2019 年度幾何学 II  演習問題 11 2019年12月25日

2019 年度幾何学 II  演習問題 11 2019

^年

12

^月

25

^日

K

^{を頂点集合}

V

上の抽象単体複体とし，部分複体

K 1 , K 2 ⊂ K

^で

K 1 ∪ K 2 = K

^{となるものを} とる．このとき，次の

R-

準同型写像が定義される．

α _∗ : H _p (K ₁₂ ; R) → H _p (K ₁ ; R) ⊕ H _p (K ₂ ; R), α _∗ (u) = ((i ₁ ) _∗ (u), − (i ₂ ) _∗ (u)), β _∗ : H _p (K ₁ ; R) ⊕ H _p (K ₂ ; R) → H _p (K; R), β(u ₁ , u ₂ ) = (j ₁ ) _∗ (u ₁ ) + (j ₂ ) _∗ (u ₂ ).

ただし，

i 1 : K 12 → K 1

，

i 2 : K 12 → K 2

，

j 1 : K 1 → K

^，

j 2 : K 2 → K

^{は包含写像．}

さらに，

R-

^{準同型写像}

∆ : H _p (K; R) → H _p−1 (K ₁₂ ; R)

が以下の手順で与えられる（次数がずれていることに注意！）．

(1) [z] ∈ H _p (K ; R)

をとる．

(2) β : C p (K 1 ; R) ⊕ C p (K 2 ; R) → C p (K; R)

^{は全射なので，}

β(c 1 , c 2 ) = z

^なる

c 1 ∈ C p (K 1 ; R)

^と

c 2 ∈ C p (K 2 ; R)

^{が存在する（}

c i

は

∂ p c i = 0

をみたすとは限らないのでホモロジー類を代表す るとは限らないことに注意）．このような

(c 1 , c 2 )

を任意に取る（取り方は一意ではない）．

(3)

β(∂ _p c ₁ , ∂ _p c ₂ ) = (j ₁ ) _♯ (∂ _p c ₁ ) − (j ₂ ) _♯ (∂ _p c ₂ )

= ∂ p (j 1 ) _♯ (c 1 ) − ∂ p (j 2 ) _♯ (c 2 )

= ∂ _p β (c ₁ , c ₂ ) = ∂ _p z = 0

なので

(∂ _p c ₁ , ∂ _p c ₂ ) ∈ ker β = α(C _{p − 1} (K ₁₂ ; R))

となる．これより

α(y) = ((i ₁ ) _♯ (y), − (i ₂ ) _♯ (y)) = (∂ _p c ₁ , ∂ _p c ₂ )

なる

y ∈ C _{p − 1} (K ₁₂ ; R)

が存在する．

(4)

α(∂ _{p − 1} y) = ((i ₁ ) _♯ (∂ _{p − 1} y), − (i ₂ ) _♯ (∂ _{p − 1} y))

= (∂ _{p − 1} (i ₁ ) _♯ (y), − ∂ _{p − 1} (i ₂ ) _♯ (y))

= (∂ p − 1 ∂ p c 1 , − ∂ p − 1 ∂ p c 2 ) = (0, 0)

と

α

が単射であることから，

∂ _{p − 1} y = 0

．

(5) ∆([z]) = [y]

^{と定める．}

この

∆

の定め方は，

[z]

の代表の取り方や

c ₁ , c ₂

の取り方に依存しているように見えるが，ホモロ ジー類

[z]

のみに依存している（

well-defined

）ことが確認できる（演習問題

10

問

3

）．

すると次のような

R-

準同型写像の列が得られる．

· · · → H p (K 12 ; R) −→ ^α

^∗

H p (K 1 ; R) ⊕ H p (K 2 ; R) −→ ^β

^∗

H p (K; R) −→ ^∆ H p − 1 (K 12 ; R) → · · ·

この列は完全列となることが知られている．これを

Mayer–Vietoris

^{完全列という．「完全列とな} る」とは各

p

^{で次が成り立つこと．}

ker α _∗ = ∆(H _p (K; R)), ker β _∗ = α _∗ (H _p (K ₁₂ ; R)), ker ∆ = β _∗ (H _p (K ₁ ; R) ⊕ H _p (K ₂ ; R)).

問

1.

次で与えられる頂点集合

[2] = {0, 1, 2}

^{上の単体複体}

K

（幾何学的実現は三角形の周となる）

を考える．

K = {{ 0 } , { 1 } , { 2 } , { 0, 1 } , { 0, 2 } , { 1, 2 }} .

これの部分複体

I, L

^{を次で定める．}

I = {{ 0 } , { 1 } , { 0, 1 }} , L = {{ 0 } , { 1 } , { 2 } , { 0, 2 } , { 1, 2 }} .

すると，

Z -

係数ホモロジー群は次のようになる（

H _p (K) = H _p (K ; Z )

などと略記する）．

H _p (K) =

 



Z [ ⟨ 0 ⟩ ] for p = 0, Z[⟨0, 1⟩ − ⟨0, 2⟩ + ⟨1, 2⟩] for p = 1.

H _p (I ) =

 



Z [ ⟨ 0 ⟩ ] for p = 0, 0 for p = 1.

H _p (L) =

 



Z[⟨0⟩] for p = 0, 0 for p = 1.

H p (I ∩ L) =

 



Z[⟨0⟩] ⊕ Z[⟨1⟩] for p = 0,

0 for p = 1.

このとき，

Mayer–Vietoris

^完全列

0 → H ₁ (K) −→ ^∆ H ₀ (I ∩ L) −→ ^α

^∗

H ₀ (I) ⊕ H ₀ (L) −→ ^β

^∗

H ₀ (K) → 0

における

∆([ ⟨ 0, 1 ⟩ − ⟨ 0, 2 ⟩ + ⟨ 1, 2 ⟩ ]) ∈ H 0 (I ∩ L)

を求めよ（ヒント：表の定義通りに計算すれば よい）．

問

2.

^（★）

Mayer–Vietoris

完全列が実際に完全列となっていることを証明せよ．