関数列の収束、特に一様収束について
関数列の各点収束と一様収束
この節では、区間I ⊂ R上で定義された関数の列{fn(x)} の収束について考えてみま す。とりあえず、全てのx∈Iにおいて数列{fn(x)}∞n=1が収束すると仮定し、その極限を f(x)とおきます:
f(x) := lim
n→∞fn(x).
このf(x)はI上の関数と思えますが、このとき関数列{fn(x)}は関数f(x)に区間I上で 各点収束する(converge pointwisely)といいます。これを論理記号で書くと、
(∀ε >0)(∃N0 ∈N)(∀n∈N)[n≥N0 =⇒ |fn(x)−f(x)|< ε]
(1)
となります。ここで気をつけなければいけないのは、N0 ∈Nはε >0 に依存するのはも ちろんですが、x∈Iにも依存する可能性があるということです。
例 1： 教科書にもある例ですが、I := [0,1], fn(x) := xnとすると
nlim→∞fn(x) =f(x), f(x) :=
(0, x ∈[0,1) 1, x = 1
となることを、高校生の時に学びました。つまり、関数列{fn(x)} は、関数f(x)に各点収 束します。ここで例えば、ε= 10−6ととってみましょう。すると、219<106, 220>106な のでx= 0.5に対しては、N0 := 20 とおくと任意のn ≥N0に対して|fn(0.5)−f(0.5)|= fn(0.5) = 2−n < 10−6となることがわかります。任意のx ∈ [0,1)に対して、xN0 < 10−6 となるような最小のN0 ∈Nは、
(2) N0 >−6 log 10
logx
を満たす最小の整数なので、例えばx= 1−10−6 = 0.999999とすると、N0 = 13,815,504 になります。このように、x ∈[0,1)によりfn(x)のf(x) = 0への収束のスピードは大き く異なります。さらに(2)から、x → 1−0とすると、xN0 <10−6を満たすような最小の 整数N0はいくらでも大きくなっていくことがわかります。つまりこの例の場合、各点収 束を論理記号で述べた(1)において、N0 ∈Nはǫ > 0にはもちろん、x ∈Iに大きく依存 して決まることがわかります。
関数列の収束については、各点収束よりも強い一様収束という概念があります。これ は、(1)において、N0 ∈Nがx∈Iに依存せずε >0だけに依存して決まるという収束で す。きちんと定義を書くと、次のようになります。
定義 1 区間I ⊂ R上で定義された関数列{fn(x)}と関数f(x)に対して、「任意 の正数ε >0に対して、ある正整数N0が存在し、n ≥N0ならば任意のx∈Iに 対して、|fn(x)−f(x)| < εとなる」が成り立つとき、関数列{fn(x)}はf(x)に 一様収束する(converge uniformly)という。条件を論理記号で書くと、
(∀ε >0)(∃N0 ∈N)(∀n ∈N)(∀x∈R)[n≥N0∧x∈I =⇒ |fn(x)−f(x)|< ε]
(3)
である。
任意のx∈Iについて|fn(x)−f(x)|< εとなるということは、supx∈I|fn(x)−f(x)| ≤ε を意味するので、一様収束の条件(3)は
(∀ε >0)(∃N0 ∈ N)(∀n ∈N)[n ≥N0 =⇒sup
x∈I
|fn(x)−f(x)| ≤ε]
(4)
あるいは、
lim
n→∞sup
x∈I
|fn(x)−f(x)|= 0 (5)
と同値です。よって、一様収束の定義として、(4)か(5)を使ってもいいことが分かります。
上の例 1の関数列{fn(x)}は[0,1]上各点収束ですが、一様収束ではありません。各 n∈Nについてfn(x)は連続ですが、極限の関数f(x)は[0,1]上で不連続です。ところが, 一様収束においては、以下の定理が成り立ちます。
定理 2 区間I ⊂R上で定義された連続関数の列{fn(x)}が関数f(x)にI上一様 収束しているならば、f(x)もI上連続である。
証明 : 任意にx0 ∈Iをとり、f(x)がx0において連続であることを示します。一様連続性 の仮定より、任意にε >0をとったときあるN0 ∈ Nが存在し、任意のn ≥ N0と任意の z ∈Iに対して|fn(z)−f(z)|< εとなっているはずです。このǫ >0を、固定しましょう。
すると、仮定よりfN0(x)はI上連続なので、あるδ >0が存在し、y ∈ Iが|y−x0|< δ を満たすならば|fN0(y)−fN0(x0)|< εとなります。よって、|y−x0|< δならば
|f(y)−f(x0)| ≤ |f(y)−fN0(y)|+|fN0(y)−fN0(x0)|+|fN0(x0)−f(x0)|<3ε が成り立ちます。正数εは任意にとったので、これはx0においてf(x)が連続であること 意味します。
定義 3 区間I ⊂ R上で定義された関数列{fn(x)}が、任意の有界閉区間J ⊂ I 上で関数f(x)に一様収束するとき、関数列{fn(x)}はf(x)に区間I上で広義一 様収束するといいます。
系 4 区間I ⊂R上で定義された連続関数の列{fn(x)}が、I上で関数f(x)に広 義一様収束するとき、f(x)はI上で連続である。
講義で示した例ですが、次の関数列を考えてみましょう：
fn(x) :=
n2x, 0≤x≤ n1 2n−n2x, 1n ≤x≤ 2n 0, 2n ≤x≤1.
この関数fn(x)はI := [0,1]で連続で、
n→0limfn(x) = 0, ∀x∈[0,1]
なので、n →0のとき定数関数f(x) ≡0に各点収束します。さらに、グラフを描くとす ぐわかりますが、
Z 1 0
fn(x)dx= 1, ∀n ∈N なので、
1 = lim
n→∞
Z 1 0
fn(x)dx6=
Z 1 0
nlim→∞fn(x)dx= 0
となります。つまり、関数の各点収束においては、極限をとる操作と積分をとる操作は交 換すると結果が変わる場合があります。一様収束については、次の結果が成り立ちます。
定理 5 関数列fn(x)が有界閉区間I = [a, b]上でf(x)に一様収束しているとす る。このとき、
nlim→∞
Z b a
fn(x)dx= Z b
a
nlim→∞fn(x)dx= Z b
a
f(x)dx
が成り立つ。
証明：仮定より、
nlim→∞sup
x∈I
|fn(x)−f(x)|= 0 なので、
n→∞lim
Z b a
(fn(x)−f(x))dx
≤ lim
n→∞
Z b a
|fn(x)−f(x)|dx
≤ lim
n→∞sup
x∈I
|fn(x)−f(x)|(b−a) = 0 が成り立ちます。
この定理は、一様収束と積分の関係についてでしたが、一様収束と微分については次の 定理が成り立ちます。
定理 6 関数列fn(x)は区間I上で微分可能で、fn′(x)はI上で連続であるとする。
さらに、(1) fn′(x)はI上で関数g(x)に広義一様収束し、(2) ある点c∈Iに対し てfn(c)はγに収束するとする。このとき、fn(x)はI上で(各点)収束する。そ の極限をf(x)とすると、f(x)はI上で微分可能で、
(6) d
dxf(x) = d dx lim
n→∞fn(x) = lim
n→∞
d dxfn(x) が成り立つ。さらに、fn(x)はf(x)に広義一様収束する。
証明：広義一様収束性の仮定より、cを含む有界閉区間[a, b]⊂I で定理を示せば良こと がわかります。微分積分学の基本定理より、
(7) fn(x) =
Z x c
fn′(y)dy+fn(c)
とかけます。関数列fn′(x)は[a, b]上でg(x)に一様収束するので、定理 5より
(8) lim
n→∞fn(x) = Z x
c
g(y)dy+γ =:f(x)
がわかります。この式の両辺を微分すると、(6)が得られます。さらに、(7)と(8)の差をと ると、
|fn(x)−f(x)| ≤ sup
x∈[a,b]
|fn′(x)−g(x)|+|fn(c)−γ|, ∀x∈[a, b]
となりますが、これは[a, b]上でfn(x)がf(x)に一様収束することを意味します。
関数項級数の収束
—
項別の微分積分これまでの結果を、区間I ⊂R上の関数項級数 (9)
∞
X
n=1
fn(x) =f1(x) +f2(x) +· · · , x∈I
の場合に応用してみましょう。級数の和の定義と同様に、部分和Sn(x)を Sn(x) :=
n
X
k=1
fk(x)
と定義します。もし、各点x∈Iにおいて、Sn(x)がS(x)に収束するとき、（関数項）級 数(9)は関数S(x)に各点で収束するといいます。もし、その収束がI上の一様収束ならば、
級数(9)はS(x)に一様収束するといいます。関数項級数の広義一様収束性も、同様に定義 できます。さらに、関数fn(x)が連続ならば部分和Sn(x)も連続なので、次の系が成り立 ちます。
系 7 区間I ⊂ R上で定義された連続関数{fn(x)}の級数P∞
n=1fn(x)が、I上で 関数S(x)に広義一様収束するとき、S(x)はI上で連続である。
級数の収束で、絶対収束という概念が出てきました。関数項級数の場合も、絶対収束と いうのは大事な概念です。
定義 8 区間I ⊂ R上で定義された連続関数{fn(x)}の級数P∞
n=1|fn(x)|がI上 で一様収束するとき、級数P∞
n=1fn(x)はI上絶対かつ一様に収束するという。
定理 9 数列Mn ≥0が、P∞
n=1Mn<∞を満たすとする。さらに、区間I ⊂R上 で定義された関数{fn(x)}が
|fn(x)| ≤Mn, ∀x∈I, n = 1,2,· · · を満たすならば、級数P∞
n=1fn(x)はI上で絶対かつ一様に収束する。
関数項級数に関しての次の2つの主張は、定理 5, 6から直ちに導かれます。
系 10 区間I = [a, b] ⊂R上でfn(x)が連続で、また関数項関数P∞
n=1fn(x)がI 上で一様収束するとき、次の等式が成り立つ：
Z b a
∞
X
n=1
fn(x)
! dx=
∞
X
n=1
Z b a
fn(x)dx.
この等式が成り立つことを、級数が項別積分できるという。
系 11 関数fn(x)は区間I上で微分可能で、fn′(x)はI上で連続であるとする。
さらに、(1) P∞
n=1fn′(x)はI 上で広義一様収束し、(2) ある点c ∈ I において P∞
n=1fn(c)は収束するとする。このとき、P∞
n=1fn(x)はI上で広義一様収束し、
その極限はI上で微分可能で、
(10) d
dx
∞
X
n=1
fn(x)
!
=
∞
X
n=1
fn′(x) が成り立つ。このことを、級数が項別微分できるという。
