第 4 週コンボリューションその 2, 正弦波による分解 教科書 p. 16~ 目標コンボリューションの演習. 正弦波による信号の分解の考え方の理解. 正弦波の複素表現を学ぶ. 演習問題 問 1. 以下の図にならって,1 と 2 の δ 関数を図示せよ δ (t) 2

第４週

コンボリューションその２，正弦波による分解

【教科書 p. 16～】 目標 コンボリューションの演習．正弦波による信号の分解の考え方の理解．正弦波の複素表現を学ぶ． 演習問題 問１．以下の図にならって，①と②のδ関数を図示せよ． -3 -2 -1 0 1 2 3 t 3 2 1 0 -1 -2 -3 ) (t δ ) 2 ( 2 − −δt -3 -2 -1 0 1 2 3 t 3 2 1 0 -1 -2 -3 ) (t δ ) 2 ( 2 − −δt 図１ δ関数の図示の例 ①

δ

(t)+2

δ

(t−1)−3

δ

(t−2) ②2

δ

(t+2)+2

δ

(t−2) -3 -2 -1 0 1 2 3 t 3 2 1 0 -1 -2 -3 -3 -2 -1 0 1 2 3 t 3 2 1 0 -1 -2 -3 -3 -2 -1 0 1 2 3 t 3 2 1 0 -1 -2 -3 -3 -2 -1 0 1 2 3 t 3 2 1 0 -1 -2 -3 問 3 信号x(t)が図２のように表示されているとして，x(t)と

δ

(t)+2

δ

(t−1)−3

δ

(t−2)とのコンボリュ ーションで得られる信号の概形を図示せよ． -3 -2 -1 0 1 2 3 t 3 2 1 0 -1 -2 -3 ) (t x -3 -2 -1 0 1 2 3 t 3 2 1 0 -1 -2 -3 -3 -2 -1 0 1 2 3 t 3 2 1 0 -1 -2 -3 図２ 信号x(t)

問２ 図にならって，①と②のδ関数を図示せよ． ①

δ

(t)+2

δ

(t−1)−3

δ

(t−2) ②2

δ

(t+2)+2

δ

(t−2) 以下のようになる 問３ 信号x(t)が図のように表示されているとして，

x

(

t

)

∗

{

δ

(

t

)

+

2

δ

(

t

−

1

)

−

3

δ

(

t

−

2

)

}

を図示せよ．

{

( ) 2 ( 1) 3 ( 2)

}

( ) 2 ( 1) 3 ( 2) ) (_t ∗ δ _t + δ _t− − δ t− =x t + x t− − x t− x より，図のようになる．

-3 -2 -1 0 1 2 3

t

3

2

1

0

-1

-2

-3

{

(

)

2

(

1

)

3

(

2

)

}

)

(

t

∗

t

+

t

−

−

t

−

x

δ

δ

δ

-3 -2 -1 0 1 2 3

t

3

2

1

0

-1

-2

-3

{

(

)

2

(

1

)

3

(

2

)

}

)

(

t

∗

t

+

t

−

−

t

−

x

δ

δ

δ

)

(t

x

)

1

(

2

x

t

−

)

2

(

3

−

−

x

t

-3 -2 -1 0 1 2 3 t 3 2 1 0 -1 -2 -3 ) 2 ( 3 ) 1 ( 2 ) (t + δ t− − δ t− δ -3 -2 -1 0 1 2 3 t 3 2 1 0 -1 -2 -3 ) 2 ( 2 ) 2 ( 2δ t+ + δ t− -3 -2 -1 0 1 2 3 t 3 2 1 0 -1 -2 -3 ) 2 ( 2 ) 2 ( 2δ t+ + δ t−

正弦波による分解 基本的な信号として正弦波信号1_{を選んだ場合について考える．Fig.4-1 に示すように，信号は様々な} 周波数を持つ正弦波に分解して考えることができる．δ関数による分解とは異なり，正弦波による分解 を使うと，システムの特性や入出力関係を直感的でわかりやすく表すことができる．はじめに，そのた めの数学的な準備をする．

＝

+

+

+

• • •

+

)

(t

x

0

c

)

cos(

₁

₁

1

⋅

ω

t

+

θ

c

)

cos(

₂

₂

2

⋅

ω

t

+

θ

c

)

cos(

_n

_n

n

t

c

⋅

ω

+

θ

Fig.4-1 正弦波による分解 信号x(t)は様々な周波数，振幅および位相を持つ正弦波に分解できる 正弦波の数学的な表現【教科書 p. 17～】 周波数 f，振幅 a，時刻 t = 0 での位相がθの正弦波信号は，実関数で表せば， cos(2 ) a⋅ π f t+θ （4-1） となる．この信号を，複素関数で表すと， (2 ) j f t a e⋅ π +θ （4-2） となる．ここで，jは j2 =−1となる虚数単位である． ---

1 _{正弦波信号（sinusoidal signal）：sin も cos も合わせて“正弦波”と呼ぶ。}

周波数（frequency），振幅（amplitude），位相（phase）

線形シス 3 波形の合成.ppt

図的な理解

_⋅ j(2π⋅f⋅t+θ) e a

の時刻

t

での値：複素平面上の１ 点として表す

時間変化に対する軌跡→半径

a

の円周になる

時刻

t

= 0 に位相角

θ

の位置を通過し，円周を１ 秒間に

f

回転の速度で回転

(2 ) j f t a e⋅ π +θ _は， aej(2πft+θ)=acos(2πft+ +θ) jasin(2πft+θ) （4-3） と書けるので， 実数部が，実際の正弦波の時間変動acos(2πft)に対応している 虚数部が，実際の正弦波の時間変動と直交している 複素振幅【教科書 p. 18】

acos(2πft+θ)

を，

2 2 _ˆ 2 j ft j j ft j ft ae π +θ =ae eθ π =ae π

（4-4）

と変形したとき，

ˆ j a=aeθ

（4-5）

を，この正弦波の複素振幅（complex amplitude）と呼ぶ．

--- 複素振幅（complex amplitude） ①Sin_animeUI.m ②SinPlotUI.m ことがわかる． ４ ２ ３

)

2

cos(

π

+

θ

⋅

f

t

a

a

Re

Im

θ ) 2 ( π +θ ⋅ j ft e a

t

θ 0 = t Fig.4-2 複素三角関数により正弦波を表す ) 2 cos( π +θ ⋅ f t a a Re Im θ a⋅ej(2π +ftθ) t θ 0 = t 0 = t 左回りに 90°回転させた方がわかりやすいかも

複素振幅aˆ×時間変動項_ej2π ⋅ ⋅f t 複素振幅のメリット：正弦波を時間変動の項を分離した形で表すことができる １つの周波数の成分に注目する場合，時間変動の項を除いた複素振幅だけを扱えば良い． 角周波数 正弦波の変動の速さは，単位時間当りの周期数 f の他に，単位時間当りの位相変化

ω

=2

π

f を使 って表されることがある．ω を角周波数と呼び，単位は radian/s が使われる．数学的な取り扱い をする場合，時間変動の項に2

π

が含まれない簡潔な形になるため，多用される． 周波数応答【教科書 p. 19】 正弦波を，線形かつ時不変なシステムに入力

振幅が何倍になり（利得，gain）

位相がどれだけずれたか（位相シフト，phase shift）

を必要な周波数の範囲について調べたもの

周波数の関数

G(ω)

と

θ

(

ω

)

として表す

線形でシフト不変なシステムの特性は周波数応答で完全に記述される

Fig.4-4 周波数応答 インパルス応答と同様に，周波数応答に関しても次の重要な性質がある． 線形でシフト不変なシステムの特性は周波数応答で完全に記述される 連続時間システムの伝達関数【教科書 p. 20】 正弦波を複素関数で表現→線形時不変システムの入出力関係は比例関係として把握できる． 比例定数：絶対値が利得に，位相角が位相シフトに対応した複素数 比例定数を周波数に関する関数として表したもの：伝達関数（transfer function） ---

周波数応答（frequency response），角周波数（angular frequency），利得（gain）増幅器や減衰器における，出力信号の 入力信号に対する振幅の倍率，伝達関数（transfer function）

}

{

⋅

L }

{

⋅

L

i a o a i o ) ( a a Gω = ) (ω θ t t ω ) (ω G ω ) (ω θ ５

角周波数

ω

での利得G(

ω

)，位相シフト

θ

(

ω

)（位相進みを正とする），

H

(

ω

)

の関係： ) ( ) ( ) (

ω

G

ω

ejθ ω H = ⋅

(4-6)

G(ω)=H(ω)

(4-7)

) ( ) (ω ω θ =∠H

(4-8)

角周波数ωの連続時間正弦波 j t eω⋅ を線形かつ時間不変なシステムに入力したときの出力信号は，

{ }

j t j t e H e L ω⋅ = (ω)⋅ ω⋅ (4-9) となり，伝達関数H(ω)倍されたものとして表される． 入力信号x(t)，その角周波数

ω

の成分の複素振幅をX(

ω

) 出力信号y(t)，その角周波数

ω

の成分の複素振幅をY(

ω

) ) ( ) ( ) (ω H ω X ω Y = ⋅ (4-10) という関係が成立している．

)

(

ω

H

) (ω+θ

⋅

j t

e

a

t t ) (

)

(

ω

×

a

⋅

e

j ωt+θ

H

Fig.4-5 伝達関数は正弦波入力に対する複素の“比例係数”を周波数の関数として表したもの 伝達関数の概念

＝

+

+

+

) (t x t j e X(

ω

)⋅ ω

)

(t

y

• •• • ••

＝

+

+

+

• •• • ••

+

+

• •• • ••

+

+

• •• • •• t j e Y(

ω

)⋅ ω • • • • • • • •• • ••

{ }

⋅ L

{ }

⋅ L

{ }

⋅ L

{ }

⋅ L

{ }

⋅ L

{ }

⋅ L

{ }

⋅ L

{ }

⋅ L

{ }

⋅ L

{ }

⋅ L ６

演習問題 問１．以下の実関数で与えられる正弦波信号の複素振幅を複素平面上に図示せよ． ① cos(2πft−π/ 4) ② 2cos(2πft+π/ 6) 例：cos(2π ft+π/ 4)の複素振幅

この信号の複素関数表現は

(2 / 4) 1⋅ej πft+π

となるので， これを複

素平面上に図示すると，右の図のようになる．

① cos(2πft−π/ 4) ② 2cos(2π ft+π/ 6) 問２．複素振幅が_e−j( / 2)π _{で与えられる 100Hz の正弦波を，周波数 100Hz での利得（倍率）が 10 倍，} 位相遅れが

π

/4であるような増幅器に入力した．出力信号の複素振幅を求め，複素平面上に図示せよ．

Im

Re

Im Re /4) ft cos(2π +π 1 2 3

Im

Re

1 2 3

Im

Re

1 2 3

演習問題の解答例 問１． ① cos(2πft−π/ 4) ② 2cos(2πft+π/ 6) ①cos(2πft−π/4)を，複素三角関数で表すと， j ft j ft j e e e π π π π /4) ₄ 2 2 ( − ₌ − となる．したがって，複素振幅は 4 π j e− となり,これを複素平面上に表すと,図 1 のようになる， ②2⋅cos(2

π

⋅ f ⋅t+

π

/6)を，複素三角関数で表すと， _ej ft _ej _ej πft π π π /6) 6 2 2 ( 2 2 + = となり，これを複素平面上に表すと,図 2 のようになる， ＊この解答例からもわかるように，複素振幅は，「絶対値が正弦波の振幅に等しく，位相角が時刻_t=₀での正弦波 の位相角に等しいような複素数」になっています。 問２． 周波数 100Hz での利得（倍率）が 10 倍，位相遅れが

π

/4であるから，入力信号の複素振幅を ) 4 / ( 10e−jπ 倍したものが出力信号の複素振幅となる。したがって，出力信号の複素振幅は， ( / 2 ) ( / 4 ) (3 / 4)

10

10

j j j

e

− π

×

e

− π

=

e

− π となる。これを複素平面上に図示すると図３ のようになる。図の中で●が複素振幅を表す複素数に対応する。 図３ 出力信号の複素振幅 ＊正弦波は，線形で時間不変なシステムに入力する と，振幅が何倍かされ位相が何度がずれる，という 作用を受けます。（この「振幅の倍率」を利得と呼 びます。） 問２の解答からわかるように，この操作は，正弦 波を複素三角関数で表すと，入力を「絶対値が利得， 位相角が位相ずれ」に対応する複素数倍して出力す ることに対応します。

Im

Re

6 π 1 2 3 2cos(2πft+π/6)

Im

Re

4 3π 10 /4) 3 ft 10cos(2π − π

Im

Re

1 2 3 4 π /4) ft cos(2π ₋π 図 1 図 2