1
行 列 式
読者諸君はすでに,平 面上 の点 の位置をその座標 とよば れ る2つ の数 の組で表わし,平 面上 の図形をその上の点の 座標の満足すべ き方程式で表わ して,平 面上 の図形の性 質 を 研 究 し てい く,い わ ゆ る平 面 解 析 幾 何学 を 学 ん で お られ る こ と と思 う.こ れ は,17世 紀 の2人 の フ ラ ン ス の数 学者 デ カル ト(1596―1650)と フ ェル マ ー(1601―1665)に よっ て 創 始 され た も ので あ る こ とは よ く知 られ てい る.
本 書 の 目的 は,こ れ と全 く同 じ考 え に した が って,空 間 の点 の 位 置 を そ の座 標 と よば れ る3つ の数 の組 で 表 わ し,空 間 の 図 形 を そ の 上 の 点 の座 標 の満 足 す べ き方 程 式 で表 わ し て,立 体 図 形 の 性 質 を研 究 し て い く,い わ ゆ る立 体解 析 幾 何 学 を 解説 す る こ とに あ る.
この立 体 解 析 幾 何学 に は,代 数学 に現 わ れ る行 列式 を利 用 す れ ば非 常 に簡 潔 に表 わ す こ との で き る結 果 が 多 い.そ こで 本 書 で は,読 者 諸 君 の便 宜 を考 え て,こ の第1章 を そ の行 列 式 の解 説 に あ て る こ とにす る.
§1.行 列 式 の 例 (1)2次 の 行 列 式 の 例 2元 連 立1次 方 程式
を 考 え よ う.い ま,こ れ ら の 式 か らyを 消 去 す る た め に,第1式 にb2を,第2式 にb1を 掛 け て 辺 々 引 け ば,
が 得 ら れ る.ま た,こ れ ら の 式 か らxを 消 去 す る た め に,第1式 にa2を,第2式 にa1を 掛 け て 辺 々 引 け ば,
が 得 られ る.
こ うし て得 られ た2つ の式 を見 れ ば,与 え られ た2元 連 立1次 方程 式 が,1組 そ して た だ1組 の 根 を もつ た め の必 要 十 分 条 件 は
で あ る こ と が わ か る.
これ は,平 面 解析 幾 何 学 の言 葉 を用 いて 言 い 直す とつ ぎの よ うに なる.
2元1次 方 程式
は1つ の 直 線 を表 わ して い る.ま た,2元1次 方 程 式
も1つ の 直 線 を表 わ し て い る.し た が って,2元 連 立1次 方 程 式
の 解 は,こ れ ら2つ の直 線 の 両 方 の 上 に の って い る点 の座 標 を 与 え る.
し た が って,こ れ らの直 線 が1点,そ して た だ1点 で 交 わ る た め の必 要 十分 条件 は
で 与 え ら れ る.
わ れ わ れ は,こ こ に 現 わ れ たa1b2‑a2b1を
で 表 わ し て,こ れ を2次 の 行 列 式 と よ ぶ.そ し て そ こ に 現 わ れ る文 字 を そ の 要 素 ま た は 元 素,横 の 並 びa1,b1を そ の 第1行,a2,b2を そ の 第2行,縦 の 並 びa1,a2を そ の 第1列,b1,b2を そ の 第2列 と よぶ.し た が っ て,た と え ばb1は,第1行,第2列
の 要 素 で あ る.
この2次 の行 列 式 の 定義 を記 憶 して お くに は, まず 左 の 図 の よ うに 要 素 を並 べ,矢 印 の 示す よ う に掛 け 算 を行 い,左 上 か ら右 下 へ 向 う掛 け算 の結 果a1b2に 対 して は+の 符 号 を つ け て+a1b2と
し,左 下 か ら右 上 へ 向 う掛 け 算 の結 果a2b1に 対 して は‑の 符 号 をつ け て‑a2b1と し て,こ れ ら を加 え て
とすれ ば よい.
こ の書 き方 に よれ ば
で あ るか ら,前 に 得た 結 果 は
と書 か れ る.し た が って つ ぎの定 理 を得 る.
定理1.12元 連 立1次 方 程 式
が,1組 そ し て た だ1組 の 解 を もつた め の必 要 十 分 条 件 は
で あ って,そ の と き解 は
で与 え られ る.
問 題1.1 1.つ ぎの2次 の 行 列式 の値 を 求む.
(1) (2) (3) (4)
2.つ ぎ の 式 を 証 明 せ よ.
す な わ ち,2次 の 行列 式 は,そ の行 と列 を 入 れか えて もそ の値 はか わ らな い.
3.つ ぎの式 を証 明せ よ.
す なわ ち,2次 の行 列 式 は,そ の1つ の行 また は 列 の 要 素す べ て に 同 じ 数kを 掛 け れ
ば,行 列 式 自身 もk倍 され る.こ れ か ら,2次 の行 列 式 の1つ の行,ま た は列 に0ば か り が 並 ん で いれ ば行 列式 の値 は0で あ る こ とが わ か る.
4.つ ぎの 式 を証 明せ よ.
す なわ ち,2次 の 行列 式 は,そ の 各行,ま たは 各 列 の 要 素 に 関 して,斉1次 であ る.
5.つ ぎの 式 を証 明せ よ.
す な わ ち,2次 の 行列 式 は,そ の行,ま た はそ の列 の2つ を入 れ か え る と符 号 が 変 る.
6.つ ぎの 式 を証 明せ よ.
す な わ ち,2次 の 行列 式 は,そ の行,ま た はそ の列 が 比 例 し て いれ ば,そ の値 は0で あ る.
7.つ ぎの 式 を証 明せ よ.
す な わ ち,2次 の 行列 式 は,そ の行,ま た はそ の列 に 同 じ数 を 掛け て 他 の行,ま た は 他 の 列 に 加 えて もそ の 値 を変 え ない.
解 答
1. (1)
(2)
(3)
(4)
2.
2
空間の点の座標
われわれ はすでに平面解析幾何学で,直 線上 の点 の位置をそ の座標 とよばれ る1つ の実数 で表わし,平 面上 の点 の位置をそ の座標 とよばれ る順序 を もった1組 の実数 で表わす工夫を学 ん
で い る.
この章では,こ れ らの考えを空 間へ拡張して,空 間の点 を そ の座標 で表わす方法を工
夫 し よ う.
§1.空 間 の 座 標 系 (1)空 間 の 点 の 座 標
まず,空 間 に1つ の点Oを 定 め,こ のOを 通 って互 に直 交 す る直線OX,OY,OZを 引 く.そ し て各 直線 上 で,Oか らX,Oか らY,Oか らZへ 向 う向 きを正 の向 き とす る
た だ し,正 の向 きOX,OY,OZの 関 係 は, 右 手 の 親指,人 差指,中 指 を互 に 直交 す る よ うに ひ ろげ た と き,親 指 がOXの 向 きを 示 し,人 差 指 がOYの 向 きを 示 し,中 指 が OZの 向 きを示 す よ うに とる のが ふ つ うで
あ る.
われ わ れ は,直 線OX,OY,OZ上 に, Oを 共 通 の原 点 とし,OX,OY,OZを 正
の 向 き とす る直 線 上 の座 標 系 を 導 入 し てお く.
さ て,空 間 に1点Pが 与 え ら れ た 場 合 に は,点Pを 通 っ て,平 面O‑YZ,O‑ZX,O‑
XYに 平 行 に 引 い た 平 面 が そ れ ぞ れ 直 線OX,OY,OZと 交 わ る 点A,B,Cが 定 ま る.
こ れ ら の 点A,B,Cは,そ れ ぞ れ 直 線OX,OY,OZ上 で 座 標x,y,zを も っ て い る.し た が って,空 間 の1点Pに 対 し て,順 序 を も った 実 数 の 組x,y,zが 定 ま る.
逆 に 順 序 を も っ た 実 数 の 組x,y,zが 与 え ら れ た な ら ば,直 線OX,OY,OZ上 に,そ れ ぞ れx,y,zを 座 標 と し て も つ 点A,B,Cが 定 ま る.し た が っ て 点A,B,Cを 通 っ て, そ れ ぞ れ 平 面O‑YZ,O‑ZX,O‑XYに 平 行 な 平 面 の 交 点 と し て 点Pが 定 ま る.
こ の よ うに し て,空 間 の1点Pと,順 序 を も っ た 実 数 の 組(x,y,z)と の 間 に は1対 1の 対 応 が つ く.こ の 場 合x,y,zを そ れ ぞ れPのx座 標,y座 標,z座 標 と い い, (x,y,x)をPの 座 標 と い う.そ し て こ の 事 実 をP(x,y,z)で 表 わ す.ま た,直 線OX, OY,OZを そ れ ぞ れx軸,y軸,z軸 と よ び,こ れ ら を 総 称 し て 座 標 軸 と い う.ま た 平 面O‑YZ,O‑ZX,O‑XYを そ れ ぞ れyz平 面,zx平 面,xy平 面 と よ び,こ れ ら を 総 称 し て 座 標 平 面 と い う.
こ の よ うに,空 間 の 点 の 位 置 を 順 序 を も っ た 実 数 の 組 で表 わ す 工 夫 が な さ れ て い る と き,空 間 に1つ の 座 標 系 が 導 入 さ れ て い る と い う.上 に 考 え た の は1つ の 座 標 系 で あ る が,こ れ は1点 に 集 ま る3本 の 直 交 す る 直 線 を 利 用 し て い る の で,直 交 座 標 系, ま た は 直 角 座 標 系 と よば れ る.
問 題1.1
1.本 文 に お い て,点P(x,y,z)か ら そ れ ぞ れyz平 面,zx平 面,xy平 面 に 下 し た 垂 線 の 足 をL,M,Nと す れ ば,点L,M,Nの 座 標 は
で与 え られ る こ とを 示 せ.
2.点P(x,y,z)の,そ れ ぞ れyz平 面,zx平 面,xy平 面 に 関 す る 対 称 点 の 座 標 を 求 む.
3.点P(x,y,z)の,そ れ ぞ れx軸,y軸,z軸 に 関 す る 対 称 点 の 座 標 を 求 む.
4.(x,0,0)と い う形 の 座 標 を も っ た 点 は ど の よ うに 並 ん で い る か.ま た(0,y,0), (0,0,z)と い う形 の 座 標 を も った 点 は どの よ うに 並 ん で い る か.
5.(0,y,z)と い う形 の 座 標 を も っ た 点 は ど の よ うに 並 ん で い る か.ま た(x,0,z), (x,y,0)と い う形 の 座 標 を も っ た 点 は ど の よ うに 並 ん で い る か.
6.そ の 座 標 がx=y=zを 満 足 す る 点 は どの よ うに 並 ん で い る か.
7.そ の 座 標 がx=yを 満 足 す る 点 は ど の よ うに 並 ん で い る か.
8.空 間 にn個 の 点P1,P2,P3,…,Pnと,1つ の 有 向 直 線gと が 与 え ら れ て い る.こ の と き,有 向 線 分P1P2,P2P3,…,Pn‑1Pnが 直 線gと な す 角 を そ れ ぞ れ θ1,θ2,…,θn‑1, 有 向 線 分P1Pnが 直 線gと な す 角 を θ,点P1,P2,…,Pnか ら 直 線gへ 下 し た 垂 線 の 足
(す な わ ち 点P1,P2,…,Pnの 直 線g上 へ の 正 射 影)を そ れ ぞ れH1,H2,…,Hnと す れ ば,
で あ る こ と,す な わ ち,折 れ 線P1P2,P2P3,…,Pn‑1Pnの 直 線g上 へ の 正 射 影 の 和 は, 有 向線 分P1Pnの 直 線g上 へ の 正射 影 に 等 しい こ とを証 明せ よ.
解 答
1.点Pか らyz平 面 へ 下 し た 垂 線PLは,Pを 通 っ てzx平 面 に 平 行 に 引 い た 平 面 と,xy平 面 に 平 行 に 引 い た 平 面 の 両 方 に 含 ま れ る.し た が って,点Lを 通 っ てyz平 面,zx平 面,xy平 面 に 平 行 に 引 い た 平 面 がx軸,y軸,z軸 を 切 る 点 は,そ れ ぞ れ O,B,Cで あ る.し た が っ て 点Lの 座 標 は(0,y,z)で あ る.
Mの 座 標(x,0,z),Nの 座 標(x,y,0)に つ い て も 同 様 で あ る.
2.点P(x,y,z)の
yz平 面 に 関 す る対 称 点 の 座 標 は(‑x,y,z), zx平 面 に 関 す る 対 称 点 の 座 標 は(x,‑y,z), xy平 面 に 関 す る 対 称 点 の 座 標 は(x,y,‑z).
3.点P(x,y,z)の
x軸 に 関 す る 対 称 点 の 座 標 は(x,‑y,‑z), y軸 に 関 す る 対 称 点 の 座 標 は(‑x,y,‑z), z軸 に 関 す る対 称 点 の 座 標 は(‑x,‑y,z).
4.(x,0,0)と い う形 の 座 標 を も っ た 点 はx軸 上 に 並 ん で い る.
(0,y,0)と い う形 の 座 標 を も っ た 点 はy軸 上 に 並 ん で い る.
(0,0,z)と い う形 の 座 標 を も った 点 はz軸 上 に 並 ん で い る.
5.(0,y,z)と い う形 の 座 標 を も った 点 はyz平 面 上 に あ る.
(x,0,z)と い う形 の 座 標 を も った 点 はzx 平 面 上 に あ る.
(x,y,0)と い う形 の 座 標 を も っ た 点 はxy 平 面 上 に あ る.
6.図 か ら 容 易 に わ か る よ うに,x=y=zを 満 足 す る 点 は,原 点Oを 通 る1つ の 直 線 上 に 並 ん で い る.
7.空 間 の1点P(x,y,z)か らxy平 面 に 下 し た 垂 線 の 足 はN(x,y,0)で あ る.
し た が って,Pの 座 標(x,y,z)がx=yを 満足 す れ ば,点Nはxy平 面 上 で,x軸 の正 の方 向 と y軸 の正 の方 向 を2等 分 す る直 線 上 に 並 ん でい る.
し た が って 点Pは,こ の 直線 を 含 ん でxy平 面 に垂 直 な 平 面 上 に 並 ん でい る.
8.ま ず,作 図 か ら
また
で あ る.
と こ ろが 有 向直 線g上 で は
が 成 り立 って い る.し た が って,上 の 諸 式を これ に 代 入 すれ ば
が 得 られ る.
(2)2点 間 の 距 離 空 間 に2つ の 点
が 与 え られ た場 合,こ れ らの2点 間 の 距 離 を 与 え る公 式 を導 いて み よ う.い ま, 点P1を 通 って それ ぞ れ の座 標 平 面 に平 行 な平 面 を 引 き,ま た,点P2を 通 って それ ぞ れ の座 標平 面 に 平 行 な平 面 を 引 い て 右 の 図 を 作 れ ば,
3
直 線 と 平 面
わ れ わ れ は 前章 で,空 間 の 点 の位 置 を 表 わす た め の種 々 の工 夫 を 学 ん だ.ま た,図 形 の方 程 式,方 程 式 の表 わす 図 形 とい うこ とに つ い て も学 ん だ が,本 章 に お い て は,そ れ らを用いて直線 と平面 の性質を研 究して行 こ う.
§1.直 線 の 方 向
(1)有 向 線 分 の 方 向 数 と 方 向 比
空 間 に1つ の 直 交 軸 を 設 定 し た と し よ う.そ し て,空 間 に2つ の 点P0(x0,y0,z0), P1(X1,y1,z1)が 与 え ら れ た と し よ う.
こ の と き,点P0を 通 っ て そ れ ぞ れx軸,y 軸,z軸 に 平 行 な 直 線 を 引 き,点P1を 通 っ て そ れ ぞ れyz平 面,zx平 面,xy平 面 に 平 行 な 平 面 を 引 き,そ れ ら の 交 点 を 右 図 の よ うに そ れ ぞ れR,S,Tと す れ ば
で あ る.こ れ らの 数
を,有 向 線 分P0P1の 方 向 数 と い う.
空 間 に2点P0(x0,y0,z0)とP1(x1,y1,z1)が 与 え ら れ れ ば,上 の 方 向 数u,v,wが 定 ま り,空 間 に1点P0(x0,y0,z0)と 方 向 数u,v,wが 与 え られ れ ば,
に よ っ て,P0を 始 点,u,v,wを 方 向 数 と す る 有 向 線 分 の 終 点P1(x1,y1,z1)が 定 ま る.
い ま,有 向 線 分P0P1上,ま た は そ の 延 長 上 に1点P(x,y,z)を と っ て み よ う.こ の 場 合,有 向 線 分P0Pの 方 向 数
と,有 向線 分P0P1の 方 向数
は,図 か ら 明 ら か な よ うに,比 例 し て い る.
した が って,有 向線 分P0P1の 代 りに,P0か らP1へ 向 う有 向直 線 を問 題 に す る場 合 に は,問 題 に な る の は,u,v,w自 身 で は な く,む し ろ
で あ る.こ れ を こ の 有 向 直 線 の 方 向 比 と い う.
点P0(x0,y0,z0)か ら 点P1(x1, y1,z1)へ 向 う 有 向 線 分 の 方 向 数 は
で あ り,P0か らP1へ 向 う有 向 直 線 の 方 向比 は
で あ る が,点P1(x1,y1,z1)か ら 点 P0(x0,y0,z0)へ 向 う有 向 線 分 の 方 向 数 は
で あ る か ら,点P0か ら点P1へ 向 う有 向直 線 と逆 の 向 きを も った 有 向直 線 の 方 向 比 は
で あ る.
問 題1.1
1.つ ぎの 第1の 点か ら 第2の 点 へ 向 う有 向 線分 の方 向数 を 求む.
(1) (2) (3)
2.つ ぎの 第1の 点 か ら第2の 点 へ 向 う有 向 直 線 の 方 向比 を 求む.
(1) (2) (3)
3.原 点 か ら,そ れぞ れ の座 標軸 の 正 の 方 向 へ 向 う有 向直 線 の 方 向比 を求 む.ま た,そ れ ぞれ の 座 標軸 の 負の 方 向 へ 向 う有 向直 線 の 方 向比 を 求む.
4.原 点 を通 り,方 向比 がu:v:wで あ る有 向 直 線 の 各座 標 軸 お よ び 各 座 標 平 面 に 関す る対 称 直 線 の方 向比 を 求 む.
解 答
1.(1) (2) (3) 2.(1)
(2)
(3)
3.原 点 か ら,
x軸 の 正 の 向 き へ向 う有 向直 線 の 方 向 比は1:0:0, y軸 の 正 の 向 きへ 向 う有 向直 線 の方 向比 は0:1:0, z軸 の 正 の 向 きへ 向 う有 向直 線 の方 向比 は0:0:1.
原 点 か ら,
x軸 の 負 の 向 きへ 向 う有 向 直 線 の 方 向 比 は‑1:0:0, y軸 の 負 の 向 きへ 向 う有 向 直 線 の 方 向 比 は0:‑1:0, z軸 の 負 の 向 き へ 向 う有 向 直 線 の 方 向 比 は0:0:‑1.
4.x軸 に 関 す る 対 称 直 線 の 方 向 比 はu:‑v:‑w, y軸 に 関 す る 対 称 直 線 の 方 向 比 は‑u:v:‑w, z軸 に 関 す る 対 称 直 線 の 方 向 比 は‑u:‑v:w.
ま た
yz平 面 に 関 す る 対 称 直 線 の 方 向 比 は‑u:v:w, zx平 面 に 関 す る 対 称 直 線 の 方 向 比 はu:‑v:w, xy平 面 に 関 す る 対 称 直 線 の 方 向 比 はu:v:‑w.
(2)有 向 直 線 の 方 向 余 弦
空 間 に 点P0(x0,y0,z0)か ら 点P1(x1,y1,z1)へ 向 う有 向 線 分 が 与 え ら れ た 場 合,次 ペ ー ジ の 図 の よ うな 作 図 を 行 え ば,そ の 方 向 数u,v,wは
で 与 え られ る.
い ま,有 向 線 分P0P1がx軸,y軸,z軸,し
た が っ て 有 向 直 線P0R,P0S,P0Tと な す 角 を そ れ ぞ れ α,β,γ とす れ ば,
であ るか ら
とお け ば,
で あ る.し た が っ て
で あ る.す な わ ち,cosα:cosβ:cosγ は,考 え て い る 有 向 直 線 の 方 向 比 を 与 え て い る.
わ れ わ れ は,cosα,cosβ,cosγ を 有 向 直 線P0P1の 方 向 余 弦 と よん で
で表 わ す の が ふ つ うであ る.
さ て,
すなわち
か ら
が 得 られ る.と ころ が
であ るか ら,こ れ らの式 を代 入す れ ば
4 2次 曲 面
そ の方 程 式 が,x,y,zの2次 方 程 式 で あ る よ うな 曲 面 を わ れ わ れ は2次 曲 面 とい う.本 章 では,ま ず 種 々の2次 曲 面 の例 を あ げ,つ い で,そ れ らに 共 通 な 性 質を 論 じ よ う.
そ し て最 後 に,一 般 の2次 方程 式 は 何 を 表 わす か を 研 究 す る こ とにし よ う.
§1.種 々 の2次 曲 面 (1)球
球 は,定 点C(x0,y0,z0)か ら 一 定 の 距 離rに あ る 点P(x,y,z)の 軌 跡 で あ る.し た が って そ の 方程 式 は
で あ る.と くに,原 点 を中心 と し,rを 半 径 と す る円 の 方程 式 は
で あ る.
さて,一 般 の 球の 方 程式 を展 開 す れ ば
した が って一 般 の 球 の方 程 式 は
の 形 を し て い る.す な わ ち,x2,y2,z2の 係 数 は 等 し く,yz,zx,xyの 項 は 含 ま ぬ2次 方 程 式 の 形 を し て い る.
逆 に,上 の形 の 方 程式 は果 して 球 を表 わ し てい るで あ ろ うか.上 式 を変 形 して
し た が っ て これ は,
(i)も しl2+m2+n2‑d>0で あ れ ば,点(‑l,‑m,‑n)を 中 心 と し て,半
径 〓 の球を表わしている.
(ii)も しl2+m2+n2‑d=0で あ れ ば,た だ1点(‑l,‑m,‑n)を 表 わ し て い る.
(iii)も しl2+m2+n2‑d<0で あ れ ば,何 も表 わ さ な い.
し か し わ れ わ れ は,(ii)の 場 合 に は,こ の 方 程 式 は,1点(‑l,‑m,‑n)を 中 心 と し て0を 半 径 と す る 球 を 表 わ す と 解 釈 し て,こ れ を 点 球 と よ ぶ.
ま た(iii)の 場 合 に は,こ の 方 程 式 は,点(‑l,‑m,‑n)を 中 心 と し て,虚 数
〓 を 半 径 とす る 球 で あ る と解 釈 し て,こ れ を 虚 球 と よ ぶ.
問 題1.1 1.つ ぎ の 球 の 方 程 式 を 求 む.
(i)点(2,3,6)を 中 心 と し て,半 径 が7の 球.
(ii)半 径 がrで,3つ の 座 標 平 面 に 接 す る 球.
(iii)点(x0,y0,z0)を 中 心 に し て,点(x1,y1,z1)を 通 る 球.
(iv)点(x0,y0,z0)を 中 心 に し て,xy平 面 に 接 す る 球.
(v)2点(x1,y1,z1),(x2,y2,z2)を 直 径 の 両 端 とす る 球.
2.つ ぎの 方 程式 の表 わ す 球 の 中心 と半 径 を求 む.
(i) (ii) (iii) (iv) (v) 3.球
上 の1点(x0,y0,z0)に お け る 接 平 面 の 方 程 式 は
で あ る こと を証 明 せ よ.
4.平 面
が球
に接 す るた め の条 件 を 求む.
5.点(x0,y0,z0)を 中 心 と し て 平 面ax+by+cz+d=0に 接 す る 球 の 方 程 式 を 求 む.
6.点P0と1つ の 球 と が 与 え ら れ て い る.点P0を 通 る 任 意 の 直 線 が 球 と交 わ る 点 をQ, Rと す れ ば,
は 一 定 で あ る こ とを証 明せ よ.こ れ を,こ の 点P0の この 球 に 関 す る べ き とい う.
7.2つ の 球 に 関す る べ き の 等 しい 点 の軌 跡 は 平面 であ る こ と を 示 せ.こ の 平面 を2球 の 根 軸 面 とい う.
8.2つ の 球が 交 わ れ ばそ の交 わ りは1つ の 円で あ る.こ の と き,こ の 円周 上 の 任 意 の点 に お け る それ ぞれ の 球へ の接 平面 の なす 角 は,こ の点 の位 置 に 関 係 し ない.こ れ を これ ら2つ の 球 の 交 角 とい う.2つ の 球
の 交 角 θは
で 与 え ら れ る こ とを 証 明せ よ.
9.前 問 に おい て,第1の 球 は 点 球 であ る と仮 定 す る.こ の 点 球が 第2の 球 の 上 に あ るた め の 条件 を求 む.
10.中 心 がO,半 径がrの 球 が 与 え られ て い る.空 間 の1点P(x,y,z)に は,有 向直 線OP上 にあ って,
で あ る よ うな点 〓(〓,〓,〓)を 対 応 させ る よ うな 変 換 を,Oを 中 心 と し,rを 半 径 とす る 反 転 と よぶ.Oを 原 点 に とれ ば,反 転 を表 わす 式 は
で あ る こ とを示 せ.
11.反 転 に よって,一 般 に 球 は球 に変 換 され る こと を示 せ.ま た 例 外 の場 合 を 調 べ よ.
12.反 転 に よって2球 の 交 角 は不 変 で あ る こと を示 せ.
解 答
1.(i) ま た は
(ii)こ の 球 の 中 心 は(±r,±r,±r)で あ る.よ っ て
また は
(iii)こ の 球 の半 径 をrと す れ ば
よ って 求 め る 球 の方 程 式 は
また は
(iv)こ の 球 の 半 径 は￨z0￨で あ る.よ っ て 求 め る 球 の 方 程 式 は
また は
(v)こ の 球 上 の 任 意 の1点 をP(x,y,z)と す れ ば,P1Pの 方 向 比 は
P2Pの 方 向比 は
で あ るが,こ れ らは 直 交す るか ら
また は
これ が 求 め る 球 の方 程 式 であ る.
2.(i)変 形 し て
よ って 中 心 の 座 標 は(1,2,‑1),半 径 は3で あ る.
(ii)変 形 し て
よ って 中 心 の 座 標 は(‑3,1,2),半 径 は5で あ る.
(iii)変 形 し て
よ っ て 中 心 の 座 標 は(4,‑3,‑12),半 径 は13で あ る.
