量子臨界現象におけるトポロジー

量子臨界現象におけるトポロジー

大学院共通授業科目「トポロジー理工学 特別講義」

理学研究院 物理学部門

網塚 浩

1.

重い電子状態の現象論と微視的機構

2.

量子相転移と非フェルミ液体異常

3.

量子臨界異常の観測例

4.

量子相転移とトポロジー

１．重い電子状態の現象論と微視的機構

s,p 4d 3d 5f 4f Transition metal （モット転移） Heavy electron Valence fluctuation みる物理量や 温度領域によって 局在・遍歴両描像が出現． 弱 局在性 強 通常⾦属 High T_c 弱 ⼤（強相関） （電⼦相関） （運動エネルギー） 軽い電⼦ 重い電⼦

電子の属性

質量

m

= 9.10956 × 10

-31

[kg]

電荷

e

= - 1.60219 × 10

-19

[C]

スピン

S

= 1/2

重い電子の発見

Kittel & Kroemer “Thermal Physics” Kの比熱

mol

mJ/K

2

~

2

γ

通常金属の電子比熱

)

(

~

γT

T

3

T

T

_F

C

+

β

<<

Kの場合：

CeAl

₃

の低温比熱

CeAl₃ （’75 H.R. Ott）

mol

mJ/K

1600

~

2

γ

Kの約1000倍！

3

~

γT

T

C

+

β

自由電子気体模型

) ( _F V T T T C =γ +_L << 自由電子気体の比熱 m k_F F 2 2 2 h = ε k_x k_y k_z k_F

( )

r εφ

( )

r φ = Δ − m 2 2 h

( )

_{r =} −k⋅r ∴ _e i V 1 φ 3 2 1 2 , 2 , 2 n L k n L k n L k_x = π _y = π _z = π （n₁, n₂, n₃ ：整数）

(

2 2 2

)

2 2m kx +ky +kz = h k ε Fermi エネルギー Fermi 面・Fermi球

( )

T k m Nk T T Nk T D k C F B F B F B V 2 2 2 2 2 2 2 2 3 h π π ε π = = ≈

( )

m T D T C F F V ∝ ∝ ∝ ≡ 1 ε γ

( ) ( )

ε ε ε εf D d E =

∫

∞ 0 より正確には…

( )

( )

(

( )

)

+_L ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∂ ∂ + = =

∫

μ ε μ ε ε ε π ε ε εD d kBT D 6 2 2 0 2 T T Nk T k T T N E F B B F ≈ × ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ × ≈ 個 F B V T T Nk dT dE C 2 1 ≈ = Fermi 温度 K 10 104 − 5 ≈ = _{F B} F k T ε

通常金属の電子比熱係数

K

10

~

1

~

4 F 0

T

m

m

×

重い電子系の低温比熱

CeAl

₃

（’75 H.R. Ott）

“重い電子”系

（主にCe, Pr, Yb, U, Np, Pu化合物）

K

10

1

~

1000

~

F 0

−

×

T

m

m

mol

mJ/K

1600

~

2

γ

重い電子による超伝導の発見

CeCu

₂

Si

₂

（’

79 F. Steglich）

mol

mJ/K

1000

~

/

T

_c 2

C

Δ

“重い電子”そのものが超伝導

（遍歴する電子である証拠！）

電気抵抗：通常金属

T

ρ

5

~ T

T

~

0

ρ

0

T~

Θ

_D

重い電子系の電気抵抗

2

~ T

ここまで

電子が重い

Î エネルギーを与えたときに電子同士が相互作用

することによって加速されにくい

Î 有効質量が大きい

●

重い電子の比熱は温度に比例する

Î 自由電子と同じ統計性

Î しかし、比例係数が異常に大きい

●

電気抵抗は低温で

T

2

に比例

Î 自由電子には無い性質

Fermi粒子の衝突

Fermi球 ) 0 ( ,

ε

> p ) 0 ( , ₁ 1

ε

< p Fermi球

)

0

(

,

′

>

′

ε

p

) 0 ( , ₁ 1′

ε

′ > p

)

0

(

,

ε

>

p

p

₁

,

ε

₁

(

<

0

)

)

0

(

,

′

>

′

ε

p

) 0 ( , ₁ 1′

ε

′ > p Fermi面下

Fermi粒子の寿命

Fermi球 ) 0 ( ,

ε

> p ) 0 ( , ₁ 1

ε

< p Fermi球

)

0

(

,

′

>

′

ε

p

) 0 ( , ₁ 1′

ε

′ > p （衝突頻度） 2

( )

_{k T} 2 B ∝ ∝

ε

有限温度 T 準粒子の寿命

( )

2 1 T k_B ∝

τ

温度Tでの熱物理量Î k_BTの幅の統計平均 の時間内の平均 十分低温（T<<E_F）では

τ

< Δt T k t B 1 ∝ Δ ◆低エネルギー励起の構造（統計性）は理想気体と同じ！ ◆輸送特性には衝突頻度（~T2_{）が現れる}

LandauのFermi液体論

Landau のFermi液体論 基本仮定：相転移が無い限り相互作用について摂動論が成立（断熱的連続性） 理想Fermi気体の1粒子 準粒子 （１対１対応）

.

2 *

const

AT

1

T

C

T

T

V F

=

+

=

+

=

<<

χ

ρ

γ

_L

相転移が無い限り相互作用によって粒子数は変わらない Fermi球内の体積は変わらない Lüttingerの定理 準粒子は自由電子気体と同じ統計性

LandauのFermi液体論

Fermi球

σ

, k 裸の電子 準粒子 電子間相互作用の導入 連続的に移行 2 F ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∝ T T k

τ

運動量・電荷・電子数保存 † k c q_k† F c c c c c c c c c z F q _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + Γ + Γ + =

∑

∑

_L L 5 1 5 4 3 2 1 3 2 1 3 2 1 , , 2 , , 1 k k k k k k k k k k k k k k k k † † † † † † † もとのc_k†_はz kの割合でしか含まれない 相転移（長距離秩序）が無い限り、物理量は電子間相互作用Uに関して解析的 証明は困難 成功例：近藤問題 (磁性不純物に対するAnderson模型）

重い電子の正体は？

重い電子状態が発現する物質系

主として

Ce, Pr, Yb といった希土類元素、及びU, Puなどのア

クチナイド元素を含む金属化合物

CeCu

₂

Si

₂

, CeRu

₂

Si

₂

, CeAl

₃

, CeCu

₆

, CeCoIn

₅

…

PrOs

₄

Sb

₁₂

, PrFe

₄

P

₁₂

, YbCu

₂

Si

₂

, …

UBe

₁₃

, UPt

₃

, URu

₂

Si

₂

, UPd

₂

Al

₃

, PuCoIn

₅

, …

磁性元素

H He Li Be 0.026 B C N O F Ne Na Mg Al 1.14 Si P S Cl Ar K Ca Sc Ti 0.39 V 5.38 Cr Mn Fe 1043 Co 1400 Ni 631 Cu Zn 0.88 Ga 1.1 Ge As Se Br Kr Rb Sr Y Zr 0.55 Nb 9.5 Mo 0.92 Tc 7.8 Ru 0.51 Rh 0.0003 Pd Ag Cd 0.56 In 3.4 Sn 3.7 Sb Te I Xe Cs Ba La 6.0 Hf 0.12 Ta 4.5 W 0.012 Re 1.4 Os 0.66 Ir 0.14 Pt Au Hg 4.153 Tl 2.4 Pb 7.2 Bi Po At Rn Fr Ra Ac Ce Pr Nd Pm Sm Eu Gd 289 Tb Dy Ho Er Tm Yb Lu 0.1 Th 1.4 Pa 1.4 U 0.2 Np Pu Am Cm Bk Cf Es Fm Md No Lr 超伝導（数値は転移温度 (K) ） 室温で強磁性（数値は転移温度 (K) ） 低温で磁気秩序

内殻軌道と物性

0 4 8 1 r (a. u.) ( rR(r) ) 2 Ni(3d8_4s2₎ 3s 3p 3d 4s r (a. u.) 0 4 8 ( rR(r) ) 2 1 5f 6s 6p 6d 7s U(5f3_6d1_7s2₎ r (a. u.) ( rR(r) ) 2 0 4 8 1 Ce(4f1_5d1_6s2₎ 4f 5s 5p 5d 6s c-f 混成バンド ＋ 多極子相関 d電子バンド ＋ スピン相関 ● 結晶中 結晶格子を組むと・・・

重い電子系を導く電子相関

f 電子の感じる有効ポテンシャル ● c-f 混成効果 V トンネル効果により f 電子 Î c 軌道（伝導電子軌道）へ c 電子Î f 軌道へ 磁性を消失させる ● f 軌道内クーロン斥力 U 狭いf 軌道に電子が2個入る(↑↓)と Î 強い斥力によりエネルギー増 磁性を回復させる 競合 σ , k V U

Anderson 模型

(

+

)

+ ↑ ↑ ↓ ↓ + + =

∑

a a

∑

E_da_d a_d

∑

V _da a_d V_d a_d a Ua_d a_d a_d a_d H † † † † † † σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ

ε

, , k k k k k k k k k 伝導s電子 運動エネルギー d軌道電子 束縛エネルギー sd混成効果 d軌道内 Coulomb相関 d E d E U +

V

U

電子相関の尺度

Anderson 模型

(

+

)

+ ↑ ↑ ↓ ↓ + + =

∑

a a

∑

E_da_d a_d

∑

V _da a_d V_d a_d a Ua_d a_d a_d a_d H † † † † † † σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ

ε

, , k k k k k k k k k

V

U

0

∞

系はFermi液体にとどまる 電子相関を連続的に変化 スピン揺らぎ小 価数揺らぎ大 スピン揺らぎ大 価数揺らぎ小 Kondo limit

Anderson 模型

近藤効果

Kondo 効果

Fermi Sea k,σ I S 希薄磁性合金の問題（~1930） 伝導電子の海の中の1個の磁性イオン

T

ρ

χ

C

T

_K ~ AT2 ~ const ~ γT

低温で磁性が消失

局所

Fermi液体

~ lnT

実験事実

s-d 問題

近藤 (1964)

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

D

T

J

_c B

1

2

ln

~

ρ

ρ

ρ

s-d Hamiltonian 第2ボルン近似（Jの3次摂動） スケーリング（摂動）

D

D

J

J

J

J

D

D

D

D

c

~

ln

1

~

~

ρ

−

=

→

Δ

−

=

→

(

exp(

1

/

)

)

~

J

D

T

D

→

_K

=

ρ

_c

∑

−

⋅

=

σ

ε

σ σ , I c k k k k sd

c

c

JS

s

H

∑ ∑

≡

' , , ' ' c

2

1

1

k k k k

c

c

N

s

β α α

σ

αβ σ † † J<0 (AF的）なら でJ発散：摂動の破綻 T_K：近藤温度 ~ 典型的多体電子相関

s-d 問題

|J| << 1 |J| ~ D (~ T) ~ T_K ∞ T = 0 ?? I S s Yosida (1966) くりこみ破綻 spin singlet 基底状態 ΔE ~ T_K （変分法） Wilson (1973) 数値くりこみ群 強結合極限での励起 Î Fermi液体論に従う 非自明！！ 弱結合極限 doublet 数値くりこみ群が常にうまくいくとは限らない 厳密解も求まるとは限らない

2. 量子相転移と非フェルミ液体異常

j S σ , k j S J inter-site RKKY相互作用 T_RKKY ~ J2 on-site Kondo効果 T_K ~ e -1/J coleman Physica B 1999 高温 低温：AFMかFLか？ T_K/T_RKKY T=0でAFM－FL間の 量子相転移（QPT） 近藤効果とRKKY相互作用の競合

量子相転移：実験例

x = 0.1 を境に FL AF

x = 0.1 では非Fermi液体的振る舞い

量子相転移：

Generic phase diagram

δ T_RKKY ~ J2_/D T_K ~ De-D/J T T_N 圧力、組成、 磁場 AF _{Fermi Liquid} 量子臨界点（QCP） non-Fermi Liquid δ_c ∞ → 0 * m m

量子臨界現象

量子相転移 相関距離 相関時間 振動数 ν

ξ

~ T −T_c − z −

ξ

τ

~ ν

τ

ω

z c T T − − ~ ~ 1 z: 動的臨界指数 古典系の場合 T → T_c 熱揺らぎが支配的 k_BT >> _h

ω

∞ →

ξ

揺らぎのスローイングダウン 動的性質は本質的では無くなる

量子臨界現象

量子相転移（T=0）の場合 相転移はパラメター δ の変化で起こる ν

δ

δ

ω

z c − ~ h d次元の量子系はd+1次元の古典系と等価 量子揺らぎ（どんな揺らぎかは非自明） 付近より低温で、静的（熱的）性質と 動的（量子揺らぎ）が結合

ω

h ~ T k_B

量子臨界現象：

SCR理論の予想

「準粒子バンドのSDW転移に伴う揺らぎ」という観点 反強磁性 強磁性 C/T a - bT1/2 _T-1/3 _{- lnT} 2d 3d 2d 3d ρ T T3/2 _T4/3 _T5/3 _T2 const. Fermi液体 Millis PRB 1993

Moriya and Takimoto JPSJ 1995 - lnT

量子臨界現象：問題点

○ AF相は本当に準粒子のSDWという描像でよいのか？ NFL的挙動は相図上でAF相から離れたところでも観測される 物理量のべき指数は必ずしもSCR理論の予想に従わない ○ QCP近傍では、しばしば非常に弱い磁気モーメントによる磁性 が観測される。この実体は何か。NFLとの関係は？ ○ QCP近傍にはしばしば異方的超伝導が出現する。この原因・ 機構は何か？

3. 量子相転移の例：圧力誘起

CePd₂Si₂ MnSi _{Pfleiderer et al.}

Nature 2004

Mathur et al. Nature 1998

量子相転移の例：圧力誘起

UGe₂

Saxena et al. Nature 2000

量子臨界異常の例：磁場誘起

メタ磁性：ある磁場で磁化が 急増する現象 dM/dB 発散せず Î 相転移ではない CeRu₂Si₂：磁気秩序のない典型的な 重い電子系物質 B_M T. Sakakibara et al. PRB 51 (1995) 12030

Quantum Critical “End” Point

T

0 1st. order _B

critical end point 対称性変わらず

T

0 _B

quantum critical end point

Q1: QCEP近傍の電子状態はLandauのFermi 液体論に従うか？ （Î ラッティンジャーの定理の破綻？）

Non-Fermi-Liquid (NFL) Behavior

α

ρ

ρ

=

₀

+

AT

CeRu₂Si₂ R. Daou (2004) Cambridge

Sr

₃

Ru

₂

O

₇

α

ρ

ρ

=

₀

+

AT

NFL R.S. Perry et al. PRL 86 (2001) 2661

S.A. Grigera et al.

Sr

₃

Ru

₂

O

₇

良質試料 Î QCEP近傍に新たな相？

S.A. Grigera et al.

4. 量子相転移とトポロジー

①

Fermi 面のトポロジー変化と物性の関係

②

NFL：トポロジカル秩序発現の可能性

Coleman Physica B 2001

トポロジー概念を用いた最近の理論提案の紹介

量子相転移とトポロジー

準粒子による SDW転移の描像 Kondo breakdown の描像 大きなFermi面 小さなFermi面 n_T = 1 + n_c nT = nc f電子は局在 Fermi面トポロジーの不連続変化 Î Hall 効果、dHvA効果等による検証が待たれている

CeRu

₂

Si

₂

の

dHvA効果

H. Aoki et al.,

JPSJ 62(1993)3157.

B < B_{M B > BM}

小さな hole Fermi面 Î 大きな hole Fermi面

相転移が無いのに、伝導電子状態数はメタ磁性で減少!？

m* ~ 200 m₀ m* ~ 10 m₀

φ _ω

CeRu

₂

Si

₂

の極低温磁気輸送特性

Daou et al., 2005 磁気抵抗、ホール抵抗に飛びなし Î Fermi面は連続変化 （トポロジー不変） Î 大きなFermi面が保たれる

CeRu

₂

Si

₂

の極低温磁気輸送特性

量子相転移に伴うトポロジカル励起

d=3 Kondo-Heisenberg model T. Senthil et al. PRB69 (2004) 035111 1 =

∑

α α fiα fi † _{電荷の揺らぎ無し} 理論はU(1)ゲージ変換に対して不変 ) ( eφ τ α α i i r i f f → U(1)ゲージ場 A_μ の存在 c-f混成の度合い：

∑

α iα iα i c f b ~ † J_K（or J_H)をtune Î <b_i>とA_μの揺らぎとの競合

量子相転移に伴うトポロジカル秩序の可能性

T. Senthil et al. PhysicaB 2004 J_H導入すると f状態に分散 c-f 混成した状態 2つのFermi面が発生 cold: c成分大（軽い） hot: f成分大（重い） FL: conventional

Fermi liquid FL*: FL with cold FS+ spin liquid 電荷ゼロ、スピン1/2 の励起（spinon）を伴う

量子相転移に伴うトポロジカル秩序

T. Senthil et al. PhysicaB 2004 スピン液体状態 S = 0, 並進対称性破らず Analog: 2d Néel VBS C/T ~ ln T C/T ~ ln T

2d Néel state vs VBS

T. Senthil et al. Science 2004 この間の相転移は？ spin 回転対称性の破れ 並進対称性の破れ 異なる対称性の破れた状態間の転移 通常1次か2相共存 トポロジカル秩序の可能性？ m m m r d Q ˆ _x ˆ _y ˆ 4 1 2 ⋅∂ ×∂ =

_∫

π skyrmions 適当な境界条件のもとで、Q 整数 m(x,y,t) well-defined Î Q 一定

MnSi のSpin Liquid Crystal Order（理論）

スピン配置のホモトピー群による分類

( )

x

mˆ

.

const

=

m

ならばmは方向（θ, φ）のみの関数 空間の各点

x

球面S2

(

θ

₍

x

_),

φ

₍

x

₎

)

( )

x m 写像 様々なスピン配置 Î S2_{への写像で分類} ホモトピー群

レポート課題

‹

量子相転移の例を一つ調べ、その特徴をまとめなさい

（実験でも理論でもよい）。