INTEGRAL NON-HYPERBOLIKE SURGERIES 市原 一裕

INTEGRAL NON-HYPERBOLIKE SURGERIES

市原 一裕

(KAZUHIRO ICHIHARA)

大阪産業大学教養部

(OSAKA SANGYO UNIVERSITY)

Abstract. It is shown that a hyperbolic knot in the 3-sphere admits at most nine inte- gral surgeries yielding 3-manifolds which are reducible or whose fundamental groups are not infinite word-hyperbolic.

1. 背景と結果

この原稿で紹介する結果について，詳しくは [10] をご覧ください．またこの節の内容や例外的 デーン手術に関しては，例えば [5] を参照ください．

以下， K で 3 次元球面 S ³ 内の結び目を表し， N(K) でその正則近傍を， E(K) でその外部空 間（つまり S ³ − N ^◦ (K) ）を表す．以下の議論のほとんどは，一般の 3 次元多様体ないの結び目に ついて成り立つが，簡単のため，本稿では 3 次元球面内の結び目のみを取り扱う．

結び目 K に沿ったデーン手術（ Dehn surgey ）とは，その外部空間 E(K) にソリッド・トーラ ス D ² × S ¹ を貼付け，閉３次元多様体を生成する操作のことである．

S ³

Solid torus Figure 1. E(K) ∪ ( ソリッド・トーラス )

結び目のデーン手術に関して，現在，最も研究されているのが，双曲結び目に沿った例外的デー ン手術である．これについて，まず Thurston によって示された次の定理が基本的である．

Date: 2005.1.14.

2000 Mathematics Subject Classification. Primary 57M50; Secondary 57M25.

Key words and phrases. exceptional surgery, integral surgery, hyperbolic knot.

定理 (双曲デーン手術定理 [14]). 双曲的結び目に沿ったデーン手術のうち，双曲的でない閉３次 元多様体を生成するものは，高々有限個である．

この，双曲的でない閉３次元多様体を生成する高々有限個の手術を例外的デーン手術と呼ぶの である．

ここで，コンパクト３次元多様体が双曲的（ hyperbolic ）であるとは，その内部が完備有限体 積，定断面曲率 −1 のリーマン計量（双曲計量）を許容しうることであり，結び目 K が双曲的結 び目であるとは，その外部空間が双曲的であるということである．事実として， 3 次元球面内の 結び目 K が双曲的である必要十分条件は， K がサテライト結び目でもトーラス結び目でもない、

ということが知られている [14] ．

さて，自然に考えられる次の問題がデーン手術研究の中心的問題の一つとなっている．

問題 (Gordon [11]). 各双曲的結び目に対して，高々いくつの例外的デーン手術が起こりうるか？

実際，次のことが予想されている．

予想 (Gordon [11]). どんな双曲的結び目も高々 10 個の例外的デーン手術しか許容しないであろ

う．しかも， 10 個許容する双曲的結び目は 8 の字結び目だけであろう．

現在得られている最良の結果は次である．

定理 (Hodgson–Kerckhoff [8]). 双曲的結び目に沿った例外的デーン手術は高々 60 個である．

さらに「例外的」（双曲的でない多様体を生成する）という条件を少し弱めて，得られた結果 が次である．

定理 (Agol [4], Lackenby [12]). 双曲的結び目に沿った双曲型でない（ non-hyperbolike ）多様体を 生成するデーン手術は高々 12 個である．

ここで，閉３次元多様体 M が双曲型 ¹ （ hyperbolike ）であるとは， （ Agol [4] に従って）既約で あり，その基本群 π 1 (M ) が非初等的双曲群（ non-elementary word-hyperbolic group ）であるこ ととする．事実としては， 「（１） M が双曲的」ならば， 「（２） M は双曲型」であり， 「（３） M は 可約でも，トーラス的でも，ザイフェルト多様体でもない」が成り立つ．もしいわゆる幾何化予 想が正しければ，これらの（１）， （２）， （３）は全て同値となる．

さて，今回得られた結果は次のようなものである．

定理 . 双曲的結び目に沿った双曲型でない（ non-hyperbolike ）多様体を生成する整数デーン手術

（ integral surgery ）は高々 9 個である．

1

3 次元球面内の結び目に沿った自明でないデーン手術は，貼り合わされるソリッド・トーラス のメリディアンを， ∂E(K) のトーラス上で見たときのイソトピー類によって決定される． ∂E(K) のトーラス上の単純閉曲線のイソトピー類（スロープと呼ばれる）は標準的なメリディアンーロ ンジチュード系を用いて，有理数 Q によって係数付けされる（例えば [13] 参照）ので，その係数 付けに関して整数に対応するデーン手術を，ここでは整数デーン手術と呼んでいる．

実際，８の字結び目が許容する 10 個の例外的デーン手術のうち，ちょうど 9 個が整数デーン 手術であるので，この定理は最良であるといえる．

一方，整数デーン手術でない例外的デーン手術を持つ結び目も存在することが知られている

（例えば，本報告集の寺垣内氏の報告を参照）．

この系として，例えば次が得られる．

系 . ‘ あるクラス ’ をのぞいた樹木型結び目（ arborescent knots ）に沿った，双曲型でない（ non-

hyperbolike ）多様体を生成する整数デーン手術は高々 10 個である．

実際，それらの結び目に沿った例外的デーン手術は（あったとすれば）全て整数デーン手術で あることが知られており（ [15] 参照），あと自明な（ S ³ を生成する）デーン手術が例外的である ので，系は定理から直ちに従う．

2. 証明の概略 証明の方針は，およそ [9] と同様である．

まず K の補空間 S ³ − K を 3 次元双曲多様体と見なす．そのなかで，極大ホロトーラス T を 考える ( 位相幾何的には， T は K の周辺トーラス ∂N (K) である ). このとき， S ³ − K の双曲計 量を制限することにより， T にはユークリッド計量が入る．この T を ∂N (K) = ∂E(K) と同一視 し，その上のスロープ r の長さを， r の代表元の単純閉曲線の長さの最小値として定義する．

この状況で以下の結果を使う：

補題 1 (Agol [4], Lackenby [12]). もし双曲的結び目に沿ったスロープ r のデーン手術が双曲型で ない多様体を生成するならば， T 上の r の長さは 6 以下である．

補題 2 (Adams [2] ([1] ， [3] も参照 )). もし K が８の字結び目 4 1 でも 5 2 結び目でもなければ，メ リディアン m の長さは √

2 より長い．

８の字結び目 4 1 や 5 2 結び目は２橋結び目であり，それらに沿った例外的デーン手術は完全に 分類されている [6] ．特に，定理は成り立つことがわかる．

補題 3 (Cao-Meyerhoff [7]). T の面積は 3.35 以上である .

以上の３つの補題を使うと，あとは T の普遍被覆 E ² 上での，ユークリッド幾何の問題に帰着 し，証明することができる．

証明について，詳しくは [10] を参照ください．

References

1. C.C. Adams, Waist size for cusps in hyperbolic 3-manifolds, Topology, 41 (2002), 257–270.

2. C.C. Adams, Waist size for hyperbolic 3-manifolds II, preprint, 2000.

3. C.C. Adams, Hyperbolic Knots, preprint, math.GT/0309466.

4. I. Agol, Bounds on exceptional Dehn filling, Geom. Topol. 4 (2000), 431–449.

5. S. Boyer, Dehn surgery on knots, in: Handbook of geometric topology (ed. R.J. Daverman), pp. 165–218, Elsevier, Amsterdam, 2002.

6. M. Brittenham and Y.-Q. Wu, The classification of Dehn surgery on 2-bridge knots, Comm. Anal. Geom. 9 (2001), 97–113.

7. C. Cao and G.R. Meyerhoff, The orientable cusped hyperbolic 3-manifolds of minimum volume, Invent.

Math. 146 (2001), no.3, 451–478.

8. Craig D. Hodgson and Steven P. Kerckhoff, Universal bounds for hyperbolic Dehn surgery, preprint, math.GT/0204345.

9. K. Ichihara, Exceptional surgeries and genera of knots, Proc. Japan Acad. Ser. A, Math. Sci. 77 (2001), no.4, 66–67.

10. K. Ichihara, Integral non-hyperbolike surgeries, preprint, arXiv: math.GT/0410045.

11. R. Kirby, Problems in low-dimensional topology, Geometric topology, AMS/IP Stud. Adv. Math., 2.2, (Athens, GA, 1993), (Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997), 35–473.

12. M. Lackenby, Word hyperbolic Dehn surgery, Invent. Math. 140 (2000), 243–282.

13. D. Rolfsen, Knots and Links, Publish or Perish, Berkeley, Ca, 1976.

14. W. P. Thurston, The geometry and topology of 3-manifolds, Lecture notes, Princeton University, 1978.

15. Y.-Q. Wu, Dehn surgery on arborescent knots and links. – A survey, Chaos Solitons Fractals 9 (1998), No.4-5, 671–679.

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