数理解析学４・講義ノート
第８回
(2020
年11
月25
日(
水)
配信分)
9 Cos´ın-Ros
の仕事（＆P´ erez-Ros
の仕事）埋め込まれた
ends
のみを持つ曲面は、埋め込みの次に制約の多いクラスと言える。こ こでは、水平なflux
を持つAlexandrov-embedded
なn-noids
に関するPlateau
問題の必 要十分条件を得たCos´ın-Ros
の結果について、あらすじのみ紹介したい。一般に極小はめ込み
X : M = M \ { q
1, . . . , q
n} → R
3 がAlexandrov-embedded
で あるとは、compact 3
次元多様体ω
で∂ω = M
となるものと、固有な局所微分同相X : Ω = Ω \ { q
1, . . . , q
n} → R
3 でX |
M= X
となるものが存在するときを言う。また極小はめ込み
X
が平面Π = { x
3= 0 }
について強対称であるとは、次を満たすこ とを言う。(1)
等長的involution s : M → M
でX ◦ s = S ◦ X
を満たすものが存在する。ただしS
はΠ
に関する面対称移動である。(2) { p ∈ M | s(p) = p } = { p ∈ M | x
3(p) = 0 } .
(3) | g (p) | < 1(> 1) ∀ p ∈ { p ∈ M | x
3(p) > 0(< 0) } .
（向きの入れ方によっては不等号は 入れ替えてもよい。）
n ≥ 2
とする。種数0
のAlexandrov-embedded
なn-end catenoid
（またはn-noid
）X : M = ˆ C \ { q
1, . . . , q
n} → R
3 で、全てのends
が水平なもの全体をM
n と表す。
R
2 内のn
角形とは、総和が0
で各々は0
でないn
個のベクトルの列V = (v
1, . . . , v
n)
もしくはそれらを結んでできる区分的線形な閉曲線を言う。ただし、平行移動で写り合う ものは同一視する。n 角形全体をV
n で表す。これは自然に(2n − 2)
次元実解析的多様体 となる。
R
2 にはめ込まれたn
角形板とは、compact 単連結平坦2
次元多様体で区分的線形な 境界を持つP
と、そのdeveloping map φ : P → R
2 の組を言う。はめ込まれたn
角形 板全体をP
n で表す。自然な写像P
n→ V
n(P, φ) 7→ φ(∂P )
により、P
n も(2n − 2)
次元1
実解析的多様体となる。
以上の準備の下に、
Cos´ın-Ros
は、次の定理を示した。定理
9.1.
n ≥ 3
とする。P : M
n→ P
n は（大域的な）解析的微分同相である。（略証） 次の流れで組み立てられている。
[1]
（論文の命題3.4 )
全ての
ends
が水平なn-noid
に関して、ある水平面について強対称であることと、Alexandrov-embedded
であることとは同値である。（このときs
は反正則となる。）[2]
（論文の定理4.3
）
M
n は(2n − 2)
次元実解析的多様体であり、順序づけられたflux vectors
を対応させ る写像( flux map ) F : M
n→ V
n は局所微分同相である。（ただし全射ではない。）[3]
（論文の定理5.6
）対応
( polygonal map ) P : M
n→ P
n でF (M ) = φ(∂P (M )) (+α)
を満たすものが存 在する。[4]
（論文の定理6.3
）
F : M
n→ V
n はF
−1(
狭義凸n
角形)
上単射である。[5]
（論文の定理7.3
）
P : M
n→ P
n は固有である。
[2]
は、強対称な極小はめ込みに関するJacobi
関数の性質を用いる。Ros
自身による 埋め込みの場合の結果のvariant
である。
[3], [4]
はhelicoid
型のends
を持つ共役な極小曲面を考えて示す。これには周期があ るが、半周期だけ取り出すと、n-
角形の各辺から帯状領域を伸ばした非compact
領域上 のグラフになっているので扱いやすい。
[5]
は、M
n の弱compact
性を用いる。これもP´ erez-Ros
による埋め込みの場合の結 果のvariant
である。以上を併せると主定理
9.1
が得られる。 （略証終）かいつまんで言うと、今、
v
j は同一平面上にあり、a
j は全て同符号とする。ここでa
jv
j をつないでゆくと、仮定∑nj=1a
jv
j= 0
より、平面内の（自己交差を持つかもしれな2
い）
n
角形ができる。このn
角形が平面内にはめ込まれた開2
次元多様体を囲むとき、かつそのときに限り、この平面について対称で、かつ
R
3 内にはめ込まれた開3
次元多 様体を囲む（= Alexandrov embedded
）種数0
のn-end catenoid
が唯一つ存在すると 言うのが、彼らの結果である。彼らの得た解
X
においては、全てのend
もまた対称面の上にある。一般に、極小曲面X(M )
が平面について対称なとき、面対称移動で不変な平面曲線はX(M )
の測地線とな るが、これらは共役極小曲面においては、互いに平行な直線となって現れる。そして、そ れらが隣接するend
を結ぶとき、それらの間の距離は、間にあるend
のflux vector
のweight
の半分である。彼らの場合について、より詳しく言うと、X
の面対称移動の基本領域の境界の、共役極小はめ込みによる像が、
a
jv
j 達が作るn
角形の柱となっているの である。よって、このn
角形を見れば、X
がどのように変形して行くかも、かなりわか ることになる。ここで、次の二点に注目したい。
(1) Π
を実軸方向に対応するx
1x
2-
平面に取り替えると、強対称性から、g
は実軸上単調、すなわち
g(z) =
n∑−1
i=1
c
iz − r
i, c
i> 0 ( or c
i< 0) (i = 1, . . . , n − 1)
の形に限定される。(2) P
n はP
3 の元を順に辺に張り合わせて作れる。と言うことは、M
n の任意の元の任 意のend
に、そこにM
3 の任意の元を接ぎ木できると言うことではないのか？以上のようなアプローチで別証が与えられないだろうか？
ちなみに
P´ erez-Ros
は何を示したのかと言うと…
k ≥ 1, r ≥ 3
とする。M
は、種数k
で、r
個の埋め込まれた水平なend
を持つR
3 内の 有限全曲率極小曲面の空間とする。L
はM
のJacobi
作用素とする。u
がM
上のJacobi
関数であるとは、Lu = 0
を満たすことを言う。J (M )
は、各end
において、対数的増大 度を持つM
上のJacobi
関数の空間とする。任意のM ∈ M
に対し、dim J (M ) ≥ r + 3
が成り立つ。M ∈ M
が非退化であるとは、dim J (M ) = r + 3
を満たすことを言う。M
∗= { M ∈ M : dim J (M ) = r + 3 }
は、非退化な極小曲面がなすM
の部分集合とす る。3
定理
9.2.
（論文の定理6.7
）M
∗ はM
の開集合である。特に、M
∗ は空であるか、また は(r + 3)
次元の実解析的多様体である。
G
は、水平な平行移動とx
3-
軸で生成される3
次元Lie
群とする。定理
9.3.
（論文の定理8.1
）M
∗ は空でないとき、商多様体M
∗/ G
はwell-defined
で、写像
f : M
∗/ G −→ R
2rf([M ]) = (log(M ), height(M ))
は実解析的なLagrangian
はめ込みとなる。参考文献
