カーネルベンチマークコード開発の目的エクサスケール規模のシミュレーションの核となる数値計算アルゴリズムの中で特に重要なものについて数値計算ライブラリ等を用いてそのコストを推定するためにカーネルベンチマークを作成し評価に使用する対象計算アルゴリズム固有値計算 ( 実数密行列標準固有値計

(1)

カーネルベンチマークコードの開発について

EigenExaについて

EigenExaベンチマークコードについて

ベンチマーク結果に基づく性能推定について

2/24/2014 理化学研究所　三上和徳

(2)

カーネルベンチマークコード

•  開発の目的

– エクサスケール規模のシミュレーションの核となる数値計算アルゴリズム

の中で、特に重要なものについて、数値計算ライブラリ等を用いてそのコ

ストを推定するためにカーネルベンチマークを作成し、評価に使用する。

•  対象計算アルゴリズム

– 固有値計算（実数密行列、標準固有値計算）

– ３次元ＦＦＴ

– 乱数生成器

•  公開計画

– 表

カーネルベンチマークコード固有値計算_{(実対称密・標準)} 公開中３次元ＦＦＴ４月公開見込み乱数生成 _{3月公開見込み}

(3)

固有値計算

•  実数対称密行列の標準固有値計算

• AICSで開発中のEigenExaをもとにベンチマークコードを作成

(公開版version 2.1a)

• h;p://www.aics.riken.jp/labs/lpnctrt/EigenExa.html

• 10種類のテスト行列（+利用者指定固有値）

•  プロセスグループ形状の指定

•  固有値のみ、固有値＋固有ベクトル、など（ただし全モード

計算）

(4)

3D-FFT

• FFTW向けに紹介されている代表的な3DFFTの測定コードを

もとに、各種

FFT実装や分割方法による性能を推定する。

• AICSで開発中のKMATH_FFTからベンチマークを作成中（３

月末完成）。

• 3D-‐FFTの主要なライブラリ、FFTE, FFTWをカーネルとして開

発中

• 3次元空間の1軸、2軸、3軸分割の選択

(5)

乱数生成器

•  メルセンヌツイスター乱数生成器を利用した乱数生成部分

の性能評価ベンチマークコード

• MPIのグループでできるだけ重複のない乱数列を管理し、

内部状態管理の

I/O処理も含む

• AICSで開発中のKMATH_RANDOMのベンチマークコードを

現在改良し、カーネルベンチ提供用に調整中

(6)

EigenExaについて

•  理化学研究所ホームページ

2013年12月5日

60 秒でわかるプレスリリース

」より

•  「京」を使い世界最高速の固有値計算に成功

•  行列の固有値計算では行列を簡単な形式（形状）に変換し、それを中間形式と

して取り扱います。理研の研究チームは、帯行列（ゼロでない要素が対角線上

に帯状に分布する行列）を中間形式に採用することによって、前処理の時間の

削減を図った新しい計算アルゴリズムを考案し、それを基にした数学ソフト

「

_{EigenExa（アイゲンエクサ）」を開発しました。「京」の全プロセッサを用いて計算}

した結果、世界最大規模の

_{100万×100万の行列の固有値計算が1時間以内で}

可能なこと確認しました。これまでの地球シミュレーターの記録（

_{40万×40万の}

行列で

_{3時間半）を大幅に上回りました。「京」の高い計算能力とEigenExaの利}

用により、数十万から

_{100万程度の固有値を求める問題は1時間以内にできる}

ことが立証されました。今後、シミュレーションの規模を大幅に拡大することが可

能になります。なお、

_{EigenExaはオープンソフトウエアとして公開され、理研計算}

科学研究機構研究部門のホームページからダウンロードできます。

(7)

固有値計算 - 密行列解法の位置づけ

固有値計算

_{疎行列解法}

・超大規模問題

・少数固有モード

・特定区間モード

・最小・最大モード

密行列解法

・全固有値

・全固有対

・全体の数分の１のモード

•  行列の全要素（NxN）をゼロと考えずに扱う

•  直接的解法

•  メモリ使用量O(N^2)，演算量O(N^3)

•  ゼロ要素を落とし，大規模問題での使用メモリ量・演算量を削減

•  反復法が基本

•  疎行列ベクトル積（spMV）が性能を左右

疎行列解法の内部解法に

密行列解法を使用

高性能・高品質な密行列向けソルバの必要性

(8)

EigenExa - 世界の競争相手

Eigen-‐Exa

•  新1stepスキーム採用 •  京において2^16コアまでの動作確認・通信コストの認識 •  動作＆通信モデル構築 •  階層化アルゴリズム、自動チューニングの取り込み •  GPU版も準備へ

ELPA

•  1step vs 2stepの議論：1stepが高速の場合が多い •  三重対角 ⇒ 帯の変換部分は未だよい実装できず・・・実装レベルでは困難か？ •  B/Qでアセンブラチューニングの方向＆GPU化へ

ScaLAPACK ver 2.0.2

•  枠組みに大きな変化なし •  MPIがBLACSの標準に •  ルーチンの強化： ü 非対称行列ソルバー(PDHSEQR) ü 新ルーチンMRRR(PDSYEVR)

DPLASMA

•  PLASMA, MAGMAでの2stepスキーム •  1nodeはスケーラブルに動作 •  DAGタスクスケジューリング

(9)

ScaLAPACK/DPLASMA

•  テネシー大学

ICL h;p://icl.cs.utk.edu/dplasma/index.html

• ScaLAPACK : Scalable Linear Algebra PACKage

– 

a library of high-‐performance linear algebra rou^nes for parallel distributed

memory machines. ScaLAPACK solves dense and banded linear systems, least

squares, eigenvalue, and singular value problems. The key ideas includes

• a block cyclic data distribu^on for dense matrices and a block data

distribu^on for banded matrices

• block-‐par^^oned algorithms to ensure high levels of data reuse

• well-‐designed low-‐level modular components

• DPLASMA : Distributed Parallel Linear Algebra So`ware for Mul^core Arch.

– 

DPLASMA is the leading implementa^on of a dense linear algebra package for

distributed heterogeneous systems. It is designed to deliver sustained

performance for distributed systems where each node featuring mul^ple

sockets of mul^core processors, and if available, accelerators like GPUs or

Intel Xeon Phi. DPLASMA achieves this objec^ve through the state of the art

PaRSEC run^me, por^ng the Parallel Linear Algebra So`ware for Mul^core

Architectures (PLASMA) algorithms to the distributed memory realm.

(10)

ELPA

•  マックス・プランク研究所

h;p://elpa-‐lib.di-‐berlin.mpg.de/wiki

• ELPA : Eigenvalue soLvers for Petaﬂop Applica^ons Library

–  ELPA is a Fortran-‐based high-‐performance computaônal library for the (massively) parallel soluôn of symmetric or Hermiân, standard or generalized eigenvalue problems.

–  Once compiled, ELPA library rou^nes can be linked to from C, C++, Fortran etc. code alike.

• ELPA works as a "drop-‐in enhancement" for Scalapack-‐based infrastructures

(arguably the de facto standard for high-‐performance parallel linear algebra).

Thus, ELPA is not independent of this infrastructure, but rather builds on it.

Necessary prerequisite libraries for ELPA (o`en already provided by HPC

vendors) include:

–  Basic linear algebra subrou^nes (BLAS) –  Lapack

–  Basic linear algebra communica^on subrou^nes (BLACS) –  Scalapack

(11)

EigenExa - 国際競争力のある新規計算スキームの採用

dense

band

tridiagonal

eigenpairs

　　　　

ScaLAPACK

1step Scheme

　　　　

ELPA

　　　　

DPLASMA

2step Scheme

（

_Byte/Flop

が低い）

　　　　

_Eigen-‐Exa

新

1step Scheme

高性能実装が困難全固有ベクトルを求める場合は1stepと大差ないという報告多数

状況によっては逆変換（三重対角 ⇒ 帯）の高性

能実装も視野にいれつつ，良好なものを選択

(12)

固有値の計算パターン

• Ax = λx

•  行列のサイズが大きい場合

– 方針：Aの固有値は相似変換A -‐> P

-‐1

_{APをしても不変。簡単なP(回転行列}

など）で変換を多数回行い対角行列に収束させる

– より簡単な行列形式に中継的に変換して計算時間の短縮をはかる

• (1)係数行列をより帯域の狭い中間行列に変換して

• (2)中間行列の固有値を求め

• (3)本来の係数行列の固有ベクトルを求め直す

– 

(1)の中間行列のパターン毎に手法がある

• EigenExaの標準版、ScaLAPACK ：三重対角行列：Householder(鏡像)

• EigenExaの高速版：帯行列(narrow-‐band法）

“Development of a High-‐Performance Eigensolver on a Peta-‐Scale Next-‐

Genera^on Supercomputer System”, Imamura etal, Progress in NUCLEAR

SCIENCE and TECHNOLOGY, Vol. 2, pp.643-‐650 (2011)

•  商用ソフトウエアでは

Lanczos法：三重対角がよく利用される

(13)

EigenExa - Parallel performance: strong scalability

N=10K

N=20K

N=50K

N=130K

[sec] [cores] 2 20 200 2000 Eigen-‐K(N=10K) ELPA2-‐dev(N=10K) ScaLAPACK(N=10K) Eigen-‐K ELPA2-‐development ScaLAPACK 2.0.2

Fas

te

r

K computer@RIKEN AICS

OpenMP+MPI hybrid

8thread/1proc/1node

Part of the results is obtained by using the K computer at the RIKEN Advanced Ins^tute for Computa^onal Science (Proposal number hp12017).

(14)

EigenExaベンチマークコードについて

• Fortranで書かれた主プログラム

– 実行プログラム名

eigenexa_benchmark

•  京（

FX10）・X86 Intel・X86 GNU・BlueGeneQ用のMakeﬁle有り

– 

make

#　libEigenExa.aのみ生成される

– 

make eigenexa_benchmark

# ベンチマークコードを生成

• mpirunコマンドなどで起動

– 実行オプションをコマンドライン引数と入力ファイルで指定

– テスト用の係数行列を自動生成

– 複数の行列（タイプ・サイズ）を連続実行可能

– 

EigenExaの求解ルーチンeigen_sx()又は eigen_s () を呼び出して実行

– 固有値計算に必要な計算資源を出力表示（テキスト）

(15)

EigenExaベンチマークコードについて

•  実行プログラム名 eigenexa_benchmark

•  実行時のオプション（

X86 Linux Intel環境での例）

$ ./eigenexa_benchmark -help eigenexa_benchmark [options] options:

-h displays this help and exit -f input_file uses input_file

default is ./IN

-g mode sets the process grid as follows R, r MPI_COMM_WORLD row-major mode C, c MPI_COMM_WORLD column-major mode

A, a MPI_COMM_SELF (embarrasingly parallel) 1, 2,... 9 splitted MPI_COMM_WORLD

with the color=MOD(RANK,{number}) -x dimX dimY sets the cartecian shape (dimX, dimY) dimX <= dimY must be hold.

(16)

EigenExaベンチマークコードについて

•  行列や求解モードはinput_ﬁleで指定する

• input_ﬁleのレコードフォーマットは以下

!

! Input file format !

! N bx by mode matrix solver !

! N : matrix dimension

! bx : block width for the forward transformation ! by : block width for the backward transformation ! mode : solver mode { 0 : only eigenvalues }

! { 1 : eigenvalues and corresponding eigenvectors} ! { 2 : mode 1 + accuracy improvement for eigenvalues} ! matrix : test matrix { 11 types, 0 ... 10 }

! solver : { 0 : eigen_sx, new algorithm, faster on the K } ! { 1 : eigen_s, conventional algorithm }

!

! if a line starts from '!', the line is treated as a comment !

(17)

EigenExaベンチマークコードについて

•  テスト用の係数行列

• matrixパラメタ(0-‐9)：行列要素を自動生成。

– 以下の10種類の行列タイプから選択

• matrixパラメタ(10)：行列要素をユーザが指定。

– 外部ファイルW.datから読み込む

•  ベンチマークはinput_ﬁleで複数の行列（タイプ・サイズ）を指定して

連続実行可能

Matrix type = 0 (Frank matrix) Matrix type = 1 (Toeplitz matrix) Matrix type = 2 (Random matrix) Matrix type = 3 (Frank matrix 2) Matrix type = 4 (W: 0, 1, ..., n-1)

Matrix type = 5 (W: sin(PAI*5*i/(n-1)+EPS^1/4)^3) Matrix type = 6 (W: MOD(i,5)+MOD(i,2))

Matrix type = 7 (W: same as Frank matrix)

Matrix type = 8 (W: Uniform Distribution, [0,1)) Matrix type = 9 (W: Gauss Distribution, m=0,s=1) Matrix type = 10 (W: Read from the data file 'W.dat')

(18)

EigenExaベンチマークコードについて

•  テスト結果出力例（X86 Linux Intel環境での例）

$ export OMP_NUM_THREADS=8 $ export I_MPI_FABRICS=shm:ofa $ mpirun -np 16 ${bin_path}/EigenExa-2.1/eigenexa_benchmark -x 4 4 INPUT FILE=IN ====================================================== Solver = eigen_sx / via penta-diagonal format

Block width = 48 / 128

NUM.OF.PROCESS= 16 ( 4 4 ) NUM.OF.THREADS= 8

Matrix dimension = 20000

Matrix type = 0 (Frank matrix)

Internally required memory = 809378576 [Byte] mode 'X' :: mode 'A' + accuracy improvement

Elapsed time = 72.6625800132751 [sec] FLOP = 41809663584490.7

Performance = 575.394702154152 [GFLOPS] --- 続く

(19)

EigenExaベンチマークコードについて

•  テスト結果出力例（X86 Linux Intel環境での例続き）

---

max|w(i)-w(i).true|/|w.true|= 1.066005805307593E-008 162121999.707086 *** Eigenvalue Relative Error *** : PASSED

max|w(i)-w(i).true| = 1.72822991013527 162121999.707086 *** Eigenvalue Absolute Error *** : FAILED

Do not mind it. Relative error is small enough. --- |A|_{1}= 200010000.000000

epsilon= 2.220446049250313E-016

max|Ax-wx|_{1}/Ne|A|_{1}= 3.267477534449350E-002 50 *** Residual Error Test *** : PASSED

|ZZ-I|_{F}= 1.498340806171751E-012 *** Orthogonality Test *** : PASSED

(20)

EigenExaベンチマークコードについて

•  テスト結果出力例（X86 Linux Intel環境プロセスpinステートも表示）

$ export I_MPI_DEBUG=5

$ export I_MPI_FABRICS=shm:ofa

$ mpirun -np 16 ${bin_path}/EigenExa-2.1/eigenexa_benchmark -x 4 4 [0] MPI startup(): Rank Pid Node name Pin cpu

[0] MPI startup(): 0 16562 vsp25 {0,1,2,3,4,5,6,7} [0] MPI startup(): 1 16563 vsp25 {8,9,10,11,12,13,14,15} [0] MPI startup(): 2 9634 vsp27 {0,1,2,3,4,5,6,7} [0] MPI startup(): 3 9635 vsp27 {8,9,10,11,12,13,14,15} [0] MPI startup(): 4 10120 vsp29 {0,1,2,3,4,5,6,7} [0] MPI startup(): 5 10121 vsp29 {8,9,10,11,12,13,14,15} [0] MPI startup(): 6 16952 vsp10 {0,1,2,3,4,5,6,7} [0] MPI startup(): 7 16953 vsp10 {8,9,10,11,12,13,14,15} [0] MPI startup(): 8 18491 vsp11 {0,1,2,3,4,5,6,7} [0] MPI startup(): 9 18492 vsp11 {8,9,10,11,12,13,14,15} [0] MPI startup(): 10 19442 vsp12 {0,1,2,3,4,5,6,7} [0] MPI startup(): 11 19443 vsp12 {8,9,10,11,12,13,14,15} [0] MPI startup(): 12 19454 vsp16 {0,1,2,3,4,5,6,7} [0] MPI startup(): 13 19455 vsp16 {8,9,10,11,12,13,14,15} [0] MPI startup(): 14 17532 vsp17 {0,1,2,3,4,5,6,7} [0] MPI startup(): 15 17533 vsp17 {8,9,10,11,12,13,14,15}

(21)

EigenExaベンチマークコードについて

•  計算各フェイズでの通信待ち等さらに細かな情報を得たい場合は、

Makeﬁle 中で以下のマクロを 1

に設定して

makeするとよい

– 

DEBUGFLAG = $(MACRO_D_PREFIX)TIMER_PRINT=

0 •  実行時stdoutの例

calc (u,beta) 0.660794019699097 mat-vec (Au) 2.37120127677917 281.151445554300 2update (A-uv-vu) 0.451921701431274 1475.18179488897 calc v 0.000000000000000E+000 v=v-(UV+VU)u 0.455217599868774

UV post reduction 5.616807937622070E-002 COMM_STAT BCAST :: 0.337308168411255 REDUCE :: 1.66761779785156 REDIST :: 0.000000000000000E+000 GATHER :: 8.748936653137207E-002 TRD-BLK 10000 4.13007497787476 322.835139912989 GFLOPS TRD-BLK-INFO 10000 48 … …

(22)

EigenExaベンチマークコードについて

•  テスト結果出力例（京コンピュータでの例）

$ export OMP_NUM_THREADS=8 $ mpiexec -n 16 ./eigenexa_benchmark -x 4 4 INPUT FILE=IN ====================================================== Solver = eigen_sx / via penta-diagonal format

Block width = 48 / 128 NUM.OF.PROCESS= 16 ( 4 4 ) NUM.OF.THREADS= 8

Matrix dimension = 20000

Matrix type = 0 (Frank matrix)

Internally required memory = 809378576 [Byte] mode 'X' :: mode 'A' + accuracy improvement Elapsed time = 53.00329535175115 [sec] FLOP = 41803090435242.67

Performance = 788.6885175312324 [GFLOPS]

---

max|w(i)-w(i).true|/|w.true|= 1.066005768542290E-08 162121999.7070863 *** Eigenvalue Relative Error *** : PASSED

max|w(i)-w(i).true| = 1.728229850530624 162121999.7070863 *** Eigenvalue Absolute Error *** : FAILED

(23)

EigenExaベンチマークコードについて

•  ベンダー統計ツールとの数値比較

– 京コンピュータの場合(ﬁpp) 行列要素生成処理も含んだ表示

Elapsed(s) MFLOPS MFLOPS/PEAK(%) MIPS MIPS/PEAK(%) --- 56.6477 773401.5044 37.7637 332690.4151 32.4893 Application --- 56.6477 48266.1621 37.7079 20797.4704 32.4960 Process 10 54.7928 49989.9193 39.0546 21502.4550 33.5976 Process 9 54.7822 49874.1968 38.9642 21430.2796 33.4848 Process 13 54.7787 50252.3960 39.2597 21643.9902 33.8187 Process 1 54.7602 50124.2821 39.1596 21575.6756 33.7120 Process 5 ... similar 16 procs

Mem throughput Mem throughput

Elapsed(s) _chip(GB/S) /PEAK(%) SIMD(%) --- 56.6477 195.4106 19.0831 75.1494 Application --- 56.6477 12.2135 19.0836 75.0269 Process 10 54.7928 12.6243 19.7254 75.1301 Process 9 54.7822 12.6181 19.7158 75.2976 Process 13 54.7787 12.6283 19.7317 74.9276 Process 1 54.7602 12.6464 19.7599 75.0345 Process 5

(24)

ベンチマーク結果表示値に基づく性能推定について

•  演算量

– 

FLOP : EngenExa eigen_sx()の浮動小数点演算量 ~= C

_f

x N

3

– 

Matrix dimension = N

•  メモリ量

– 

Internally required memory :MPIプロセスあたりの合計配列サイズ~= C

_m

x N

2

–  （次ページ注参照）

•  計算時間

– 

Elapsed ^me : 演算・通信等の合計経過時間

•  実効ピーク性能比

– 

Performance [GFLOPS]：固有値計算の性能（全プロセス合計値）

–  プロセス当たりの性能はデータレイアウト・プロセスマッピングでほぼ決まる

•  テスト結果を用いて推定（同じプラットフォームで外挿）できること

–  より大規模な行列を計算する場合の浮動小数点演算量、メモリ量、演算時間

–  より多数のノード数を利用する場合の演算時間

–  通信の待ち時間は実行条件への依存が大きく、推定方法は一様ではない

(25)

利用上の留意点

•  必要メモリ量の表示

–  ベンチマークコードによるメモリ量の算出（

Internally required memory ）

• MPIプロセスあたりの最大メモリ量（ソースプログラムで静的に読める値）

–  ジョブが実際に必要とするメモリ量はより多い

•  テキスト・ライブラリ・

MPIバッファなどのセグメントは入っていない

• OpenMPスレッド並列の場合はスレッドprivateな変数領域が相当量必要

•  計算結果

–  計算の結果a(n,n)は対角化されるが a(1,1)成分はFLOP値（浮動小数点演算回

数）、

_{a(2,1)成分は経過時間の値で各々上書きされて返ってくるので注意}

ベンチマークコードによるメモリ量の表示

Internally required memory = 809378576 [Byte]

OSによる統計出力メモリ量(京コンピュータﬁpp表示の例)

スレッド数

MAX MEMORY SIZE (USE)

1 1346.4 MiB (1.4GB)

(26)

カーネルベンチマークコードの開発について

EigenExaについて

EigenExaベンチマークコードについて

ベンチマーク結果に基づく性能推定について

2/24/2014 理化学研究所 三上和徳

カーネルベンチマークコード

• 開発の目的

– エクサスケール規模のシミュレーションの核となる数値計算アルゴリズム

の中で、特に重要なものについて、数値計算ライブラリ等を用いてそのコ

ストを推定するためにカーネルベンチマークを作成し、評価に使用する。

• 対象計算アルゴリズム

– 固有値計算（実数密行列、標準固有値計算）

– ３次元ＦＦＴ

– 乱数生成器

• 公開計画

– 表

固有値計算

• 実数対称密行列の標準固有値計算

•

AICSで開発中のEigenExaをもとにベンチマークコードを作成

(公開版version 2.1a)

•

h;p://www.aics.riken.jp/labs/lpnctrt/EigenExa.html

•

10種類のテスト行列（+利用者指定固有値）

• プロセスグループ形状の指定

• 固有値のみ、固有値＋固有ベクトル、など（ただし全モード

計算）

3D-FFT

•

FFTW向けに紹介されている代表的な3DFFTの測定コードを

もとに、各種

FFT実装や分割方法による性能を推定する。

•

AICSで開発中のKMATH_FFTからベンチマークを作成中（３

月末完成）。

•

3D-­‐FFTの主要なライブラリ、FFTE, FFTWをカーネルとして開

発中

•

3次元空間の1軸、2軸、3軸分割の選択

乱数生成器

• メルセンヌツイスター乱数生成器を利用した乱数生成部分

の性能評価ベンチマークコード

•

MPIのグループでできるだけ重複のない乱数列を管理し、

内部状態管理の

I/O処理も含む

•

AICSで開発中のKMATH_RANDOMのベンチマークコードを

現在改良し、カーネルベンチ提供用に調整中

EigenExaについて

• 理化学研究所ホームページ

2013年12月5日

60

秒でわかるプレスリリース

」より

• 「京」を使い世界最高速の固有値計算に成功

• 行列の固有値計算では行列を簡単な形式（形状）に変換し、それを中間形式と

して取り扱います。理研の研究チームは、帯行列（ゼロでない要素が対角線上

に帯状に分布する行列）を中間形式に採用することによって、前処理の時間の

削減を図った新しい計算アルゴリズムを考案し、それを基にした数学ソフト

「

EigenExa（アイゲンエクサ）」を開発しました。「京」の全プロセッサを用いて計算

した結果、世界最大規模の

100万×100万の行列の固有値計算が1時間以内で

可能なこと確認しました。これまでの地球シミュレーターの記録（

40万×40万の

行列で

3時間半）を大幅に上回りました。「京」の高い計算能力とEigenExaの利

用により、数十万から

100万程度の固有値を求める問題は1時間以内にできる

ことが立証されました。今後、シミュレーションの規模を大幅に拡大することが可

能になります。なお、

EigenExaはオープンソフトウエアとして公開され、理研計算

科学研究機構研究部門のホームページからダウンロードできます。

固有値計算 - 密行列解法の位置づけ

固有値計算

疎行列解法

・超大規模問題

2/24/2014 理化学研究所　三上和徳

•  開発の目的

– エクサスケール規模のシミュレーションの核となる数値計算アルゴリズム

•  対象計算アルゴリズム

– 固有値計算（実数密行列、標準固有値計算）

– ３次元ＦＦＴ

– 乱数生成器

•  公開計画

– 表

•  実数対称密行列の標準固有値計算

• 

• 

• 

•  プロセスグループ形状の指定

•  固有値のみ、固有値＋固有ベクトル、など（ただし全モード

• 

• 

• 

3D-‐FFTの主要なライブラリ、FFTE, FFTWをカーネルとして開

• 

•  メルセンヌツイスター乱数生成器を利用した乱数生成部分

• 

• 

•  理化学研究所ホームページ

•  「京」を使い世界最高速の固有値計算に成功

•  行列の固有値計算では行列を簡単な形式（形状）に変換し、それを中間形式と

_{EigenExa（アイゲンエクサ）」を開発しました。「京」の全プロセッサを用いて計算}

_{100万×100万の行列の固有値計算が1時間以内で}

_{40万×40万の}

_{3時間半）を大幅に上回りました。「京」の高い計算能力とEigenExaの利}

_{100万程度の固有値を求める問題は1時間以内にできる}

_{EigenExaはオープンソフトウエアとして公開され、理研計算}

_{疎行列解法}

•  行列の全要素（NxN）をゼロと考えずに扱う

•  直接的解法

•  メモリ使用量O(N^2)，演算量O(N^3)

•  ゼロ要素を落とし，大規模問題での使用メモリ量・演算量を削減

•  反復法が基本

•  疎行列ベクトル積（spMV）が性能を左右

Eigen-‐Exa

•  テネシー大学

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a library of high-‐performance linear algebra rou^nes for parallel distributed

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block-‐par^^oned algorithms to ensure high levels of data reuse

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well-‐designed low-‐level modular components

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•  マックス・プランク研究所

h;p://elpa-‐lib.di-‐berlin.mpg.de/wiki

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ELPA works as a "drop-‐in enhancement" for Scalapack-‐based infrastructures

(arguably the de facto standard for high-‐performance parallel linear algebra).