大学院入学試験試験問題 ( 修士 )

(1)

大学院入学試験試験問題 ( 修士 )

2008 年 8 月 21 日 , 22 日

英語

(40

点

) (90

分) 数理適性試験

(120

点

) (20

問)

(60

分) 基礎科目

(60

点

) (6

問中

3

問選択)

(120

分)

•

解析・線形代数

(2

問)

•

確率統計

(2

問)

•

離散数学

(2

問)

専門科目

(60

点

) (6

問中

3

問選択)

(120

分)

•

オートマトン

(2

問)

•

アルゴリズム

(2

問)

•

論理設計

(2

問)

(2)

アルゴリズム

(1)

問題用紙

次の状態遷移図は，与えられた文字列が人名か否かを認識する動作を示している．

This state transition diagram is used to recognize a person’s name.

-1 A-Z -2 ^. -3 ^space -4 space

A-Z -5 a-z

* ‘space’ means a single character representing a space.

空白空白

* ‘空白’は空白１文字を表す．

プログラム

algo.c

は，

C

言語を用いて上記状態遷移図を実装したものである．なお，このプログラムが受け入れることのできる文字は

ASCII

文字とし，そのアルファベット文字は，次のように順序付けされているものとする：

..., A, B, ..., Z, ..., a, b,..., z, ...

．問いに答えよ．解答は解答用紙に記述せよ．

The program code ‘algo.c’ is represented in C programming language, and is equivalent to the above state transition diagram. We assume that the program only accepts a string of the ASCII characters. Upper and lower case letters are sorted in alphabetical order in ASCII, i.e., ..., A, B, ..., Z, ..., a, b, ..., z, ... . Answer the questions. Describe your answers on the answer sheet.

/ * algo.c * /

#include <stdio.h>

int transit(int state, char c){

int next_state = -state;

switch(state){

case -1:

if(’A’ <= c && c <= ’Z’) next_state = -2;

break;

case -2:

* (a) *

break;

case -3:

if (c == ’Ã’) next_state = -4;

break;

case -4:

* (b) *

break;

case -5:

* (c) *

break;

}

return next_state;

}

int tokenize(char buff[]){

/ buff: a buffer storing a person’s name*

* and is terminated by the ’\0’ character.

*/

int state, i;

for(state = -1, i = 0; * (d) *

&& buff[i] != ’\0’; i++){

state = transit(state, buff[i]);

}

if(state == -5) state = 0;

return state;

}

int main(int argc, char *argv[]){

int state;

state = tokenize(argv[1]);

if(* (e) *){

fprintf(stderr, "NotÃaÃperson’sÃname.");

fprintf(stderr, "[error-codeÃ=Ã%d]\n", state);

}else{

printf("AÃperson’sÃname.\n");

} }

Q1. * (a) * ∼ * (e) *

の空欄を埋めよ．

Put correct program codes into the ﬁve blanks * (a) * ∼ * (e) *.

Q2.

文字列

T. t Suzuki-01

を与えた場合，プログラムがどの状態で終了するかを答えよ．ここで，

t

^は空白１

文字を表す．

Answer the ﬁnal state number of the program in the case of putting the ‘T. t Suzuki-01’ string into the program. Here, ’ t ’ shows a signle space character.

Q3.

文字列

T. t Suzuki-01

を与えた場合，

transit

関数は何回呼び出されたか答えよ．

Answer the number of the function calls of the ‘transit’ in the case of putting the ‘T. t Suzuki-01’ string into the program.

Q4.

文字列

T. t Suzuki-01

を与えた場合，

tokenize

関数はどんな値を返すか答えよ．

Answer the return value of the ‘tokenize’ function in the case of putting the ‘T. t Suzuki-01’ string into

the program.

(3)

アルゴリズム

(1)

解答用紙

本問を選択

(Select this problem) {

する

(Yes)

，しない

(No) } No.

(4)

アルゴリズム

(2)

本問を選択

(Select this problem) {

する

(Yes)

，しない

(No) } No.

で定義された２分木について下記の問に答えよ．

Answer the questions below on binary trees represented by the following struct:

struct node { int label;

struct node *left;

struct node *right;

};

(1)

２分木を受け取り，すべてのノードのラベルを出力する関数を

3

つ書け．それぞれの関数は，異なる順番でラベルを出力するものとする．２分木にはループがないと仮定してもよい。

Write three diﬀerent functions that take a binary tree and that prints out the labels of all the nodes. Each function must print out the labels in a diﬀerent order. You may assume that there exists no loop in the binary tree.

(2)

下記の関数

generate()

で生成された２分木に上の

3

つの関数を適用した際の出力を書け．

Write the output obtained by applying the above functions to the binary tree generated by the following function generate().

struct node* gen(int m, int n) { int c;

struct node *x;

if (m > n) return NULL;

x = (struct node*)malloc(sizeof(struct node));

c = (m + n) / 2;

x->left = gen(m, c - 1);

x->label = c;

x->right = gen(c + 1, n);

return x;

}

struct node* generate(void) { return gen(1, 10);

}

(5)

オートマトン

(1)

本問を選択

(Select this problem){

する

(Yes)

，しない

(No) } No.

Let A be the following automaton.

A = ( { 0, 1, 2, 3, 4 } , { 0, 1 } , δ, 0, { 3 } )

δ(0, 0) = 0, δ(1, 0) = 1, δ(2, 0) = 2, δ(3, 0) = 3, δ(4, 0) = 4, δ(0, 1) = 1, δ(1, 1) = 2, δ(2, 1) = 3, δ(3, 1) = 4, δ(4, 1) = 0 (1) Construct the graph representation (transit diagram) of A.

(2) Explain whether A recognizes (accepts) word 00001010001 or not.

(3) What is the second shortest word automaton A recognizes (accepts).

(4) Construct a regular expression representing the language automaton A recognizes (accepts).

A

は次のオートマトンであるとする。

A = ( { 0, 1, 2, 3, 4 } , { 0, 1 } , δ, 0, { 3 } )

δ(0, 0) = 0, δ(1, 0) = 1, δ(2, 0) = 2, δ(3, 0) = 3, δ(4, 0) = 4, δ(0, 1) = 1, δ(1, 1) = 2, δ(2, 1) = 3, δ(3, 1) = 4, δ(4, 1) = 0 (1)

オートマトン

A

のグラフ表現

(

状態遷移図

)

を描け。

(2)

オートマトン

A

は語

00001010001

を認識

(

受理

)

するかどうか説明せよ。

(3)

オートマトン

A

が認識

(

受理

)

する

2

番目に短い語は何か。

(4)

オートマトン

A

が認識

(

受理

)

する言語を表現する正規表現をつくれ。

(

解答は裏面を使用しても構わない．

You can use the reverse side of this paper for your answering.)

(6)

オートマトン

(2)

本問を選択

(Select this problem){

する

(Yes)

，しない

(No) } No.

Fig.1 illustrates four lamps and two switches. Switch A flips between its ON and OFF for the leftmost lamp and the third lamp from the left. For example, if switch A is pushed when the leftmost lamp is ON and the third lamp from the left is OFF, then the leftmost lamp changes into OFF and the third lamps from the left changes into ON, and the other lamps have no change. Similarly, all states of lamps except the leftmost lamp change reversely, if switch B is pushed. By using automata, explain that it is impossible to have a configuration in which only the leftmost and the rightmost lamps are ON by pushing switches A and B starting from a configuration in which all lamps are OFF.

図

1

のように

4

つの電球と

2

つのスイッチ

A, B

がある

.

スイッチ

A

を押すと、一番左と左から

3

番目の電球

の

ON/OFF

が逆になる

.

例えば

,

一番左の電球がついていて

(ON)

左から

3

番目の電球がついていない

(OFF)

ときにスイッチ

A

を押すと一番左の電球が消え

,

左から

3

番目の電球がつき

,

それ以外の電球の状態は変わらない

.

同様にスイッチ

B

を押すと

,

一番左以外の

3

つの電球の

ON/OFF

が逆になる

.

すべての電球がついていない状態からスタートし

,

適当にスイッチ

A, B

を何回か押すことにより

,

両端の電球だけつくようにできないことを

,

オートマトンを使って説明せよ

.

A B

図

1.

スイッチ

A

と

B. Fig.1 Switches A and B .

(

You can use the reverse side of this paper for your answering.)

(7)

論理設計

(1)

本問を選択

(Select this problem){

する

(Yes)

，しない

(No) } No.

2

つの制御入力

(C ₁ , C ₂ )

，及び

4

つのデータ入力

(X ₃ , X ₂ , X ₁ , X ₀ )

と

4

つのデータ出力

(Y ₃ , Y ₂ , Y ₁ , Y ₀ )

をもつ回路を考える．

• C ₁ = 0, C ₂ = 0

のとき，

1

ビット右に算術シフトする．

• C ₁ = 0, C ₂ = 1

のとき，

2

ビット右に算術シフトする．

• C ₁ = 1, C ₂ = 0

のとき，入力データを変えずに出力する．

• C ₁ = 1, C ₂ = 1

のとき，入力にかかわらず出力は全て

0

にする．

入力データと出力データの最上位ビットはそれぞれ

X ₃

と

Y ₃

であることに注意する．

1. Y ₂

のカルノー図を作成せよ．

2. Y ₂

について最小論理和形を示せ．

3. Y ₂

の論理回路を設計せよ．

Consider a circuit with two control inputs (C ₁ , C ₂ ), four input data (X ₃ , X ₂ , X ₁ , X ₀ ), and four output data (Y ₃ , Y ₂ , Y ₁ , Y ₀ ).

• When C ₁ = 0, C ₂ = 0, do an arithmetic shift right by one bit.

• When C ₁ = 0, C ₂ = 1, do an arithmetic shift right by two bits.

• When C ₁ = 1, C ₂ = 0, pass the input data without change to the output.

• When C ₁ = 1, C ₂ = 1, set the output data all 0s regardless the input.

Note that the most significant bits of the input and output are X ₃ and Y ₃ , respectively.

1. Construct the Karnaugh map of Y ₂ .

2. For Y ₂ , show the minimal sum-of-products expression.

3. Design the logic circuit of Y ₂ .

(

You can use the reverse side of this paper for your answering.)

(8)

論理設計

(2)

本問を選択

(Select this problem){

^する

(Yes)

，しない

(No) } No.

2

ビットの状態

(Q ₁ Q ₀ )

と

1

ビットの入力

R

を持つ同期式順序回路を構成したい．この回路は

R = 1

のとき状態が

(Q ₁ Q ₀ ) = (0 0)

となり，

R = 0

のときは，以下の状態遷移を行う．

(Q 1 Q 0 ) : (0 0) → (0 1) → (1 0) → (1 1) → (0 0)

この順序回路を

D

フリップフロップ（

D-FF

）を用いて実現せよ．

D-FF

の入出力特性関数は

Q _n+1 = D _n

である．状態遷移表と回路図を示すこと．

Consider a synchronous sequential circuit with the state (Q 1 Q 0 ) and an input R. The state (Q 1 Q 0 ) changes to (0 0) when R = 1. When R = 0, the circuit has the following state transition:

(Q ₁ Q ₀ ) : (0 0) → (0 1) → (1 0) → (1 1) → (0 0)

Give a state transition table and a circuit diagram using D ﬂip-ﬂops (D-FFs) that have the characteristic

equation Q _n+1 = D _n .

(9)

(1)

本問を選択

(Select this problem) {

する

(Yes)

，しない

(No) } No.

1

次独立なベクトル

x, y

の

1

次結合で表されるベクトル

z = ax + by

がある．ここで，

a, b

はスカラである．このとき，二つのベクトル

z − x

と

z − y

とが

1

次独立であるための必要十分条件が

a + b 6 = 1

であることを示せ．

For two linearly independent vectors x and y, and two scalars a and b, let z = ax + by. Show that a

necessary and suﬃcient condition that two vectors z − x and z − y are linearly independent is a + b 6 = 1.

(10)

(2)

本問を選択

(Select this problem){

する

(Yes)

，しない

(No) } No.

x

が十分大きいとき、

f (x), g(x)

は微分可能であり、

g(x) 6 = 0

とする。このとき、

lim

x →∞ | f (x) | = ∞ , lim

x →∞ | g(x) | = ∞

ならば、

lim

x →∞

f(x)

g(x) = lim

x →∞

f ⁰ (x)

g ⁰ (x)

^{である。以下を示せ。}

Suppose that f(x) and g(x) are diﬀerentiable and g(x) 6 = 0 for suﬃciently large x. Then, for such f (x) and g(x) that lim

x →∞ | f(x) | = ∞ and lim

x →∞ | g(x) | = ∞ , we have lim

x →∞

f (x)

g(x) = lim

x →∞

f ⁰ (x)

g ⁰ (x) . Show the following.

1. lim

x →∞

log(x) x = 0

2. a > 1, b > 0

について

(for arbitrary a > 1 and b > 0), lim

x →∞

a ^x

x ^b = ∞

(11)

離散数学

(1)

本問を選択

(Select this problem) {

^する

(Yes)

，しない

(No) } No.

Let sets A = { 0, 1, 2, . . . , 13 } , B = { 0, 1, 2, . . . , 20 } , C = { 0, 1, 2, 3, 4 } . Functions f : A → B and g : B → C are deﬁned as follows;

f (a) = a ² (mod 21), g(b) = b (mod 5).

(1) Is f injective, surjective, bijective or none? Give a reason.

(2) Is the composite function gf : A → C injective, surjective, bijective or none? Give a reason.

集合

A = { 0, 1, 2, . . . , 13 }

^，

B = { 0, 1, 2, . . . , 20 }

^，

C = { 0, 1, 2, 3, 4 }

^{とする．関数}

f : A → B

，

g : B → C

を次のように定義する．

f (a) = a ² (mod 21), g(b) = b (mod 5).

(1) f

は単射，全射，全単射，あるいはいずれでもないのどれであるか．またその理由を述べよ．

(2) f

と

g

の合成関数

gf : A → C

は単射，全射，全単射，あるいはいずれでもないのどれであるか．またその理由を述べよ．

(12)

離散数学

(2)

本問を選択

(Select this problem) {

^する

(Yes)

，しない

(No) } No.

Answer the problems (1) and (2).

(1) Let S be the set of integers greater than 1. We deﬁne a binary relation R on S as follows: “a R b if and only if gcd(a, b) > 1.” Prove or disprove the following statements.

(a) R is reﬂexive.

(b) R is symmetric.

(c) R is transitive.

(d) R is antisymmetric.

(e) R is an equivalence relation.

(2) Let S = { x | x is a real number and 0 ≤ x ≤ 10 } . A binary relation ∼ on S is deﬁned by the rule that x ∼ y means x − y is an integer. Show that ∼ is an equivalence relation. Then list the elements of the equivalence class that have a representative 0.

以下の問題

(1)

，

(2)

に答えよ．

(1) S

^を

2

以上の整数の集合とする．

S

^{上の二項関係}

R

^を「

gcd(a, b) > 1

^{であるとき}

a R b

^{」と定義する．以} 下の主張を証明するか，成り立たない場合は反例を示せ．

(a) R

は反射的である．

(b) R

は対称的である．

(c) R

は推移的である．

(d) R

は反対称的である．

(e) R

は同値関係である．

(2) S = { x | x

は実数かつ

0 ≤ x ≤ 10 }

^とする．

S

上の二項関係

∼

^を「

x − y

が整数であるとき

x ∼ y

」と定義する．

∼

が同値関係であることを示せ．また

0

を代表元とする同値類の要素をすべて挙げよ．

(13)

確率・統計

(1)

本問を選択

(Select this problem){

する

(Yes)

，しない

(No) } No.

正しい硬貨を

4

回独立に投げ、それぞれ表

(T)

か裏

(H)

が出るとする。表

(H)

の現れる回数を

X

で示す。

( A fair coin is independently tossed four times. Each toss generates head (H) or tail (T) as the result. Let X be the times of H. )

1. Pr(X = 2)

を求めよ。

( Obtain the value of Pr(X = 2). )

2. X

の確率関数を示し、そのグラフを描け。

( Find the probability function of X, and draw the graph of the function.)

3. X

の各値の確率の和は

1

になることを示せ。

( Show that the sum of probabilities of all X’s is 1.)

(14)

確率・統計

(2)

本問を選択

(Select this problem) {

する

(Yes)

，しない

(No) } No.

大きさ

n

のランダムサンプル

{ X 1 , X 2 , · · · , X n }

が次の確率密度関数をもつ正規分布から得られたとする。

( Let { X ₁ , X ₂ , · · · , X _n } be a random sample of size n from a normal distribution having the following probability density function. )

f (x _i ) = 1

√ 2πσ ² e ⁻

⁽^xi^2σ^−μ)2²

この分布は、二つのパラメータ

μ (

平均

)

と

σ ² (

分散

)

を含む．これらの最尤推定量

μ ˆ

および

σ ˆ ²

を求めよ．

ヒント

:

尤度関数の対数を

μ

および

σ ²

で微分する．

( The distribution has two parameters; the mean μ and the variance σ ² . Find the maximum likelihood estimator of these parameters; ˆ μ and ˆ σ ² .

Hint: diﬀerentiate logarithm of the likelihood function with respect to μ and σ ² .)

(15)

Aptitude Test for Information Science 数理適性試験

No.

受験番号

For each question, choose one correct answer and write its symbol (A–E) in the box.

以下の各問に対して正しい答えを選び，その記号

(A–E)

を枠の中に書いてください．

Q1 Train A and train B run at 80Km/h and 100Km/h, respectively. When they pass each other in opposite directions, it takes 4 seconds from the start to the end of the passing. If they run in the same direction, how many seconds will it take for train B to pass train A?

列車

A

は時速

80Km/h，列車 B

は時速

100Km/h

で走行しており，これらの列車がすれ違うとき，すれ違

い始めてからすれ違い終わるまでに

4

秒かかる．それでは列車

B

が列車

A

を追い抜くには何秒かかるか．

(A) 7.2 sec. (B) 9 sec. (C) 18.6 sec. (D) 32 sec. (E) 36 sec.

Q2 Which value is in the domain of the function f (x) = log(cos x)?

次のどの値が関数

f (x) = log(cos x)

の定義域に含まれるか.

(A) − 30

^◦

(B) − 135

^◦

(C) 90

^◦

(D) 170

^◦

(E) None of these

Q3 There are three sisters. The ratio of their ages is 5:3:2, and the sum of the sister’s ages is 5/9 of their mother’s age. The sum of their ages will be the same as their mother’s age eight years later. How old is their mother?

3

人の姉妹がいる．彼女らの年齢の比は

5:3:2

であり，またこの

3

人の年齢の和は彼女らの母の年齢の

5/9

である．3人の年齢の和が母の年齢と同じになるのは今から

8

年後である．母の年齢はいくつか．

(A) 27 (B) 36 (C) 45 (D) 54 (E) 63

Q4 A fair die is rolled 4 times. Let x/ 6

⁴

be the probability of getting exactly 2 fives. What is the value of x?

正しいサイコロを

4

回投げる．ちょうど

2

回，5が出る確率を

x/6

⁴とする．

x

を求めよ．

(A) 6 (B) 15 (C) 50 (D) 150 (E) None of these

Q5 There is salt water whose concentration of salt is 4% in weight. The weight of the salt water is 500g.

We boil it in order to make the concentration of salt 5%. How much water should be removed?

濃度が

4%の食塩水が 500g

ある．この食塩水の水を蒸発させて濃度

5%の食塩水を作りたい．何グラムの水

を蒸発させればよいか．

(A) 20g (B) 25g (C) 55g (D) 100g (E) 105g

1

(16)

Aptitude Test for Information Science 数理適性試験

No.

受験番号

Q6 What is the remainder of 7

⁶⁴

divided by 9?

7

⁶⁴を

9

で割った余りはいくつか．

(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) None of these

Q7 We have a number sequence with repetition, 1, 8, 6, 2, 1, 8, 6, 2, · · · . When we added up these numbers from the start, the sum became 579. How many numbers did we add?

1, 8, 6, 2, 1, 8, 6, 2, · · ·

と繰り返しながら並んでいる数字がある．これらの数字を最初から足していくと

579

になった．最初から何番目の数字まで加えたか．

(A) 34 (B) 35 (C) 136 (D) 137 (E) 179

Q8 Consider two-digit integers such that the last digit of the fifth power of them is 4. How many such integers exist?

2

桁の整数で，5乗して

1

の位の数字が

4

になるものはいくつあるか．

(A) 4 (B) 9 (C) 10 (D) 12 (E) 20

Q9 Let A = a

¹

+ a

²

, B = b

¹

+ b

²

, and a

¹

, a

²

, b

¹

, b

²

≥ 0. Then, under which of the following conditions (A) through (E) does the equation (a) hold identically?

| a

¹

− b

¹

| + | a

²

− b

²

| = | A − B | (a)

A = a

¹

+ a

²

, B = b

¹

+ b

²

, a

¹

, a

²

, b

¹

, b

²

≥ 0

とする. このとき以下の

(A)〜(E)

の中でどれが成立していると次の式

(a)

が常に成り立つか?

| a

1

− b

1

| + | a

2

− b

2

| = | A − B | (a)

(A) (a

¹

− a

²

)(b

¹

− b

²

) > 0 (B) (a

1

− a

2

)(b

1

− b

2

) < 0 (C) (a

¹

− b

¹

)(a

²

− b

²

) > 0 (D) (a

1

− b

1

)(a

2

− b

2

) < 0 (E) (a

¹

− a

²

)(b

¹

− b

²

) = 0

2

(17)

Aptitude Test for Information Science 数理適性試験

No.

受験番号

Q10 Let (1) x is a multiple of 6, (2) x is a multiple of 10, (3) x is a multiple of 60.

Then, which of the following is correct?

(1) x

は

6

の倍数, (2)

x

は

10

の倍数, (3)

x

は

60

の倍数とする.

このとき以下のどれが正しいか?

(A) ((1) and (2)) ⇒ (3) (B) ((1) and (2)) ⇐ (3) (C) ((1) and (2)) ⇔ (3) (D) ((1) or (2)) ⇔ (3) (E) ((1) or (2)) ⇒ (3)

Q11 Let v = ( v

¹

, v

²

, . . . , v

ⁿ

) ( v

ⁱ

∈ { 0 , 1 } ) be a bit vector of size n , invert(v , i ) be an operation that inverts the i-th bit in v, all-invert(v) be an operation that inverts all the bits in v. and exchange(v, i, j) be an operation that exchanges the i-th bit for the j -th bit in v. For example, for v = (1, 0, 0, 1, 0), invert(v, 2) is (1, 1, 0, 1, 0), all-invert(v) is (0, 1, 1, 0, 1), and exchange(v, 2, 4) and exchange(v, 1, 4) are (1, 1, 0, 0, 0) and (1, 0, 0, 1, 0), respectively.

Then how many times should those operations be performed to obtain t = (1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1) from s = (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0).

v = (v

¹

, v

²

, . . . , v

ⁿ

) (v

ⁱ

∈ { 0, 1 } )

をサイズ

n

のビットベクトルとする. また、invert(v, i) を

v

の

i

番目のビットを反転する操作, all-invert(v)を

v

のすべてのビットを反転する操作, exchange(v, i, j) を

v

の

i

番目のビットと

j

番目のビットを入れ替える操作とする. 例えば,

v = (1 , 0 , 0 , 1 , 0)

に対し, invert(v

, 2)

は

(1, 1, 0, 1, 0), all-invert(v)

は

(0, 1, 1, 0, 1),

そして

exchange(v, 2, 4)

と

exchange(v, 1, 4)

はそれぞれ

(1, 1, 0, 0, 0)

と

(1, 0, 0, 1, 0)

となる.

このとき,

s = (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0)

から

t = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1)

を得るための,操作の最小回数を求めよ.

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5

Q12 Let f ( x ) = min { x − ⌊ x ⌋ , ⌈ x ⌉ − x } . For example f (3 . 6) = min { 3 . 6 − 3 , 4 − 3 . 6 } = 0 . 4. Let x be a positive real number satisfying f (x) = f (2x). Then what is f (3x)?

f (x) = min { x −⌊ x ⌋ , ⌈ x ⌉− x }

とする. 例えば

f (3.6) = min { 3.6 − 3, 4 − 3.6 } = 0.4

となる.

x

を

f (x) = f (2x)

を満たす正の実数とする. このとき

f (3x)

の値は何か?

(A) 0 (B) 1/2 (C) 1/3 (D) 1/4 (E) 2/5

3

(18)

Aptitude Test for Information Science 数理適性試験

No.

受験番号

Q13 Which of the following is equal to P

^∞

k=1

k

³

/k! ?

次のうちどれが

P

^∞

k=1

k

³

/k!

に等しいか．

(A) e (B) 2e (C) 3e (D) 4e (E) 5e

Q14 Which is equal to P

ⁿ

k=1

(2k − 1)?

P

ⁿ

k=1

(2k − 1)

に等しいのはどれか．

(A) n (B) n − 1 (C) n

²

(D) n

²

− 1 (E) n

²

+ 1

Q15 For p + q = 1 , p > 0 , q > 0, define f ( k ) = qp

^k

, k = 0 , 1 , . . . . Which of the following relation holds for f (k)?

p +q = 1, p > 0, q > 0

について，

f(k) = qp

^k

, k = 0, 1, . . .

と定義する. 次の関係式のうちどれが成立するか．

(A) f (k) = (f (k + 1) + f (k − 1))/2, k ≥ 1 (B) f (k) = 2/(1/f(k + 1) + 1/f(k − 1)), k ≥ 1 (C) f (k)

²

= f (k + 1)f (k − 1), k ≥ 1

(D) f (k)

²

< f(k + 1)f (k − 1), k ≥ 1 (E) f (k)

²

> f (k + 1)f (k − 1), k ≥ 1

Q16 Let A, B and C be sets. Which of the following is not true?

A, B, C

を集合とする．次のうちどれが真ではないか．

(A) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (B) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (C) ( A ∪ B ) ∩ C = A ∪ ( B ∩ C ) (D) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C (E) A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C)

4

(19)

Aptitude Test for Information Science 数理適性試験

No.

受験番号

Q17 For every integer n ≥ 1 and every real number x > − 1, which of the following is true?

整数

n ≥ 1

と実数

x > − 1

に対して，次のうちどれが真であるか．

(A) (1 + x)

ⁿ

≥ 1 + nx (B) (1 + x)

ⁿ

> 1 + nx (C) (1 + x)

ⁿ

≥ e

^nx

(D) (1 + x )

ⁿ

≤ e

^nx

(1 − nx

²

) (E) (1 + x)

ⁿ

< 1 + nx

Q18 What is the value of G(0) ? (cos

^π6

= 0.87, cos

^π3

= 0.5) G(0)

の値はいくらか．(cos^π₆

= 0.87, cos

^π3

= 0.5)

G(k) = 20cos kπ

6 + 100cos 3kπ

6 + 20cos 5kπ 6

(A) 140 (B) 41.0 (C) 14.0 (D) 1.40 (E) None of these

Q19 Which logical formula is valid?

正しい論理式はどれか．

(A) ( ∀ x)(P ∧ Q) ⇒ ( ∀ x)P ∧ ( ∀ x)Q (B) ( ∃ x)P ∧ ( ∃ x)Q ⇒ ( ∃ x)(P ∧ Q) (C) ( ∃ x)P ∧ ( ∃ x)Q ⇔ ( ∃ x)(P ∧ Q) (D) ( ∃ x ) P ⇒ ( ∀ x ) P

(E) ( ∀ x)(P ∨ Q) ⇒ ( ∀ x)P ∨ ( ∀ x)Q

5

(20)

Aptitude Test for Information Science 数理適性試験

No.

受験番号

Q20 Which expression is equal to exp(iθ), where θ = π/6 and i

²

= − 1?

exp(iθ)

に等しいものはどれか? ただし

θ = π/6, i

²

= − 1

とする。

(A)

¹₂

( √

3 + i) (B)

¹₂

( √

3 − i) (C)

¹₂

(1 + √

3i) (D)

¹₂

(1 − √

3i) (E) None of these

6

(21)

Aptitude Test for Information Science 数理適性試験

(Use the space below for your calculations) (計算用紙として使用してください)

7

大学院入学試験試験問題 ( 修士 )