超伝導と強磁性が共存する物質の熱膨張
畑 山 伸 訓
∗, 今 野 理 喜 男
∗Thermal expansion of ferromagnetic superconductors
Nobukuni Hatayama , Rikio Konno
We investigate the temperature dependence of thermal expansion of the ferromagnetic triplet super- conductors and their thermal expansion coefficients below the superconducting transition temperature of a majority spin conduction band. The free energy of the ferromagnetic superconductors derived by Linder et al. is used. The superconducting gaps in the A2 phase of3He and with a node in UGe2are con- sidered. By applying Takahashi’s method to the free energy, the temperature dependence of the thermal expansion coefficients is studied below the superconducting transition temperature of the majority spin conduction band. We find that we have divergence of the thermal expansion coefficients at the supercon- ducting transition temperatures. The Gr¨uneisen’s relation between the temperature dependence of the thermal expansion coefficients and the temperature dependence of the specific heat at low temperatures is satisfied.
keywords: thermal expansion, superconductivity, ferromagnetism
１．導入
近年、強磁性と超伝導性が共存する物質が発見され，
それらの物理的性質は多くの研究者を引きつけてきた. 強磁性超伝導体であるUGe2は, 1.2GP a周辺の圧力下 おいて,強磁性が発生するキュリー温度Tc= 32Kであ り,さらに超伝導転移温度Tsc= 0.8Kを持つ. 飽和磁 化は約1µB である. またUGe2はラインノードを持っ たアップスピン伝導バンドの超伝導ギャップを持ち,ダ ウンスピン伝導バンドの超伝導ギャップは持たないこと が実験でわかっている.
最近, Linder氏達によって単一バンドモデルに基づい
て強磁性が共存する超伝導体の自由エネルギーが導出さ れた. このモデルでは,アップスピンバンドとダウンス ピンバンドに対して,超伝導ギャップをそれぞれ1つず つ持つ. これに伴い,アップスピン伝導バンドの超伝導 転移温度Tsc,↑と,ダウンスピン伝導バンドの超伝導転 移温度Tsc,↓が対応する. Linder氏たちは,強磁性が共 存する超伝導体の自由エネルギーと純粋な強磁性体の自 由エネルギーを比較した. その結果，強磁性が共存する 超伝導体の自由エネルギーは純粋な強磁性体の自由エネ ルギーよりも低いということを見出した. すなわち,彼 らは超伝導と強磁性の共存状態が安定であることを見出 した.
一方,スピンゆらぎのために熱膨張の理論は発展をと げている. 従来の理論では矛盾していたグリュナイゼン
∗近畿大学工業高等専門学校 総合システム工学科
の関係を満たす理論を高橋等は提案した. 彼等は磁気比 熱で使われる自由エネルギーから出発して,その体積依 存性を考慮することによって,熱膨張と熱膨張率を得た. これらは,グリュナイゼンの関係を満たしている.
一方,クラーク氏は量子臨界点で位相幾何学的なアプ ローチによる熱膨張の温度依存性を調査した. しかし
ながら, Linder氏達によって得られた自由エネルギーを
使った強磁性と共存する超伝導体の熱膨張と熱膨張率は 議論されていない. そこで我々は, Linder氏達によって 得られた自由エネルギーから高橋氏の方法を適用し,強 磁性と共存する超伝導体の熱膨張と熱膨張率の温度依存 性を調べる. 次のセクションでは,強磁性が共存する超 伝導体の熱膨張と熱膨張率を得る. セクション３では,
3Heの薄膜の超伝導ギャップを持つ場合と、UGe2で実 験的に提案されたアップスピンバンドのノードを持つ超 伝導ギャップの場合の超伝導秩序パラメータの温度依存 性を求める. セクション４では，それぞれの場合の熱膨 張と熱膨張率の結果を見る. セクション５で結論づける.
２ 強磁性超伝導体の熱膨張と熱膨張率の導出 我々は，次の自由エネルギーから始める. 6,7:
Fcoexist/N=F0/N+FT/N, (1)
ここで, F0
N =IM2 2 + 1
2π
∫ 2π
0
dθ∑
σ
∆2σ(θ) 2g
− 1 2π
∑
σ
∫2π
0
dθ
∫EF 0
dεN(ε)Eσ(ε, θ)
2 , (2)
FT
N =−T 2π
∑
σ
∫2π
0
dθ
∫∞
0
dεN(ε) ln(1 +e−Eσ(ε,θ)/T),(3) Eσ(ε, θ) =√
(ε−σIM−EF)2+ ∆2σ(θ). (4) また,F0は基底状態での自由エネルギー,FTは励起状態 での自由エネルギーである. EF はフェルミエネルギー. Nは磁性原子数. N(ϵ)は状態密度であり, ∆σ(θ)はス ピンσの伝導バンドを持つ超伝導ギャップである. θは kF x-kF y面内での方位角,kF はフェルミ波数である. g はクーパー対を作る有効引力相互作用定数である. Iは オンサイトクーロン相互作用定数. Mは磁化. ϵは電子 の運動エネルギーである.
強磁性が共存する超伝導体の熱膨張は次のように得ら れる.
ω=−K∂Fcoexist
∂V . (5)
ここでKは圧縮率. よって熱膨張は,自由エネルギーの 基底状態からの寄与と励起状態からの寄与の部分に分け ると
ω/(N EF) =ω0/(N EF) +ωT/(N EF), (6)
ω0=−K{1 2
EF
I (∂lnI
∂V ) ˜M2 +1
2EF
∂
∂g(1 g)∑
σ
1 2π
∫2π
0
dθ∆˜2σ(θ)
−N(0)EF
∂lnN(0)
∂V
∑
σ
1 2π
∫2π
0
dθ
∫1
0
dxE˜σ2(x, θ) 2
−1 2
∑
σ
Aσ
1 2π
∫2π
0
dθ(
√ (−σM)˜ 2
−
√
(−σM˜ −1)2+ ˜∆2σ(θ))} (7)
ωT =−K T TF
N(0)EF
∑
σ
[1 2π
∫2π
0
dθ(−∂lnN(0)
∂V
∫∞
0
dxln(1 +e−TFT E˜σ(x,θ))
+Aσln(1 +e−TFT E˜σ(0,θ)))]. (8) ここで
Aσ= ∂x
∂V −σ∂lnI
∂V
M˜ −∂lnEF
∂V , (9)
E˜σ(x, θ) =
√
(x−σM˜−1)2+ ∆2σ(θ). (10) M˜ =IM/EF,N(0)はフェルミエネルギーでの状態密 度,そして∆˜σ(θ) = ∆σ(θ)/EF. x=ϵ/EF.
さらに熱膨張率は
α= ∂ω
∂T. (11)
低温における熱膨張率と比熱の温度依存性の間のグ リュナイゼンの関係は、満たされている. なぜなら，こ こで用いられた自由エネルギーの式は比熱の導出で用い られた自由エネルギーと同じであるからである.
我々は，キュリー温度が超伝導転移温度TCよりも十 分に大きく，フェルミエネルギーEF よりも十分小さい と仮定する. この仮定はUGe2への適用に有効である.
熱膨張と熱膨張率の温度依存性を得るため，我々は，
超伝導ギャップの温度依存性を必要とする. 次のセクショ
ンでは，Linder氏達によって使われた超伝導ギャップの
温度依存性を与える.
３．超伝導秩序パラメータの温度依存性
３.１ 3He薄膜で代表される超伝導ギャップを用いた 強磁性超伝導体
3Heで代表される物質の超伝導ギャップは
∆kσσ=−σ∆σ,0sinϕ (12) である. ここで，∆σ,0 はスピンσに対する超伝導秩序 パラメータである. 我々はsinϕ= 1 とする.
T= 0[K]における超伝導秩序パラメータは次のよう
に得られる.
∆σ,0(0) = 2E0exp(−1/c
√
1 +σM(0)).˜ (13) ここで,c=gN(0)/2,E0 はカットオフエネルギーで ある. E0とcは、それぞれ0.01，0.2とおいた. 超伝導 秩序パラメータの温度依存性は、次のように得られる.
∆σ,0(T) = ∆σ,0(0) tanh(1.74√
Tsc,σ/T−1) (14) with
Tsc,σ= 1.13E0exp(−1/c√
1 +σM˜( ˜Tsc,σ). (15) ここで，Tsc,σ はスピンσにおける超伝導転移温度.
３.２ ラインノードを持つ強磁性超伝導体
Harada氏たちは，ラインノードを持つアップスピン
伝導バンドの超伝導ギャップが存在することを実験的に 示した. したがって，我々は次のような超伝導ギャップ を考える.
∆σ(θ) =
{ ∆0cosθ(σ=↑)
0(σ=↓) (16)
T= 0Kにおける超伝導秩序パラメータは
∆0(0) = 2.426E0exp(−1/c
√
1 + ˜M(0)) (17) よって，超伝導秩序パラメータの温度依存性は∆0(T) は次のように得られた.
∆0(T) = ∆0(0) tanh(1.70√
Tsc/T−1) (18) with
Tsc= 1.13E0exp(−1/c√
1 +σM˜( ˜Tsc) (19) ここで、Tsc は超伝導転移温度である.
次のセクションでは，数値計算の結果を報告する.
４. 結果
式（6）,（11）から，強磁性が共存する状態のある超 伝導体の熱膨張と熱膨張率が得られる.
４.１ 3He薄膜で代表される超伝導ギャップを用いた 強磁性超伝導体
ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ
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0 5.0 10 15 20´10-5
0.00 0.01 0.02
TTF ΑNEF2
図 1: 3Heで代表される超伝導ギャップを用いた超伝 導体の熱膨張率の温度依存性. ここで, I/EF = 0.5,
∂lnI
∂V = 0.5, EF ∂
∂V(1g) = 0.5, ∂V∂x = 0.5, N(0)EF = 0.5,N(0)EF∂lnN(0)
∂V = 0.5.
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0 1.0 2.0 3.0 ´10-5
2.5 5.0 7.5 10
TTF ΑNEF2
´10-6
図2:低温極限域における3Heで代表される超伝導ギャッ プを用いた超伝導体の熱膨張率の温度依存性. ここで, I/EF = 0.5, ∂∂VlnI = 0.5,EF ∂
∂V(1g) = 0.5, ∂V∂x = 0.5, N(0)EF = 0.5,N(0)EF∂lnN(0)
∂V = 0.5.
強磁性が共存する超伝導体の熱膨張の温度依存性は，
この場合において，Ref.13によって与えられた. 図１は 対応する熱膨張率の温度依存性である. 図２は非常に低 温における熱膨張率の温度依存性を示す.図１と図２か ら熱膨張率はアップスピン伝導バンドとダウンスピン伝 導バンドの両方の超伝導転移温度で発散する.
低温極限で,熱膨張率は
α∝∑
σ
1.74·T˜sc,σ
T˜2 · 1 2
√T˜sc,σ T˜ −1
exp(−3.48
√ T˜sc,σ
T˜ −1) (20)
のようになる. 式（20）から，熱膨張率は温度上昇と 共に指数関数的に増大する. 一方，温度T →Tsc,σのと き、熱膨張率は
α∝∑
σ
1.74·T˜sc,σ
T˜2 · 1 2
√T˜sc,σ T˜ −1
(21) のように与えられる.
これは,熱膨張率がダウンスピンとアップスピンの伝 導帯の両方の超伝導転移温度で発散することを示して いる.
つぎのサブセクションで，我々は，ラインノードを持 ちアップスピン伝導帯の超伝導ギャップを持つような強 磁性が共存する超伝導体の熱膨張と熱膨張率の温度依存 性を調べる.
４.２ ラインノードを持つ強磁性超伝導体
超伝導転移温度周辺で,我々は，熱膨張に異常がある ことを見出した. 低温極限での熱膨張の振る舞いのため に，式（18）は小さいT /Tscのまわりで展開すると
∆0(T)∼= ∆0(0)(1−exp(−3.4
√Tc
T −1)). (22) のようになる. よって,低温極限において熱膨張は式
（7）から
ω∝∆20(0)(1−2 exp(−3.4
√Tc
T −1)). (23) のように得られる. 式（23）から，熱膨張は温度上昇 と共に指数関数的に増大している. 温度を超伝導転移温 度に近づけたとき，熱膨張は
ω∝ −∆20(0)(Tc
T −1). (24) のようになる.
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æ æ æ æ æ
0 1.0 2.0 3.0 ´10-6
0
-4.0
-8.0
-12
-16
TTF ΑKNEF2
´10-8
図 3: ラインノードを持つ強磁性超伝導体の熱膨張 率の温度依存性. ここで，I/EF = 0.5, ∂∂VlnI = 0.5, EF ∂
∂V(1g) = 0.5, ∂V∂x = 0.5, N(0)EF = 0.5, N(0)EF∂lnN(0)
∂V = 0.5.
図３は対応する熱膨張率の温度依存性を示す. 図３か ら熱膨張率が超伝導転移温度で発散することがわかる. この振る舞いのために、超伝導秩序パラメータは低温極
限で超伝導転移温度のまわりで展開し，低温極限で熱膨 張率は式（11）から
α∝3.4·T˜sc
T˜2 · 1 2
√T˜sc T˜ −1
exp(−3.4
√ T˜sc
T˜ −1) (25) となる.
一方，温度が超伝導転移温度に近づくとき，熱膨張 率は
α∝1.7·T˜sc
T˜2 · 1 2
√T˜sc T˜ −1
. (26)
式（26）から，熱膨張率は超伝導転移温度で発散する.
５．結論
第1に,我々は3Heに代表される超伝導ギャップを持 つ強磁性が共存する超伝導体の熱膨張率の温度依存性を 調査した. 第2に，UGe2 で実験的に提案され，ライン ノードを持つアップスピン伝導帯で超伝導ギャップのあ る強磁性が共存する超伝導体の熱膨張率の温度依存性を 調べた. 両方の場合で、熱膨張率は超伝導転移温度で発 散する. 特に，ラインノードを持つ超伝導ギャップがあ る場合の熱膨張は温度上昇と共に指数関数的に増大する. もちろん，低温における熱膨張率の温度依存性と比熱の 温度依存性との間のグリュナイゼンの関係は満たされて いる.なぜなら，ここで使われた自由エネルギーの表式 は比熱を導出に使われた自由エネルギーの表式と同じで あるからである.
６．謝辞
著者は, 神野稔に感謝する. 2009年度の近畿大学工 業高等専門学校の別枠研究費を使って,この研究は行わ れた.
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