下級財を含む場合の効用関数と下級財や上級財の特性について
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(2) 第6巻. 第3号. 微 分 に よ って 与 え られ て い る こ とか ら,効 用 関 数 の 形 状 につ いて の 情 報 を 必 ず 含 ん で い る はず で あ り,(2)無 差 別 曲 線 は,効 用 関 数 の グ ラ フの 効 用 水 準 に よ って 引 か れ た 等 高 線 で あ り,こ れ も ま た効 用 関 数 の 形 状 につ いて の 情 報 を必 ず 含 ん で い る はず で あ り,な お か つ, (3)下級 財 を含 む 場 合 の 無 差 別 曲 線 の グ ラ フ に は,下 級 財 の 消 費 量 の 増 加 方 向 へ 行 くの に し たが って 末 広 が りにな って い くと い う際 立 っ た特 徴 が あ るの に も関 わ らず で あ る。 以 上 に指 摘 した よ う に,上 記3つ の 方 法 に は それ ぞ れ 一長 一短 が あ るの だ が,複 数 の 方 法 を組 み 合 わ せ て み た と こ ろで,そ れ らの 実 際 の つ な が りが 見 え て こな けれ ば,互 いの 短 所 を補 い合 わ せ る こ と もで きな い。 ま た,そ の つ な が りが 具 体 的 に示 され て い る テキ ス ト も現 在 は見 当 た らな い。 そ こで,本 稿 で は,2財. の う ち一 方 が 下 級 財 とな りも う一 方 が 上. 級 財 とな る効 用 関 数 の 例 を 示 して,そ れ に よ って3つ の 方 法 で の 主 要 内容 の 間 の つ な が り を示 した い。 本 稿 の 構 成 は以 下 の 通 りで あ る。 先 ず,第2節. で は,現 在 の ミク ロ経 済 学 の 標 準 的 な テ. キ ス トに よ る下 級 財 と上 級 財 の 説 明 を ま と めて い る。 続 く第3節 で は,ス ル ツキ ー 方 程 式 を用 い た下 級 財 と上 級 財 の 十 分 条 件 を振 り返 り,2財. の う ちで 一 方 が 下 級 財 で も う一 方 が. 上 級 財 と な る場 合 の 効 用 関 数 の 性 質 につ いて 検 討 して い る。 そ して,第4節 場 合 の 効 用 関 数 の 例 を提 示 した上 で,第5節. で そ の よ うな. で,そ の 例 に お いて 下 級 財 と上 級 財 は消 費 者. に と って どの よ うな 財 で あ るの か と い う こ とを 消 費 行 動 の 点 か ら示 し,さ ら に得 られ た 諸 結 果 の 一 般 化 を試 み て い る。. 2.下. 級 財 と上 級 財 につ いて. 再論. 本 節 で は,下 級 財 につ いて テ キ ス トで 行 わ れ て い る解 説 を,(1)具 体 例 を 用 いた 財 の 説 明 に関 す る もの と,(2)無 差 別 曲 線 を用 い た幾 何 学 的 な もの に分 けて 振 り返 って お く。. 2.1具. 体 例 を 用 い た 財 の説 明. 奥 野 ・鈴 村(1985)で. は,下. 級 財 の 例 と して 安 い ウ ィ ス キ ー と イ ン ス タ ン ト ・コ ー ヒ ー. を 取 り上 げ て い る 。 そ して,所. 得 の 増 加 に と も な っ て そ れ らの 財 に 対 す る 需 要 が 減 少 す る. こ と につ いて 以 下 の 説 明 を 行 って い る。 「所 得 の 絶 対 水 準 が 低 い 場 合 に は,所 得 増 加 に 伴 っ て 安 い ウ ィ ス キ ー(あ ン ト ・コ ー ヒ ー)の な ウ ィ ス キ ー(あ. 消 費 は 増 え よ う が,所 る い は 本 格 コ ー ヒー)へ. るいはインスタ. 得 の 絶 対 水 準 が あ る 程 度 高 ま れ ば,も と 消 費 を 切 り替 え,安. 一46(248)一. い ウ ィ ス キ ー(あ. っ と高 級 るいは.
(3) 下 級 財 を 含 む 場 合 の 効 用 関 数 と下 級 財 や 上 級 財 の 特 性 につ い て(藤 本) イ ン ス タ ン ト ・コ ー ヒー)の. 消 費 量 は か え っ て 減 少 す る か も しれ な い か ら で あ る 。」. こ の よ う な 説 明 に よ っ て,下. 級 財 と上 級 財 の 区 別 を 「安 い ・高 級 な 」 や 「イ ン ス タ ン. ト ・本 格 」 と い う 形 容 詞 に よ っ て 印 象 付 け よ う と し て い る よ う に 思 わ れ る 。 さ ら に 続 け て,「 ま た,あ こ と も,当. る 消 費 者 に と っ て は 下 級 財 で あ っ て も,別 の 消 費 者 に と っ て は 正 常 財 で あ る. 然 起 こ り う る 。」 と い う こ と を 取 り上 げ て,「 正 常 財 ・下 級 財 と い う 性 質 は,決. して 財 に 固 有 な も の で は な く,消 費 者 の 嗜 好 に依 存 し た 概 念 な の で あ る。」 と い う 結 論 を 示 して い る(1)。以 上 の よ う な 展 開 で は,両. 者 の 区別 が どの よ う に消 費 者 の嗜 好 に依 存 して い. る の か が 明 らか に な らな い だ け で は な く,最. 初 の 説 明 を 読 ん で 両 者 は財 の 性 質 に よ って 区. 別 さ れ る の か と 解 釈 し た こ と が 後 に 否 定 さ れ る か た ち に な っ て い る た め に,最. 終 的 に は何. も 分 か らな くな っ て し ま う 。 上 に あ る カ ッ コ 内 の よ う な 説 明 は,そ る 。 例 え ば,井. 堀(2004,p.86)で. 車 を 例 に 挙 げ て,所 も に,消. の 他 の 標 準 的 な テ キ ス トで も 同 様 に 行 わ れ て い. も,主. 食 と して の 麦 と 米 あ る い は 軽 乗 用 車 と 普 通 乗 用. 得 が 低 い う ち は 下 級 財 の 消 費 を して い る が,所. 得水準が増加す るとと. 費 を 上 級 財 の 方 へ と 移 して い く と い う よ う な 展 開 で 説 明 を 行 っ て い る 。 ま た,神. 戸 ・寳 多 ・濱 田(2006,pp.113-114)で. も,挽. い た豆 を 使 う ドリ ップ コー ヒー と イ ン ス タ. ン トコ ー ヒ ー を 例 に 挙 げ,「 所 得 が 増 え て 前 よ り も お 金 持 ち に な っ た と き に,消 費 量 が 増 え る よ う な 財 は 上 級 の 財 と見 な せ る の で,上 お 金 持 ち に な っ た と き に,消. 級 財 と 呼 ば れ る の で す 。」 と 「一 方,前. 費 量 が 減 る よ う な 財 は,下. よ りも. 級 の 財 あ る い は劣 って い る財 と見. な せ る の で,下. 級 財 ま た は 劣 等 財 と 呼 ば れ ま す 。」 と い う ふ う に 同 様 の 説 明 が 行 わ れ て い. る 。 そ して,そ. こ で は,「 あ る財 が 上 級 財 に な る か そ れ と も下 級 財 に な る か は,財. 質 に よ っ て 決 ま る と い う よ り も,消. 自体 の 性. 費 者 の 選 好 で 決 ま る」 と い う こ とが 例 を 挙 げて 強 調 さ. れ て い る。 一方. ,西. 村(1995,p.58)で. は,下. 級 財 の 例 と し て 焼 酎,二. 級 酒,扇. 風 機,白. 黒 テ レビ. や マ ー ガ リ ン を 使 っ て 説 明 して い る 。 そ こ で の 説 明 で は,. 「あ る財 が 下 級 財 とな り う るの は,そ れ と代 替 す る上 級 財 が 存 在 す るか らで あ る こ と に注 意 して くだ さ い。 所 得 が 増 え て い るの に,第1財. の 需 要 が 減 少 す るな ら,第2財. の. 需 要 は増 加 して い る はず で す 。 ま た二 級 酒 に対 して 一 級 酒,扇 風 機 に対 して ル ー ム クー. (1)上 級 財 と下 級 財 の 区 別 に消 費 者 の 嗜 好(あ るい は 選 好)の 重 要 性 を 強 調 して い るの は,次 節 で 取 り上 げ る スル ツキ ー 方 程 式 に よ る議 論 が 念 頭 に 置 か れ て い るの で あ ろ う。 他 の 幾 らか の テ キ ス トにお い て も,こ の 点 は 十 分 に強 調 され て い る。 -47(249)一.
(4) 第6巻 ラ ー,白. 第3号. 黒 テ レ ビ に 対 して カ ラ ー テ レ ビ,マ. ー ガ リ ン に 対 して バ タ ー と い う よ う に,そ. れ を 代 替 す る 上 級 財 が あ っ て こ そ 下 級 財 と な り う る の で す 。」. と い う ふ う に,下. 2.2無. 級 財 と 上 級 財 の 間 の 関 係 が 特 に 強 調 さ れ て い る(2)。. 差 別 曲線 の特 徴 に よ る説 明. 無 差 別 曲 線 の グ ラ フ を 用 い た,下. 級 財 と 上 級 財 が あ る 場 合 の 説 明 で は,示. され る無 差 別. 曲 線 の 形 状 に 際 立 っ た 特 徴 が 見 られ る 。 現 在 の 標 準 的 な ミ ク ロ 経 済 学 の テ キ ス トで は,例 え ば,西 図4-11に. 村(1995)で. は,図4-10(p.67)に. 財1が. ギ ッ フ ェ ン財 で あ る ケ ー ス の グ ラ フ が 示 さ れ て い る 。 ま た,井. 図3-13(p.86)に. 財1が. 下 級 財 の ケ ー ス の グ ラ フ が,そ. 下 級 財 の ケ ー ス の グ ラ フ が 示 さ れ て い る 。 さ ら に,神 -1(p. 下 級 財 の ケ ー ス の グ ラ フ が,そ. .126)と. 図11-2(p.127)に. 財1が. し て 図3-18(p.94)に. 戸 ・寳 多 ・濱 田(2006)で. は, 財2が. も,図11. ギ ッフ ェ ン財 の ケ ー スの グ ラ フが 示 さ れ て い. る 。 そ れ らの グ ラ フ に 共 通 して み られ る 際 だ っ た 特 徴 と は,無 で 非 対 称 的 に ゆ が ん だ 形 状 を して お り,し. 堀(2004)で. して. 差 別 曲 線 が 対 角 線 を は さん. か も ど の 場 合 で も,下. 級 財 の 消 費 量 の 増 加 ・上. 級 財 の 消 費 量 の 減 少 方 向 に向 か って 無 差 別 曲 線 が 広 が って い って い る と い う こ とで あ る。 しか しな が ら,一 一 方 が 下 級 財 で も う 一一 方 が 上 級 財 で あ る 場 合 に,な. ぜ無差別曲線がその. よ う に対 角 線 を は さん で 非 対 称 的 に ゆが ん だ 形 状 にな るの か と い う こ と につ いて の 説 明 は 見 当 た ら な い(3)。な ぜ,常. に 下 級 財 の 消 費 量 の 増 加 ・上 級 財 の 消 費 量 の 減 少 方 向 に 向 か っ. て 無 差 別 曲 線 は 広 が っ て い くの だ ろ う か 。 一 方 が 下 級 財 で 他 方 が 上 級 財 と な る 十 分 条 件 に 含 ま れ る 要 因 の う ち で,ど. の 要 因 が その 無 差 別 曲 線 の 形 状 に関 わ って い る と いえ るの だ ろ. う か 。 そ の 解 析 的 特 徴 づ け と 幾 何 学 的 特 徴 づ け の 関 係 は,次 に よ る 解 析 的 特 徴 づ け の あ と に,第4節. 節 に お け る スル ツキ ー 方 程 式. で 例 を用 いて 考 察 した い。. (2)こ の 結 果 は予 算 制 約 式 に よ り直 ち に得 られ る。 本 稿 第5.2節 で は,両 財 の 間 に は,価 格 変 化 の 影 響 に よ って 定 義 され る粗 代 替 性 の 関 係 もあ る こ とが 示 され る。 (3)テ キ ス ト以 外 で は,三 土(1992)が,数 値 例 を 用 いて,無 差 別 曲 線 群 が 縦 方 向 に先 す ぼ ま りに な り,飢2軸 に 近 い左 上 に密 集 す る よ う にな って い れ ば,所 得 消 費 曲 線 が 一 定 の 所 得 以 上 の 場 合 に 負 の 傾 きを 持 つ の で はな い か と い う予 想 を して い る。 そ の 上 で,相 対 的 リス ク回 避 度 一 定 の 効 用 関 数 の 一 次 結 合 とな る加 法 分 離 的 関 数 に対 して,縦 線 が 先 す ぼ ま りに 左 上 へ と密 集 す るよ うな 変 数 変 換,横 軸 の 変 数gり1を指 数 関 数 を 使 って 婿=鋤eXPθ 範,(θ>0)と す る もの,を 行 って 第1 財 が 下 級 財 に な る よ うな 効 用 関 数 を 構 成 して い る。 相 対 的 リス ク回 避 度 につ い て は,Laffont (1985)を 参 照 の こ と。 一48(250)一.
(5) 下級財を含む場合の効用関数 と下級財や上級財の特性 について(藤 本). 3.所. 得 効 果 に つ い て:ス. 本 節 で は,西 村(1990)に. ル ツ キ ー方 程 式 再 論. 従 って,所 得 効 果 の 符 号 に関 す る スル ツキ ー 方 程 式 を 用 いた. 議 論 を振 り返 って お く。 まず,予 算 制 約 の 下 で の 消 費 者 の 効 用 最 大 化 の 一一 階 条 件 は,ラ グ ラ ン ジ ュの 未 定 乗 数 法 を用 い る と,以 下 の よ う にな る:. こ こ で は,効 用 関 数 σ の 偏 微 分(限 式(1)と(2)に 見 られ る λ>0は 銑,価. 格 を 勉,そ. 界 効 用)は. 研 ≡ ∂σ/∂銑. と い うふ う に 略 記 し て お り,. ラ グ ラ ン ジ ュ乗 数 で あ る。 ま た,財. 施=1,2)の. 消費量を. して 消 費 者 の 予 算 を 一Mで 表 し て い る の は 通 常 の と お り で あ る 。 さ ら に,. 両 財 の 限 界 効 用 は 正 で あ る と して お く:砺>0σ. 一1,2)。. こ れ らの 一 階 条 件 を 全 微 分 す る と 以 下 の 式 が 得 られ る:. こ こ で,所. 得 効 果 を 求 め る た め に,両. と す る と,式(4)か. よ っ て,ク. ら(6)まで は,行. 財 の 価 格 は 変 化 し な い も の と して ⑫1=伽2=0. 列 と ベ ク トル を 用 い て 以 下 の よ う に 書 け る:. ラ ー メ ル の 公 式 を 用 い て 連 立 方 程 式 を 解 く と, 各 財 の 所 得 効 果 は以 下 の よ う. に 表 せ る 。(最 後 に 式(1)と(2)を 再 び 用 い て い る 。).
(6) こ こ で は,偏 微 分 の 順 序 に 関 す る ヤ ン グ の 定 理 に よ り,σ12=σ21と. な る の で,当 然 そ れ ら. の 符 合 は 一 致 す る ④。 こ れ よ り,式(8)の. 右 辺 が 正 で あ れ ば 第1財. は 上 級 財,逆. に負 で あれ ばそ れ は下 級 財 にな. る 。 同 様 に,式(9)の. 右 辺 が 正 で あ れ ば 第2財. は 上 級 財,逆. に負 で あれ ばそ れ は下 級 財 にな. る 。 こ こ で,各. 財 の 限 界 効 用 が 正 研>0で. あ る こ と に よ り,第. 乞財 の 所 得 効 果 の 符 号 は. 以 下 の 式 の 符 号 に 等 し くな る:. こ れ に つ い て,乞,ゴ=1,2か ま た,式(8)と(9)中 D>0の. っ 乞≠ ゴ で あ る。. のD>0は,式(7)の. 左 辺 に あ る 行 列 の 行 列 式 で あ る。 こ の 行 列 式. 符 号 は,効 用 関 数 σ が 強 い 意 味 の 準 凹 関 数 と な る(無 差 別 曲 線 が 原 点 に 対 して 凸. と な る)場 合 に 成 立 す る 。 そ し て,第1財 響 を,効. の 消 費 量 の 変 化 が 限 界 代 替 率 σ1/σ2に 与 え る 影. 用 一 定 の 条 件:. を用 いて 計 算 して み る と. と な る た め に,限 界 代 替 率 が 逓 減 し,無 差 別 曲 線 が 原 点 に対 して 凸 とな るた めの 十 分 条 件 は,. (4)こ の 定 理 で は,σ1と σ2の 微 分 可 能 性,σ11,σ12,σ21と,σ22の ら の 連 続 性 は 仮 定 さ れ な い 。 高 木(1983)のp.58を 参 照 の こ と。. 一50(252)一. 存 在 は 仮 定 さ れ る が,そ. れ.
(7) とな る。 容 易 に確 認 で き る よ う に,両 方 の 財 が 上 級 財 で あ る場 合 に は この 条 件 は必 ず 満 た され る。 しか し,下 級 財 が 含 まれ る場 合 に は,一 方 が 下 級 財 にな る条 件 よ りも,限 界 代 替 率 逓 減 の 方 が よ り制 約 的 な 条 件 で あ る。 よ って,一 方 の 財 が 下 級 財 にな る場 合 に は,限 界 代 替 率 逓 減 の 条 件 に よ って 効 用 関 数 の 定 義 域 や,あ. る い は その パ ラ メー タ に一 定 の 制 約 が. 課 され る こ と もあ り得 るだ ろ う。 以 上 よ り,(1)第1財. が 下 級 財,(2)第2財. が 上 級 財 で,(3)無 差 別 曲 線 が 原 点 に対 して 凸 と. な る と い う全 て の 条 件 が 満 た され る可 能 性 の あ る場 合 を 列 挙 す る と,以 下 の 表 の よ う にな る:. 一. ス. 一. ス. 一. ス. 一. ス. 一. ス. 戻U 6. 一. ス. 7. -⊥ 0乙 9り 4. 一. う(上. ス. ケ ケ ケケ ケケ ケ. こ こ で,効. 用 関 数 の 通 常 の 仮 定(単. の ケ ー ス4)。. す る と,第1財. 調 増 加 性 と 凹 性)が. 満 た さ れ て い る も の と して み よ. が 下 級 財 で あ る 場 合 に は,式(8)と. 効用関数 の凹性 に. よ り,. と な る の で,一 方 の 限 界 効 用 が 他 方 の 消 費 量 の増 加 と と も に減 少 し,両 財 は 代 替 的 σ12<0と な る は ず で あ る 。 も し そ う で は な く,両 に よ る と,第2財(上. 級 財)の. 財 が 補 完 的 な 関 係 σ12>0に. 限 界 効 用 は 逓 増 す る こ と に な り,通 た は7)(5)。2つ. あ る と す れ ば,上. 式. 常 の 仮 定 は満 た され な. い こ と に な る(上. の ケ ー ス1,2ま. の財 の 間 に 下 級 財 と上 級 財 とい う区 別. が で き る の は,両. 財 が 互 い に他 方 の 限 界 効 用 を 減 少 させ 合 う よ うな 代 替 的 な 関 係 に あ る こ. (5)こ こ で い う 補 完 的 ・代 替 的 と い う の は,通 常 の よ う に代 替 効 果 の 符 号 に よ って 定 義 され る もの で は な く,限 界 効 用 を 用 い た エ ッ ジ ワ ー ス ・パ レ ー ト に よ る 古 典 的 な も の で あ る 。 こ の 古 典 的 な 定 義 で は,基 数 的 効 用 が 前 提 と さ れ て い る た め に 今 日 で は 余 り 用 い ら れ て い な い の だ が,こ は あ く ま で 便 宜 的 に 用 い て い る 。 太 田(1980,p.176)を 参 照 の こ と。 -51(253)一. こで.
(8) 第6巻 と か らな の か,そ. れ と も,上. 第3号. 級 財 に限 界 効 用 逓 増 と い う特 別 な 性 質 が あ るか らな の だ ろ う. か。 少 な く と も,(1)効. 用 関 数 が 加 法 分 離 的 で あ る(第1財. られ る 効 用 が 互 い に 独 立 と な る)場 替的 砺. く0と. な る こ と は な い(こ の 場 合 は ケ ー ス6と. 分 離 的 で あ る(得 に は,両. 合 を 考 え る と,交. られ る 総 効 用 が 第1財. か ら得 られ る 効 用 と 第2財. 叉 偏 微 分 は 常 に ゼ ロ で あ る の で,代 な る)。 そ し て,(2)効 用 関 数 が 乗 法. か らの も の と 第2財. か らの も の の 積 と な る)場. 財 の 限 界 効 用 が 正 で あ る 限 り に お い て 代 替 的 砺<0と. 合 は ケ ー ス1,2,7の て い え ば,後. い ず れ か と な る)。 従 っ て,も. な る こ と は な い(こ. 合. の場. っ と も ら しい効 用 関 数 の 範 囲 に限 っ. 者 の 可 能 性 の 方 が よ り あ り得 る も の と 考 え られ る 。. 現 時 点 で は,「 両 財 の 限 界 効 用 が 正 で あ り σ1>0,σ2>か る 」 ケ ー ス3と4と5の ス1,2と7に. か ら得. つ 財 が 代 替 的 σ12〈0と. 適 切 な 具 体 例 が 見 つ か らな い た め に,以. な. 下 の 議 論 で は対 象 を ケ ー. 限 定 して い く。 代 替 的 な 場 合 の 具 体 例 は 将 来 的 な 課 題 で あ る 。. 4.効. 用 関 数 の例. 4.1例 梅 原(2004)の と して,以. 第3章. 補 論2に. お い て は,第1財. が ギ ッフ ェ ン財 とな る場 合 の 効 用 関 数. 下 の 形 状 の も の が 取 り上 げ られ て い る 。. 銑 ∈[0,50]か. つ ω2∈[0,25]。. 用 が 負 に な る 場 合 や,分 そ こ で,そ. 銑 ∈[0,20]か. しか し,こ. の 効 用 関 数 を そ の ま ま 用 い る と,第1財. 母 が ゼ ロ に な る 場 合 な ど の 不 合 理 な 状 況 が 存 在 して し ま う 。. れ らの 状 況 を 排 除 す る た め に,こ. つ ￠2∈[0,20]。. つ い て の 偏 微 分 は,. か らの 効. の 効 用 関 数 を 以 下 の よ う に 修 正 して み る 。. こ の 効 用 関 数 に つ い て,以. 下 の 諸 結 果 が 得 ら れ る 。 第1財. に.
(9) 下 級 財 を 含 む 場 合 の 効 用 関 数 と下 級 財 や 上 級 財 の 特 性 につ い て(藤 本). そ して,第2財. に つ い て の 偏 微 分 は,. と な る。 こ れ ら よ り,. そ して,第2財. 第1財 の 所 得 効 果 の 符 号 は,. の 所 得 効 果 の 符 号 は,. 2. と な る 。 つ ま り,第1財. が 下 級 財,第2財. 級 財 と な る 場 合 を 考 え る に は,下 こ の 場 合 に は,ス. が 上 級 財 と な る 。(第1財. 添 え 字1と2を. が 上 級 財 で 第2財. 入 れ 替 え れ ば よ い 。). ル ツ キ ー 方 程 式 に よ る 条 件 が,. と い う か た ち で 満 た さ れ て い る(こ. れ は 前 節 の ケ ー ス7に. あ た る)。. が下.
(10) 第6巻 4.2若. 第3号. 干 の 一般 化. こ こか らは,上 記 の もの を 特 殊 ケ ー ス と して 含 む 乗 法 分 離 的 な 効 用 関 数 の ク ラ スで,同 様 の 結 果 が 得 られ る もの を示 す 。 以 下 の 効 用 関 数 を考 え よ う:. こ こ で,パ. ラ メ ー タ は と も に 正m>0と. 0<￠2<gと こ の と き,以. η>0で. あ り,変. 数 の 定 義 域 は0<銑,. す る。 下 の 諸 結 果 を 得 る 。 ま ず,ど. と な る 。 そ して,こ. れ らの 式 よ り,. が 得 られ る 。 従 っ て,第1財. 他 方 で,式(ll)と(10)か. ち らの 財 の 限 界 効 用 も 正 で あ り:. の 所 得 効 果 ∂銑/∂Afは. 負 と な る(第1財. は 下 級 財). ら,. と な る こ と か ら,第2財. の 所 得 効 果 伽2/∂Mは. 正 と な る(第2財. は 上 級 財):.
(11) 下 級 財 を 含 む 場 合 の 効 用 関 数 と下 級 財 や 上 級 財 の 特 性 につ い て(藤 本) と な る 。 こ こ で の 場 合 は,パ (ηz>1),ケ. ー ス2(0<㎜<1)ま. さ ら に,限. 値 に よ っ て,前. た は ケ ー ス7(m=1)の. 節 で 分 類 した の う ち で ケ ー ス1 そ れ ぞ れ にあ た る。. 界 代 替 率 逓 減 の 条 件 辞 ・σ22+σ ξ・σ11-2σ1σ2・ σ12〈0は:. と な る こ と よ り,パ. ラ メ ー タ の 関 係 に 一 定 の 制 約m〈. 以 上 の 結 果 よ り,2財 級 財)の. ラ メ ー タmの. の ケ ー ス で,無. 差 別 曲 線 が,横. ηが 課 され る こ と にな る。 軸 に 消 費 量 が と ら れ る 第1財(下. 消 費 量 の 増 加 ・縦 軸 に 消 費 量 が と ら れ る 第2財(上. (つ ま り右 下 方 向)へ. 級 財)の. 向 か っ て 末 広 が り と な っ て い る 理 由 が 分 か る 。 上 の 結 果 に よ る と,第. 1財 が 下 級 財 に な る 十 分 条 件 ⑫ が 満 た さ れ る 要 因 の う ち で,(1)上 る こ と ひ22>0と,(2)下 こ と σ12>0が. 級財の限界効用が逓増す. 級 財 の 限 界 効 用 σ1が 上 級 財 の 消 費 量 物 の 増 加 と と も に 逓 増 す る. 重 要 で あ る と 考 え られ る 。 な ぜ な ら,そ. 左 上 方 向 か ら右 下 方 向 へ と,右. 上 の1点. の よ う な 場 合 に は,効. 用 曲 面 は,. を 中 心 に して 回 転 す る よ う に 滑 り降 りて い くの に. 従 っ て な だ らか と な っ て い くか らで あ る 。 そ の 結 果 と して,無 線)は. 消費量 の減少方 向. 差 別 曲 線(効. 用曲面の等高. そ の 方 向 へ と 向 か っ て 末 広 が っ て い くの で あ る 。 こ れ らの 特 徴 は,効. 用関数の グラ. フ と そ の 上 に 描 か れ る 補 助 線 を 実 際 に 見 て み れ ば,よ. り い っ そ う は っ き り と して く る だ ろ. う。 以 下 に お い て,グ. ラ フ の 一 例 を 示 し て お く。 図1は. パ ラ メ ー タ がy=21か. o. 図1mニ1,nニ2,の 一55(257)一. 場合. つm=1と.
(12) 第6巻 η=2で. 第1財 の 限 界 効 用 が 一 定 の場 合(ケ. 第3号 ー ス7)の. その 場 合 の 無 差 別 曲 線(太 線)と 予 算 制 約 線,さ. 効 用 関数 の グ ラ フで あ り,図2は. らに所 得 消 費 曲 線(破 線)の. グ ラ フで あ. る。. 以 上 に指 摘 され た2要 因 の う ちで,1番. 目の 「(1)上 級 財 の 限 界 効 用 が 逓 増 的 σ22>0で. あ る」 の 方 が よ り重 要 な もの で あ るの か も しれ な い。 な ぜ な らば,そ れ 以 外 の 要 因 が 無 く て も 同 じ結 果 が 得 られ る場 合 が 存 在 す るか らで あ る。 例 え ば,加 法 分 離 的 効 用 関 数 の 場 合 で は交 叉 偏 微 分 砺 σ ≠の は全 て ゼ ロで あ るが,下 級 財 の 限 界 効 用 が 逓 減 し上 級 財 の 限 界 効 用 が 逓 増 しさえ す れ ば,条 件 ⑫ と⑭ は満 た され て 同様 の 結 果 が 得 られ る(前 節 の ケ ー ス 6)。 そ して,こ こ で考 え た乗 法 分 離 的 な例 で は式 ⑬ の符 号 に制 約 は無 く,下 級 財 の 限 界 効 用 は逓 減 的 に も,一 定 に も,逓 増 的 に もな り得 るの だ 。. 5.消. 5.1具. 費 者 行 動 へ の イ ン プ リケ ー シ ョ ン. 体例 による導出. こ こか らは,前 節 の 乗 法 分 離 的 効 用 関 数.
(13) 下級財を含む場合の効用関数 と下級財や上級財の特性 について(藤 本) を用 いて,下 級 財 と上 級 財 が あ る状 況 で の 消 費 者 の 最 適 行 動 を示 す 。 そ して,そ. こで 得 ら. れ た結 果 に よ って 下 級 財 や 上 級 財 の 性 質 を 探 って い く 消 費 者 に と って の 予算 制 約 式 は,第. 乞財 の価 格 をp痘. 一1,2),消. 費 者 の予 算 をMと. す. れ ば,通 常 ど お り. と な る 。 こ こ で,内. 点 解 を 得 る た め に,効. 用 関 数 の パ ラ メ ー タ に つ い てm〈. 消 費 者 の 購 買 力 に つ い てm〃/η<-M/P2<ッ こ こ で,限. η を,ま. た,. を 仮 定 して お く。. 界 代 替 率 は:. で あ る こ とか ら,効 用 最 大 化 の 条 件(限 界 代 替 率 一財 の 相 対 価 格) と予 算 制 約 式 ⑮ に よ っ て 求 め られ る2財 の 需 要 関 数 は:. とな る。 内 点 解 を 得 る た め に,消 い た が,こ. 費 者 の 第2財. の 価 格 で 測 っ た 購 買 力 ・M/P2に つ い て の 仮 定 を 置. こ で そ の 意 味 が は っ き りす る 。 つ ま り,第2財. 定 が 満 た さ れ な い ぐ ら い に 低 くな っ て し ま う と,上 逆 に,そ. の 価 格 で 測 った 購 買 力 が 先 の 仮. 級 財 の 消 費 量 はゼ ロ とな って しま う。. の 購 買 力 が 先 の 仮 定 が 満 た さ れ な い ぐ ら い に 高 くな っ て し ま う と,今. 度 は 第1財. の 消 費 量 の 方 が ゼ ロ とな って しま うの で あ る。 以 上 の 需 要 関 数 か ら得 られ る 結 果 を 列 挙 して お く。 こ れ らの 結 果 に よ っ て,下. 級 財 と上. 級 財 の 対 称 的 な 性 質 が うか が え よ う。 1.第1財(下 第2財(上. 級 財)へ 級 財)の. の 需 要 は,そ 価 格p2の. 替 財 で あ る)。 ま た,下 しな い が,上. の 価 格p1の. 上 昇 や 予 算Mの. 上 昇 に よ っ て 増 加 す る(つ. 級 財 へ の 支 出 額p1ω1は,そ. 級 財 の 価 格 の 上 昇(低. 下)に. 一57(259)一. 増 加 に よ っ て 減 少 し,. ま り,第1財. は 第2財. の粗代. の 財 の 価 格 の 変 化 に よ って は変 化. よ っ て 増 加(減. 少)す. る 。 つ ま り,下. 級財.
(14) 第6巻. 第3号. の 消 費 は,上 級 財 の 価 格 か ら大 きな 影 響 を受 けて お り,下 級 財 の 価 格 が 低 下 した と し て も それ へ の 支 出額 が 増 加 す る まで は消 費 を 増 や そ う と は しな いが,上 級 財 の 価 格 が 上 昇 した と き に は,下 級 財 へ の 支 出額 を増 加 させ る。 2.上. 級 財 へ の需 要 は,そ の 価 格 の 上 昇 に よ って 減 少 し,予 算 の増 加 に よ って 増 加 す る. が,下 級 財 の 価 格 の 変 化 に よ って は影 響 を受 けな い。 ま た,上 級 財 へ の 支 出額 はそ の 財 の 価 格 の 上 昇(低 下)に. よ って 減 少(増 加)す. るが,下 級 財 の 価 格 の 変 化 に よ って. は全 く影 響 を 受 けな い。 先 の 結 果 と は対 称 的 に,上 級 財 の 消 費 に下 級 財 は全 く関 係 し て いな い。 3.そ. れ らの結 果 を合 わ せ る と以 下 の こ とが 言 え る。 上 級 財 の価 格 の上 昇 に対 して は,. 消 費 者 は上 級 財 を あ き らめて それ へ の 支 出を 減 少 させ て,そ の 代 わ りに下 級 財 へ の 支 出額 を増 加 させ る こ とで 対 応 す る。 逆 に,上 級 財 の 価 格 が 低 下 した と き に は,下 級 財 へ の 支 出額 を減 少 させ て で も,上 級 財 の 消 費 を増 加 させ る。 4.下. 級 財 に対 す る支 出割 合(エ. ンゲ ル 係 数)P1鋤/-Mは,予. 算 額.Mの 増 加 と共 に減 少. す る。 それ に対 して,上 級 財 の エ ン ゲル 係 数P2晦/-Mは,予. 算 額 の 増 加 と共 に増 加 す. る。 つ ま り,消 費 者 は,豊 か にな れ ばな る ほ ど予 算 の う ちの よ り多 くを 上 級 財 の 消 費 に費 や そ う とす る。. 以 上 の結 果 は以 下 の指 数 に よ って も確 認 で き る。 仮 定m酬 の 価 格 弾 力 性 と所 得 弾 力 性 を 求 め る と,第1財. ηぐM/P2<ツ. につ いて は:. が 得 られ る 。 価 格 弾 力 性 の 値 に よ っ て 示 さ れ て い る よ う に,第1財 化 に よ らな い 。 そ して,所. 得 弾 力 性 が1を. い る。 そ して,第2財. に つ い て は,. の も とで 両 財. へ の 支 出額 は価 格 の 変. 下 回 っ て い る こ と か ら,こ. れ は必 需 品 とな って.
(15) 下級財を含む場合の効用関数 と下級財や上級財の特性 について(藤 本) が 得 られ る。 最 初 の 式 に よ り,第2財 の 支 出額 が 価 格 の 上 昇(低 下)に て,2番. の 需 要 は価 格 の 変 化 に対 して 弾 力 的 で あ り,そ れ へ. よ って 減 少(増 加)す. 目の 式 で 所 得 弾 力 性 が1よ. る もの で あ る こ とが 分 か る。 そ し. りも大 き い こ とか ら,所 得 の 増 加 に と もな って エ ンゲ. ル 係 数 が 増 加 す る よ うな 奢 修 品 で あ る と い う こ とが 示 され る(6)。 これ らの 結 果 を見 て み る と,(1)ス ル ツ キー 方 程 式 に よ る方 法 で 「所 得 効 果 の 符 号 が 負 に な る」 と い うふ う に解 析 的 に特 徴 付 け られ,な. おか つ,(2)無 差 別 曲 線 が 下 級 財 の 消 費 量 の. 増 加 方 向 へ と末 広 が りに な る と い うふ う に幾 何 学 的 に特 徴 付 け られ る よ うな 効 用 関数 に よ って,下 級 財 と上 級 財 の 性 質 や 関 係 につ いて も っ と も ら しい結 論 が 得 られ るの だ と感 じ られ る。 た だ し,言 う まで もな く,効 用 関 数 の 特 性(消 費 者 の 嗜 好)と 下 級 財 や 上 級 財 に 関 す る結 果 の 関 係 は一般 化 され る必 要 が あ る。. 5.2諸. 結 果 の 一般 化. 以 下 で 結 果 の 一 般 性 につ いて 論 じて い く。 先 ず,下 級 財 が 上 級 財 の 粗 代 替 財 で あ る と い う結 果 は,以 下 に示 され る よ う に,第3節. の スル ツ キー 方 程 式 に関 す る議 論 に よ って 確 認. で き る:. これ は第3節 の 式(4)か ら(6)を第1財 の 価 格 一一 定 伽1=0と. 予 算 一一 定4M-0の. 条件の下で. 解 い た もの で あ る。 右 辺 の 符 号 は,両 財 の 限 界 効 用 が 正 で あ る こ と と第1財 が 下 級 財 で あ る こ と(第2項. の カ ッコ 内が 負)よ. りいえ る(あ わ せ て 式(8)を参 照 の こ と)。. ま た,こ の結 果 は式G6)の よ うな 計 算 式 を用 い な い 幾 何 学 的 な 観 点 か ら も説 明 で き る(7)。 第1財 の 価 格p1が 一 定 で 第2財 の 価 格p2が 上 昇 す る場 合 に は,相 対 価 格P1/P2(予. 算制約. 線 の 傾 き)が 低 下 す る こ とか ら,代 替 効 果 に よ って 必 ず 第1財 へ の 需 要 銑 が 増 加 す る(式 (16)の 四角 カ ッ コ内 の 第1項. が正 とな る部 分)。 これ は,無 差 別 曲線 が 原 点 に対 して 凸 で あ. る限 りは接 線 の 傾 きの 低 下 に よ って 主 体 的 均 衡 点(効 用 が 最 大 とな る消 費 量 の 組)が. 同一. 無 差 別 曲 線 上 で 右 下 へ と移 動 す る こ と に よ りい え る。 そ して,下 級 財 へ の 需 要 娩 は 財 の. (6)需 要 の 所 得 弾 力 性 と エ ン ゲ ル 係 数 の 関 係 に つ い て は,例 170を 参 照 さ れ た い 。 (7)ス ル ツ キ ー 方 程 式 を 用 い て,こ バ ー ジ ョ ン よ り も,Mckenzie(1957)に. え ば,奥. 野 ・鈴 村(1985)のpp.168-. こ で の 幾 何 学 的 説 明 を 確 認 す る 場 合 に は,本 稿 で 示 さ れ て い る よ っ て双 対 性 を 利 用 して導 出 され た バ ー ジ ョ ンの 方 が. 良 い 。 後 者 の バ ー ジ ョ ン に つ い て は,西. 村(1990,p.59)を. 一59(261)一. 参 照 され た い 。.
(16) 第6巻. 第3号. 価 格p2の 上 昇 に よ る実 質 所 得 の 減 少 に よ り増 加 す る こ とか ら,必 ず 増 加 す るの で あ る(式 ⑯ の 四角 カ ッ コ内 の 第2項 結 果 と して,第2財. が正 とな る部 分)。 以 上 の こ とに よ り,代 替 効 果 と所 得 効 果 の. の 価 格P2の 上 昇 は第1財 へ の 需 要 銑 を 必 ず 増 加 させ るの で あ る。. そ して,下 級 財 の価 格p1が 一 定 で あ る とき に は,上 級 財 の 価 格p2の 上 昇 に よ って 下 級 財 の需 要 銑 が増 加 す る とい う結 果 は,そ の 価 格 の 上 昇 に よ って下 級 財 へ の支 出額P1銑. も. 増 加 す る と い う こ とを 意 味 す る。. よ って,選 択 の 対 象 が2財 だ けの 場 合 で は,上 級 財 へ の 支 出額 はそ の 価 格 の 上 昇 に よ って 必 然 的 に減 少 す るの だ と い う こ とが 言 え る。 つ ま り,予 算 制 約 式 が. で あ る こ と か ら,こ. の 式 の 両 辺 を 第2財. の 価 格p2で. 偏微分す ることによ り. を得 る。 以 上 の 結 果 か ら,上 級 財(第2財)の. 価 格 弾 力 性 が1よ. りも大 き くな る こ とが 分 か る。 つ. ま り,式 ⑰ の 右 辺 に あ る結 果 は. を意 味 す る こ と に よ り,第2財. の 需 要 の 価 格 弾 力 性 につ いて,以 下 の 結 果. を得 る。 ま た,エ. ンゲル 係 数 につ いて の 結 果 は,下 級 財 へ の 支 出割 合(エ. 増 加 に と もな って 減 少 す る場 合,2財. ンゲ ル 係 数)が 予 算 の. の 場 合 で あ る と,必 然 的 に も う一 方(上 級 財)へ の. 支 出割 合 が 増 加 す る こ とか ら一 般 的 に成 立 す る こ とが 分 か る。 つ ま り,予 算 制 約 式 に よ り 一60(262)一.
(17) と な る こ と か ら,こ. の 式 の 両 辺 を 予 算Mに. よ っ て 偏 微 分 す る こ と に よ り,. と い う結 果 を得 る。 本 稿 で 示 され た諸 結 果 に よ って,下 級 財 と上 級 財 は以 下 の よ う に定 義 で き る: 定 義: 1.下. 級財. 所 得 効 果 が 負 で あ り,上 級 財 の 粗 代 替 財 で あ り,エ ンゲ ル係 数 が 所 得 の 増. 加 と と も に減 少 す る よ うな 財 で あ る(8)。 2.上. 級財. 所 得 効 果 が正 で あ り,そ の 限 界 効 用 が 逓 増 し,需 要 の価 格 弾 力性 が1よ. り. も大 き く(需 要 が 弾力 的),エ ンゲ ル 係 数 が 所 得 の 増 加 と と も に増 加 す る よ うな 奢 修 品 (需要 の所 得 弾 力 性 が1よ. り も大 き い)で あ る。. この よ う な定 義 を 踏 まえ て 考 え て み る と,下 級 財 と上 級 財 の 具 体 例 と して 使 わ れ るの にふ さわ しい と いえ る財 は何 と何 で あ ろ うか?. 参. 考. 献. 〔1〕. 井 堀 利 宏(2004)「. 〔2〕. 梅 原 嘉 介(2004)「Excelミ. 〔3〕. 太 田. 〔4〕. 奥 野 正 寛,鈴. 村 興 太 郎(1985)「. 〔5〕. 神 戸 伸 輔,寳. 多 康 弘,濱. 〔6〕. 高 木 貞 治(1983)「. 〔7〕. 西 村 和 雄(1990)「. 〔8〕. 西 村 和 雄(1995)「. ミ ク ロ経 済 学. 〔9〕. 三 土 修 平(1992)「. 下 級 財 を 含 む 効 用 関数 の 解 析 的定 式 化」 経 済 学. 第2版. 」新世社. ク ロ経 済 学 入 門 」 工 学 社. 誠(1980)「2消. 学 部(編)通 〔10〕. 入 門 ミ ク ロ経 済 学. 文. 費 者 行 動 」,経 済 学 大 事 典1,pp.167-180.東 ミ ク ロ経 済 学1」. 田 弘 潤(2006)「. 解析概論. 洋経済新報社. 岩波書店. ミ ク ロ経 済 学 を つ か む 」 有 斐 閣. 改訂第三版」岩波書店. ミ ク ロ経 済 学 」 東 洋 経 済 新 報 社 第2版. 」岩波書店 愛媛大学 法文. 号25,pp.19-31.. J-J.Laffont,(1985),CoursdeTh60rieMicro6conomique,Vol.2:Economie. del'lncertainetdel'lnformation,Economica,Paris.佐. 藤 公 敏 訳. 「不 確 実 性 と 情. 報 の 経 済 学 」 東 洋 経 済 新 報 社,1992年 〔11〕L.Mckenzie,(1957),Demandtheorywithoututilityindex,R6vθwqプEooηo〃躍c5醜4'8524,pp.185-189.. (8)常 に対 称 的 で あ る代 替 効 果 に よ って 定 義 され る代 替 財 の 場 合 と は違 い,代 替 効 果 と所 得 効 果 の 合 計 に よ って 定 義 され る粗 代 替 財 の 場 合 は,関 係 が 非 対 称 的 にな り う る。 つ ま り,第1財 が 第2 財 に対 す る粗 代 替 財 で あ って も,逆 に第2財 が 第1財 に対 す る粗 代 替 財 で あ る必 然 性 は な い の で あ る。 この 点 につ い て は 奥 野 ・鈴 村(1985)のpp.202-203を 参 照 さ れ た い。 一61(263)一.
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