第
6
章 角運動量
6.1
軌道角運動量
定義 軌道角運動量の演算子 L は，位置の演算子 r と運動量の演算子 p のベクトル積で定義さ れる： ¯ hL = r× p (6.1) 便宜上，ベクトルの直角座標成分を，数字の添字 1, 2, 3で表すことにする： r = ( x, y, z ) = ( r1, r2, r3), p = ( px, py, pz) = ( p1, p2, p3) (6.2) このとき，軌道角運動量演算子の成分は ¯ hLi = jk ijkrjpk (6.3)と表せる．ここで， ijk はLevi Civitaの記号で，隣合う添字の交換に対して反対称であり，
また， 123 = 1 とする．反対称性より，３つの添字の中に等しい値がある場合，値は 0に なる． r× pの次元は， （ 長さ）·（質量）·（長さ） （時間）= （ 質量）（長さ）· 2 （ 時間）2 （時間）· =（エネルギー）（時間）· (6.4) より，Planck定数 ¯hと同じ次元である．よって，演算子Lは無次元である． 位置と運動量の交換関係 座標表示で，運動量の演算子は微分演算子で表される： p = ¯h i ∇ = ¯ h i ∂ ∂r1, ¯h i ∂ ∂r2, ¯h i ∂ ∂r3 (6.5) これより，位置と運動量の演算子の交換関係を計算することができる．座標の関数 f (r)に 作用することを念頭において， [ ri, pj] f = ri ¯h i ∂f ∂rj − ¯ h i ∂ ∂rj (rif ) = ri ¯h i ∂f ∂rj − δij ¯h i − ri ¯ h i ∂f ∂rj (6.6) 105
より，基本となる交換関係 [ ri, pj] = δiji¯h (6.7) が得られる． 角運動量演算子の交換関係 軌道角運動量演算子の交換関係は，位置と運動量の交換関係 (6.7)から導くことができる． まず，軌道角運動量を (6.3)によって位置と運動量の演算子で表し，交換関係 (6.7)を代入 する： [ Li, Lj] = 1 ¯h2 kmn ik jmn[ rkp, rmpn] = 1 ¯h2 kmn ik jmn(rm[ rk, pn] p+ rk[ p, rm] pn) = i¯h ¯h2 km ik jmkrmp− kn ik jnrkpn (6.8) ここで，Levi Civitaの記号に関する関係式 k ijk mk = δiδjm− δimδj (6.9) を用いると [ Li, Lj] = i ¯h −δijr· p + ripj+ δijr· p − rjpi = i ¯ h ripj− rjpi (6.10) となり，軌道角運動量演算子の交換関係が得られる: [ Li, Lj] = k i ijkLk (6.11) 成分では [ Lx, Ly] = iLz, [ Ly, Lz] = iLx, [ Lz, Lx] = iLy (6.12) と書ける． L2 とL の成分との交換関係は，(6.11)を用いて [ L2, Li] = j [ LjLj, Li] = j Lj[ Lj, Li] + [ Lj, Li] Lj = jk i jikLjLk+ jk i jikLkLj (6.13) と書ける．ここで，最右辺の第２項で，和をとる２つの添字 j と kを交換すると， jik の 反対称性から [ L2, Li] = 0 ( i = 1, 2, 3 ) (6.14) が得られる．すなわち，L2と Lの１つの成分が同時に対角になる表現（同時固有状態）を とることができる．通常，L2 と Lz の同時固有状態を用いる．
6.1 軌道角運動量 107 極座標表示 デカルト座標（x, y, z）で表されている軌道角運動量を極座標（r, θ, φ）で表すには次の関 係式を用いる： x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ (6.15) 角運動量演算子が含んでいる微分は ∂ ∂x = ∂r ∂x ∂ ∂r + ∂θ ∂x ∂ ∂θ + ∂φ ∂x ∂ ∂φ = sin θ cos φ ∂ ∂r + cos θ cos φ r ∂ ∂θ − sin φ r sin θ ∂ ∂φ ∂ ∂y = ∂r ∂y ∂ ∂r + ∂θ ∂y ∂ ∂θ + ∂φ ∂y ∂ ∂φ = sin θ sin φ ∂ ∂r + cos θ sin φ r ∂ ∂θ + cos φ r sin θ ∂ ∂φ ∂ ∂z = ∂r ∂z ∂ ∂r + ∂θ ∂z ∂ ∂θ + ∂φ ∂z ∂ ∂φ = cos θ ∂ ∂r − sin θ r ∂ ∂θ (6.16) であるから，軌道角運動量演算子Lx, Ly, Lz は極座標で Lx = i sin φ ∂ ∂θ + cos θ cos φ sin θ ∂ ∂φ Ly = −i cos φ ∂ ∂θ − cos θ sin φ sin θ ∂ ∂φ Lz = −i ∂ ∂φ (6.17) と表される．３つの成分とも，２つの角θとφに関する微分演算子で表され，動径rは含 まない．３成分を用いて，L2 は極座標表示で L2=− 1 sin θ ∂ ∂θ sin θ ∂ ∂θ + 1 sin2θ ∂2 ∂φ2 (6.18) と表される． 固有値と固有関数 L2 の固有関数をY (θ, φ)，固有値を λとする： L2Y (θ, φ) = λ Y (θ, φ) (6.19) ここで， Y (θ, φ) = Θ(θ) Φ(φ) (6.20)
とおいて変数分離すると， −sin2θ Θ 1 sin θ d dθ sin θdΘ dθ − λ sin2θ = −1 Φ d2Φ dφ2 = µ 2 (6.21) すなわち，Φは微分方程式 d2Φ dφ2 + µ 2Φ = 0 (6.22) を満たし，規格化因子を別にすれば，解はcos µφとsin µφである．周期境界条件Φ(φ+2π) = Φ(φ)を課すとµは整数でなければならない．一方，Θに関しては，z = cos θとおくと，微 分方程式 (1− z2)d 2Θ dz2 − 2z dΘ dz + λ− µ 2 1− z2 Θ = 0 (6.23) を満たす．この方程式の解の中で，z =±1（θ = 0, π）で有界であるという条件から，解は 第１種のLegendreの陪関数が選ばれる： Pµ(cos θ) ( µ, は0 または正の整数, µ≤ ) (6.24) このとき，λ = ( + 1)である．求めるY (θ, φ)は，0または正の整数 に対して，
P(cos θ), Pµ(cos θ) cos µφ, P µ
(cos θ) sin µφ ( µ = 1, 2, · · · , ) (6.25)
の(2 + 1) 個の球面関数になる．ここで，cos µφと sin µφの線形結合をつくり，
cos µφ± i sin µφ = e±iµφ µ = 1, 2,· · · , (6.26)
µの代わりにm を用いると，(2 + 1)個の関数 (6.25)は次の形にまとめられる： Ym(θ, φ) = (−1) m+|m| 2 2 + 1 2 (− |m|)! ( +|m|)! 1/2 P|m|(cos θ) 1 (2π)1/2e imφ (6.27) この球面調和関数は L2 だけでなく，同時に Lz の固有関数になっている： L2Ym(θ, φ) = ( + 1) Ym(θ, φ) LzYm(θ, φ) = m Ym(θ, φ) = 0, 1, 2, · · · m =−, −( − 1), · · · , − 1, (6.28) また，規格化され，互いに直交している： 2π 0 dφ π 0 sin θ dθ Ym(θ, φ)∗Ym(θ, φ) = δδmm (6.29) なお，(6.27)で定義された球面調和関数は，複素共役に対して Ym(θ, φ)∗ = (−1)mY−m(θ, φ) (6.30) と変換するように位相因子が選ばれている．
6.2 座標軸の回転と広義の角運動量 109
6.2
座標軸の回転と広義の角運動量
波動関数の変換 座標原点を通る直線のまわりの座標軸の回転を考える．回転は，回転軸の向きを表す単位ベ クトル nと回転角θで指定できる．座標軸の回転によって波動関数は変換されるが，それ を演算子 R(n, θ)を用いて次のように書けるとする： ψ −→ ψ = R(n, θ) ψ (6.31) この変換は波動関数のノルムを変えないので，R(n, θ)はunitary変換であり [R(n, θ)]† R(n, θ) = 1 (6.32) また，回転角が θ → 0のとき恒等変換 R(n, θ) → 1になるので，Hermite演算子S(n, θ) を用いて R(n, θ) = exp [−i S(n, θ) ] (6.33) と表せる． 演算子 J の導入 回転角が小さいときの変換を考える．微小な回転角を δθとし，(6.33)を展開して１次の項 までとる．このとき，波動関数の変換は ψ −→ ψ = R(n, δθ) ψ = [ 1 − i S(n, δθ) ] ψ (6.34) と書ける．特に k 軸のまわりの回転はn = ek として ψ −→ ψ = R(ek, δθ) ψ = [ 1− i S(ek, δθ) ] ψ (6.35) となる．このとき，微小角δθの１次までとると，右辺のHermite演算子S(ek, δθ)は微小 角 δθに比例すると考えられる．そこで，演算子Jkを導入して次のように書けるとする： S(ek, δθ) = δθ Jk (6.36) すなわち，Jkは k軸のまわりの無限小回転を生成する演算子である．これを任意の方向n のまわりの微小回転に拡張すると，Jx, Jy, Jz を成分とするベクトル J が考えられる： S(n, δθ) = (n· J) δθ (6.37) これにより 広義の角運動量 = ¯hJ と定義する．角運動量演算子は Hermite である．演算子Jk の性質は回転の変換の性質か ら定まる．微小角の回転に対する波動関数の変換(6.34)は ψ −→ ψ = R(n, δθ) ψ = [ 1 − i (n · J) δθ ] ψ (6.38)と書ける．これより，一般の回転に対する演算子は R(n, θ) ψ = exp [−i (n · J) θ)] ψ (6.39) と，広義の角運動量演算子を用いて表すことができる． 広義の角運動量演算子 J の交換関係 演算子 J の交換関係は座標軸の無限小回転から導くことができる．まず，x 軸と y 軸のま わりの２つの無限小回転を考える： Rx = exp (−i δθxJx) = 1− i δθxJx Ry = exp (−i δθyJy) = 1− i δθyJy (6.40) この２つの変換の順序を入れ換えると， RxRy− RyRx = (1− i δθxJx) (1− i δθyJy)− (1 − i δθyJy) (1− i δθxJx) = − δθxδθy (JxJy − JyJx) (6.41) となる．一方，これは，図6.1に示すように，z 軸のまわりの角 δθxδθyの回転に等しい： y z x x’ 1 δθy y z x x’ x’’ 1 δθy δθxδθy 図6.1: 座標軸の微小角回転．左：RyRx，右：RxRy
RxRy − RyRx = exp (−i δθxδθyJz)− 1 = −i δθxδθyJz (6.42)
上の２つの式を比較して，交換関係 [ Jx, Jy] = i Jz (6.43) が得られる．他の成分についても同様である．すなわち，広義の角運動量の交換関係は [ Ji, Jj] = k i ijkJk (6.44)
6.2 座標軸の回転と広義の角運動量 111
と表される．また，軌道角運動量の場合と同様に，交換関係
[ J2, Jx] = [ J2, Jy] = [ J2, Jz] = 0 (6.45)
が容易に導ける．
補足：群論の言葉で言うと（ １）
• 座標軸の回転を表す unitary演算子の集合 { exp (−i n · J) }は群をなす．すなわち，
（１） 任意の２つの元の積は，集合の元である． （２） 単位元が存在する（恒等変換：θ = 0）． （ ３） 逆元が存在する（θに対して −θ の回転）． （ ４） ３つの元に対して結合則が成り立つ． • Jx, Jy. Jz を群の生成子 という．３つの生成子からなるunitary群を SU(2)という． また，{ Jx, JyJz}を SU(2)の Lie代数 という． • 生成子の交換関係は，生成子の線形結合で表される： [ Ji, Jj] = k i ijkJk ijk を 構造定数 と呼ぶ．構造定数は生成子の交換関係を規定している． 軌道角運動量を生成子としてもつ群は，実３次元空間の回転群O(3)である．O(3)と広 義の角運動量を生成子とするSU(2)は同じ交換関係を満たす．しかし，下で見るように，固 有値として許される値は異なる．単位元近傍の微小角回転は同じであるが，有限な回転に対 しては差異が生じる．広義の角運動量を定義した座標軸の回転では，軌道角運動量だけでな く，粒子がもつスピン角運動量（たとえば，Fermi 粒子は大きさが 1/2のスピン角運動量 をもつ）も関与するからである．
6.3
角運動量演算子の固有値
角運動量演算子の３つの成分は互いに可換ではないが，J2 とは可換であるので，J2 と Jz の同時固有状態を作ることができる．固有値は，交換関係(6.44)から導くことができる． 昇降演算子 固有値を求める準備として，昇降演算子 J± を定義する： J± = Jx± i Jy (6.46) 昇降演算子は，Jx と Jy とで構成されるので，J2 と可換である．昇降演算子に関する交換 関係は (6.44)から容易に導ける： [ Jz, J±] = ±J±, [ J−, J+] = −2Jz (6.47) Jx とJy が Hermiteであるので，Hermite共役の関係式 (J±)† = J∓ (6.48) が成り立つ． J−J+ = J2− Jz(Jz+ 1), J+J− = J2− Jz(Jz− 1), (6.49) も同様にして導ける． 固有値 J2 の固有値を λj，Jz の固有値を m とする．固有関数をψjm で表す（規格直交化されて いるとする）: J2ψjm = λjψjm Jzψjm = m ψjm (6.50) λj を決めたとき，mには上限と下限がある．これは次のように示すことができる．J2− Jz2 = Jx2− Jy2 を固有関数 ψj に作用させると，左辺は(6.50)を用いて書き換えられる： ( λj− m2) ψjm = ( Jx2+ Jy2) ψjm (6.51) 左から ψjm∗ をかけて行列要素をとると，固有関数の直交性を用いて λj− m2 = jm | ( Jx2+ Jy2)| jm ≥ 0 (6.52) となる．不等号は角運動量演算子が Hermiteであることから導かれる： jm | J 2 x | jm = jm jm | Jx| jm jm| Jx| jm = jm | jm| Jx| jm |2 ≥ 0 (6.53)6.3 角運動量演算子の固有値 113 従って，Jz の固有値m には上下限 −λj ≤ m ≤ λj (6.54) があることがわかる． Jz の固有値 m の可能な値は１つおき（隣合う値の差は1）である．すなわち，Jz と昇 降演算子の交換関係 (6.47)を固有関数 ψjmに作用させると JzJ±ψjm = ( J±Jz± J±) ψjm = (m± 1) J±ψjm (6.55) が得られる．J±ψjm は ψj m±1 に比例し，Jz の固有値 m の可能な値は一つおき（隣合う 値の差は 1）である．ここで，昇降演算子が J2と可換であるので，J± は J2の固有値 λj について対角であることを用いた． J2 の固有値 λj と，Jz の固有値 mがとり得る値は，昇降演算子を用いて次のようにし て求められる．mの上限値を m1，下限値を m2 とする（m1≥ m2）．すなわち， J+ψjm1 = 0, J−ψjm2 = 0 (6.56) が成り立つ．左の式にJ−を作用させ，右の式には J+ を作用させる．ここで (6.49)を用 いると， [ λj− m1(m1+ 1) ]ψjm1 = 0, [ λj − m2(m2− 1) ]ψjm2 = 0 (6.57) が得られる．両辺からλj を消去して (m1+ m2) (m1− m2+ 1) = 0 (6.58) となる．m1≥ m2 であるから，唯一の解は第１因子が 0のときである： m2 =−m1 (6.59) ２つの関係式，すなわち，(1) m の隣合う値の差は 1 であり，(2) m の下限と上限には m2=−m1 の関係が成り立つことから，mの上限値と下限値の差は 0または正整数である ことがわかる： m1− m2 = 2j j = 0, 12, 1, 32, 2,· · · (6.60) これを (6.57)に代入すると，J2 の固有値が求まる： λj = j(j + 1) (6.61) また，このとき，mの取り得る値は m = −j, −(j − 1), · · · , j − 1, j (6.62) の (2j + 1)個であることがわかる．
固有関数の変換 角運動量j を決めたとき，mが取り得る値は (2J + 1)個ある．すなわち，(2j + 1) 個の状 態がある： { | jm } m = −j, −(j − 1), · · · , j − 1, j 座標軸を回転したとき，| jm は R(n, θ) | jm に変換されるが，変換後の状態は (2j + 1) 個の固有状態 { | jm }の線形結合で表される．角運動量の値が j とは異なる状態は生成さ れない．この(2j + 1)個の状態を既約表現 という． 補足：群論の言葉で言うと（２） • ３つの生成子で構成され，全ての生成子と可換な演算子を Casimir演算子 という． J2 は SU(2)のCasimir演算子である． • 同時に対角化できる生成子の集合を Cartan代数 といい，同時対角化できる生成子 の個数を群のランク という．角運動量演算子の３成分は互いに可換ではない（対角 にできるのは１つだけ）ので，SU(2) のランクは1である． • J2 の固有値が j(j + 1) である，(2j + 1)個の状態を (2j + 1)表現 という．これは SU(2)の既約表現である． • １つの既約表現に属する状態は，Cartan代数の固有値で区別される．この固有値を重 み という．重みの中で最大なものを最高重みという． 角運動量の SU(2)の場合，Cartan代数は１つの生成子 Jz からなり，固有値mが重 みである．最高重みは m = jである． • Cartan代数に属さない生成子は，線形結合により，重みの値を変える昇降演算子にな る．最高重み以外の状態は，最高重みの状態から降演算子によって生成できる．
6.4 角運動量演算子の行列表現 115
6.4
角運動量演算子の行列表現
表現を決めると，演算子は行列で表すことができる．たとえば，角運動量が j であると き，既約表現は (2j + 1)表現であり(2j + 1) 個の状態からなる．それを列ベクトル | j −j | j −j+1 .. . | j j−1 | j j として，常にこの順序をとると約束すれば，この列ベクトルを基底として演算子は行列の形 で表せる．行列の大きさは表現に応じて変わる． 昇降演算子の行列要素 角運動量演算子の関係式 J2 = J+J−+ Jz2− Jz を固有関数 ψjm に作用させ，左から ψjm∗ をかけると j(j + 1) = jm | J+| j m−1 j m−1 | J−| jm + m2− m (6.63) が得られる．ここで，Hermite共役の関係式 (6.48)の行列要素による表現 j m−1 | J−| jm = jm | J+| j m−1 ∗ (6.64) を用いると jm | J+| j m−1 j m−1 | J−| jm = | jm | J+| j m−1 |2 = j(j + 1)− m2+ m (6.65) である．よって，昇演算子の行列要素は jm | J+| j m−1 = eiδ j(j + 1)− m2+ m (6.66) と書ける．ここに現れる位相因子は決まらない．eiδ = 1と約束する（位相の約束-１）．J+ と J− は互いに Hermite共役の関係 (6.64)にあるので，J+ の行列要素の位相因子を決め ると，それに応じて J− の行列要素の位相因子は決まってしまう（ 新たな自由度はない）． この位相因子の約束によると，昇降演算子の行列要素は j m±1 | J±| jm = (j∓m) (j±m + 1) (6.67) 言い換えると J±ψjm = (j∓m) (j±m + 1) ψj m±1 (6.68) となる（(6.55 に示したように，J±ψjmは ψjm±1 に比例する）．Jx と Jy は昇降演算子で表せる： Jx = 1 2(J++ J−) Jy = 1 2i(J+− J−) (6.69) 従って，昇降演算子の行列要素から，Jx, Jy の行列要素は求められる． j = 1/2 の場合 j = 1/2のとき，m = −12 と m = +12 が可能である．すなわち，2 表現である．このとき， 角運動量の代わりに Pauli行列 J = 1 2σ (6.70) を用いることが多い．Pauli行列の３つの成分は（σz が対角である表現で）次のように表さ れる： σx = 0 1 1 0 σy = 0 −i i 0 σz = 1 0 0 −1 (6.71) それぞれの Pauli行列の２乗は単位行列になる： σx2 = σy2 = σz2 = 1 0 0 1 (6.72) y 軸のまわりの角 θの回転を表す演算子は，この関係を用いて，
R(ey, θ) = exp (−iθJy) = exp −iθ 2σy = cosθ 2 − i sin θ 2σy (6.73) と書ける．特に，θ = 2nπ（nは整数）のときは R(ey, 2nπ) = cos nπ = (−1)n (6.74) となる．回転角が 2π の偶数倍のときは1 であるが，2πの奇数倍のときは −1になる． j = 1 の場合 j = 1のとき，m =−1，m = 0，m = +1の３つの値が可能である．すなわち，3表現で ある．このとき，角運動量演算子の３つの成分は Jx = 1 √ 2 0 1 0 1 0 1 0 1 0 Jy = 1 √ 2 0 −i 0 i 0 −i 0 i 0 Jz = 1 0 0 0 0 0 0 0 −1 (6.75) と書ける． 既約表現の次元によらず，また，Jz を対角にする表現であるか否かによらず，角運動量 演算子の表現行列は，角運動量演算子と同じ交換関係を満たす．
6.5 角運動量の合成とClebsch-Gordan係数 117
6.5
角運動量の合成と
Clebsch-Gordan
係数
２つの可換な角運動量のベクト ル和 ２つの角運動量の結合 J = J1+ J2 (6.76) を考える．それぞれの角運動量演算子は交換関係を満たすが，２つの角運動量は互いに可換 であるとする： [ J1i, J1j] = k i ijkJ1k [ J2i, J2j] = k i ijkJ2k [ J1i, J2j] = 0 (6.77) すなわち，J1 と J2 は異なる空間に作用する場合を考える．たとえば，軌道角運動量とス ピン角運動量の結合，２つの粒子の軌道角運動量の結合などである． ２つの部分の波動関数をψj1m1，ψj2m2，結合した状態の波動関数を ψjm とする： J12ψj1m1 = j1(j1+ 1) ψj1m1 J1zψj1m1 = m1ψj1m1 J22ψj2m2 = j2(j2+ 1) ψj2m2 J2zψj2m2 = m2ψj2m2 J2ψjm = j(j + 1) ψjm Jzψjm = m ψjm (6.78) このとき，J2 と可換な演算子は， [ J2, Jz] = [ J2, J12] = [ J2, J22] = 0 (6.79) であるから，j1 と j2 はj 及び mと同時固有状態をもつ．しかし，J1z と J2z は J2 と可 換ではない [ J2, J1z] = 0 [ J2, J2z] = 0 (6.80) ので，その固有値であるm1と m2 は良い量子数ではない．言い換えると，J を良い量子数 として持つ状態をつくるには，m1 と m2 を混合させなければならない． Clebsch-Gordan係数 ２つの部分の波動関数 ψj1m1 とψj2m2 の積波動関数ψj1m1ψj2m2 は合成した角運動量j を 良い量子数としてもたない．J2 の固有状態は，積波動関数の線形結合で表される： ψjm = m1m2 j1m1j2m2| jm ψj1m1ψj2m2 (6.81) この変換は，ψjmが規格直交化された状態であることから，unitary変換である．変換係数 j1m1j2m2| jm を Clebsch-Gordan 係数という．合成された角運動量 j が取る値は，最 小値 | j1− j2|から最大値 j1+ j2 までで，隣合う値の差は１である： j = | j1− j2|, | j1− j2| + 1, · · · , j1+ j2− 1, j1+ j2 (6.82)(6.81)が unitary変換であることから，直交関係 m1m2 j1m1j2m2| jm j1m1j2m2| jm = δjjδmm jm j1m1j2m2| jm j1m1j2m2| jm = δm1m1δm2m2 (6.83) が成り立つ．この直交関係を利用すると，(6.81)の逆変換 ψj1m1ψj2m2 = jm j1m1j2m2| jm ψjm (6.84) が得られる（mについての和があるが，下に示すように，m = m1+ m2 以外は係数が 0で ある）． 補足：群論の言葉で言うと（３） • Clebsch-Gordan係数を用いた逆変換の式 ψj1m1ψj2m2 = jm j1m1j2m2| jm ψjm は，SU(2)の２つの既約表現 { ψj1m1} m1 = −j1,−j1+ 1, · · · , j1− 1, j1 { ψj2m2} m2 = −j2,−j2+ 1, · · · , j2− 1, j2 すなわち，(2j1+ 1)表現と (2j2+ 1)表現の直積が，既約表現（(2j + 1)表現） { ψjm} m = −j, −j + 1, · · · , j − 1, j の直和で表されることを意味する．直積と直和の記号として，⊗と ⊕が用いられる． • 例：j1 = 1（3表現）とj2 = 5/2（6表現）の直積は，jとして取り得る値がj = 3/2, 5/2, 7/2であり，３つの既約表現の直和 3⊗ 6 = 4 ⊕ 6 ⊕ 8 で表される． m = m1 + m2 角運動量のz 軸への射影は保存する．すなわち， j1m1j2m2| jm = 0 m1+ m2 = m (6.85) が成り立つ．この関係式は，(6.76)から直ちに導かれる．なぜならば，(6.76)は J = J1·12+ 11·J2 (6.86)
6.5 角運動量の合成とClebsch-Gordan係数 119 を意味するからである．ここで，1 は演算子で，それが作用する波動関数を全く変えない． 従って，(6.86)の z 成分を積波動関数に作用させれば， Jzψj1m1ψj2m2 = (J1zψj1m1) (1 ψj2m2) + (1 ψj1m1) (J2zψj2m2) = m1ψj1m1ψj2m2 + m2ψj1m1ψj2m2 = (m1+ m2) ψj1m1ψj2m2 (6.87) となるので，積波動関数の角運動量の z成分は m1+ m2 であることがわかる． Clebsch-Gordan係数の値 Clebsch-Gordan係数の値は，関与する状態がどのように作られるかによって定められる． まず，j = j1+ j2 の状態を考える．中でもm = jの状態を作れるのは，m1 = j1, m2= j2 の場合だけである．すなわち， ψjj = j1j1j2j2| jj ψj1j1ψj2j2 ( j = j1+ j2) (6.88) Clebsch-Gordan係数のunitary性から，このClebsch-Gordan係数の２乗は1である．通常，
j1j1j2j2| jj = 1 ( j = j1+ j2) (6.89) とする（位相の約束-２）．すなわち， ψjj = ψj1j1ψj2j2 ( j = j1+ j2) (6.90) と書ける．次に，降演算子を用いて m = j− 1の状態を作る．降演算子は，１番目と２番 目の状態に作用する演算子を陽に書くと J− = J1−·12+ 11·J2− (6.91) である．左辺の演算子を(6.90)の左辺に作用させ，一方，右辺の演算子を(6.90)の右辺に 作用させる．降演算子の行列要素 (6.68)を用いると， 2j ψjj−1 = 2j1ψj1j1−1ψj2j2+ 2j2ψj1j1ψj2j2−1 (6.92) すなわち， ψjj−1 = j1 j ψj1j1−1ψj2j2+ j2 j ψj1j1ψj2j2−1 (6.93) が得られる．これより，直ちに次の２つのClebsch-Gordan係数の値が決まる： j1j1− 1 j2j2| jj − 1 = j1 j j1j1j2j2− 1 | jj − 1 = j2 j ( j = j1+ j2) (6.94)
降演算子の行列要素の位相の約束により，ここでの位相の任意性はなく，値は一意的に定ま る．この過程を繰り返すと，合成した角運動量が j = j1+ j2 である状態が一意的に決まり， 従って，それに対応する Clebsch-Gordan係数も一意的に決まる． 次は角運動量の大きさが j− 1 = j1+ j2− 1 の状態である．その中でz 成分が最大の状 態は m = j− 1 = j1+ j2− 1である．この状態は (6.93)の状態と直交した状態である： ψj−1j−1 = j2 j ψj1j1−1ψj2j2 − j1 j ψj1j1ψj2j2−1 (6.95) ただし，右辺に負号をかけた状態でも直交性は保証される．ここで新たな位相の自由度があ る．しかし，この符号を決めてしまえば（位相の約束-３），角運動量 j をもつ状態と同様 にして，降演算子を用いて，m の小さい状態を順次，（符号まで含めて）一意的に作ること ができる． 以下，同様にして，角運動量が１つ小さい状態を作るごとに，新たな符号の自由度があり， それを除けば状態は一意的に作られる．状態を作ると同時に，対応したClebsch-Gordan係 数の値も定まる．一般の Clebsch-Gordan係数は閉じた形で与えられる： aαbβ | cγ = δα+β,γ × (c + a− b)!(c − a + b)!(a + b − c)!(c + γ)!(c − γ)!(2c + 1) (c + a + b + 1)!(a− α)!(a + α)!(b − β)!(b + β)! 1/2 × k (−1)k+b+β(c + b + α− k)!(a − α + k)! (c− a + b − k)!(c + γ − k)!k!(k + a − b + γ)! (6.96) ここで，kについての和は分母が 0にならない範囲で整数値をとる． 対称性 Clebsch-Gordan係数には次の対称性がある： j1m1j2m2| jm = (−1)j1+j2−j j1−m1j2−m2| j −m = (−1)j1+j2−j j 2m2j1m1| j −m = (−1)j1−m1 2j + 1 2j2+ 1 j 1m1j−m | j2−m2 (6.97) この３つの関係式から，他の対称性も導ける．
6.6 既約テンソル演算子と Wigner-Eckartの定理 121
6.6
既約テンソル演算子と
Wigner-Eckart
の定理
既約テンソル演算子 既約テンソル演算子は，座標軸の回転に対する変換性によって定義される．既約テンソルは， 球テンソルと呼ばれることもある． 例として，ベクトル演算子を考える．ベクトル Aは，テンソルの言葉で言えば１階のテ ンソルである．ベクトルAはデカルト座標系において３つの成分Ax, Ay, Az をもつが，角 運動量を扱うときにはデカルト座標の成分は不便である．それは，波動関数が，角運動量 j とともに，その z 軸への射影 m を良い量子数としてもつ状態として表されるからである． そこで，デカルト座標における３つの成分の線形結合 A±1 = ∓√1 2(Ax± i Ay), A0 = Az (6.98) をつくると，このように書いたAµの添字µは角運動量の z軸への射影に対応している． 角運動量の演算子J もベクトル演算子であるから，上と同様にして，１階の既約テンソ ル演算子としての３つの成分 Jµは J±1 = ∓√1 2(Jx± i Jy), J0 = Jz (6.99) で与えられる．ベクトルである座標の演算子，運動量の演算子も全く同様である． 既約テンソル演算子の定義（Racahの定義） １組の演算子 { TLM} M = −L, −L + 1, · · · , L − 1, L (6.100) があり，角運動量の演算子と交換関係 [ J±1, TLM] = ∓ (L∓ M)(L ± M + 1) 2 TL M±1 [ J0, TLM] = M TLM (6.101) を満たすとき，上の演算子の集合は L階の既約テンソル演算子を構成する．ただし，ここ に現れている角運動量の演算子の成分は，(6.99)で定義された成分Jµである． 既約テンソル演算子の別の例として，位置演算子の積で定義される四重極遷移演算子が ある： Q2µ = r2Y2µ(θ, φ) µ = −2, −1, 0, 1, 2 (6.102) これら５つの成分は，位置演算子のデカルト座標成分 x, y, zで表すと Q2±2 = 15 32π(x± iy) 2 Q2±1 = ∓ 15 8π(x± iy) z Q20 = 5 16π[ 2z 2− x2− y2] (6.103)となる． Wigner-Eckartの定理 この定理は，既約テンソル演算子の行列要素を扱う上で大変重要であるが，詳細は省いて， その意味するところを述べるに留める． J2 と Jz の固有状態（既約表現）に対して，既約テンソル演算子の行列要素は次のよう に書ける： j1m1| TLM| j2m2 = 1 √ 2j1+ 1 j2m2LM| j1m1 j1 TL j2 (6.104) 右辺の行列要素の２本の縦棒は角運動量について reduceしたことを表し，この行列要素を
換算行列要素（reduced matrix element）とよぶ．
Wigner-Eckartの定理により，行列要素の物理的因子と幾何学的因子が分離される．既約 テンソル演算子の物理的性質，始状態・終状態の物理的性質は全て換算行列要素の中に含ま れる．Jz の固有値に依存する部分（幾何学的因子）はClebsch-Gordan係数に含まれる．こ の結果，(2j1+ 1) 表現と 2j2+ 1 表現の状態に対する，L 階の既約テンソル演算子の行列 要素は全部で (2j1+ 1)× (2j2+ 1)× (2L + 1) 個 あるが，幾何学的因子を除いた，物理的性質に依存する因子は唯一つしかない．個々の行列 要素のあいだの関係は Clebsch-Gordan係数によって決定される．
