パターンの変形理論

(1)

パターンの変形理論

鈴木昇一前田英明

A Theory of Deformed Patterns

Shoichi Suzuki Hideaki Maeda

あらまし

パターンの対応するモデルというものは、小さな変形や雑音に対し、頑健でなければならない。

最も重要なことは、これまでの如何なる諸研究でも、認識されるパターンの大きな変形を制御出来ていないことである。本研究では、パターンの事前パラメータ化がパターンの広い変形を表現することを可能にすることが示される。パターンの見掛けの変形を表現する目的のために、3D 画像問題に向けての、詳細な数理化を与えよう。

ありとあらゆるパターンがある1つの標準パターンからの変形として記述されなければならないと想定し、パターン認識問題に論及するために、本論文では、ある標準パターンからの正準的な変形として、形状を表現する手法が提案される。2つのパターンが簡単な物理的変形によって、

結び付いていることを示す。この事実は、同一のカテゴリに帰属するものとして表れる複数のパターンを同定することを許すものである。

キーワード

パラメータ化されたパターン変形の情報密度ゆがみ測度関数

最尤パターン標準パターンガウス核変体パターン

Abstract

A corresponding model of pattern has to be somewhat robust to small deformations and noise. Most importantly, none of approaches thus far can handle large deformations of patterns to be recognized. This paper makes it possible for a priori parameterization upon the patterns to represent a somewhat wider variation (deformation) in patterns. For the purpose of representing an pattern's appearance deformation we will give a detailed mathematical formulation for 3D-image problems.

Supposing that every pattern have to be described as deformations from a single prototype

pattern, in order to address the recognition problem we propose a method of representing

shapes as canonical deformations from some prototype object. We will show two patterns

are related by a simple physical deformation. This has allowed us to identify patterns that

appear to be members of the same category.

(2)

Key words : parameterized pattern information density of deformation distortion- measure function maximum-likelihood pattern prototype Gaussian kernel trans- formational variant

1.まえがき

文字(character)、画像(image)、音声(speechsound)などの総称をパターン(pattern)という。

パターンが何を表しているかを正規化・特徴抽出した後、識別・認識し、理解する能力を備えたシステムを構成する技術の総称が"認識工学[13]"と云われるものである。

認識工学の歴史はパターンの変形に対する戦いであり、攻略法の歴史でもある。

例えば、誤差逆伝播学習ニューラルネット[29]をパターン認識情報処理に用いるのは、結局は、入出力関係の高々可算個の事例を介し、経験したことの無い変形未知入力に対し、正しい認識出力を得るような"補間的学習能力の存在"を、ニューラルネットに期待しているからである。

本論文では、変形パラメータ(adeformationparameter)α を持つような、座標系xでのパターン ψ(x;α)は、 ψ(x)≡ ψ(x;α)1α=。の変体パターン(variantpattern)と云われ、 ψ(x;α) ,ψ(x)が3条件(停留性,最尤性,復元性)を満たせば、2つのパターン ψ(x;α),ψ(x)の問に、どのような関係があるかが研究される。

そもそも、数理科学の対象と出来るように、パターンという概念を認識の働きと結び付けて、定義することさえ、文献[6]においてさえなされていない。"パターン認識の数学的理論[28]"を構築しょうとしているs.Suzukiは最近になって、パターン集合を再帰的に定義可能な"領域方程式"を提案し、パターンという概念を確立しょうとしている。

パターンが記号(symbol)と異なるのは、変形に耐え、その意味を保持出来ることにある。本研究の目的は、パターン認識システムの認識能力を計る"物差し"として使用可能なように、画像パターンの変形を表す構造式を提案することである。

パターンとは、ある種のユニタリ座標変換(基本的なパターン変換)からある程度の変形を受けても、ある種の雑音が加わっても、その意味が保存されるような情報である。そのために、パターンというものは、冗長な表現形態を備えざるを得ない。よって、連想[21],[31]、認識[14], [23],[24],[27]などに関して、効率的なパターン情報処理機能を獲得するためには、処理の対象とする問題の、冗長な表現形態を備えているパターン ψ ∈ Φ に対し、その代りとなる"加わっているある種の雑音を取り去るような簡潔な構造形式を備えており、然も、その指示する類概念

(category)がある種のユニタリ座標変換の下で不変であるようなパターンモデル[14],[15], 匚19]"Tψ ∈ Φ が求められることが必要とされる(付録Bの式(B1)を参照)。ここに、 Φ は処理の対象とするパターン ψ の集合であり、 ψ のモデルTgは Φ に埋め込まれていなければならないこと(3.4節のパターンの帰納的定義を参照)[15],[24]に注意しておく(文献[28]の第24部を参照)。

ある情報の意味(meaning)とは、既に意味の判明しているいま1つの情報に対応させることによっても確定する。或いは、既に意味の判明している極小の情報の組合せでその情報を"近似的に再現"することによっても確定すると、考えられる。パターン情報処理の場面では、既に意味の判明している極小の情報とは変形不能なパターンのことであり、これ即ち、付録Bの式(B1) の各 ψk(第k∈L番目のパターン形状素;thek‑thprimitiveshape‑component)のことであり、

既に意味の判明している極小の情報の組合せ(パターン ψ ∈Φ から抽出された第k∈L番目の非

(3)

負特徴量u(ψ,k)を1次結合係数に持つ各 ψkの1次結合)でその情報を"近似的に再現"されたものは、式(B1)で示されている"パターン ψ に対応するパターンモデルTψ"である。後者の定義より、パターンモデルTψ ∈ Φ によって、原パターン ψ ∈ Φ の意味が確定すると考える訳である [19]0

本研究では、前者の定義で考え、既に意味の判明しているいま1つの情報としての最尤パターン ψ(X)≡g(X;α)1α=Xに変形パターン ψ(X;α)を対応させることにより、変形パターン ψ(x;α)の意味が確定すると考えている。

今少し、詳しく説明しょう。

x∈Rn(n次元ユークリッド空間)はパターン ψ の表示のために使われる、空間座標とする。パラメータ α があって、パターン ψ(x)からの変形パターン ψ(x;α)は、

α=α0

で最小となるものとする。 ψ(X;α)が、この最小を与えるパラメータ α0からのずれ(α 一 α0) に対し、どの程度の変形を持っているかは、パラメータ αoに関するテーラー展開式

ψ(x;α)

=ψ(X;α)1・一・

。+(α 一 α ・)

・(∂ α/∂ α)9(x;α)i ・a・。+2‑1(α 一 α ・)2・(∂2α/∂ α2)ψ(x;α)1。一。。+…

を基に、解析され得る。1α 一 αolが十分小の場合は、 ψ(x;α)

≒9(X;α)1・一・。+(α 一 α・)

・(∂ α/∂ α)ψ(x;α)1 ・一・。+2‑1・(α 一 α ・)2・(∂2α/∂ α2)ψ(x;α)1。一。。

とみなしてよいだろう。このとき、登場したパターン ψ(x;α)1・一・。

は、最尤方程式(maximumlikelihoodequation) (∂/∂ α)(x;α)1α=αo=0(停留性)

を満たし、然も、最尤推定値 αoが座標値xに等しいとき、つまり、

α0=X(座標値Xの最尤性)

のとき、最尤パターン(maximumlikelihoodpattern)と呼ばれる。 ψ(x;α)は最尤パターン ψ (x;α)1。=。の変体(variants)という。

実は、2条件(停留性,最尤性)に加えて、今1つの条件である復元性を考慮すれば、変形パターン ψ(X;α)は、最尤パターン ψ(X;α)【。=。を基に、具体的に決まることを示すのが本研究の目的である。

このように、2つのパターンが簡単な物理的変形によって、結び付いていることが示されるという事実は、同一のカテゴリに帰属するものとして表れるパターンを同定することを許すものである。

パターンの事前パラメータ化がパターンの広い変形を表現することを可能にする3条件(停留性,最尤性,復元性)を指摘したことが、本研究のセールスポイントであろう。

2.パターンの変形とは?

本章では、取り扱うパターン ψ の集合 Φ が先ず、明らかにされ(2.1節)、その後、3性質(埋込

(4)

性質、冪等性質、吸収性質)を備えたパターンモデルTψ を構成することがパターン情報処理の始まりである[13],[28]という考えが説明され(2.2節)、更に、線形な変形を含む複雑な変形を取り除くことがパターン情報処理におけるパターンモデル構成手法であることが指摘され(2.3節)、

最後に、数々の誤差を含んだデータの集まりを表現するのが1つのバターンによる冗長性表現であると云う考えが、重回帰分析を介し説明される(2.4節)。

2.1可分なヒルベルト空間夢の部分集合 Φ

本章以降、可分な(separable)[1],[32]ヒルベルト(Hilbert)空間㊤として、拿=L2(M;dm)を選んでいると想定しても良い。その内積(ψ,η)は、

(ψ,η)≡ 」dmM(x)ψ(x)・万(x) ここに、万は ηの複素共役であり、

M:n次元ユークリッド空間Rnの可測部分集合 dm(x):正値Lebesgue‑Stieltjes式測度(1)

である[1],[2],[9],[15]。また、 ψ のノルム11ψ1【 ≡ 而丁を導入しておく。

或いは、a(t),b(t)をパラメータtに依存する2つの正実関数として、また、Aをadense‑

lydefinedlinearoperatorとして、

、(ψ,η)t≡a(t)・(ψ,η)十b(t)・(A〜 ρ,Aη)(2)

を内積とするヒルベルト空間夢tを想定してもよい。このヒルベルト空間夢tでは、 lglt≡(ψ,ψ)t=0→liψ1=OAIAψ1=0(3)

に注意しておく(付録Aを参照)。

処理の対象とするパターン ψ の集合 Φ はヒルベルト空間夢の、零元を含むある部分集合である [15]0

2.2パターンモデルTψ

処理の対象とする問題のパターン ψ の変形は通常不規則であり、パターン全体にわたる単一の変換(asingleglobaltransformation)、例え1ま、平行移動[16](translation)、縮小拡大(scaling) [17],[18]、回転(rotation)[20]では表され得ない[11],[33]。重要なことは、これまでのパターン情報処理学はパターンの大きな変形に対しては無力な処理手法しか提供していないことである。

パターンとはある1つの標準的なパターンからの変形物として記述されると考えよう。パターン認識問題に言及するためには、厂何らかの標準的なパターンからのcanonicaldeformationsとしてパターンというものの形(configuration)を表現する方法を確立しなければならない。

s.Suzukiは、ユニタリ座標変換のもたらすパターン ψ の変形を少なくとも吸収する表現をパターンモデルTψ として確立する"パターン認識の数学的理論[28]"を構築しょうとしている。このパターンモデルTψ は小さい変形や雑音に対し頑健な表現であること(somewhatrobustto

smalldeformationsandnoise)が次第に明らかになりつつある。 Φ を処理の対象とするパターン ψ の集合として、埋込性質(1awofbeingembedded)

ψ ∈ Φ ⇒Tψ ∈ Φ(4) と、ベキ等性質(idempotentlaw)

T(Tψ)‑Tψf・・anyψ ∈ Φ(5) 並びに、吸収性質(absorptivelaw)..

T(Dψ)〒Tψf・・anyψ ∈ Φ,whereDi・adi・t・・ti・n・P・・at・・(6)

(5)

をもたらす"モデル構成作用素(mode1‑constructionoperator)"と呼ばれる写像 T:Φ → Φ(7)

を使用することは、同一のカテゴリに帰属する成貝であるパターンを識別することにつながるものである。

2.3線形な変形の除去 A・A‑1=A‑1・A=1(8)

を満たすという意味で、その逆A‑1が存在するとは限らない線形作用素Aで変形を受けたパターン ψ が観測されたとき、方程式

Aη=ψ(9)

が成り立っているから、Aの共役作用素(adjointoperator)A*を用意して、方程式(9)から成り立つことが知られる正規方程式(thenormalequation)

A*Aη=A*ψ(10) を導入すると、

η=(A*A)‑1A*ψ(11)

と、変形前のパターン ηが求まる。一般に、線形作用素Bに対し、等式

BCB=B(12)

を満たす線形作用素Cを、apseudoinverseofCというが[2]、例えば、 BC=BABB=B⇒BCB=B(13)

CB=BABB=B⇒BCB=B(14)

であることに注意しておく。式(7)のモデル構成作用素Tに対しては、このTは線形ではないが、式(13)は2式(6),(5)より満たされており、

TDTψ=TψATη=ψ →TDTψ=ψ ∵TT=T(15)

より、観測方程式(9)に対応する方程式Tη=ψ の解 η は、 η=DTψ で与えられることがわかる。

さて、

A+°(A*A)‑IA*X16)

と定義される線形作用素A+は、明らかに、等式 AA+A=A(17)

を満たすことが知れ、Aのpseudoinverseである。

観測方程式(9)の解 η'が存在すれば、 η"=A+ψ も観測方程式(9)の解であることが、 Aη"=A(A+ψ)=AA+(Aη')=Aη'=ψ(18)

であることよりわかる。

問題は、パターン情報処理における実際の場面では、観測方程式(9)でのAが知られていないことであり、また、知られていたとしてもAが線形とは限らない複雑な構造を持っている場合が多数考えられることである。

2.4多数の変形データを表現するパターン

ある程度変形が許される情報とは?それは冗長性のあるパターンであり、冗長性排除(the eliminationofredundancy)の対象になる情報表現のことである。

本節では、本論文で取り扱うパターンの1つの種類が説明される。

実験や調査などで得られたデータは種々の誤差を含んでいるが、aij,biは共に実数値として、

(6)

このような誤差があるm個の1次独立なデータの組 {<ai1,ai2,…,ain>,bi}i=1〜m(19)

についての、自乗誤差(mean‑squared‑error)

e2

≡mi=1[Σk∈Lck・ ψk(ai1,ai2,…,ain)‑bi]2(20)

が最小となるような実係数Ckの組{Ck}k∈Lを求めることを考えよう。ここに、 ψk=ψk(x1,x2,…,xn),k∈L(21)

はn変数x1,x2,…,x。の1次独立な実数値関数系(asetoflinearlyindependentrea1‑valued functions)としておく。

それには、

∂e2/∂Ck

=Σ 程12・[ΣE∈LcE・ ψe(ai1 ,ai2,…,ain)‑bi]・ ψk(a;1,ai2,…,ain)=0,k∈L(22) を満たすように、{ck}k∈Lを求めればよい。つまり、連立1次方程式(asytemofnsimultane‑

ousequationsinnunknowns)

[Σe∈LCe[Σ 狸1ψk(ail,ai2,…,ain)・ ψ 侶(ait,ai2,…,a;n)]

=Σi=1bi・ ψk(ai1:ai2 ,…,ain),k∈L(23) を解けばよい。

このような解{Ck}k∈Lが存在する場合、本論文で処理するパターン ψ=g(X1,X2,…,X。)は、 ψ(X1,X2,…,X。)

=Σk∈Lck・ ψk(xl ,x2,…,xn)(24) と表され、

もし、最小自乗誤差 mine2

=mi =1bi・bi一 Σk∈Lck・ Σ 恐1bi・ ψk(ai1,ai2,…,ain)(25)

がある与えられた正の値 ε より小さければ、この条件を満たすという意味で、パターン ψ はある程度の変形が許される情報という意味である。つまり、不等式

mine2Gs(26)

を満たす、式(19)でのデータの組{〈ai1,al2,…,ai。〉,bi}i;1‑mは式(24)でのパターン ψ を表していると考えられる。

このとき、{ψk}k∈Lはパターン ψ をそこまで分解できるという意味で、 asetofprimitiveshape‑components(形状素パターン ψkの集合)

と呼ばれる。式(24)の ψ は、式(19)のデータの組について、重回帰分析(multiple‑regression analysis)して得られたパターンと考えられる。同様な考えで、重回帰分析によって得られた線形回帰式(パターン)を古典2値真理関数で近似することが文献[49]において行われているが、この場合の古典2値真理関数が、そこでの直交系を{ψk}k∈Lとして採用すれば、本論文でのモデルTψ(の定数倍)に相当することを指摘しておこう。

2.5微分幾何学から眺めたパターン変形

微分幾何学(differentialgeometry)の立場からは、n=2の場合の、式(24)で表されるバターン ψ=ψ(x1,x2)は、3次元位置ベク手ル(three‑dimensionalpositionvector)

r(xl,xz)=x1・i十XZ'7十x3・k.

(7)

ここに、x3=〜o(x1,x2),

̲i=<1,0,0>,⊥=〈0,1,0>,k=〈0,0,1>(27) と同一視されてよい。ならば、

Theendpointofr(x1,xZ)generatesthesurface

へ

と云っことになるが、このとき得られるsurface上の点〈x1+dx1 ,x2+dx2,x3+dx3>から、点

〈x1,x2,ψ(x1,x2)〉でのこのsurfaceの接平面への距離D(x1 ,x2,ψ(x1,x2))は、 D(x1,x2,ψ(x1,x2))

=2‑1・[(∂2ψ/∂XZ1)dxi十2(∂2ψ/∂x

1∂x2)dxldx2十(∂2ψ/∂XZ2)dx2]

/[(∂ ψ/∂x1)2+(∂ ψ/∂x,)2+1]1/2(28)

で与えられる[4]。接平面からの変形の程度を与えるこの距離D(x1 ,x2,ψ(x1,x2))などを用いて、パターン ψ=ψ(X1,X2)の近似表現を求め、この近似表現を ψ の代りに用いるパターンモデルの研究については、割愛される(付録Fを参照)。

3.連続的微分可能なパターン(多変数関数)の表現

処理の対象とする問題のパターン ψ=ψ(x)が各変数について2回まで連続的微分可能な関数であると仮定すると、その積分表示が正確に可能になることが以下のように、示される。

先ず、h変数X=〈X1,X2,…,X。〉の関数 ψ=ψ(X)=ψ(X1,X2,…,X。)については、恒等式 ψ(X1,X2,…,X。)一 ψ(al,a2,…,a。)

一 ∫1dt[(d/dt)ψ(y1 ,yz,…,y∂],、.、k+、、。、.。k)(、.1‑n)(1)

が成立することから、出発する。

式(1)を変形しょう。

式(1)=

∫'dt書(xra1)・(∂/∂y・)ψ(y1,Yz,…,yn)1・k=ak+t(・k‑・ ρ ・・‑1‑・・

‑n

i=1(x;‐a;)・r1」dtO(∂/∂ 狛)ψ(y1,Yz,…,y∂1 …k‑・ ρ ・・=1‑n・(2) が成立し、

ηi(X1,X2,…,X。)

≡ ∫1dt(∂/∂y∂ ψ(y1,y・,… ,Yn)lyk.・、.・、。、.。、)(・.1‑。、(3)

とおけば、 9(X1,X2,…,X。)

=ψ(a1

n

,a2,…,an)+Σ(xrai)・ ηi(x1,x2,…,xn)(4)

1=1

と表現される。

更に、同様に考えて、 (∂/∂yi)ψ(y1,y2,…,yn)lyk=ak+t(xk̲ak)(k=1〜n) 一(∂/∂yi)ψ(y1

,y2,…,yn)lyk=ak(k=1〜11)

‑n

i=1(x厂・・)・t・r1」dtO(∂ ・/∂Yi∂y・)ψ(Yi,Yz,…,Yn)IYk=ak+・・賦一・‑1‑・・(5)

(8)

を得て、結局

ψ(X1,X2,…,X。)一 ψ(al,a2,…,a。)

‑n

i=1(xr・・)・∫1dt[(∂/∂y・)yk=ak・・‑1‑・・+、n=1(xj‑・・)・t・

∫'d・(∂

n

・/∂Yi∂y・)9(y1,Yz,… ・y・)1・、一・k‑Fis・・、一・k・(・‑1‑・・]

=Σ(Xrai)・(∂/∂yi)ψ(y1,y2,…,yn)lyk̲、k(k=1‑。) ニユ

+

、nrnr4r=1j=1(x・一・・)・(x・一・・)・」ldttO・od・、

(∂2/∂Y)∂yi)ρ(y1,y2,…,yn)lyk=ak+ts(xk̲ak)(k=1‑n)(6,) つまり、

ψ(X1,X2,…,X。)

‑9(a1 ,・・…,・ ∂+

、龜(x・一・・)・∫1dt(∂/∂y・)ψ(yi,yz,…,y∂1‑一・‑1‑・・

=ψ(a1

,a2,…,an)+Σ(Xi‑a;)・

1=1 nn

(∂/∂yi)ψ(y1,ブ2,…,yn)IYk̲。k+Σ Σ芙Xrai)・(Xj‑aj)・

ニユニユ

」ldttO・fdO・(∂ ・/∂Yi∂y・)ψ(y1・y・,…,y・)1・、一・k+・… 、一・k)(・‑1‑・・](7)

と表現出来、この式(7)が所要の表現式である。

尚、式(4)に関連して、文献[5]の第1章、 §1、定理2(P.6)では、次の事実が指摘されている:

f(x)をn次元実ユークリッド空間Rn(∋x=(x1,x2,…,x。))上のC° °一関数(無限回連続的微分可能な関数)とし、(a1,a2,…,a∂ をRn上の点とする。このとき、

f(x1,x2,…,Xn)

n

=f(a1 ,a2,…,an)+Σ(x厂aj)・9j(x1,x2,…,xn)(8) j=1

が成り立つ。ここに、9j(x1,x2,…,x。)(1≦j≦n)はすべて、C° °一関数である。口

上述の関数9iは、具体的に次のように構成される。 fo=(a1,a2,…,an)卩

f1=(x1,a2,…,Xn)

fi=(x1,x2,,…,xi,ai+1,ai+2,…,an)(9)

fn=f(x1,x2,…,Xn)

とすれば、

n

f=fo+Σ(frfi̲1)(10)

ニユ

が成り立つが、このとき、 g;≡9i(X1,X2,…,Xn)L

≡(fi‑f卜1)/(Xi‑ai), .、(11)

とおけば良い。

(9)

4.パターン変形の捕らえ方と情報量

本論文は、パターンの変形をどう捕らえるかを研究したものであり、標準パターン(prototype) ψ(x)からの崩れに対処出来なければならない認識システム、ニューラルネットの性能を解析する際の試験入力パターンとして、

パラメータつきパターン ψ(x;α)

が用いれられるべきであることを主張したものである。

本章では、先ず、標準パターン ψ(x)と、その変形パターン ψ(x;α)とが満たさなければならない3条件を指摘し(4.1節)、このとき登場した δ型の関数に付いて説明し(4.2節)、compact supportを備え、無限回微分可能な関数への変換を可能にするFriedrichsの軟化子についても説明を加え(4.3節)、本研究の主題である"変形パターンの構成法"(4.4節)を示し、ガウス型ゆがみ測度関数を採用した場合、標準パターン ψ(x)と、その変形パターンg(x;α)とが簡単な関係で結び付いていることを明らかにし(4.5節)、変形パターンに含まれている標準パターンの程度を情報量として計量化し(4.6節)、最後に、4.5節の結果を多次元化する(4.7節)。

4.1パラメータ付きパターン ψ(x;α)の満たすべき3条件

n次元ユークリッド空間Rn内のある可測部分集合をMとして、Mにおいて、定義された複素数値関数 ψを想定する。Mの各点xにスカラー ψ(x)が対応していると考えて、 ψ をM上で定義されたスカラー場という。更に、スカラー場 ψの内、例えば、Hilbert空間魯=L2(M;dm)に属するもののみを考えよう。処理の対象とする問題のパターン ψ の集合 Φ は、このようなスカラー場 ψ の集まりであり、少なくとも、条件

0∈ ΦC≡ ξ)(1) を満たすものである。

以後、パターン変形を論じる場面においては、M=n次元ユークリッド空間R'と採り、Mの直角座標系をX=〈X1,X2,…,X。〉とする。然も、スカラー場 ψ を非負実数値と制限しょう。

x∈M=Rnの非負実数値関数としてのパターン ψ の変形としての、2つのパラメータ α,γ を含むパターン

ψ(x;α)≡ ψ γ(x;α)(2)

は、次の3条件(i),(ii),(iii)を満たすとしょう。 (i)(ψ の停留性)方程式

(∂/∂ α)ψ 。(x;α)=0(3)

を満たすパラメータ αの値は少なくとも存在して、その1つは座標値x∈Rnである。 (ii)(ψ の最尤性)パラメータ α に座標値Xを代入して得られるパターン

9γ(x;α)1α=x(4) は、パターン集合

{ψγ(x;α)1α ∈R(実数全体の集合)}(5) の中で、最も出現しやすいという意味で、

最尤パターン(maximum‑likelihoodpattern)と云われるが、等式ヨCl∈R++(正実数全体の集合),

ψ γ(x;α)is=x=C,・ ψ(x)(6) が成立する。

(10)

(iii)(最尤パターンの復元性)α 以外のあるパラメータ γにつき、 vim° °(7)

とすると、(ii)でのパターン ψ(x)とある正実定数cとについて、

工二゜°蜘。(x;α)‑C・ ψ(x)(第1種復元性)(8) を実現可能にする手段がある。

4.2δ 型の関数

文献(3)のpp.34‑38(第1章,§2の5)によれば、次の2条件(a),(b)を満たす9γ(α)を δ型の関数であるという:

(a)どんな正数Mをとっても、laI≦M,lbl≦Mなる限り、積分の絶対値

f° °dα9,(α)1(9)

は、a,b及び、 γには無関係に(Mにだけ関係する)ある正数で押さえられている。 (b)0でない任意のa,bに対して、

b lim」dagy(a)=

y‐.00a

{

0…a〈b<0または、0〈a〈bのとき 1…a<0<bのとき(10)

である。

n次元ユークリッド空間Rnで定義せられ、無限回連続的に微分可能で、ある有界領域の外ではその値が0になる(この有界領域は各関数毎によって各々変わって良い)ような実数値関数全体の集合をD。。と表す。唯単に、Rnで定義せられた無限回偏微分可能な関数の全体の全体はE。。と書かれる。

実数値関数 ψ(x)∈D。。に対して

忍dxg(x)・f(x)一 ψ(・)(11)

が成立するような局所積分可能な関数f(x)を、Diracs超関数といい、次のように表す:

f=s.(12)

このとき、変数変換すれば、

忍dxg(x)・f(X‑X・)一 ψ(x・).(13) が成り立つことが知れる。また、

B(t)‑

i

^Oift<01ift>0(14) として、

(d/dt)B(t)=s(t)(15)

が成り立つことが、部分積分により確かめられる。今少し、説明しておこう。

{9γ(α)}γ を δ型の関数列とし、その原始関数列{Gγ(β)}γ を考える:

(11)

Gr(a)=」

1RdagY(a)(16)

{9γ(α)}γ が δ型関数列であるから、 γ→ ∞ のとき、関数列{Gγ(β)}γ は、 β 〈0ならば、0に、また、 β>0ならば、1に収束する

ことになる。更に、任意の有限区間では、 Gγ(β)は γに関しては、一様に有界である

であることもわかる。従って、関数Gγ(β)は超関数の意味で、

β<0ならば、0に、また、 β>0ならば、1になる式(15)の関数 θ(t)に収束するということになる。よって、

関数9γ(α)=(d/dβ)Gγ(β)1β;。は超関数の意味で、 (d/dα)θ(α)=δ(α)に収束する

ことがわかる。

4.3Friedrichsの軟化子

η ∈L2(R';dx)であれば、以下に説明するFriedrichsの軟化子(modifier)P。を用いて、 Ilρ ε*η 一 ηll→0(ε → 一ト0)(17)

を満たす関数 ρ 、*η=(ρ,*η)(x)∈E。。が得られ、然も、

ηがある有界領域の外では、その値が0になるようなものであれば、その有界領域のE一近傍において ρ 。*ηはその値が0になる

から、十分小に採られた εの下での ρ 。*η を最尤パターンに選べることになる。

文献[50],文献,pp.25‑28(第1章,7節)によれば、 ρ 。*ηは次のように定義され、命題4.1 が成り立つ。

n次元ユークリッド空間R'で定義された可測関数 ψ(x)が各点の近傍でLebesgue式積分可能とする。このような ψ(x)をlocallysummableと云う。x∈Rnのどんな小さい近傍をとっても、

∫ 亟1ψ(x)1>・(18)

と云う性質を持つ点x∈Rnの集合を ψ(x)のsupportと呼ぶ。明らかに、Supportは閉集合である。さて、 ρ(x)は次の4条件(i),(ii),(iii),(iv)を満たすものとする:

(i)(非負実数1生)∀x∈Rn,ρ(x)≧0

(ii)(無限回微分可能性)ρ(x)は無限回微分可能であって、かつ、compactsupportを持つ。 (iii)(supportの有界[生)ρ(x)のsupportは単位球IxI≡[Σ 卜1xl]1/2≦1に含まれる。 (iv)(規格化積雅)」ndxp

R(x)‑1・一

上述の4条件(i),(ii),(iii),(iv)を満たすものとして、例えば、 ρ(x)≡

{。 ∵ 評一(1‑一〈・(19)

がある。

このとき、 ε(>0)をパラメータとして、

ρ ε(x)≡(1/ε)n・ ρ(x/ε)≡(1/ε)n・ ρ(x1/ε,x2/ε,…,xn/ε)1(20)

(12)

とおくと、P。(x)は、そのsupportがlxl≦ εの中にあることを除いて、やはり、4条件(i), (ii),(iii),(iv)を満たす。

さて、 η(x)をlocallysummableとして、 ρ 。*ηは、

(ρ ・*η)(x)≡J

RnUy・(x‑y)・ η(y)(22)

と定義される。このとき、次の命題4.1が成り立つことが知られている。 [命題4.1](Friedrichsの軟化子の緒性質)

(i)(無限回微分可能性)(ρ 、*η)(X)≡(ρ 。*η)(X1,X2,…,X。)は、無限回微分可能である。

(ii)(supportの ε一有界性)ρ(x)のsupportは ηの ε一近傍にある。

(iii)(一様収束性)η=η(x)をm回連続的微分可能とすれば、 ε→0のとき、任意のコンパクト集合(有界閉集合)K⊂Rnの上でm次の導関数まで込めて、(ρ 。*η)(x)は η(x)に一様収束する。

(iv)(Lpノルムに関する収束性)P>1として、

忍dxlη(x)lp〈 ∞(23)

であれば、

ε→0のとき、

ムdxl(ρ ・*η)(x)一 η(x)1・一・(24)

4.4パラメータ付きパターン ψ(x;α)の構成法

5.1節の手法を用いて、パターン ψ(x)は非負実数値へ変換されているものとする。パラメータ α を含むパターン ψ(x;α)がパターン ψ(x)からの変体(transformational variant)であるとしょう。パターン ψ(x)についての2つの変形 ψ(x;α1),ψ(x;α2)があって、

∀x∈M,ψ(x;α1)〉 ψ(x;α2)(25) であるならば、母集団(population)

{ψ(x;α)1α ∈R}(26)

内の母数(parameter)α の推定値としては、 α1の方が α2より望ましいと考えられる。パターン ψ(X;α1)の方がパターン ψ(X;α2)より生起しやすいからである。そして、生起の程度が大なるパターンほど、認識システムが正しく処理出来なければならないからである。

従って、尤度 ψ(x;α)を最大にするような α の値 αoは、 α の推定値としては最も望ましいものと考えられるであろう。この αoを母数 α の最尤推定値(maximumlikelihoodestimate)と云う。

最尤推定値 αoは、最大値を与えるための必要条件 (∂/∂ α)ψ(x;α)1。̲rO(27)

或いは、最尤方程式(maximumlikelihoodequation)

(∂/∂ α)loge〜夢(x;α)1α=αo=[ψ(x;α)]‑1・(∂/∂ α)ψ(x;α)1α 篇αo=O suchthatg(x;α)1α=αo≠0(28)

を満足しなければならない。 αoを求めるには、2式(27),(28)のいずれかを解けばよい。次の定理1(主定理)は、4.1節の3条件(i),(ii),(iii)を満たす変形パターン ψγ(x;α)の構造を3種類、決定している。

(13)

[備考1]:以下の定理1の ψ(x;α)は、 ψ(x;α)

=葛戛c・ ψ(x)・f

n(α)・9γ(α 一x)(29)

と考えるべきものであるが、式(34)のように略記する。ここに、f。(α)∈D。。であり、 n‑一.mfn(α)la=x=1(30)lim

を満たしていなければならない。

[定理1](変形パターン ψ γ(x;α)の表現定理)

基準となるパターン ψ(x)があるカテゴリ(category;類概念)の代表パターンなどの、あまり形の崩れていないパターンの場合、

ψ(x;α)≡ ψ γ(x;α)≡c・〜o(x)・9γ(α 一x)(31) ここに、cはある正定数であり、

とおくと、9γ(α)が、次の3つ(イ),(ロ),(ハ)のいずれかで与えられれば、式(31)の ψ(x;α)

≡ ψ γ(x;α)は、4.1節の3条件(i) ,(ii),(iii)を満たす:

(イ)9γ(α)=(1/π)・(1/γ)・[α2十(1/γ)2]‑1 ここに、 ε=1/γ>0

(ロ)9γ(α)=(1/π)・(1/α)・sin(γ α) ここに、0<γ 〈 ○○

(ノ丶)9γ(α)=(2π ・1/γ)‑1/2・exp(‑2‑1・ γ α2) ここに、(ア2=1/γ

(証明)(イ),(ロ),(ハ)の9γ(α)が4.2節の δ 型の関数であることは、文献[3]のpp.35‑38で示されている。(イ),(ロ),(ハ)の9γ(α)が4.1節の3条件(i),(ii),(iii)を満たすことを、以下に示す。

(イ)について:

(イ)のi:(∂/∂ α)9γ(α)

=(‑2α)・[α2十 ε2]‑1・9γ(α)(32)

であるから、(∂/∂ α)9γ(α)=0を満たす α は、 α=0のみであることがわかる。よって、式(3)を満たすパラメータ α の値は α=xしか存在しないことがわかる。尚、

(a2/aa2)gy(a)

=9γ(α)・{2/[α2十 ε2]‑1}

・{2α4十(1十2ε2)α2一 ε2}/[α2十 ε2]冖1(33) である。

(イ)のii:式(31)と(イ)から、

ψ(x;α)1。。。=

=C・ ψ(x)・9γ(0)=C㌧ ψ(x) ここに、C'=C・(1/π)・(1/ε)>0(34) を得て、式(6)の成立が示された。

(イ)のiii:

鰒9・(α)一 δ(α)(文献[3]のPP・35‑38)

・'・li .mgY(a‐x)=cS(a‐x)(35)

が成立しているから、 γ→ ○○に従い、式(8)が成り立つことがわかる。

(14)

(ロ)について:

(ロ)のi:(∂/∂ α)9γ(α)

=(‑1/α)・9

γ(α)十 γ ・(1/π)。(1/α)・cos(α γ)(36) である。

(∂/∂ α)9γ(α)=0を満たす α を求めよう。公式1sinx=X‑(3!)‑1・x3十(5!)冖1・X5=…

十(‑1)r・((2r十1)!)‑1x2「+1十 …

∴(1/x)。sinx=1‑(3!)‑1。x2十(5!)‑1・x4‑…

十(‑1)「・((2r十1)!)‑1x2「十 … 公式2cosx=1‑(2!)‑1・x2+(4!)‑1・X4‑…

十(‑1)「。((2r)!)‑1x2「十 … を使えば、

cosx‐x‑1・sinx

=x2・(‑1)・[(2!)‑1‑(3!)‑1]十x4・(‑1)2・

[(4!)‑1‑(5!)‑1]十 … 十x2「・(‑1)「・ [((2r)!)‑1‑((2r‑1‑1)!)‑1]一ト…(37)

・'・1Xm

o[cosx‐x‑1・sinx]/x=0(38) が得られた。この公式(38)を適用し、

(∂/∂ α)9γ(α)

=(γ2/π)。(α γ)‑1・[cos(α γ)一(α γ)‑1・sin(α γ)]→0(39) がわかり、

α=0は方程式(∂/∂ α)9γ(α)=0の解である

ことがわかる。よって、式(3)を満たすパラメータ α の値の1つは α=xであることがわかる。尚、公式(36)を使って、

(∂2/∂ α2)gY(a)

=[2/α2一 γ2]・9γ(α)一(2γ/α)・(1/π))α 一1・cos(α γ)(40) と求められる。ここで、

cos(ay)=1‐2・sing(ay/2)

を適用すれば、結局、一 (a2/a≪Z)gy(≪)

=一(2γ/α π2)十[2/α2一 γ2]・9

γ(α)十(α γ)・9γ(α/2)2(41) と書換えられる。

(ロ)のii:式(31)と(イ)から、

〜ρ(x;α)1α=x=C・ ψ(x)。9γ(0)=C1。 ψ(x) ここに、C,=C・(γ/π)>0(42)

を得て、式(6)の成立が示された。 (ロ)のiii:

無9γ(α)=δ(α)(文献[3]のpp.35‑38) .・.yimgy(a‑x)=cS(a‑x)(43)

が成立しているから、 γ→ ○○に従い、式(8)が成り立つことがわかる。

(15)

(ハ)について:

(ノ丶)のi:(∂/∂ α)9,(α)=(一 α/・2)・9。(α)(44) であるから、(∂/∂ α)9γ(α)=0を満たす α は、

α=0のみであることがわかる。よって、式(3)を満たすパラメータ α の値は α=xしか存在しないことがわかる。尚、

(a2/aa2)gy(≪)=(1/62)'{(az‐6Z)/62}'gy(a)(45) である。

この(イ)でのガウス型関数9γ(α 一X)は、 α=Xと云う平面に対称であり、 α=Xで最大値 (2π ・1/γ)‑1/2をとり、x±1/y.が変曲点であることは2式(44),(45)からわかる。

因みに、

h(x)≡ 一(d2/dx2)exp(‑2‑1・x2)

=[1‑x2]・exp(‑2‑1・x2)(46)

は、wavelet展開理論[39]ではthemexicanhatfunctionと呼ばれるものである。

(ハ)のii:式(31)と(イ)から、

ψ(x;α)Ia=x=C・ ψ(x)・9γ(0)=C'・ ψ(x) ここに、C'=C・[2π62]‑1/2>0「(47)

を得て、式(6)の成立が示された。 (ハ)のiii:

1im9γ(α)=δ(α)(文

YHA

献[3]のpp.35‑38)

∴1imγ →。。9γ(α 一x)=δ(α 一x)(48)

が成立しているから、 γ→ ・○に従い、式(8)が成り立つことがわかる。口以後、9γ(α 一x)が定理1の(ハ)のガウス型関数である場合、変形パターン ψ(x;α)と情報量密度1(ψ;α)(x)とについて、簡単に説明しておこう。

4.5定理1から導かれる簡単な変形パターン ψ γ(x;α)

変形パラメータ α の付いた非負実数値パターン(parameterizedpattern)ψ(x;α)について、極値を与えるための必要条件

(∂/∂)ψ(x;α)=0(49)

を満たす α の値の1つの αoを用いて、最も出現し易いパターン(最尤パターン)ψ(x)は、 ψ(x)≡ ψ(x;α)1α=αo(50)

であると定義される。前節の定理1から、式(31)の非負実数値パターン ψ(x;α)が、この極値を与える変形パラメータ α の値が αoが座標値xであるように設定されていることがわかるのである。

変形パラメータ α の付いたパターン ψ(x;α)には、最も出現頻度の大きい最尤パターン ψ(x)が含まれているとすれば、原 ψ(x;α)はどのような形式で与えられるべきかを、定理1 では研究された。

定理1の応用を考えてみょう。

変形パターン ψ γ(x;α)をテーラー展開しょう。 1α 一xlが十分小の場合、

ψ γ(x;α)

≒ ψ 。(X;α)1。。.+(a‑x)・(∂/∂ α)ψ 。(X;α)1。.X

(16)

+2‑1・(α 一x)・・(∂ ・/∂ α ・)ψ,(x;α)i。.。(51)

と、与えられることがわかる。ところが、 ψ(x)が最尤パターンであれば、最尤方程式(28)が成立し、

ψ γ(x;α)1α=。 ≠0であれば・ (∂/∂ α)9。(x;α)1。。。=0(52) が成立し、よって、式(51)は、

1α 一xiが+分小の場合、 ψ γ(x;α)

≒ ψ 。(x;α)1。.。+2‑1・(α 一x)2・(∂2/∂ α2)ψ 。(x;α)1・一・(53)

と書き直される。定理1の証明において、3式(33),(40),(45)を求めておいたのは、変形パターン ψ γ(x;α)のこの表式(53)の具体化に必要になるからである。

特に、定理1は、式(31)に登場し、ゆがみ測度関数(distortion‑measurefunction)と称されて良い9γ(α)として、"γ → ∞ のときDiracδ 超関数に収束する"関数9γ(α)が用いられるべきと指摘しており、定理1の(イ),(ロ),(ハ)のいずれかで与えれば都合がよいことが示されている。特に、9γ(a‑x)は変形パラメータ α が座標値xを捍る確率の密度と考えられる定理1,(ハ)

のガウス型を選定し、

9γ(α)=[2π σ2]‑1/2・exp(一 α2/(2σ2)) ここに、 γ 一1/・・(54)

と、選んでいる場合、式(45)より、 (∂2/∂ α2)ψ 。(X;α)

=C・ ψ(x)・(∂2/∂ α2)9γ(α 一x)

=C・ ψ(x)・(1/・・)・[{(α 一x)2一 σ2}/σ2]・9,(α 一x)(55)

∴(∂2/∂ α2)ψ 。(X;α)la=。

一 ψ,(x;α)i。。。・(‑1/・・)(56)

であるから、この式(56)を式(51)に代入して、近似的に、 ψ(x;α)

=9,(x;α)1。。。・[1‑2‑1・(α 一x)2/・2](57) ここに、

ψ,(x;α)i。.・

=C・ ψ(x)・9γ(0)

=C・ ψ(x)・(2π ・1/γ)‑1/・(58) と、求められることがわかる。

この変形パターン式(57)は直ちに、多次元化され得る。

同様に、定理1の(イ),(ロ)の場合も、2式(33),(40)を使えば、式(51)から、式(57)に対応する公式が求められるが、割愛される。

4.6変形パタ7ンに含まれる変形情報量密度

変形パターンに含まれる最尤パターンの程度を表す情報量の密度を定義してみょう。 4.6.1情報量密度1(ψ;α)(x)

最尤パターン ψ(x)に含まれる変形ペターン ψ(x;α)の程度を表す情報量密度(adensityof theamountofinformationaboutthepatternψ(x;α)containedinthepatternψ(x))1(ψ;α)

(17)

(x)というものを、 1(ψ;α)(x)≡

i

Oifiψ(x;α)12/1(x)12>1

‑2‑1・log

e[1‑1ψ(x;α)12/1ψ(x)12]iflψ(x;α)12/1ψ(x)12≦1(59)

と定義してみょう。式(59)は、"ψ γ(x;α)内に ψ(x)が含まれている程度"を表現する情報量の密度として、定義されているともみなされても良い。そうすると、

1(ψ;α)=

」ndxl(ψ;α)(x)

一(‑1/2)・ ∫1

。・。、。)1・/,,,。,,・ ≦1dx1・9,国 ψ(x;α)1・/1ψ(x)1・](6・)

と与えられることになる。 4.6.21つの具体形と一般形一般の式(59)の1(ψ;α)(x)の場合

、式(31)を考慮して、式(59)から、 1(ψ;α)(x)=

{

^{‑2‑1・log}^{OifIC・9γ(α} e[1‑iC・9γ(α^一x)12>1 一x)12]ifIC・9γ(α 一x)12≦1(61) となる。

特に、9γ(α)がガウス型関数の場合(定理1,(ハ)の場合)、2式(57),(58)を式(59)に代入して、近似的に、

1(ψ;α)(x)=

i

OifiC・9γ(0)・[1‑2‑1・(α 一x)2/σ2]12>1

‑2‑1・10g e[1‑iC。9γ(0)・[1‑2‑1・(α 一x)2/σ2]12]

iflC・9γ(0)・[1‑2‑1。(α 一x)2/σ2]12≦1(62) と、与えられることがわかる。

変形パターン ψ(x;α)の、標準パターン ψ(x)からの変形量(distortiondegree)としての、式 (62)の情報量密度関数1(ψ;α)(x)は、結果として、 ψ(x)に無関係になり、変形パラメータ α と、今注目している座標値Xとの距離Ia‑xlにのみ、依存する形式になっていることに注意しておこう。

4.7多次元化

変形パターン ψ(x;α)は、 α を変形パラメータとして、最尤パターン ψ(x)からその形状が崩れたパターンを表していなければならないが、本研究では、この変形パターン ψ(x;α)は式 (34)の形式で定義されている。最尤パターン ψ(x)はあるカテゴリの典型的なパターンに、4.3 節のFriedrichsの軟化子 ρ 、を作用させたものであると想定されて良いものであり、 ψ(x)∈D∞

であるとみて良い。

今1つのパラメータ γ については、 γ→ ∞ にすれば、式(31)内のゆがみ測度関数と称される 9γ(a‑x)はDiracδ 超関数 δ(α 一x)に収束するように設定されている。

Diracδ 超関数 δ(u)は、4.2節で説明されており、偶関数としての性質

∀ 。∈R(実数全体の集合),δ(‑u)=δ(u)(63) を備えており、

(18)

}虹二゜°dxψ 。(x;α)‑C・ ψ(α)(第2種復元性)(64) が成立する。このようにして、

変形パターン ψ γ(x;α)は、最尤パターンの正の定数倍c・ ψ(α)の素形状成分(elementary shape‑component)を含有している

と、解釈され得、

γ→ ∞ なる極限では、最尤パターンの正の定数倍c・ ψ(α)に一致する事実に注意しておかねばならない。

特に、ゆがみ測度関数と称される9γ(a‑x)として、(ハ)のガウス型関数を採用している場合を考えてみょう。

C・9γ(0)=C・(2π ・1/γ)‑1/2=1(65)

を満たすように、正実定数C>0を選んでいる場合、式(57)から近似的に、変形パターンY (x;α)は、

γ=1/σ2として、

ψ(x;α)≡ ψ γ(x;α)≒ ψ(x)・[1‑(26Z)‑1・(α 一x)2](66) であるが、

1‑(262)‑1・(a‑x)2>̲p

max‑26<a<̲x十一26(67) が成立しているから、

ψ(x;α)≡ ψ 。(x;α)

<Oifα 〈x‑V厂7Vx十1/‑26z<α

1 1

=Oif≪=x±26

>Oifx‑26<̲a<̲x十26(68)

であるが、Y(x;α)≧0であることを考慮すれば、実際には、 ψ(x;α)≡ ψ 。(x;α)≒

SP(x)・[1‑(26z)‑1・(a‑x)2]SP(x)・[1‐(26z)‐1・(a‐x)z]

ifx‐26<̲a<̲x+26 00therwise(69)

と、表されなければならない。更に、 x=〈x1 ,x2,…,Xn>∈Rn一

α=〈 α1,α2,…,αn>∈Rn .(70)

と云う多次元の場合、式(69)から帰納して、 γ=1/62として、

ψ(x;α)≡ ψ 。(x;α)≒

ψ(x)・[1‑(2σ2)‑1・1α 一x12]

ifx;‐26<a;<x;‑1‑2v Ootherwise

foranyiE{1,2,…,n}(71) ここに、

1α 一xl2一鞏1α 、‑X、1・

i=1

(72)

(19)

とするのが良いと、考えられる。

本研究で最終的に提案する2式(69),(71)が、標準パターン ψ(x)からの、正準変形 (canonicaldeformation)としての変形パターン ψ γ(x;α)の表現である。

[備考2]:非負実数値標準パターンからの変形を想定するときには、どんなに変形しても変形パターンは依然として非負実数値でなければならない、つまり、 ψ γ(x;α)≧0でなければならないとする仮定のもとでは、定理1の(ロ)の場合は、この仮定に矛盾するゆがみ測度関数9γ(

α 一x)を用意していることになる。式(69) ,式(71)の有する意味を勘案し、不等式 γ ・(α一x)≧0(73)

を満たす座標値x,変形パラメータ α以外の座標値では、gγ(x;α)=0と考えなければならないことになろう。

5.非負実数値パターンへの変換

本章では、複素数値パターンを4つの非負実数値パターンの和へ変換する方法を先ず説明し(5 .1節,5.3節)、更に、実数値パターンから複素数値パターンへ変換されるパターン変換例(フレネル変換)を指摘し(5.2節)、実数値パターンから非負実数値パターンへの変換法がGaussian filter,2階偏微分作用素,振幅規格化作用素を使って、可能であることが示される(5 .3節)。

5。14つの非負実数値パターンの和への、簡単な変換法

複素数値パターン ψ(x)は、2つの実数値パターン ψ1(x),ψ2(x)の和に、 ψ(x)=ψ1(x)+ゆ2(x)(1)

と分解出来る。ここに、i≡ ザ=丁であり、 ψ を ψ の複素共役として、 ψ1(x)≡2‑2・[ψ(x)十 ψ(x)].(2)

ψ2(x)≡2‑1・[ψ(x)一 ψ(x)].(3)

また、各実数値パターン ψk(x)は、2つの角非負実数値パターン ψ1、+(x),ψk‑(x)の和に、 ψk(x)=ψk+(x)十 ψk‑(x),k=1,2(4)

と分解出来る。ここに、

〜ρk+(x)≡2‑1・[ψk(x)十1ψk(x)1](5) ψk冖(x)≡2‑1・[ψk(x)‑kOk(x)1].(6)

結局、複素数値パターン ψ(x)の代りに、非負実数値パターンを扱えばよいという考えがでてくる。

無論、複素数値パターン ψ(x)に対し、各非負実数値パターン媒(x),娠(x)(k=1,2) がどの程度情報を保持しているかのどうか解析は必要であるが。

5.2実数値パターンから複素数値パターンへの変換例

たとえ、実数値パターンであっても複素数値パターンへ変換するdistortionoperatorDの例を挙げよう。

distortionoperatorDはある自己共役作用素[1],[2](self‑adjointoperator)Hと可換であるユニタリ作用素[1],[2](unitaryoperator)であることが判明してはいるが、(Dについての) それ以外の諸性質は不明であるとしてみよう。このようなoperatorDの集合は少なくとも、ユニ

タリ作用素の集合

{exp(‑itg(H))iOO〈t〈十 ∞,i≡V厂=1‑,9(λ)は

(20)

1実変数 λ の実数値Borel可測関数}(7)

を含んでいる。文献[19]では、2式(5),(6)を満たすD一不変パターン復元写像(pattern‑

restorationmappinginvariantunderdistortionD)T:φ → Φ を、distortionoperatorDとしてユニタリ座標変換である場合について構成している。

式(7)での自己共役作用素Hの指数関数(ユニタリ作用素)exp(‑ltg(H))の3例を挙げておこう。内積(〜o,η),ノルムll・II≡ 厂が各々ぐ

(ψ,η)≡f二゜°dx1∫ 二∞dx・ψ(x1,x2)・7(x1,x2)irψ1[≡ 嗣ここに、 η は η の複素共役(8)

である可分なHilbert空間魯=L2(R2;dxldx2)で考え(R2は2次元全平面)、自己共役作用素 H≡i‑1・ ∂/∂x1ここに、i≡V厂=7f(9)

を導入する。複素数値指数関数

η λ1λ,≡ η λ1λ 、(X1,X2)≡ η λ1(X1)・ η λ,(X2) ここに、 η λ≡ η λ(x)≡(2π)‑1/2・exp(十iλx)(10) を導入すると、自己共役作用素Hは、

(Hg)(x1,x2)

‑f二゜°dλ1λ1∫ 二゜°dλ・(ψ

,ηλ1λ、)・η λ1λ,(x。x,)(11) とスペクトル表現され、ユニタリ作用素exp(‑itg(H))は、

(exp(‑itg(H))(x1,x2)

‑r二゜°dλ1exp(‑itg(λ1))・L二゜°dλ ・(ψ

,η λ1λ,)・ η 、、 λ,(Xlix、)(12)

とスペクトル表現されることに注意しておく。

次の ① 〜 ③ は、フーリェ変換の性質を使って容易に証明されることが知られている。

①9(λ)=λ の場合

(exp(‑ltg(H)ψ)(x1,x2)=ψ(x1‑t,x2)(13)

であり、exp(‑itg(H))はxl軸に関し、 ψ(x1,x2)をtだけ平行移動させる機能を持つ移動変換 (Lie座標変換の典型的なもの)である。

②9(λ)=2‑1・ λ2の場合 (exp(‐itg(H))(x1,x2)

=exp(‑i(π/4)・sgn(t))・

[2π ・itr1/・・工二゜°dylexp(+i(2t)‑1(xry1)・)・ ψ(y、,x、) ここに、

sgn(t)

≡t/Itlif

、t≠0,≡1ift=0(14) であり、

exp(i(π/4)・sgn(t))・exp(‑itg(H))(15)

は、フレネル変換(Fresneltransform)である。

③9(λ)=一

(21)

{

π/2ifλ>0 3π/2ifλ<0 の場合

(exp(‑itg(H)ψ)(x1,x2)

一[(‑1/π)・1二゜°dy1(x1‑y1)‑1]一・・ ψ(y、 ,x、)(16)

であり、

exp(‑itg(H))lt=‑1=i・sgn(H)(17)

は、Hilbert変換(Hilberttransform)である。

平行移動変換、Hilbert変換は実数値パターンを実数値パターンへ変換するが、フレネル変換はそうではないことがわかる。

5.3実数値パターンから非負実数値パターンへの変換法本節では、非負実数性

ψ(x)≧Oforeveryx∈M(18)

を成立させるために、任意の実数値パターン ψ 一3を非負実数値edge‑patternψ へと変換することを考えよう。

例えば、簡単のために、その座標系がx=〈x1,x2>で与えられる2次元平面R2上の画像関数(theimagefunctionontheimageplanewhosecoordinatesarex=〈x1,x2>)

〜ρ一3=〜ρ一3(x)=〜夢一3(xユ,x2)(19) で考えよう。

f° °dulexp(+islu1)f° °du・exp(+i・・u・)・g・(u1,u・)

=exp[‐(62/2)(s12十s22)](20) ここに、

9̲3(U1,U2)

≡(2π σ2)‑1・exp[一(u21‑←uzz)/(26z)]

(aGaussiankernelofaspecifiedwidth6>0)(21) が成り立っており、

σ2→0のとき、9‑3(u1,u2)はDiracδ(u1,u2)超関数に収束する(22)

ことに注意し、 ψ 一3内の微細な変化を無視するため、高周波数成分を除去する目的で、 Gaussianfilterを利用し、'

ψ.2(x1,x2)≡(Kψ 一3)(x1,x2)

≡f° °dy1工二゜°dy・g・(xry1・x・‑y・)・ ψ 一・(y1,y・)(23)

と変換し低域制限して得られたこの ψ 一2に関し、

GZ(>0)を十分小さく選んでおけば、白色加法的雑音 η に対し、 K(ψ̲3十 η)

≒Kψ̲3=..(noiseremova1)

≒ ψ̲3(apProximaterestoration)・(24) が成立する[17]。

(22)

ある1次元区間内の値をとる変数sの関数f(s)の、凸から凹への、あるいは、凹から凸への変化回数

は、

一(d2/ds2)f(s)の零点の総数である

こと[21],[27]に注目し(付録Aの式(A14)を参照)、得られた ψ 一2を更に、g‑1へと、 ψ 一1(X1,X2)

≡ 一[∂2/∂x12十 ∂2/∂x22]ψ̲2(x1,x2)(25) という形式で、変換する。

このとき、 ψ 一1(X1,X2)

≡ ∫ 二゜°dy1工二゜°dy・9‑・(xry・x・‑y・)・ ψ 一・(y1・y・)(26)

ここに、 9̲2(U1,U2)

=一[∂2/∂U、2+∂2/∂U22]ψ 一3(U1,U2)

=(2/σ2)・[1‑(u12一トu22)/(2σ2)]・9‑3(u1,u2)(27) が成り立つ。

Zero‑crossingsintheGaussian‑filteredimagesroughlycorrespondtoedges

と考える、つまり、 ψ 一1(x1,x2)=0を満たす座標点x=〈x1,x2>が原パターン

ψ 一3(x1,x2)のedge位置であると考えるのが、Marr等のedgeorzero‑crossingsegmentsの検出法[32]である。

その後、0/0=0と約束し、 ψ(X1,X2)

≡[ψ 一1(x1,x2)‐inf〈X1 .x2>9‑1(x1,x2)]

/[sup<xbx2>ψ̲1(x1,x2)‑inf〈Xl,x2>ψ̲1(x1,x2)](28)

と変換し、この ψ を原パターン ψ 一3の代りに採用すれば、非負実数値性 ψ(x1,x2)≧Oforevery〈x1,x2>∈M(29)

が成立し、この ψ は ψ̲3の非負実数値edge‑patternである。

6.他の緒研究

パターン変形に関連して、他の緒研究について、簡単に紹介しておこう。

文献[7]では、離散的なGauss関数との畳み込みで標準字形に法線方向に摂動を与え、平面上の変形2値パターンを発生させる手法について、研究されている。

文献[8]では、たる型歪(糸巻き歪)、台形歪、傾斜歪を印加させ、個々の利用者の好みに沿った多様な手書き風文字パターンを生成している。

文献[9]では、見本書体を基にして、様々な書体を自動生成するため、変形パラメータが無限に近づくにつれて、回転、切断、一様伸縮などの座標変換を含むアフィン変換になるような pyramidtransformationを研究している。、

文献[10]では、形状分解のための基本形状要素としてメタ楕円体(meta‑ellipsoids)を提案し、

(23)

固定形状の要素を用いた形状分解法と比較している。自然画像内の物体領域の形状を近似的に表現するために、メタ楕円体の集合による形状分解法が研究されている。

文献[11]では、位置ベクトルのパラメータ化された形式で漢字の形状曲線を表現し、漢字の変形を記述するために、ahierarchicaldeformationmode1を発展させている。

文献[12]では、thesensordataから直接にthemodalshapeinvariantsを得る手法に関連し、変形情報同士を対応させることを研究している。

文献[43]では、固有ベクトルを使うパターン認識技術に必要な固有値問題の計算量を減じることの出来るtheconstantregionsmethodが提案されている。

文献[44]では、計算機による物体認識における不変量の応用可能性を広げるため、複数枚の像を扱うことで3次元から2次元への投影によって欠落した情報を補い、構造に制約のない3次元物体に対する不変量を導いている。

文献[45]では、新しいパターン認識アルゴリズムを試験するために、コンピュータによって graphicimagesを生成する手法が提案されている。

文献[46]では、Daugman'sprojectionneuralnet,Kohonen'sself‑organizingneuralnetを用いて、各座標点でのlocalrangesurfacefeaturesを抽出する手法が研究されている。

文献[47]では、steerablefiltersのための、aparameterizedfamilyofkernelsF(x;θ)を earlyvisionの実現のために利用している。。

文献[48]による研究をパターンモデル(付録Bの式(B1)を参照)[19]Tψ の立場で説明しょう。 2つの異なる時刻s,t(s〈t)に提示されたパターン η,,ηtの2つのパターンモデル

Tηs=Σu(ηs,k)・ ψk

lcEL

Tηt=Σu(ηt,k)・ ψk

kEL において、

Σu(η 、,k)・ ψk+Σu(ηt,k)・ ψk

kEL‑L'kEL'

が、 ηtのモデルTηtとして誤って知覚される様相について論じている。

文献[52]では、mathematicalmorphology(数理形態学)における"theobjectreconstruction

が正確に可能な"skeletonrepresentationを使って、平行移動、回転、縮小拡大に不変で一意的な"簡単な2値形状の和集合へabinaryshapeを分解する手法"がstructuringelementsとして、 circle,square,rhombusを用い、研究されている。

7.むすび

本研究の主張を少し詳しく整理しておこう。 7.1最尤パターン

x∈Rnはパターン ψ の表示のために使われる空間座標とする。変形していないパターン ψ=

ψ(x)がパラメータ α を含むパターン ψ(x;α)へと変形した場合を想定しょう。

ψ(x;α)を母数(母集団特性値;parameter)α の関数とみて、尤度関数(likelihoodfunction) とみなそう。 ψ(x)は、変形パターン集合

(24)

{ψ(x;α)1α ∈R(実数全体の集合)}(1)

の中で最も生起頻度が大でなければならないとすると、 ψ(X)の正定数倍C・ ψ(X)は、尤度方程式(like‑lihoodequation)

(∂/∂)ψ(x;α)1α=。o=0(停留性)(2)

を満たす α=α0を ψ(X;α)に代入して得られるものに一致しなくてはならない。 α0は母数の最尤推定値(maximumlikelihoodestimate)であると考えられる:

∀x,ψ(x;α)1α=α0=Cl・ ψ(x)(最尤性) ここに、C,はある正定数(3)

等式(3)が成り立つとき、 ψ(x)は最尤パターン ψ(maximum‑likelihoodpattern)と呼ばれる。 7.2変形情報の積分とガウス型変形情報表現

更に、パラメータ α について、変形情報を(x;α)について集めたもの

工二∞蜘(x;α)(4)

について考えてみょう。ある手段を用いると(α とは異なるあるパラメータ γを γ→ ・・とすると)、

∫1°°dα ψ(x;α)‑C・ ψ(x)(第・灘元1生)

rdx(x;α)‑C・ ψ(α)(第2種勧1生)(5)

と云う具合に、 ψ(x),ψ(α)の正定数倍c・ ψ(x),C・ ψ(α)を復元出来るものであらねばならない(第4章、2式(8),(64)を参照)。第2種復元性は、結果として、従う事実に注意しておこう。

2つのパターン ψ(x),ψ(x;α)の間に、3性質(停留性、最尤性、復元性)の成立を要請していることに注意しておかねばならない。

通常は、式(2)の解 αoは、 αo=xであらねばならないし、式(3)での正定数cについてはc

・9γ(0)=1となるように、cを決定すればよいだろう(式(7)並びに、第4章、式(65)を参照)。

本論文は、上述で登場する変形パターン ψ(x;α)は、

γ→ ○。とすると、Diracδ 関数 δに、9γ(α)→ δ(α)と収束する(6) ような関数9γ(α)を用いて、厂

ψ(x;α)(≡ ψ γ(x;α))=c・ ψ(x)・9γ(α 一x)(7)

と与えられることを指摘する。最尤法(methodofmaximum‑likelihood)を適用するものとすれば、変形g(x;α)は尤度関数として得られなければならないから、尤度を最大にする母数 αの値 αo(α の最尤推定値)について、常に、式(2)を満たしていなければならないのである。

本論文では、ゆがみ測度関数(distortion‑meaurefunction)と称されるこのような関数9γ(α) の3例を与え(第4章、定理1)、特に、9γ(α)が分散 σ2>0を持つガウス型であれば、

ψ(x;α)

≒ ψ(X;α)1。。。・+(α 一X)・[(∂ α/∂)ψ(X;α)1。.。。]+

2‑1・(α 一x)2・[(∂2/∂ α2)ψ(x;α)1α=αo]

=ψ(x)・[1‑2‑1・(α 一x)2/σ2] . ここに、C・9γ(0)=1(8)

パ ター ンの 変 形理 論