代数曲線と半代数的集合の幾何学

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(1)代数曲線と半代数的集合の幾何学教科・領域教育学専攻白然系コ一ス. M l 0 1 7 3 J 重松竜平. 1 研究の内容. 2 研究の特徴. 初めに，r代数曲線の幾何学」についてふれる．r代. 本研究では，高校数学の授業内容として用いる. 数曲線の幾何学」の具体例として，円錐曲線とワッ. ことができるものがいくつかある1実際，本論文. ト曲線，3・4次関数を挙げる．円錐曲線とは，R3. 内では，円錐曲線やワット曲線の考察の中で用い. において2本の交差する直線工とλ（工とλは垂. られるいくつかの証明を，高校数学で習う内容を. 直でないとする）を考え，λの周りに工を回転させ. 用いても示している．また，楕円を描く器具など. たときにできる直円錐と，平面との交わりの曲線. についても，高校数学で用いることが可能である．. のことをいう．この交線には，双曲線，楕円，放物. 線が含まれる．また，蒸気機関車の車輪同士を結ぶ連結棒の中点の描く軌跡が，ワット曲線とよば. 3 論文の構成. れる6次の代数曲線となる．3・4次関数について. 第I部代数曲線の幾何学. は，その応用として解釈されるカスプのカタスト. 第1章高校数学への応用が可能な代数曲線. ロフィーを解説し，それを通してカタストロフィー. 1，1 代数的集合，半代数的集合の定義. 理論についてもふれる．. 1．2 円錐曲線（2次曲線）. さらに，円錐曲線の中に含まれる楕円と双曲線，. 1．3 3・4次関数. 放物線をそれぞれ描く器具，車輪を模した器具，カ. 1．4 ワット曲線（6次の代数曲線）. スプのカタストロフィーを実現するジーマンのカ. 1．5 課題. タストロフィーマシンを実際に作成する方法を述. 第1I部半代数的集合の幾何学. べている．. 第2章多項式の実根の数え上げ. 代数曲線の幾何学について研究を進めるにつれ. 2。ユスツルム（Strum）の定理. て，実多項式の零点，すなわち，等号のみで表され. 2．2 パラメータを持つ多項式方程式・不等式. る実代数的集合というものは，非常に窮屈な乾田壽. のシステム. であることに気付く、そこで，不等式も許した半代. 2．3 主部分終結式係数. 数的集合の乾田壽に拡げて議論を進めることになる．. 第3章半代数的集合の性質. 本論文では，より一般的に「半代数的集合の幾何. 3．1 半代数的集合のクラスの安定性性質. 学」として議論を進めている．その中で，次の課. 3．2 半代数的写像. 題を課し，研究を通して肯定的に示す：. 3．3 半代数的集合の分解. 課題多項式関数∫：Rn→R（η≧1）の極大値または極小値を与えるR帆の点全体をそれぞれ万m。。，. 五mi。とする・∫の極大値（極小値）を与える点全体. の集合五は有限個の点からなる集合であるか．. 3．4 課題の解答・証明. 第4章半代数的集合の三角形分割 4．1 トムの補題（Thom’s Lemma）. 4．2 三角形分割.

(2) 4．3 半代数的集合の次元. 第I部では，「代数曲線の幾何学」として，前述した代数曲線の定義とそれらの例をいくつか挙げ，. 幾何学的に解析をする．第1章をr高校数学への応用が可能な代数曲線」として，高校数学の内容と照らし合わせながら進める．. とにより，観察された事象に関する考察を述べる．. 5節において，課題の特別な場合における解答を示す．この時点において，一般的な場合の解答を与. えることができない．一般的な場合を示すための. 数学的道具が準備された後，証明は第H部第2章2 節で与えられることになる．. 1節を「代数的集合，半代数的集合の定義」とし，. 第u部では，r半代数的集合の幾何学」として，半. 実多項式の等号のみで表すことができるものの集. 代数的集合のもつ諸性質を取り扱う．. 合を「代数的集合」，等号と不等号を用いて表すこ. 第1章では，多項式の実根の個数の数え上げに. とができるものの集合をr半代数的集合」と定義. 関するスツルムの定理や，半代数的集合の幾何学. する．さらに，半代数的写像についても定義し，関. において特に重要な定理であるrタルッキー・ザ. 連する事項として，ナッシュ写像，ナッシュ集合の. イデンベルクの定理」について述べる．また，第2. 概念についても取り扱っている．. 章以降で必要となる主部分終結式係数について定. 2節では，代数的集合の例であるr円錐曲線」に. 義する、タルッキー・ザイデンベルクの定理につい. ついて述べる．これらの性質を幾何学的に解析し，. ては，言正明をより理解しやすくするために，先に. それらの性質を利用して実用化されている道具や. 具体例を与え，解析したのち，一般の場合の証明. 機械の例も合わせて挙げる、. を示す、. 3節では，「3・4次関数」の応用としての「カス. 第2章では，半代数的集合や半代数的写像の集. プのカタストロフィー」に関連して，rカタストロ. 合論的性質について述べる．特に，第n部第1章. フィー」理論について述べる．連続して起きてい. で述べたタルッキー・ザイデンベルクの定理は論. るものが，ある点を境にし不連続な現象が起きる. 理的な形式であるが，ここではそれと同値な幾何. ことがある．この不連続現象のことをrカタスト. 学的な形式のものを最初のものの系として与える．. ロフィー現象」とよぶ．このことを，3・4次関数. 実際には，幾何学的応用の観点から，実代数幾何. の挙動をもとに解説する．例に挙げ進めていく．さ. 学や特異点論の分野において，その系自体がタル. らに，カスプのカタストロフィーがどのような現. ッキー・ザイデンベルクの定理とよばれて用いら. 象であるかを示す有名な教具の「ジーマンのカタ. れることが多い．また，半代数的写像に関連して. ストロフィーマシン」を実際に作成し，考察ナる．. ロジャシェヴィッツの不等式を第2節で，半代数的. 続いて，考察する際に必要な用語を定義し，7つの. 集合は有限個の半代数的な連結成分に分解される. 初等カタストロフィーについて述べる．さらに，そ. ことを第3節で述べる．これで一般の場合の課題. の7つのカタストロフィーのうちの，カスプとつ. を示す準備が整い，第2章の終わりに，この章で. ばめの尾を取り上げ，それぞれの分岐集合が代数. 取り扱った半代数的集合の性質を用いて，課題の. 的集合であるかどうかを議論する．. 一般的な場合における肯定的な解答を与える、. 4節では，初めに筆者が最も興味をもった「ワッ. 第3章には，半代数的集合の幾何学という観点. ト曲線」が6次の代数曲線であることの証明の中軸をなすいくつかの命題について，高校数学に復. から，r半代数的集合は有限三角形公害11を許容する」. という定理について解説する．. 帰する複素平面を用いた証明と，複素平面を用いない初等幾何学的な証明との二つを与える．また，. 主任指導教員小池敏司. ワット曲線を描く器具を作成し，条件を変えるこ. 指導教員小池敏司.

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