アーチ構造物の自由振動

１

アーチ構造物の自由振動

喜内敏＊吉田博＊西田進＊

NaturalVibrationofArChStructures

By

BinKINAI，HiroshiYosllｴDＡａｎｄＳｕｓｕｍｕＮｘｓｍＤＡ

Abstract

AstudyoffreevibrationofelastiCparabolicandcirculararchesispresentedusing thetransfermatrixmethod・Thearchwillbereplacedwithpolygonalstructure

consistingoflumpedmassesandstraightbars・Themassesareconnectedwithmassless

Therelationshipamongslendernessratios，naturalfrequenciesandmodeswillbe studiedforfixed，１－hinged，２－hingedand3-hingedarches・Theresultsalsoincludetables ofnaturalfrequenciesforparabolicandcirculararches．

1．まえがき

はりの曲げ振動解析の一方法として，ＥＣＰｅｓｔｅｌａｎｄＦ.Ａ・Leckieの著書')に，はりの質量を質 点に集中させて解析する方法が述べられている。慣性力は質点にのみ集中させ，はりの部分は剛性の みをもって，質点を結んでいるとして解析を行なうこの方法は）電子計算機を利用することにより，

構造物の固有周期と，固有関数（モード）を簡単に，しかも比較的短時間に求めることができる。こ の集中質量法を用いた伝達マトリックス法によって山田，小堀2)らは変断面，多スパン連続ばり，途 中にヒンジを持つ場合，固定端の場合などいずれにも適用可能な，けた橋の固有振動周期とその固有 関数を求めるプログラムを作成し，解析例を紹介している。吉田，喜内8)らはこの伝達マトリックス 法をアーチに応用して，固定および２ヒンジアーチの解析を行なった。アーチの振動解法は他に，山 崎，崎山4)らによる，３ヒンジ円弧アーチの振動に関する微分方程式を直接解く方法，あるいは JOsephA・Volf5）による，固定および２ヒンジ円弧アーチを有限個の要素に分割し，剛性法を応用

して解く方法などがある。

著者らは文献３）の方法をさらに発展させて，任意のアーチ形状，変断面，任意の境界条件，中間 ヒンジを持つ場合など，いずれにも適用できる，アーチの固有振動周期とモードを求めるプログラム を作成した。本論文はこのプログラムを用いて比較的解析例の少ない２次放物線アーチと解析例の多 い円弧アーチの固有振動周期を各種境界条件のもとで解き，両者の比較検討を行なったものである。

なお数値計算の結果は表にして示した。

*土木工学科

金沢大学工学部紀要８巻１号１９７４ ２．アーチの自由振動解析

ｏ】

伝達マトリックス法によるアーチの自由振動解析法は文献３）に詳細に述べたので，ここではその

質点′の左側の状態量ベクトルをｚｆ＝｛泌一〃ＰＭＱＮ)?，右側の状態量ベクトルをｚＰと すると，ｚｌとＺｌＬ１の間には，

Ｚ{＝ＦｉＺｌＬ，

⁽¹⁾

L、‘ の関係がある。ここに〃，”，の，ＭＱ，Ｎはそ れぞれ無次元化した，接線方向変位，法線方向変位，

たわみ角，曲げモーメント，せん断力,軸力を表わし，

Fviiは格間伝達マトリックスである。また質点′の右

側と左側の状態量ベクトル，ｚｌとｚザの間には

ｚＦ＝ＰｊＺｆ

⁽²⁾ 第１図アーチの振動モデル

の関係がある。ここにＰｉは格点伝達マトリックス である。著者らは文献３）で状態量ベクトル，格間

伝達マトリックス，および格点伝達マトリックスを無次元化表示して表わした。ここで用いる記号は 全て無次元化表示した文献３）の記号を用いるものとする。

途中に不連続量の入ってくる中間ヒンジのない場合，式(1)および式(2)のマトリックス演算をゴーＯか

によって次の方程式を得る。

Ｅ'ＦⅡＰ,ｌ－１Ｆ１ｉ－,……Ｐ１Ｆ１Ｅルー、(の)AIB＝Ｏ （３）

ここにＦ１，Ｆ２……，Ｆ,'は格間１，２，……〃の格間伝達マトリックス，Ｐ,，Ｐ２，……，Ｐ"－，は質 点１，２，……，〃－１の格点伝達マトリックスである。式(3)のＤＢ#Ｄ(の)＝０が振動数行列式であり，

ＡＲは左端のゼロでない３個の未知数からなる状態量ベクトルである。Ｄ鈍り(の)＝Ｏを満足するの が求める固有円振動数であり，こののを式(3)に代入して解くと固有ベクトルが求まる。このようにし

より‘＝〃まで順次行ない，各質点の接線方向変位〃，および法線方向変位面を求めてゆけば振動モ ードが得られる。

3．中間ヒンジを有する場合

中間ヒンジが質点ノにある場合,中間ヒンジ点で曲げモーメント〃fはゼロとなり，ヒンジの左右両端 でたわみ角が不連続となる。この２つの条件を用いて初期状態量ベクトルのせん断力Ｑｉを消去し，

新たにたわみ角の不連続量のを導入する。初期状態量ベクトルをＺｆ，中間ヒンジ点左側の状態量べ

２

喜内・吉田・西田：アーチ構造物の自由振動 ^３

クトルをｚｌとするとｚｆとｚ'の間には,式(1)および式(2)のマトリックス演算より

Ｚｆ＝〔んj〕Ｚｆ

⁽⁴⁾

なる関係がある。ここに，〔6jj〕は６行６列のマトリックスである。ここで〃『＝０より

－Ｍf644/D45-jVf646/645

⁽⁵⁾ なる関係式が得られ，これを式(4)に代入して整理すると

ｚｆ＝〔Dij-cij〕Ｚｆ（６）

の形に表わされる。ここに，ojj＝5i554j/645を表わす。中間ヒンジ点の格点伝達マトリックスをかけ合

せてｚＦを求めるときは，Ｐ'＝好十のなる関係を用いて，たわみ角の不連続量のを導入する。式

た固有ベクトルは①を含んだ形で得られるが，式(5)より消去したｏｆが求まるので振動モードは２．

と同様にして得られる。

4．数値計算

（１）細長比ス，および無次元化した固有値Ｋ

数値計算は等断面アーチについて行なうものとし，基準断面としてこのアーチ断面を用いると，定

数値とならない無次元化した格間伝達マトリックスの八‘要素，格点マトリックスのＡ１，′52,ｐ6,, Ａ２要素について変形を行ない細長比ス，および無次元化した固有値Ｋを導入する。文献３）より，

格間伝達マトリックスの（６要素は次のように変形できる。

●

ルー銭一列識ｒ鵠一鈴金(芸)`－^{〃汀 １一服}

⁽⁷⁾

ここにＡ／は′部材要素の断面積Ａｊを基準断面積Ａで割った値を示しノi’は′部材要素の長さ

リックスの慣性力の項の変形を行なう。

”ｗ…翅金一舌A;(豊十午)･鰯金一告A；(豊十鶚）

鶴：L÷Ｍ

^（８）

ここにγはアーチ材の単位体積重量を，ｇは重力加速度を表わす。またＶｉ’はＷ＝Ａ/(ﾉﾉ＋Ｊｉ+,'）

なる無次元化した体積を，ＫはＫ＝(γＡ,の2/ELg)オムとして，円振動数・）を含む無次元化した固

有値を表わす。したがって格点伝達マトリックスのＡ１，Ａ２，汐6,，'６２要素は

３

金沢大学工学部紀要８巻１号１９７４

４

′馳一'"-÷v/Ｋｗ『ルーハー会wKw『

^（９）

となる。ここに仏は部材要素'と′＋１とのなす角である。

以上のようにして，アーチの振動数行列式はスとＫのみで表わされる。またアーチの無次元化した

固有値Ｋは，はりの自由振動問題に用いられる無次元化した固有値βノー(γＡの2/EIg)+Ｌと同じ式

になるようにとった。

（２）分割数と精度

集中質量法によるアーチの振動解析では質量を質点に集中させるので，分割数がその計算精度に大 きく影響をおよぼすが，一般に分割数を多くとればその誤差は解消される。文献６）によれば，求め る固有値の振動モードの正弦波，半波長の数の質点を振動モードの凹凸部に配置すれば良い結果を示 めすことが，単純ばりを例に数値計算結果を用いて示されている。本研究では，工学上意味のある低 次の振動である１次および２次の対称振動，逆対称振動について解析を行なうので６分割以上の分割

数をとれば良い。

２ヒンジ円弧アーチについて１０，２０，４０の各分割数についてＫの値を求めたところ,40分割に比し て，１０分割では，２次の振動で約１％程度小さく，１次の振動で約0.1％程度大きくなり，２０分割では

（３）各種境界条件と無次元化した固有値Ｋの関係

解析は中心角６＝60°の円弧アーチ，および前者とライズ比け＝0.184）の等しい２次放物線アー

第１表各種境界条件を有する円弧アーチのＫ値

0＝60。

、

B､Ｃ＞‐

^{4０ 120 200 300 500}

6.180 7.302 10.470 11.112

ｓＡＳＡ ＦＦｓｓ

7.328 9.216 11.356 13.375

ＦＡ ＦＳ ＳＳ ＳＡ

7.330 9.787 13.387 13.572

7.330 9.902 13.370

１２３４

ＦＡ

ＦＳ ＳＡ ＳＳ

7.330 9.933 13.391 15.966

ＦＦｓｓ ＡｓＡｓ

Ｎｏ－Ｈｉｎｇｅ

SSl1a5O6

５．７１８ 7.302 9.027 11.112

7.328 7.974 10.794 13.375

７．３３０ 8.221 13.131 13.387

ＦＡ ＦＳ ＳＳ ＳＡ

7.330 8.283 13.390 14.283

ＦＡ ＦＳ ＳＡ

7.330 8.303 13.391

ｓＡＳＡ ＦＦｓｓ ＦＦｓｓ

１２３４

ＡＳＡｓ

１－Ｈｉｎｇｅ

FAI5.799

臺鰯

^FA'5.799

ＦＡＩ5.798 5.784

６．０３１ ８．９６６ １１．０７４

ＦＡ ＦＳ ＳＡ

5.799 8.657 11.899

１２３４

ＦＦｓｓ ＡｓＡｓ

8.494 10.860 11.892

ＦＳ ＳＡ

8.649 11.899 14.651 ＦＳ

ＳＳ ＳＡ ２－Ｈｉｎｇｅ

SSll475O

ＦＡ’

5.784 5.799 7.634 11.074

5.798 7.032 10.664 11.892

ＦＡ ＦＳ ＳＳ ＳＡ

５．７９９ 7.089 11.897 12.843

１２３４

ＦＡ

ＦＳ ＳＡ ＳＳ

５．７９９ 7.104 11.899 13.172

ＦＡ ＦＳ ＳＡ ＳＳ

５．７９９ 7.104 11.899 13.218

ＦＦｓｓ ＡｓＡｓ

ＦＳ ＳＳ ＳＡ ３－Ｈｉｎｇｅ

ＦＳ：１ｓｔＳｙｍｍｅｔｒｉｃ ＦＡ：lstAntisymmetric SS82ndSymmetric SA82ndAntisymmetric

４

喜内・吉田・西田：アーチ構造物の自由振動 ５

第２表各種境界条件を有する２次放物線アーチのＫ値

RiseRatio＝0.134

、～ス B･ｃ･~、 ^{4０ 120 200 300 400}

６．２１３ 7.316 10.466 11.117

ｓＡＳＡ ＦＦｓｓ

１２３４

７．３４２

９．４２３ １１．１８３ １３．４１８

ＦＡ ＦＳ ＳＳ

7.344 9.986 13.427

ＦＡ ＦＳ

７．３４５ １０．０７９

ＡＳＡＳ ＦＦＳｓ

7.345 10.104 13.429 16.123 Ｎｏ－Ｈｉｎｇｅ

:二|}二:宝

SAl1M46

１２３４

5.782 7.316 9.010 11.117

７．３４２ 8.161 11.931 13.418

ＦＡ ＦＳ ＳＳ ＳＡ

７．３４２ 8.382 13.162 13.427

ＦＡ ＦＳ ＳＳ ＳＡ

7.345 8.440 13.429 14.441

ＦＡ ＦＳ ＳＡ ＳＳ

7.345 8.456 13.429 14.642

ＡＳＡＳ ＦＦｓＳ

１－Hinge

5.806 6.020 8.949 11.103

１２３４

ＦＡ

ＦＳ ＳＳ ＳＡ

５．８１９ 8.669 10.628 11.931

ＦＡ ＦＳ ＳＳ

ＳＡ

^{ＦＡ ＦＳ ＳＡ ＳＳ 11.934 14.766 ５．８２０ 8.779 ＦＡ ＦＳ ＳＡ 11.935 ５．８２０ 8.784 ＦＡ ＦＳ ＳＡ ＳＳ}

２－Hinge

sslM8

5.820ＦＡ’5.820ＦＡ

ｌ正:量:jil1I量:：：

１３．２９４ｓＳ１３．３２５ＳＳ

１２３４

5.806 5.819 7.574 11.103

ＦＡ ＦＳ ＳＳ ＳＡ

５．８１９ 7.169 10.516 11.931

ＦＡ ＦＳ ＳＳ ＳＡ

５．８２０ ７．２１３ １１．９３４ １２．９６４

ＦＡ ＦＳ ＳＡ ＳＳ ３－Hinge

ＦＳ：１ｓｔＳｙｍｍｅｔｒｉｃ ＦＡ：IstAntisymmetric SS：２ｎｄＳｙｍｍｅｔｒｉｃ ＳＡ：２ndAntisymmetric

第３表２ヒンジ円弧アーチのＫ値（中心角変化）

丁刈｜側

^{120 200 300 400}

４．５７２ ６．１５３ 9.303 11.187

ｓＡＳＡ ＦＦｓｓ

６．１５８ 7.390 9.467 12.394

６．１５８ 8.681 10.343 12.396

６．１５８ 8.947 12.228 12.396

１２３４

ＦＡ

ＦＳ ＳＳ ＳＡ

ＦＡ ＦＳ ＳＳ ＳＡ

ＦＡ ＦＳ ＳＳ ＳＡ

６．１５８ 9.001 12.396 13.876

ＡＳＡＳ ＦＦＳｓ

30。

5.245ＦＡ'5.247ＦＡ

ｌｉ::!::jilli:Iil:三

…･slm75･＆

5.225 ６．９１８ 8.540 10.680

ＦＡ ＦＳ ＳＳ ＳＡ

１２３４

５．２４７

8.047 11.107 13.858

ＡＳＡＳ ＦＦＳｓ

5.247 8.050 11.107 13.876

ＦＡ ＦＳ ＳＡ ＳＳ 90。

4.537 6.923 8.449 9.842

ＦＡ ＦＳ ＳＳ ＳＡ

4.557 7.227 10.056 12.485

１２３４

ＦＡ

ＦＳ ＳＡ ＳＳ

４．５５７ 7.241 10.064 12.636

ＦＡ ＦＳ ＳＡ ＳＳ

４．５５９ 7.245 10.064 12.658

ＦＡ ＦＳ ＳＡ ＳＳ

４．５５７ 7.247 10.067 12.665

ＦＡ ＦＳ ＳＡ ＳＳ 120。

FA81stAntisym･

ＳＡ８２ｎｄＡｎｔｉｓｙｍ．

ＦＳ８１ｓｔＳｙｍ ＳＳｇ２ｎｄＳｙｍ．

５

金沢大学工学部紀要８巻１号１９７４

第４表２ヒンジ２次放物線アーチのＫ値（ライズ比変化）

６

＞、」

^{4０ 120 200 300 400}

6.159 7.401 9.444 12.397

ＦＡ ＦＳ ＳＳ ＳＡ

6.159 8.731 10.276 12.398

ＦＡ ＦＳ ＳＳ ＳＡ 4.569

６．１５５ 9.303 11.188

ｓＡＳＡ ＦＦｓｓ

ＦＡ ＦＳ ＳＳ ＳＡ

６．１６０ 8.989 12.170 12.399

6.160 9.039 12.399 13.839

ＦＡ ＦＳ ＳＡ ＳＳ

１２３４

0.066

ＦＡ ＦＳ ＳＳ ＳＡ

５．３３２ 8.287 11.237 12.247

ＦＡ ＦＳ ＳＡ ＳＳ 5.313

7.027 8.401 10.903

5.333 8.298 11.240 14.013

ＡＳＡｓ ＦＦｓｓ

5.334 8.301 11.241 14.064

ＦＡ ＦＳ ＳＡ ＳＳ

5.334 8.302 11.241 14.073

１２３４

0.207

４．７４７ 7.530 7.837 10.339

ＦＡ ＦＳ ＳＳ ＳＡ

4.767 7.635 10.362 12.864

ＦＡ ＦＳ ＳＡ ＳＳ

4.769 7.637 10.364 13.007

ＦＡ ＦＳ ＳＡ ＳＳ

4.769 7.637 10.365 13.016

4.770 7.638 10.365 13.018 ＦＡ ＦＳ ＳＡ ＳＳ

１２３４

0.289

ＦＳ：１ｓｔＳｙｍ．ＦＡ：１stAntisym･

ＳＳ：２ｎｄＳｙｍＳＡ：２ndAntisym・

チについて，固定アーチ，１ヒンジアーチ，２ヒンジアーチ，および３ヒンジアーチの各アーチ形式

に対して行ない結果を第１表および第２表に示す。また２ヒンジ円弧アーチについては，中心角を30。

…，､Mﾂﾞｰｰｰｰ

） 2ndSym.(2-hinge）

１ ５ 1５

Ｋ _Ｋ

）

０

５

－－－－－－ParabolicArch ---CircularArch

－－－－－－ParabolicArch ---CircularArch

0

０１００２００３００４００５００ 入

第２図固定アーチ，１－ヒンジアーチのＫと スの関係

0１００２００３００４００５００ A

第３図２－ヒンジアーチ，３－ヒンジアーチの Ｋとスの関係

６

喜内・吉田・西田：アーチ構造物の自由振動 ７

90.,および120゜の各値について，２ヒンジ放物線アーチについては前者とライズ比が等しくなるよう

に，′＝0.066,0.207,および0.288の各値について解析を行ない，結果を第３表および第４表に示 す。

第２図および第３図は第１表および第２表を，縦軸に無次元化した固有値Ｋを，横軸に細長比スを とって図示したもので，図中，実線は放物線アーチ，点線は円弧アーチを示す。アーチは，直線ばり

と異なり軸力が生じる。振動問題においても，この軸力による軸線方向の伸縮が振動特性に大きな影

の影響は大きく，高次になるほどスの増加と共にＫの値は大きくなる。この理由として，１次逆対 称振動と１次対称振動を比較すると，前者では，軸力として圧縮力と引張力が作用し，軸線全体とし

である。

スの大きな細長いアーチでは，アーチのたわみに比して，軸方向の伸縮がほとんどないため，逆対 称振動より対称振動のＫ値は大きくなる。しかし，スの小さいずんぐりしたアーチになるほど，圧 縮力による伸縮の影響が顕著となり，スの減少と共にＫの値は小さくなる。図中,スー４０では１次逆 対称振動より，１次対称振動のＫ値が小さくなっている。この１次対称振動は，伸縮が顕著なため，

細長比スの大きな１次対称振動より波うつ数の小さい振動となっている。

放物線アーチと円弧アーチを比べると，逆対称振動ではその差はほとんどなく，対称振動では，円 弧アーチは放物線アーチに比して，約１％程度Ｋの値が小さい。

各アーチ形式について比べると，逆対称振動の場合，アーチ中央部で曲げモーメントはゼロとなり，

その点にヒンジのある１ヒンジアーチ，および２ヒンジアーチの逆対称振動はそれぞれ，固定アーチ，

および２ヒンジアーチの逆対称振動と一致する。一方対称振動の場合，固定アーチ，および２ヒンジ

●

1５

入＝4002-HingeArch

入＝４０２－HingeArch 1５

Ｋ 10 Ｋ

1０

５

＝＝＝三

－－－－－－ParabolicArch ---CircularArch

－－－－－－ParabolicArch ---CircularＡｒｃｈ

0 ０３０６０９０１２０８

０0.0660.1340.2070.289ｆ

（スー40）

0 ０３０６０９０

００．０６６０．１３４０．２０７ 第５図２－ヒンジアーチのＫと

関係（スー400）

１２００ ０．２８９ｆ ０，／との

－７

金沢大学工学部紀要８巻１号１９７４

８

アーチは，アーチ中央点で曲げモーメントが極大となり，１ヒンジアーチ，および３ヒンジアーチは，

中央部のヒンジ点で曲げモーメントがゼロとなるので，それだけ曲がりやすくなり，後者は前者より

第４図および第５図は，第３表および第４表の細長比スー40と400の場合について，縦軸にＫの値

を，横軸に中心角およびライズ比をとって図示したもので，実線は放物線アーチを，点線は円弧アー チを示す○図および表より，細長比スの小さい場合，中心角あるいはライズ比の大きさによって，Ｋ の値と振動形の順序が異っているが，スの大きい場合，１次逆対称，１次対称，２次逆対称，および

２次対称の順にＫの値は大きくなる。

円弧アーチと放物線アーチを比べると，中心角およびライズ比の小さなところでは，ほぼＫの値は

等しいが，それらが大きくなるにしたがってＫの値にわずかの差が生じてくる。これはアーチ中央部

くなるためである。

（４）３ヒンジアーチの中間ヒンジ位置とＫの関係

第６図は３ヒンジアーチの中間ヒンジの位置とＫの関係を示したもので，円弧アーチでは中心角を 60.,2次放物線アーチではライズ比を0.134,細長比はスー300のものを図示した。図より，１次逆 対称振動の場合，中央点にヒンジのあるとぎＫの値は最大となり，１次対称振動の場合，ヒンジ位置

、

＿－１vＩｏｄｅ

－－－－Ｓｌｏｐｅ ^{0＝６０゜Ａ＝300}

＜二、

三三三Zニニン

,二三三

０９８７６５４３１Ｋ

－－－－ParabolicArch

---CircularArch

ニニニゥーミミ、

ｆ＝0．１３４

０＝60.

0１０２０３０４０５０６０８

０１２３４５６１，b PositionofHinge

第６図３－ヒンジアーチの中間ヒンジ位置とＫの関係

＜＝、

ｒ－－－へ～へ、

１１

=＜レベミミ zz二二く

第７図各種境界条件を有する円弧アーチの１次モード

８

喜内・吉田・西田：アーチ構造物の自由振動 ^９ が約１９゜（約0.3Ｌ），と約４１°（0.7Ｌ）付近でＫの値は最大となる。これは同じ条件の２ヒンジアー チを考えた場合，それぞれの振動形において曲げモーメントがゼロとなる点，すなわちモードの変曲

なお，中間ヒンジを左端または右端に近づけた場合は，一端ヒンジ，他端自由の２ヒンジアーチの Ｋの値に一致する。円弧アーチは放物線アーチと同様の'性状を示し，わずかに放物線アーチよりＫ

の値が小さい。

（５）モ_ド

第７図は各種境界条件を有する円弧アーチの１次逆対称，および１次対称振動モードを図示したも ので，実線はたわみ，点線はたわみ角分布を示す。なお，細長比はスー300,中心角は０＝60゜の場合で

ある。

5．結 論

伝達マトリックス法を用いて２次放物線アーチ，および円弧アーチの自由振動解析を行なった。数 値計算はアーチを40分割し，各分割点間では長さと剛性のみを有する直線ばり要素と，各分割点に質 量の集中した質点とにモデル化を行ない，無次元化した格間伝達マトリックス，格点伝達マトリック

ス，および振動に関する境界マトリックスを用いて，振動数方程式を求め,これを解いた。アーチの自

動数のの関数である（7Ａの2/EIg)'Ｌと同じ式になるようにとった。

２次放物線アーチと円弧アーチの自由振動を種々の境界条件のもとで解き，次の点が明らかとなっ

た。

（１）逆対称振動では細長比スのＫへの影響は小さく，このことは低次の逆対称振動になるほど顕 著である。これは軸力として圧縮力と引張力が生じ，アーチ軸線全体としての伸縮が打ち消されるた

めである。

（２）対称振動では細長比スのＫへの影響は大きく，高次になるほど，Ｋの値は細長比スの増加

と共に大きくなる。

（３）放物線アーチと円弧アーチでは，ライズ比あるいは中心角の小さな場合，Ｋの値はほとんど異 ならないが，ライズ比と中心角が大きくなるにしたがって，Ｋの値は数％程度異なってくる。

（４）固定アーチと１ヒンジアーチ，２ヒンジアーチと３ヒンジアーチでは，逆対称振動の場合，Ｋ の値は一致し，対称振動の場合，中間ヒンジのある方が無いものよりＫの値は小さい。

なお数値計算に用いた電子計算機は金沢大学計算機センターのｊＭＣＯＭ２３０－３５である。

7．用いた記号 Ａｉ

Ｅ

′ Ｆｖｉ

Ｋ (L）

Ｍ；

：部材要素′の断面積（基準断面積）

：ヤング係数

：２次放物線アーチのライズ比 :部材要素‘の格間伝達マトリックス

:部材要素Ｚの慣性モーメント（基準慣性モーメント）

:無次元化した固有値

:部材要素‘の部材長さ，（基準部材長さ）

:質点ノにおける無次元化した曲げモーメント Z。

ハ

９

金沢大学工学部紀要８巻１号１９４７ １０

Ｊ鵬一泓凪一ｑ刷跣一触一妙ｚｒ０６１の少吻のくく

：質点′における質量（基準質量）

：質点‘における無次元化した軸力

：質点ｆにおけの格点伝達マトリックス

：質点ｊにおける無次元化したせん断力

:左端の境界マトリックス（右端の境界マトリックス）

:基準断面の断面２次半径

:質点‘における無次元化した接線方向変位 :質点ｆにおける無次元化した法線方向変位

：質点ｉにおける状態量ベクトル

：アーチ部材の単位体積重量

：円弧アーチの中心角

：部材要素'の接線のなす角

：アーチの支間長Ｌとγ‘との比（細長比）

:中間ヒンジ点におけるたわみ角の不連続量 :質点′におけるたわみ角

:部材要素′とｆ＋１とのなす角 :円振動数

,,Zｉ

丘

８．参考文献

Ｅ･ＣＰｅｓｔｅｌａｎｄＦ．Ａ･Leckie，《ＭＡＴＲＩＸＭＥＴＨＯＤＳＩＮＥＬＡＳＴＯＭＥＣＨＡＮＩＣＳ'，，McGraw Hill，1963．

山田善一，小堀為雄，「けた橋の固有振動周期とその固有関数を求めるプログラムについて－Transfer matrix法一Ｊ，土木学会誌，1952年９月，ｐＰ５０～56.

Ｈ・YoshidaandB・Kinai，ＧｑＤＹＮＡＭＩＣＡＮＡＬＹＳＩＳＯＦＡＲＣＨＥＳＵＳＩＮＧＴＲＡＮＳＦＥＲ ＭＡＴＲＩＸＭＥＴＨＯＤ，，，金沢大学工学部紀要，６巻２号，ｐｐ､１～10．

山崎徳也，崎山毅，「３ヒンジアーチの自由振動解法」，土木学会論文報告集，第184号，1970年12月，

pp､４１～55．

Joseph．Ａ・Volf，“ＮＡＴＵＲＡＬＦＲＥＱＵＥＮＣＩＥＳＯＦＣＩＲＣＵＬＡＲＡＲCHES”ＡSCE，ST9，Sept，

1971,ｐｐ､2337～2349．

成岡昌夫，遠田良喜，「伝達マトリックス法」，コンピューターによる構造工学講座Ｉ－２－Ｂ，培風館，

1970年．

（昭和48年９月14日受理）

Ｊ１ＪＪＪｊ１２３４５６

－１０－