相関を持つ性能関数の同時破壊確率 : その2.3次解

Et.,,-,,1.,,,,,6.,,,,A.6,,.,,

{iiVSZi/,,Otl･b?;'".Cft"Arba"Nd..C306gS,tto"EILObn.,llrXg,is",eefi"g

･. ･.s",re,,n,lgmmafiptnyra,eix '

'

' 'i ' '' '

SIMULTANEOUS

FAILURE

PROBABILITY

OF

･

'

tt /

CORRELATED

PERFORMANCE

FUNCTIONS

,

.-

ll

.

Tri-modal'

by

TOSHIE

TAKAHASHI"and

SADAICHI

TERADA"',

Members of

A.

I.

J.

1.Introduction

Structttraldesignmust beacoomplished under the condition of uncertainties consisting of inherentvariability and incompleteinformation on loadsand resistances, Therefore,theyinevitably contain the risk of structural collapse on

rare occasions, When ithappens,a structural system collapses

by

one of many basic_potentiatfailuremodes. For example, acolumn may failbyone of buekling,flexure,shear or combinations thereof, wher.e,_qsfer.aduc!ilerigid frame,differentsets of _plastichingesmay constitute differentfailuremechanisms and itmay failene of them. But,it

is_generallydifficulttoevaluate theexact _globalfailure

_probability

of a system becauseof mutual correlations

betweenevery pairsof _performancefunctionswhich definetheir failure_{probabilities.}

The so-called "Uni-modal bounds"

have

an u'pper atida

lower

limitbasedon the assumption thatcorrelation coefficlents between every twe _perfoTmahce

func,tibns

are O and･1, respeetively.

"Bi-modal _bounds"are

thefailure_probability

bounds

which takeintoaccount the correlations betweenevery _pairs of _performance functions and are narrower thanuni-rnodal

bounds.

Thismethod nebces$arily reqttires the estimation of simultaneous failure_{probabilities}betweenevery..two _{performance･}functionswhich can, beobtained through

Ditlevsen'smethodt), nttmerical integratienZ] or conditional reliability index

Ba).

'

Thewidth of bi-rnodalboundsdependson correlation coefficients, thenurnber and relative failure_{probabilities}of

their _preformancefunctions.Inthe'case thatthe estimated bottndsare too wide, one may rely on the following

"Tri-modal bou･nds"

which take into･considerationthesimultaneous failtire_{probabilities}of every three _performance

functions.

2.Tri-Modal Bounds ,

Let the failureevent E of a structural system bean union of m potentialbasicfailureevents E,;thatis,

E=EiUEtU'"UEsU'HUE"'"'''H''"''"''-''"''-'''-HHH''-'''"'''''H''-'''''''"'''''''''''''''''H''"''H'''(2.1)

The failureevent E may bedecomposedintomutually exclusive, collectively exhaustive events as follows.

E=EiUEiEtUEiEtE3UH'UEiE2"'Em.iEm"'''''"''''''"''""-''''"''H''"'''''''''''''''-'H''H''H''H''-(2.2)

Notethat

Ei(EiEt"'Es-DUEi(EiEz'"Et-L)=Et"'''"'''-''"'''''-''w"-"H'''''''''''H''H''"'''''''""'''''''"''"''H'<2.3)

'

Applyingde Morgan's rule to Eq.2,3

P(EtEEtmEt.D=P{Ei)-P[Ei(EiUE2U'"UEs.D]''-''"''"M"''H'''H''"'''''''''"''k'--'''''''H''"''(2.4)

SubstitutingEq.Z.4 inEq.2.Z and considering the conditien of P{E,･･･Es-,E,)kO, we havea lowerbound,

P(E))P(EiUE:UEs)+S=,.rnax[[P(Ec)-)il.l,P(EiEj)+max£ P(EtEJED];Ol-･･･-･･-･-･･･-･--････-(2.5)

j<

le<i

in which E, and E. must be selected ence from

<i-1>

failureevents and add in

[(i-1)12]P(E,E,ED's.

Another

combinations of EJand Ehyield another summation values and themaximum value among them should beused. And

notation

[(i-1)12]

isthe in'teger'spartof real number

{i-1)l2.

* _{Assistant,Departmentof} ArchitecturalEngineering, Tokyo MetropolitanUniversity

# _{Prefessor.Department} of ArchitecturalEngineering,Tokyo MetropolitanUniyersity,Dr.ef Eng.

(Manuscriptreceived December 16,1985)

-l8-NII-Electronic Library Service

Similarly,the upper bound is,

m m ,

P<E)$P(EiUEtUE3}+i.P(ED-E.,maxP[<Ei(E,U4D]･･--････-･---･･r･-･････--･･-･--･-･･--･･-･--(2.6)

J'<lp<i

Transforming the tetra-variate simultaneous _{failureprobabilitiestotri-variate or}

_bi-variate

_{simultaneous failure}

probabilitiesassuming _perfectcorrelation or independence, 'amore accurate butlengthysolution can similariy be

obtained as follows,

P(E)lP(li,UE,UE,)

n t-1

+£ max

C=4 P

(Ei)-,Z.,

P

(EcEJ)+max

lZ

[P

(EiEJEV+P

(EiEJEi)+P

(EiEkED]

J'<k<t<i

-_{£ min}

_[P

_(E,E,ED,

_P

_(E,E,E,),

_P

_(E,E.ED,

_P

_(E,E.ED]l

- , Jl<h<lgi m m l.4 t.4 J'<ic<l<i io ",.H,･-･･-<2.7) P(E)SP(EiUEtUE3)+ZP(Et)- _£ maxP[Et(EJUEkUEt)]･--"･-･･-･･-･･-t--･･･---･･-･･-･････-･･(2.8) inwhich, P[E,(E,UE,UE,)]) P(E,E,)+P(E,EJ+PCE,ED-P(E,E,E,)-P(E,E,E,)-P(E,E.E,)

+max P

{Ei)

P

(EJEhEt),

P

(ED

P

(EiEhEi),

P

(ED

P

(EiEJEi),

P

(Et)

P

_(EtEjED

P(EtE,)P<E,E,),P(E,E,)P{E,ED,p(E,E,)p(E,ED , ,'''"'-'"""''-･･-(2･9) Eq.2.7_givesan accurate lower

bound

when thesecorrelatibn coefficients are _positivelyhigh since tetra-variate

simultaneous failure_{probabilitiesare estimated assuming}

perfectcorrelations. On _theother hand,_{when theyare}

close toO

(statistically

independent),an accurate upper bound can beobtained by

Eq.2,s

A method toestimate _the

joint

_{probabilitiesP}

(E,E,ED

_{inEq.2.5toEq.2.9}

will bederivedas inthe following.

3.SimultaneousFailureProbabiljty, ' ' ･ '' '

The_procedttrein

deriving

the conditional reliability index

BS)

on two random variables willbeagain applied tethe case with threemutualty correlated random variables. Inthis_paper,the correlation coefficients are assumed _tobe

posltlve,

Conditional_probabilitydensityfunction

_(PDF)

of Z _given Y$O _and X$O is_{expressed asi)}

_{(Eqs.3.1-3.7)}

ILixs,,yso

(Z)=f:

_.lf:.tL,xy

(x

1

x, y)

Aygxso,sso

{x.

y> dxdy

=

Fle,.l(o,o)

J:

f:

.teix,y(z1x, y}

A,y(x,

y}dxdy "'''-''''''''''-'''"''"''k''"'''''''''H--'･･--

(3.

0

Inwhich, F( ･

)

and

f(

-

)

are cumulative distributionfunction

<CDF)

_and

probability

density

function

(PDF),

respectively. Inthe case thatX, V and Z are normal random variables, PDF's inEq.3.1 _can be_{writtes as ;}

Aix,y(zPx,y)

==

sula exp[-S

(2"..Z.ZMY

)!

]''H'---･-･･H･･-･･-･･--･--･--･-･･-･･･-･･--･･--･-･･-･･-･

(3.

2)

t /

vth,y{x'y)=2rrs.skp

.

'exp

(L2a

2pi.)

[(X-s.Mx)'-2ile,

(X-s.M")

(Y-s.my)+(y-s.my)t

]}

･-･-･----･-i-･--･･--･-･--････-･--･---･･--･-･-････-･--･(3.3) In _{which k.} isthe _{correlation coefficient betweenX and Y.Notations m.,.. and s.,.. signify the mean and standard}

deviation of Z _given Y=y, X=x, respectively and equal

mz,xy=:ar{x-mx)+ay(y-my)+mz･･---･･･-･--･････---･-･････--･･--･････--･･-･-･･-･-･･---･--･---･-･･--･･(3.4> 1 -1 Szvey=:qa'''-''''-''-'''''-''"''-''''''"''"'H"""'H''-''kH"''-'''-'-H-･･-･･-･,".-･･･--,".-."･--.,".,"tH..(3.5) where rt -1 a.=-q...qu, a.=-q...qtt･-･----･:･1･･-･･-･--････････-･･-･･-･･････-･･-･･-･---･---･-･･-･･-･･-･--････-･･･(3.6)

q. inEqs,3.5 and 3.6 isthe i,ith element of matrix

[Q].

r

ss foys.sy th.s.s.1'i

rq==

qry qx21 ･/ '･ '

[Q]=

[,,...

s; _pygss.;szl=

[g;:

g::

gy.:l

'''H'''-'"''-''"'''r';'"''"'''''''''''''''"''m''(3･7)

with thefollowingreductions of variables and by using reliability index

P=mls,

t /1 . .t

Xffs.Ml=u, Y-ssMY=v., 2-s.Mt=w･･･････････････-･-+-i･･-･･････････････--･･-･･-･･････-･･-･･････--･･--･･･-･･･-･(3.s),

Equations 3.2 and 3.3 become

, , ･

fL,,,,.(tvl

u, v)= s.,..1nt exp

[-g

(

tVi.ll,tw.iuv

)i

]･･･････t--･･･-･･....･.,,-,,"...H...l:..H...H...

{3.

g) '

Av(u.

v)=2.kp .

exp

[-2aeps.}

(u!-2A

.uv+ vi)]-････-･････････-･･-････-･-････････r･-････････････(3,io)

where, - , ' ･',, .''･ ･' ' /

m.,..=a.

gt'

u+ a.

g:

v"--･･-････`-･･-･･-･･-････-･--････-･･t････････････････-･･･-r･･･････-･･-･･-･･--･--:････(3.n) tt'l tt / ttf'l '

s,,i..=S2ucV･-･･-･･-･･-･･-･････---･･-････-･･-･･････････････-T･･･-･･･-･････l････-･･--･-･･--･･-･･-･･-･'･'''･･--･-･･･(3.12) Sz '

The mean value of w _given us-fl., vs-B. isderived as follows,

E[tvlus-fl,,vs-P,] -i''' '.'

'

'

K .L: .L;S' .IiZ"'.A,i..{,,[., ,)

d,,f;,.(d,

b)･ded?..

- _･-1 , -･ , ,,, , t /tt '

={iifZS'fZnJ(a.SsM.u+a.2;'v)2nhltfs exp[-'2(ilp;,,)(u"2Ayuv+v')]dudv i

=-K[c.{a.s.+slfya.s.)+cy(aysy+ftyaxsx}]=-K[AleCx+pyzCdi'-'`':."'`"''''"`''''''`''"''-''''(3･'13) Sx /,t /, /t/ . .. .,., _t where tt _tt tl /t _/ t/ttt /tt/ tt'tt/

c.-

th

exp

(-Spi)

di

(

-ix'

:ill2!)=

ip

(-&)

di

(

'ue'

7xlll!

),

, .,.,.H,,w.v-･,-･t-'-t:H''H''L''(3'i`)

c.-

th;

exp

(-5B;)

di

(

'Xi'Iiili:lkL-'e'

)=::

¢

(-igy)

o

(

-kl'iik:lkg2y

)

,.

K=[L,.(O,O)]']''-''''''''''"-'H'''H'''''';''''''''''"'''''''-''H''"'''''':r;"''-'''"''H''-'''''''J,''''"''''''"'''(3･15) '

The expected valus tv2given u$-xZ., 'vSBy is

E[ui21u$-il., vS-Bdi ' ' -'

'' _'

, =K.Li:n".Lzfi=.[: t,ir,fl.,,,.(wLu,v)dwA.(u.v)dudv.

,, , ,, .

tt

,.=K

fzfiYfzSX((a.

:Z.:u,+s.

g;

v)i+(Ssur.l)'lk.(u, v) dudv ･. ,, ,, ,

' = K

La.pS.cx+P.p:.by+[2sbeley.-A.y(p:.+pk.)]

JU.C-fl.,

-flyN+1･-･･･--････-･･･-････････････L-･･･-････････(3,16)

Thent thevariance of tv given uS-&, vS-Bs is, _{. .,}

'

Vai[wlus-/g.,vs-B.]=E[tv!iu$-t9.,vs-B.]-IE[wlus-fl.,ivs-Bnl!･･-･･････-:･･-･･･--･･-･{e,17)

The

_rpean

and variance, of Z giyen XsO and YsO are represented as follows,

E[ZIXsO,Y$O]=s.E[wlu$-fl,,tis-fi.]+mt---:--･---･---･----･v-i----･(3.ls)

Var[Zlxso,Y$O]=slVar[tvlus-&,v$-Ba----･･---･--･---･----･･--(3.19)

'Therefore,

the reliability index

B./xso,gso

is, ･. _,., ･, _.,., ,, .,' /

Bmxso,sso=:fi'v'.E.[[.WL1."i'ial{r,'.Vi'iBB,ni''''''''''''"''''''-'''"''''''''''H''"''m''-''"''H''"''-'''''"H''H'(g･2o)

The simultanaous failur8probability p[(xso) (yso)

(zso}]=F.,..<o,o,o)

can be written as follows,

L,.,Ao,o,o}=p[(Zso)1<Yso)(x$e)]p[{xsoXy$o)]

,#Kr'O(-fi.,..o,..o)',''''''''''''H'''r'''''''''''''-''"'':H:'v''H'''''''":"'''':''''''H'''''''''''''"(3-21)

In whichKcan be evaluated by3), , ,

r20-NII-Electronic Library Service

K-'=e[-(P.-Alle.)[1+Api,<fl.-A)]LO'5]di(-fl.)'''-''H''-''"''"'''''"''"'''''･-･･--･'････-''"･'s･･･-･･<3.22)

A"==V2Jlr¢

(-:l.)exp(fii12)･--･-･･････-･･･-･･-･･---･-･･-･･t･･･-･･-･･･--･-･･･-･-･--･･････:-･-･--･･--･--･--･･-(3.23)

Inthecase of non-normal or undefined distributions,one may simply as$ume them as nofmal distributionwith suitable means and standard deviations4)

4.EstimationError ･- .･

Errorsin estimated simultaneous failttreprobabilitiesby above-mentioned method are exaMined in comparison to

'

those _{byMente'Carlo}simulation. It seems on examination of Eq,3.4toEq.3.･21thatthe caleirlation error is remarkable when

fl,'s

are identical and sbe's are elose to 1.Therefore,reliabilityindices are assumed as follows varing

:l.

fromO,O to 5.0. ' -, -, . ･ i9r==Py=Px ' '' ' '' ' ' i{.-1.0=B.-1.0=fi. ' ' ' ' ' ' p - ･ ' .O .1 .2 .1 .4 .5 .E .7 .S .9L P 1 1 . '.O ..1 .2 L3 ･.4 '56.7-･;s g

9 N. x

L.X'

io-i iO-i io-2 io'2 -3io -410 -510 -6le -710 -3le -410 lo-S -sio .O.i .2 .3 .4 .S .6 .7 .8 .9 1. Notatien P

eonditienal reliability index method e Mente Carle siJnulation {nmlOOOO)

e ･Monte Ca:le simulatien {n=10eOOO) e Monte Carle simulatien Cn=400000)

'951confidence interval

+

ef,Monte Carle simdlatien

'

Fig.1 Simultan,eousFailure'Probabilities

(Aty=Pyx=ha=P) lo-7 ' .e .1 .2 .3 .4 .S .6 .7 .S .9 p NetatSop ･

-eenditienel :eliability index methoa

o Mente Cario simulation {n=10000) e Monte Cario simulat ±on {n=100000)

951 confidence tnterval

,+

ef zaente･Carlo simulation

Flg.2 SirnultaneousFailureProbabilitise (A.y=p,ilyx=O.3,fu==O.6)

xZ,-1.0=B.=fi. ･ ･ ,, Ii.-2.0=B,TLO=P. , . ... .･

and, correlation',eoefficients are va!ied within the.range; ･' ･ , ･, - ,.

Casel:A..=thila=p,OSpSl ,,･ ,

Case2:Ats=p , A,.=O.6. la=O. 3, O$p $O.94

,.-,,

(as

-itisphysicallyimpessibleincase ₂ to define_ple.Iargerthan.O. ₉₄₃₎ . _,

Figures1and 2compare thesimultaneeus･ failure_{prebabilities}obtained

by

_proposed conditional reliability index method with those by

Monte.Carlo

sirnulation. InMonte

Carlo

simulation,･ a set of uniform Tandom humber is

automatically _generatedand

la

number istransformedtoanormal random number intherange X$o, then two othe; random numbers are transformedtobecorrelated as expected. And thenumbers thatfallsimultapeously in

failure

zone are counted toestimate the_{probabilities.}Sincetheerror inMonteCarlosimulation

depepds

on thesample size, the smaller theconditional failureprobability,thelargertheerrorinestimation. TheTefore,theboundsofninety five

confidence interval a{e. shown inthe figures when they are wide enough .to express. ,.

''

The errors inestirnating

joint

failttre_{probabilities}havesimilar tendancy tothatof

bi-variate

case. That is._;the

higherthe correlapion coefficients, thelargertheerrorin probabilityevaluation..'But sufficient coincidence between

the _estimetes by_{proposed method and,} those by Monte Carlosimulation can

be

observed in

Eigs.1

and 2.

5.Application･tqSystem Reliabitity .

5.1 RigidFrame inReference3

'

tt t

The global failurepfobabilityof a ductilerigid framestudied i'nReference3will again beanalized throllgh

"Tri-modal bounds'i. ,

t .

'

t /

The boundsby

M,

and

P,,

method cah be obtained using Eqs.2.5,-2t6and Eqs.2.7to2.9, respectively.

Calculated

bounds

are _quitenarrow incomparison toother methods as summarized inTable1.The mean and

'

coefficient of variation

(c.o.v.

)

inthe table are calculated fromtheiTbeundsass,uming uniform

distribution.

'

5.2 Trussand Rigid Frames in Refere'nce5 _, . ･

Tables2and 3show these models, _performance functionsand variables of Trussand FramesinReference5. In

theseexamples, the basicvaTiables' with the same labelsare _perfectlycorrelated, whereas thevariables of

different

'

labelsare assumed tobestatistically independent. Andthenumber of_performancefunctionsinTables2and 3isused '

forcalculation. InMonte Carlo simulation, all mechanisms are automatidally identifiedand employed5).

' ' '

Uni-modalbounds,Bl-modhl boundsbyDitlevsen'sbound,Bi-modalboundsby,conditional reliabilityindex

_fl,,

Tri-modalbounds conditional reiiability index

&,

and

B,,

for all examples are estimated, and compared in,Fig.3.

The reslilts byMonte

Carlo

simulation are also shown forreference. Tabed4shows themean. and c.o.v, basedon

theassuniption of 'uniformdistributioribetweenthe upper and lowerlimit.

'' '

The widths of bounds are considerably reduced by

B,

methods, specifically by

fl,,

method. Mean values except those by Mgnte Carlo simulation may somewhat deviatebecause of the small,number of _perfermance functions '

employed inthec'alculation. '

6. ConCluding

Remark$

･

/ t

Simultaneousfailureprobqbilitiesof c6rrelated tri-variatenormal random variables can beestimated

by

Eqs.3.13

to _3.21 which havealgebrai6 expression and need neither time-consuming nurperical integrationnor Monte Carlo

simulation. The estimated failureprobabil{tigs coincide well with the results by

Monte

Carlo sipsulation inthe sense

of engineering use. '

L･

.

t /

The_globalfailureprobabilitiesof several structures are examined bythemethod derivedhereand comptired with

Tablel GlobalFailure ProbabilityEstimates '

'

method bound mean'c.e.v.

uni-modalbound O.Ol191-O.02819'O.02005O.23S ' Ditlevsentsbound_// O.O1217-O.O1764･O.Ol49VO.106 t/t ConaitienalB2raethodO.O1247-O.O144SOle134ae.o43 ConditionalB31rnethed CanditionalB32methodO.O!36S-O.O13914.0.013911-O.O13914P.O13S4t/'O.Ol]91O.O16-56xlO

-22-NII-Electronic Library Service

Table2Medels ofFrame StructtireforProblems5)

NO.FrameSt:uctureforPreblem _{PetfermanceEunetiens} Meanancte.e.v_otVariables

i S2-i. Ml sllM2Ml20i-15, IMI+IH2-iOSI-ISS2 -Hl-ISS2 ' IH:+4Ml-iOSI-ISS2 -M2-10Slza1+za:-15s2 2Hl+IMI-leSl Ml3SOtt-:.LS M:"Ott-E.15 s;100EJO S2so!.se P ÷ M32P.).Ml rlM4F2M3Ll=12,'Ll=12, 2A _M2M1'L=2 4Hz-rlt:/1;Mt+3Nl+H;-]P;1.rlt2/2 -Ml+IHI+2nl-3Ptl-72Lll: 4Hl-IPLIMII+IM:+2"1-r2L212 ":+3M2+IHI-?;1-?2:V2 MvM;HOtt-K.IS HI.M-200ft-K.ls e:nKns el-oKas P;,SK.IS FL:2-:;J F 3 P ÷ M32P ÷ Ml 4Fl"M･ M2M=20-MsMlL=20 Ll=12, Ll=12, 5Ml+3Ml+]Ml+Xnl-eiLl/i-?1:2/1-4?:1 E-r3P:1SHL+Utl+2tMj+H4+-Is}-tel+r2+FllZ212-4?Ll SML+3ul+Hrrl:2/:-;?Ll za;+ZH4-r2L2X2 Mz+:Ms-!s:212 SHI+:H2+Hl+-Hi-!1;111-Plt2!Z-4PLI IN:-!2;:t2 HL.M]70ft-X.IS ,･H2ISOtL-X.IS H4sett-s.ls Msi2ott-nas !ileK.15 r22eS.15 e]2esns ?7K.IS 4 P-M32P ÷ Ml F"P" EM4M"3M4?3"M3 M2MlL=20 M2Ml=20 =12,1 _-'=12,1 SHi+;Ml+M3-elL:/2-IPLI M;+3Ms-T4;2/2 M3+iM4-?1:112 SM:-IPtl ' -Hl-eiL212Hl+SM2+Ml-ri;112 IHi+:H2+2H3+IH4+2Hs+:Hs.C!2+e4)L212-lnl 4H4-?2L2Xl Hl.Hllett-t.ls Ml.M:ISOtt-S.i5 M4.HeOCtt-tt.IS ellsKas !2,r410K,15 tl3Sec.iS ?IK.2S

Table3Models ofTruss StructureforProblems5) NO. s 6 7 e TrussStructureforPreblem P"T,IS< F"TF･ 10,-T,}OT '1.2P P 4 i ot o'

u

at,IS,

15i 4 75896o Fl""E 2

I2ot

IS,IS, - 15,lstIS,lst 78910 .16il1118i22 o93322 4422415

*i$2

*1$4

?erformanceFunctiens ::-.1011T]-P TI+･1071Ts-?-r nl-P1.ll-2T;-pri-e2-Fl.411e 1.-14T3-2.2P T4+,7enE-?-1.2e t2+-7o7Ts+,7ons-1.a? Ts+.701rs-1.2? :T4-1.2PT2+.70n]+Tcp-1.2p 1;l:4Ts-1.IP TI+.101T:-e-1.4p tl-Vlrl-1/-e2 T4+IX4Ts'h-112?2 t7-SIS!rStllT: S/-Ts+Te:!X4!i T:-1/4rl-it2Tl Tio-Sl12rl-SIGTI r4+v4rs-IXI!i-e: r2+T4-3/-Yl-3/4e2 T:+.;7Stu+.lr2e-.lrn-.S25Pt-,S!2-.IS!3-.12S!l Ts+.IV5Tn+.aT2e+.2rn-.::Sel-.2Sel-.5e3-.62Sr4 Ts'Tlo+1-12Stll+-9t2o+-gTn--115!1'.7,S!2"I.5Tl'1.12Se4 Tsnlo+L.e::1+1.ST21-2.2Se;-1.Sr-r2+T7+:.1:STI:+.9:2o+.STIL-Z.:15et-:.5!2-.75e]-,SIS?4 Ti+,eTlg+,6r2o-.ISrlhlSe2 Ts+.eT2r+.6!n-.TS7]'JSe-11+.Srll+.erz:-.S?r,ls!2..sel-.2sr4 T2.de7+i.etle+i,STIo-1.5?1-1.25Pl rlo+,7STi]+.7ST14+.GTIo-.2Sel-.5r2-es-.S?- f4+1･ITIi+1.BTn-1,Spl-.lsp-T7+･7ST12+.ISrn+.S7n-.sri-e:-.sr;-.2s74 Meen of and c.e.v. Variables rrre?_113iiLelo 3i3 x:K:: 1515isu;o rlr2rlr4rsTsep60 s1114lo20 4ll sltt1KxKs15ls1515isIS2e30 rl te T4 rs.r6 T7 Te,rs Tlo Vl rl 1-IS24 714ue :sxsExtlsu:si5ls2Slo Tl te Tlo TivTis Tn,ruTn.ri7tTis J:n,71-TiGjrasTie'Tnrnjrn rl.r3 F2.?4 lo1411 1IS sao10 e Kss"KttttxxlsIS15.is15ISISIS2S

23

Calculated Bound M B32 ' 1 1 3.0 2.o 1.0 o' o. o .. . 54 3 'O.2 1 2A 3 4･5 6 7･ .8 ' , '' , pr6blem No. ' Notatlen

., . Ca) Vni--modal bound ' (d} conditional B･31rpethOd

Ditlevsen's bound

Cb)

(e) conditionai _B2 methed C:)

gOsngd2gk::g:nGc3e2i:::::gi

> of Monte Carlo simulat ±en

Eig3

Sym'mary of results ･ '

"Table4 Mean･and C.o.v. in.Pare.nthesis(AssumingUnifofmOistribution)'

lT/ / ' ' ' ,' ProblemNo.1 2A･ 3 4 5---6 7 8 t

MonteCarlo O.40xlO-l O.17xlOO.116-2 O.13S O.149xlO-1 O.764xlO-1 O.346xle-1 O.73ExlO.--1

Uni-modalbound O:4829xlO(O.167)･-l O.2176xlOCO.195)O.l156Cb.41g)O.11S8(O.401)-2 O.1665xlOCO.27S}O.I031co.3eo)-l O.2SOOxlO{O.335)o.s76oxib-i-1

CO:381)' Ditlevsen'sboundO.4062xlO-(o.ose)O.2127xlo-' CO.064)O.I089(O.203}o.l3oe.CO.094)O.l56ix10-CO.114)O.8480xiO-(O.199)oL34sgxlO-CO.078} -1 O.7440xlO(O.221), Conditional fi2nett)odO.3885xlO-o.elg -2

O.2044xlO'O.034O.I041(O.09BO.1294O.036. O.l447xlOD.043-l O.7306xlOO.ll4-1 O.3551xlOO;033O.6814xlb-1H.1 O.136

Oond ±tionai

B31method

-l

O.3986xlOCO.O032)O.2062xlOco.oa3g)O.I042CO.056O.1269CO.023-2 ,O.147SxlO(O.O065)-1 o.6764xlo(O.044'-l O.3536xlO(O.O14)-1 O.645SxlO(O.073)-l

Oonditioha1 B32method ･-1 o.4ooaxlo'( ÷o) -2 O.2073xlO co.oeoga]O.le66(O.041)O.1260(O.Ol6) -l

O.l494xlOCO.OOO19}O.7022xlOCO,022)･-1 o:3ssexlo{o.eo7s)-1 o.66e6xlo(O.0507)'--1

*:eproduc'ed _{from reference5} ' '

.. .tt . . .t .

those byother methods. Theproposed method sufficiently reduces thewidth of

failure

_probqbility

bounds

inthese '

examples,- / ･ ,'- ･

: ･･1

7.Acknowledgement .

The presentwriteis thank the unknown reviewers fortheirvaluable comments,

' ' t t t t t t ttt ' Reterences , ,

1)

Ditlevsen,

O.':NtirrowReliabilityBoundsfprStructuralSysi'tems,Jour.ofStruct. Mechanici; ASCE, Vol,7. No.4. 1979

2) Chou, K.C.,Corotis,R,B. :ConditionalGausianProb'abilityDensity,Jour.of Enginee[ing Mechanics,ASCE, Vol,'llO,

t .

.No.l i984' ' ''' ' '

'

'

3) Terada, S., Takahashi, T. :SimultaneousFailureProbabilityofCorrelatedPerforinanceFunctions,Jgur.ofStruetufal and

.ConstructionEngi'neering (Transactionsof A.LJ. ),No/359, '1986

. '

4)

4ng,

A.H-S., Tang,W. H. :ProbabilityConcepisinEnglneeringPlanningand Design,JhonWiley.& Sons,Inc.,1984

5) Ma, H･F., Ang, A. H-S.: ReliabilityAnalysis of Redundant Ductile StructuralSystems,StructuralResearchSeries

'

' No.494,Uniyersityof lllinois;Urbana,1981 - - .

-NII-Electronic Library Service

1

論　 文】 UDC ：624．04 ：519．2：624．05922

塁

鑞醫 鑞霜巒騰 簀

相 関 を持

つ

性能

_関

数

の 同

時破壊確 率

一_その

₂

_．

₃

_次解一 正 会 員 正 会 員 橋 田 高 寺 利 貞

恵

＊ ＿＊ ＊ 　1．はじめ に 　構造物の設計は、不確 実な抵抗お よ び荷重に基づい て 行わ ざ る を え ない。 し た がっ てま れに におこる崩 壊の危 険 性を ま ぬ が れず，その場 合 多 数の崩 壊 形の中の 1つ に より崩壊する。た と えば，柱は座屈，曲げ，せ ん断ま た は そ れらの複 合の い_ずれ かで崩 壊 する可 能 性があり，剛 節 架 構は塑 性ヒ ンジ の組み合わ せ により異なっ た崩 壊 機 構を形成し，そ のう ちの 1つ で_崩壊す る可 能 性が ある。 し か し，個々 の破 壊 確 率 を 規 定 する性 能 関 数 間の相 関の た め に，全 体系の正 確な破 壊 確 率 を 求 めることは一般に 困 難であ る。 　いわゆる 1次 近 似 解は_， Zつ の性 能 関数 間の_{相 関}係 数 を0お よ び 1とし て上 下 限 を求める もの で ある。 　2次 近 似 解は性 能 関 数 聞の相 関 を考 慮に入れ た区 間 推 定であり，幅は1次 近 似 解 より狭い。こ の方 法で は2つ の性 能 関 数の 同時 破 壊 確 率 を求める必 要があり， それ は Ditlevsenの方法n，数 値 積 分2）_{，条 件 付 信 頼 性 指 標}s ♪_に よ り求 めるこ と がで きる。 　2次 近 似 解の幅は，相 関 係 数，崩 壊 機 構の数， 各 崩 壊 機構の破 壊 確 率に依 存する。こ れ に よ り求めた幅が広い 場 合には，次に示す3つ の性 能 関 数の同 時 破 壊 確率に基 づ く3次近 似 解に よることが できる。 　2．　3次近 似 解 　構 造 物 全 体の破 壊 事 象 E は m 個の_可能な破 壊事 象 E，の和 事 象で あ るこ とより，ド．モ ルガ ンの法 則 を用 い て 3次 近 似 解の下 限は （2．5）式の よ うに求め ら れ， 上限は （2．6）式のよ うになる。 　ま た，4次の同 時 破 壊 確 率 を2次また は 3次で近 似す ることに り （2，7 ）一（2．9＞式が求まる。（2，7）式は 4次 の_{同 時 破 壊 確 率 を完 全 相 関 と仮 定し}て求め た式である た め，性 能 関 数どうし が完 全 相 関に近い場 合によ り正 確な 下 限を与える。 一方，独 立に近い場 合に は，（2．8）式に よ り，精度の_高い_解が得ら れ る。 　（2．5）式か ら （2．9）式 中の同時破 壊 確 率 P （E‘E，E，） を求める式 を以 下に誘 導す る。 ＊ 東京 都 立 大 学　助 手 ＃ _{東京 都 立 大学 　教授}・_工博 　 （昭 和60年12月16日原稿 受理） 　3．　 同 時 破 壊 確 率 　 2つ の確率 変数 （性 能 関数 ）の_{条件 付}信 頼 性 指 標 を導 く方 法 を，互いに相関を持つ 3つ の確 率 変 数 （X ，

y

，　

Z

） の場 合に適 用す る。X≦0かつ Y_≦0_{な る条 件}の下で の Z の条 件 付 確 率 密 度 関 数は （3．1）式の よ うに表さ れ る。 変数変換を行い u≦一禽 かつ v≦一鳥 の条 件にお ける ωの平均お よび二乗 平均は そ れ ぞ れ （3．13）式，（3、16） 式に なる。これ らを 用い て_{条 件付 信頼 性}指 標fitlx≦ 。，ys。 は _（3．　20 ）式の よ う に_求ま る 。 　同 時 破 壊 確 率 P［（X ≦O｝〔Y≦0）（Z≦0）］＝凡，塀 （O，O，O） は_， 条件付信 頼性指標を用い て （3．21）式に より求 まる。 非正規 分 布ま た は分 布が不 明の場 合に は_，相当す る平均， 標準偏差を もっ た 正規 分 布で近似できよ う。 　4．推定誤差 　上 述の_{方 法}による同 時 破 壊 確 率の推 定 誤 差 を， モ ンテ カルロ法に よ る結 果との比 較に より検 討する。（3．4）式 か ら （3．21）式を検討す る と，β‘が等し く，ρ が 1に近 い _場合に_{計算誤 差}が大きい よ うに思 わ れる。結 果 を 図一 1， 2に示す。 　モ ン テ カル ロ法におい て は，一様 乱 数 を発生させ_， 1 つ の _{乱 数}を X≦0の範 囲の正 規 乱 数に変 換し， ほ かの 2 つ _の乱_{数を所 定}の相 関 を持つ 正 規 乱 数に変 換し，同 時に 破 壊領域に入 る数に より同 時 破 壊 確 率 を 求め た。モ ンテ カル ロ_法にお ける誤 差は発 生さ せ る乱 数の_数に依存す る た め，条 件 付 確 率が小さい場 合に は誤 差が大き く な る。 そこ で，表 示で きる ほ ど広い場 合に限り 同 図中にモ ンテ カル ロ_法の_{結 果}の 95_{％ 信 頼 区 間 を 示し た}。 　条件付 信 頼 性 指 標に よ る同 時 破 壊 確 率の推 定 誤 差は， 2変数の場合と同様の傾向を持つ 。す な わ ち， 相関 が高 い ほ ど誤 差が増 す 傾 向がある。 しか し，モ ン テ カ ルロ法 の_結果に良く合う といえ る。 　5．全体系の_信頼 性への応 用 　 5，1 _参考文献 3の _{剛 節 架 構} 　（2．5）， （2．6）式， （2．7）一（2．9）式を用い て，β3，， β，，法の解 を 求め，参 考 文 献3の結果との比較を行っ た。 　求め た解の幅は ほ か の方 法よ り狭 く， その結 果を表一 1に_示す。 表中の 平 均およびc，o ．v は，解 を一様 分 布 と 仮 定して求め た もの であ る。 一 25 一 N工 工一Eleotronio _Library

　5，2　参考文献 5の_{架 構}1 　表一2， 3に， 解析モ デル， 性能 関数， 確率 変数を示す。 これ ら例題に おいて，同じ記 号で示さ れ る確 率 変 数は完 全相関と し，異なっ た記 号 どう し は独 立と し てい る。ま た， 表 中に掲げ た数の性能 関数を用い て計算を行っ た。 モ ンテ カル ロ法に おい ては，可 能な すべての機 構 を含ん で い る5）_。 　3次の同時破 壊確 率を用いた方法， 特に β、2法は解の 幅の減少に効果が あ る。 計算に用いる性 能関 数の 数が少 ないた めに平 均がずれ る 場 合 も あ る。 　6．ま と め 　相 関を持つ 3_{変 量}正規 確 率 変 量の 同 時 破 壊 確率は， （3．13 ）〜（3．　21 ）式に より求め ら れ，時 間の か か る数 値 積分，モ ンテ カル ロ_法を必 要とし な い。本 方 法に よ る同 時 破 壊 確 率はモ ンテカル ロ法の結 果に よく合うとい え る∵ 　ま た，数 例につ い て_， 本 論 文で提 案し た全体系の_{破 壊} 確 率 を 求 め，ほかの方 法に よる結 果 との比 較 を行っ た。 本 例 題におい て は，解の幅は狭まっ てい る。 一

₂₆

一