） 2P（（．vlli＋V偏）Kδ2）＞1 and is satisfied§ince《ρ（x）：＞1／2 f（）t X＞0．‘We haVe also        t・    t         tF（X。，y。）＝−k。F（X。，y。）’冨aPd冨≦1 fbr O＜t≦δ3． Regarding y（2；．t）， by（1）we have

二 ． ．㌍（￠。馴＋オ2v㌃斑≦Sδ・’

f・r O〈t≦・δ2・H・m（11），we 5・e that・…  ．

（・2）｛溜：霊器翌：蕊：∼蕊㎞’y°）’ b）’

for O〈t≦δ3． N・w・W・d・卑・三・d・・t‘・・1y

（・3）．．，｛㌶：㍍麗3㌫

T．OTsbi【1

      f・・O〈t≦δ、，元≧2，

supposmg

（14） x（」；￡）∈Ω。。（k。施。，y。），b），’y（」；t）∈B柵（y。，δ）

and

（15）    ll・（元；t）−x（」−1；t）11≦美繭砺＋〉’EI）」−2K・”1E・ 〈16）    lly（」；り一y（ゴー1；釧1≦そ毒」〉㌃（∼nn＋∼偏）」−2Kゴー2E・ Th㎝， w・・b・・i・fr・rr｝（・4），（・5）・nd（・6）as・brf・・e’   llx（」＋・；t）−x（ゴ；t）II≦（」辛、）！毒」＋1Vli（va＋石）」“1K」E・   1，1・y（」＋・；t）−y（ゴ；釧1≦（」』、）！老」＋1石（∼偏＋嘱）」一’K」E・・ from whi，ch we obtain l随＋・・り一・（・・釧1≦2・2・V’EKE｛i＋☆（N／’fi＋・／Tm）Kt ＋4÷2（（・，，，’lil＋砺）2＋…＋（ゴ辛、）！（（V’E ＋ “v／FI）Kt）・一・｝

         ＜2t2＞儒KEg（（∼濡＋∨li）1〈t）’

    ≦2緬κ勒（（、En＋、偏）κδ、）f。r・〈’ t”S 6、．∴

糀s㏄th就th

秩@O・di・ti・n・・      2t・，偏叫（（、nn＋両κδ，）≦ibll・F（。。，y。）ll・ is equivalent to      b≧4・、／liKEg（（vCI’十vi”）κδ5）／11F（。。，y。）ll・， which turlls out

      9（（砺＋、ZTm）Kδ、）≧ψ価＋而κδ、）

79

80

CAUCHY MH THEOREH

1）y（2）and satis丘ed by（6）and the inCreaSingness of g（X）． Therefbre

we obtain

        ・（」＋1；t）∈Ω。∂（k・F（・・，y・），S旬       ⊂Ω。。（k。F（￠。，y・），6）fbr Od≦δ3・  Next， we obtain analogously fbr O〈t≦δ3

        11y（」＋1；り一y。ll≦tE＋オゴ∼／TmκE°

＋1￠・・噺＋嘱）κ2E＋…＋昊・」・品＋・／Tm）」−2κ」−1E

       ＋（ 2」＋1）！・」＋1＞’li（G＋石戸一1頁」E

     ≦｛63＋δ妬K＋iδ妬（va＋・「・）κ2｝E

       ＋2δ・・n・｛6δ9（・／’1＋・，，／EI）2κ2＋…        ＋（」：、）！δ1（・nn＋va）・一・κ・一・｝KE・

When j＝2， we have

         lly（3；t）−y。・ll≦｛δ、＋δ9V’FIK

        ＋1δ9・“＋・n・）κ・｝E≦；

by（8）． Whenゴ＞2， we have『’・

   lly（」＋…）−y・ll＜；＋2δ1・ITm｛6＋…＋（」』、）！｝KE

      ＜；＋δ（去＋ま＋…）

       δ δ

      5 53  2

      ＜豆＋i互×互＝蕊δ〈5δ

1）y（8）．Therefbre， we obtain    y（」＋1；t＞∈Bin（y。’…δ）⊂Bm（y。，δ）’f…O〈t≦δ・・

T． （rTSUKI．・ Thus， gathering these things we obtain （・7）

o：1：：1：識蹴6Σ．

      0＜￠≦δ、，」≧2：

 Finaily， by means of（15）and（16）we obta桓fbr O＜ガ≦δ3

1＝， II・（ゴ・t）一・（ゴー…川≦v’fil〈E｛⊇9（va＋Wt）κ

        ＋…＋昊δ｛（“・i！li＋va）・一・K・一・＋…｝          ＜v IKEδz｛   2     21＋苗＋…＋万＋…｝

       ＜2（・−2）VliKEδ；

and ana1・9・usly                Σll・（」・り一y（」一・・りll＜2（・・2）石KEδ鍵，       」＝2

which imply

（18）

by u㎡form convergen㏄and

（19）  五mx（」；t）＝x（り and 工im y（ゴ；t）＝y（の  」→◎O      J→oo x（の∈ΩZo（ko F（￠o，yo）， b） and y（t）∈Bm（yo，δ）

         fbr O◇≦δ3．

Th・・ef・re・f「・m（13）・（18）and（19）W・btain ・ （20）

and

      ・（・）…＋f，1F（・（・）・y（・））d・

炸y・＋顯G（x（」；ア），y（」；7））d・

一・・＋ ?Ctσ（・（・）・・（・））∂・    ＋㍊‘｛G（x（」；τ），y（」・・））一σ（・（・）・・（・））｝d・ 81・

82

_{CAUCHY TYPE・THEOREH} fbr O＜￡≦δ3． By means of（2．5），（4）；’（15），（16），・（17）and（19），’we haVe

伽0〈ア≦δ3 ・・、 ＿・．．・ 1．・．

   llG（x（」；・），y（」；τ））−G（，，1（・），y（・））ll   l     ≦∼／Tm（M、 llx（」；・）−x（・）ll＋M，・ll’y（」；・）−si（・）ID＞

    ≦・願妬＋・⑳儲）！・・＋’・（∨㌃＋v偏）・一・κ！一・

     一＋（∫』2）！・・＋2（命石畑＋…｝KE・、

and hence

   ll fot｛G（￠（」； γ）e y（」； γ））  −  G（￠」三）， y（τ））｝dT il    ≦・偏輌＋嚇｛  2（ゴ＋2）！t’＋2（va＋“・／’FII）ゴー1K・−1

     ＋（；＋3）！・…（”，／’E＋疏」＋…｝KE −

   ≦∼偏（〉麺＋∼偏妬）2t3

     ・｛（」：2）！＋（」辛3）！＋…｝KE・ 丘om whi《力we bbtain  ∵．．  ’・’  ・’    ・        訂｛G（・（」・・）・・（ゴ・・））−G（・（・）；・（・））｝d・一・一        ‘ 1て    ∵ ．  ．t． ． ・   ・㌃・

and hence

（2・） ・（t）刊・＋f，‘G（・（・）・・（・））d・・一”“

（20）and（21）・h・w・th・t・’・（t） ana’ y（t）（0≦i≦δ、）iも…1・ti…f（2ユ）． Finally， we prove the皿iqueness of solutions． Let（bl（t），y（t））be an− other solution・We obtain easily fbr X（t）『る（t）−x（t），γ（t）＝y（t）−y（t） the fbllowhg illequalities：∵   ，，   馳…     ． L  ’ ∵       llx（t）ll≦疏∠㍉x（・）lld・ ＋ N2’f，㍉γ（・）‖d・），       lly（t）ll≦VFI（Mi f，1 ’11X（・）lld・＋弓‖y（・）Ud・）・

．T． OTSUKI

83

Setting Z（t）：＝llX（t）ll十IIY（t）ll，we obtain

z（t）≦（砺＋va）Kf。‘z（・）d・

      f（）r O＜t≦δS．’

Setting

ζ（t）イz（飾

we obtain

dζ（t）     ＝Z（t）； ζ（0）＝O

dt

and

fZS，ll！lt）一両・r・）κζ（t）・−x（t）≦・・ Since X（t）is continuous in O≦t≦δ3，we obtain ζ（t）一・xp｛（・，／1＋・偏岡f。’exp｛一（va＋・偏）K・｝・（・）d・・ Which implieSζ（り≦Ofbr O≦t≦δ3・賢om the definition of Z（1）， we have Z（t）≧Oand henceζ（t）≧0． Therefbre， it must beζ（t）≡Ofor O≦t≦δ3，from which we obtain Z（t）≡O and hence T（t）＝x（t） and y（t）＝y（t） for O≦t≦δ3． Q．E．D．

§3．APPlications．

  As an applica土ion of、Theoremユ， we consider the geodesics of a ma㎡一 fbld Mπwith a，general connection r near a point of sing r． We．suppose that a connected component Wm of sing r is a smooth submanifold ’ _盾

dimension m＜π． Fbr a point￠o∈VVm，｛♂，…，♂｝be a local co−

ordinate system near xo． A geodesic 7 through￠o is a solution of the di丑erential equations：      …・         ． ：      ・， （3．1）

ΣP／r

 j

d2xj

ds2

       ds ds       j，九      ．   i＝1，2，… 『，n．

＋Σrl、

dxj｛dxh       ＝0，

84

C且UCHY T1【PE THEOIUIH

Putting

（3．2）

dxt  i

冨＝y

and筈一zi，

the above equations are represented as （3．3） ΣP／r・」＋Σr；・y」y九一〇・ 」     あ九 Differentiating these， we obtain （3．4） Let 7： （3．5）

蹄一一妄（；藷＋r；・＋r；、）yhZ・

● 斥

y

九

y

．．J

y

九 ・8．J

r

∂ た ∂

Σ榔

一

xi＝xi

is）with xo＝（xi（0））and suppose 7’_{i0）￠TXo wm・} 7ca皿be considered as a solution of（3．2） at s＝0・Since outside sing r， det（P／r）ニ： there‘ as and（3．4）whiCh satis丘es（3．3） H（x）≠0，（3．4）can be written （3．6） 芸一｛Σξ1」（x）y九・」       」，ゐ ＋Σ弓、、（x）y九y駆｝／H（司  ゴ，克，斥

by means of the・Cramer formula on determin皿ts， whereξ1」（x）and

ζえ、」（・）・・e・m・・th f皿・ti・n・？f x1，…・♂・and th・1・tt・・i・ sy㎜m・t・i・ with respect to九，先，ゴ．   Putt口19 （3．7） yi i0）＝ai and  zt（0）：＝bi，

we have

（3．8）

Σ・・￡、￠鬼wm

 i

       〆T’◆eTSUkl．kt f−’・       85 and㌧『  ．    7       ．、 ． ・、 ・；．   ：  ・       ，＝

（3．9） ΣP／r（・。）θ＋Σr｝、1・。）・元・元一・㌧㌔’；

      」  、」パ．．．、．、， ’

by（3．5）皿d（3．3）． R・garding di・田wi加1・・，、（3．9）h・・…1・ti・n・6・if and only if         ・anls（P／r（x。））一・孤k（巧6。），Σr；、㈲・」♂）．        」，ゐ Especially， if」円（xo）＝0， then it must be          Σr；、（x。）・」・・−01f・・i−1，2，…，・，       」，克 and 63 ca皿be taken．any rea工numbers．  Now， we oonsider（￠りa取d（yt，zt）as（￠‘）a皿d（Yα）and （3．10） F8（x；y，z） G1（x；y，z） Gら（x；y，z） ＝yt，

tzi

＝｛Σ」，克ξ；」（￠）yゐ2」 ＋Σ」，緑ζjA」（x）y九y㌔1｝／1（￠）

慧（x，y）and Cα（x，yhave）’nThe°「em1’V迦gthen°tat’ ’nThe°「em

（3．11）         ll∂劣F811＝O  a皿d  ll∂ω，z）F¶＝1， （3．12）         ll∂エCl llニO  and  ll∂（y，z）Gl ll＝1， （3・・3）

@幽H蔦艦）・ゐ・」

      ＋蕊艦）ywll・

（3．・4）ll妬，。）GSII−ll（｛Σ・6i，（・）・・＋3Σζ融・｝／ll（・），        i      夫・」        ヨ       ｛Σ 6i，（・）y克｝／n（・））止      ．        ロ        ．        み      ．        、   「

86

CLUCEY．’TYPE T田IOREH With respect to the loca1 coordinates xi，x2，…，xn，

δ（0＜δ＜1）andθ（0＜θ〈g）such that on

if we can choose Bn（x・・δ）∩◎x・（llill・θ）   and   」B2n（（α；b），6） there eXist positive numbers．Mi，」U2，Ll，L2 （3．15） Il∂劣Gi ll≦Ml

and

ll∂（y，z）

and HS（Xo；α， b）as        、 Gi 11≦M2，

and

（3．16）    11G2（x；y，z）−H2（x・；α，b）11 ＜五111x−x611十L2‖（y一α，2−b）ll， then there exis七asolutionsピ（3）of（3．1）such that

t’t_{i0）＝：：x6，} dxi    ．_{d。（o）〒・㌧}

d2xi   ．

_{（o）＝         bt．}

ds2

  REMARK． In the above arguments， it is not so easy三n general to expect that the conditions（3．15）and（3．』16）hold．・If we c6nsider these geodesics 7 as above from the outside of Wm， they must pass through Wm． Therefbre， if all or a proper subseポof geodesics neaエM／m reach at last to Wm， i．e． its a品e par㎜eters tend to十。。， we can not’find the

geodesics of the sarne kind stq七e⑩above Sぱng丘om町． Regarding

this phenomenon， we consider the example as fbllows（【10D．

  Let Rn be the n−dimensionaユcoordinate space with七he canonical

…di・at・・（・1，…，♂）・qd T；・th・Ch・i・t・ff・1・ymb・1・m・d・by・・ym− metric・tens・r g‘」＝σδ元」（σ＞0）as

       rl・−9￥・は（怨九＋舞一譲）

       一え（δ嘉＋鳩一嶋）・

U・ing司＝ρδ｝， we c・n・id・r．・th・g・n・・al cgnnecti・n r＝（・弓，r；、）・n 1∼π．The differential equatiqns of geodeSics of・（Rn，r）becomes （3．17）

d2xi

Pds2

−一σ 十 （Σ・・誓芸一；Σ誓誓・・た      鳶）一・

ざT．OTSUKI1

87

whereσi＝∂σ／∂xt． Singular points of I is the set of the zero points of the function p． Now， sUppqseσandρare the functions of

r＝

and

       ρ（0）＝O  a丑d  ρ（r）＞O  fbr r＞0． Then Sing r＝｛0｝， where O is the brigin gf 1㌍． We know‘that a丑y．

geodesiC 7 around a ro−peighborhood of（∼in Eqclidean distarice iS

absorbed by O， ifρandσsat三sfy the condition： （3．18）    rσt

_1十

_く0    2Pσ

fbr O＜r≦ro．

Now， sillceσis posit三ve7’ 唐?狽狽奄獅

ψ＝logσ or σ＝eψ，

（3．17）becomes as （3．17’）

一；Σ

・駝｛Σξ雲

、誓誓ξ・｝一い一

1，2，…，n， outside O， where xi＝rξi． Fbr r＞0， we Put （3．19）

f（・）イ怨4・一∬°諜）d・．・

then（3．17’）is the equation of geodesics with respect・to，the Riemarmian

comection made’by the metric：

（3．20） ds2 ・ ・f（’） 2d・’d・’・       i

Usingψ，（3．18）becomes

2一r

＞

ψ

一

丁

88

CAUCHY．、 T〔『PE THEOREn

and・hence

’f（・）〉陸＝21・9㌣・’

Therefore， we obtain       2        ∂・2−・∫（「）Σd・’d・’〉睾Σd・‘4♂・       8      8 which shows that s tends to十〇〇fbr、a geo∼lesic 7 in the ro−neibgrhood of O as． r tends to O，｛垣d hence、・弱℃Can not c6nsider g60desics startihg from O in the ordinary sence． We ca n alS’o Check this fact directly from』 （3．17’）．       ’     馳

REFERENCES

【1】N．ABE， Geneずα’connections on暫ector bttndles， Kodai M．ath．」．8（1985），322−329． 12】H．NAGAYAMA， A￡九￠ory o∫geη￠m’re∫α‘i”淘by． generaξconnectionsろ・TRU   Mathematics 20（1984），173−187． ｛3】H．NAGAYAMA， A t九eory o∫ge況．α∫アe’at垣吻by gεπε冗’connections∬， TRU   Mathematics 21（1985），287−317． 【4】H．NEMOTO，0π♂活r￠ntial geom￠try of general connect‘o叫TRU Mathgmatics   21（1985），67−94．       ・ ｛5】T．OTSUKI， On generat connections I， Math． J． Okaya皿a Univ．9（1960），99−164． ｛6】T．OTSUKI，0πgene．α’cennections∫∬， Math． J． Okayama Univ．10（1961），   113−124． 17】T．OTSUKI，0πmetr‘c general￠onneCtio．ns， Proc． Japan Acad．37（1961），183−188． ｛8】T．OTSUKI，ノ1鴛o‘￠oπm￠tric geπer4’connection3， PmcJapan Acad．38（1962），   409−413．      ．． ［91T． OTSUIく1，0n normal genera’connections， Kodai Math． Sem． Reports 13（1961），   152−166． 【10】T．OTSUKI，ノt construction o∫8pαcε8 w瓦‘cゐhave points swa’∫o泌πg geodes輌c3， ，Math．」． Okayama Univ．24（1982），157−165・ ｛11】T．OTSUKI， A cer’α‘箆θραcε・オ‘m￠metric and smooth general coππed‘oπ8， Kod垣   Math．」．8（1985），307−316．      ． ［’12】A．BEJANcu and T．．OTsuKI， Gε碗ral Einsler．connections onαF‘nsler vector   bundle， Kodai Math．」．10（1987），143−152．．． 【13】T．OTSUKI， Singutar poi帖‘sets∂fαgeπerd connectionαn♂blackゐo∫￠8， Math．   」．Okayama U恥iv．30（1988），199−211．   ・    ． ．     ．      ’・ 【14】T．OTSUKI， G￠neral connections， Math．」． Okayama Univ．32（1990），1−20．

Tominosuke OTSUKI

Department of Mathematics Science University of Tokyo 26 wakamiya−cho， Shinjuku・ku Tokyo， JAPAN 162