乱流の大規模直接シミ
$=_{-}$
レーシ
$\text{ョ}$ン
航技研
山本稀義
(
K.
$\mathrm{i}\mathrm{y}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\mathrm{i}$ $\mathrm{Y}$a
$\mathrm{m}$a
$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{o}$)
電通大細川
巌
(
Iwao
Hosokawa)
生出伸
$-$
$( \mathrm{S}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{n}-\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{i} 0\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e})$佐藤
司
(
$\mathrm{T}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{k}$a
$\mathrm{s}$a
$\mathrm{S}$a
$\mathrm{t}\mathrm{o}$)
1
は
じ
め
に
計算機の発達に伴
$\text{っ}$て
$\mathrm{C}$ $\mathrm{F}$ $\mathrm{D}$の役割は益
$\text{々}$増大し
$\text{、}$
現在で
は理論及び実験と並ぶ第
3
の重要な研究ツ
$\text{ー}$ルとな
$\text{っ}$
てきた。
の様な
$\mathrm{C}$ $\mathrm{F}$ $\mathrm{D}$発展の源とな
$\text{っ}$ている計算機は
$\text{、}$
近年
$\text{、}$並列
計算機の開
-発 によ
$\text{っ}$
てその性能が飛躍的に向上した。航空宇
宙技 術研究所では
1993
年に新しい並列計算機である数値風洞
$(\mathrm{N} \mathrm{W} \mathrm{T} )$
を開発したが
1
)
$\backslash$その理論的ピ
$\text{ー}$
ク速度は
270
ギガフ
$\text{ロ}$.
$\backslash \backslash \text{ノ}$.
プスに到達している。:
こ
の様な状況において
$\tau$乱
流研究についても高精度なスベクトル法による直接数値シミ
$=$
.
レ
$\text{ー}$シ
$\exists$
ン
$(\mathrm{D} \mathrm{N} \mathrm{S} )$
が有効な成果を挙げるようにな
$\text{っ}$て
きた
2
)
$\circ$一様等方性乱流の
$\mathrm{D}$ $\mathrm{N}$ $\mathrm{S}$はこれまでその時代の最先端の計
算機を用いて挑戦されてきた。近年の大規模
$\mathrm{D}$ $\mathrm{N}$ $\mathrm{S}$の例とし
ては
$\text{、}$ベクトル計算機によ
$\text{っ}$
て空間格子点数
128a
の
$\mathrm{D}$ $\mathrm{N}$ $\mathrm{S}$が
$\text{、}$$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{r}(1985)3$
$)$によ
$\text{っ}$て強制乱流について
(1988)
4
)
によ
$\text{っ}$て減衰乱洗について行われた。また
$\text{、}$
並列
計算機では
$\text{、}$V
$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}$
河
&
$\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{u}\mathrm{z}\mathrm{z}\mathrm{i}$(1991)
5
)
によ
$\text{っ}$
て強制
乱流の格子点数
2563
の
$\mathrm{D}$ $\mathrm{N}$ $\mathrm{S}$が
$\text{、}$
続いて
$\text{、}$$\mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{n}$ $\mathrm{e}\mathrm{t}$
a1(1993)
6
)
及び
$\mathrm{J}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{z}$ $\mathrm{e}\mathrm{t}$a1(1993)
7
)
等によ
$\text{っ}$て
5123
の
$\mathrm{D}$ $\mathrm{N}$ $\mathrm{S}$が
行われた。ここでは
$\text{、}$筆者等
(1994)
が
$\mathrm{N}\mathrm{W}\mathrm{T}$
を使用して行
$\text{っ}$た格子点数
5123
の減衰乱流の
$\mathrm{D}$ $\mathrm{N}$ $\mathrm{S}$について
$\text{、}$
その並列計算
法及び得られた最近の計算結果について述べる
8
9
)
$\epsilon$2
基礎方程式
流れの周期性を仮定し
$\text{、}$速度場
u(x,t)
を
$\mathrm{u}(\mathrm{x},t)=\mathrm{E}\mathrm{u}(\mathrm{k},t)\exp(i\mathrm{k}\cdot \mathrm{X})$
(1)
’.
1
.
とフ
$\text{ー}$リエ級数展開すると
(
以下では必要の無い限り変数
$t$
.
は省略する
)
$\tau$ $\mathrm{u}(\mathrm{k})\text{の}$基礎方程式はナビエ.
スト
–
クス方程
$\mathrm{L}$式から
$\frac{\partial \mathrm{u}(\mathrm{k})}{\partial t}=-i\mathrm{z}^{\mathrm{u}}(\mathrm{k}^{\mathrm{I}})\mathrm{k}\cdot \mathrm{u}(\mathrm{k}-\mathrm{k}^{\mathrm{I}})-ip(\mathrm{k})-\frac{k^{2}}{R}\mathrm{u}(\mathrm{k})$
(
2
)
と導かれる。ここで
$\text{、}$p(k)
は
圧力
$\text{、}$R
は
初期乱流に基づいて定
義されるレイノルズ数である。ここではさらに
$\text{、}$受動的スカ
ラ
$\text{ー}$として温度場
0(x)
を
取り・扱
うとそのフ
$\text{ー}$リエ成分の方程式
は同様に
$\frac{\partial\Theta(\mathrm{k})}{\partial t}=-i\sum 6(\mathrm{k}^{\dagger})\mathrm{k}\cdot \mathrm{u}(\mathrm{k}-\mathrm{k}^{\dagger})-\frac{k^{2}}{RP_{r}}\Theta(\mathrm{k})$
(3)
となる。ここで
$\text{、}$P
は
プラントル数である。
また
$\text{、}$非圧縮条件は
$\mathrm{k}\cdot \mathrm{u}(\mathrm{k})=0$
(4)
となる。これはフ
$\text{ー}$リエ成分
u(k)
に
たいする束縛条件と考え
られるが
$\text{、}$これを満たすため
$\text{、}$u(k)
を
k
に
垂直な平面に射影し
する。すなわち
$\text{、}$ $\mathrm{k}$に垂直な
2
つの単位ベクトルを
$\mathrm{e}_{1},$$\mathrm{e}_{2}$を
$\mathrm{e}_{1}(\mathrm{k})=[\frac{k_{X}k_{\mathrm{z}}}{kl},$
$\frac{k_{y}k_{\mathrm{z}}}{kl}$,
$- \frac{l}{k}]$
(5)
$\mathrm{e}_{2}(\mathrm{k})=[-\frac{k_{y}}{l},$
$\frac{k_{X}}{l}$,
$0]$
(6)
と定義し
$(l^{2}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}, )\backslash$
$\mathrm{u}(\mathrm{k})=\mathrm{e}_{1}\eta_{1}(\mathrm{k})+\mathrm{e}_{2}\eta_{2}(\mathrm{k})$
(7)
と表せば良い
$\mathrm{o}$ $\eta_{\mu^{(\mathrm{O}}}$基礎方程式は
$\frac{\partial\eta_{\mu}}{\partial t}=\mathrm{e}_{\mu}$.
$\frac{\partial \mathrm{u}}{\partial t}$$\mu=1,2$
(8)
と与えられる。
これらの方程式の計算には差分法に比べて計算精度の良い
フ
$\text{ー}$リエスペクトル法が使用されるが
$\text{、}$時間方向の積分に
も精度の良い
$\mathrm{R}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{e}-\mathrm{K}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{t}$a–G
$\mathrm{i}11$
法が使用される
2
)
$0$
乱流
の初期条件はエネルギ
$\text{ー}$及び温度変動の分散
$/12\langle\Theta(\mathrm{x})^{2}\rangle \text{の}$スペク
$E(k)= \frac{16}{3}(\frac{2}{\pi})^{/_{2}}k^{4}\mathrm{e}\mathrm{x}1\mathrm{p}(-2k^{2})$
(9)
と与え
$\text{、}$これを実現する流れのアンサンブルのフ
$\text{ー}$リエ成分
を正規乱数によ
$\text{っ}$て発生させる
4
)
$\circ$3.
並列計算法の説明
(2).
(3)
式の右辺のコンボリ
$\text{ュ}$ $\text{ー}$シ
$\exists$ンを高速フ
$\text{ー}$リエ変
換
$(\mathrm{F} \mathrm{F} \mathrm{T})$
で効率的に計算するのがフ
$\text{ー}$リエ.
スペクトル
法の鍵であ
$\text{る}$.
$2$)
。その結果
$\text{、}$これらの式の計算時間はほとん
ど
3
次元デ
$\text{ー}$タ
$\mathrm{u}(\mathrm{k})_{\text{、}}$0(k)
等
の
$\mathrm{F}$ $\mathrm{F}$ $\mathrm{T}$の計算に費やされる。し
たが
$\text{っ}$て
$\text{、}$
計算コ
$\text{ー}$ドの並列化の中心はこの様な
$\mathrm{F}$ $\mathrm{F}$ $\mathrm{T}$の並
列化に帰着するので
$\text{、}$これについて述べる。
$\mathrm{N}$ $\mathrm{W}$ $\mathrm{T}$
はべクトル型の要素計算機
$(\mathrm{P}\mathrm{E})$
162 台からなる並
列計算機である。したが
$\text{っ}$て
$\text{、}$$\mathrm{N}\mathrm{W}\mathrm{T}$
の性能を最大限に発揮
させるためには
$\text{、}$計算の並列化と共にベクトル性能も最大に
発揮させることが必要である。また
$\text{、}$PE
間 のデ
$\text{ー}$タ転送速度
は
$\mathrm{P}\mathrm{E}$内の演算速度に比べて非常に遅いので
$\text{、}$ $\mathrm{P}\mathrm{E}$間に渡る演算
は出来るだけ少なくすることも重要である。
.
これらに留意し
て並列計算を効率的に行うために
$\text{、}$ここでは
$\mathrm{u}(\mathrm{k})\text{の}$3
次元的
構造に着目し
$\backslash$$\mathrm{F}$ $\mathrm{F}$ $\mathrm{T}$
演算
$\text{、}$
ベクトル演算及び並列化のため
の領域分割の
3
つの演算を
3
次元空間の
$\mathrm{x}$,
$\mathrm{y}$,
$\mathrm{z}$軸にそれぞ
れに割り当てる。例えば
$\text{、}$今
$\text{、}$$\mathrm{z}$
軸で領域分割したとすると
$\text{、}$$\mathrm{x}$
および
$\mathrm{y}$軸方向の
$\mathrm{F}$ $\mathrm{F}$ $\mathrm{T}$
計算に必要なデ
$\text{ー}$タは全て同
–
PE
内にあるので
$\text{、}$これらの方向の
$\mathrm{F}$ $\mathrm{F}$ $\mathrm{T}$
は高速なベクトル計算
が実現出来る。しかし
$\text{、}$$\mathrm{z}$
軸方向の
$\mathrm{F}$ $\mathrm{F}$ $\mathrm{T}$はこの通りにはい
かない。 この場合は
$\text{、}$デ
$\text{ー}$タの分割軸を例えば
$\mathrm{y}$軸に切り替
えることによ
$\text{っ}$て
$\text{、}$同様な高速計算が可能になる。この並列
計算法はアルゴリズムは全く簡単であるが
$\text{、}$ベクトル計算と
並列計算を全く独立に実行出来る利点がある
1
)
。
図
1
は
$\mathrm{N}\mathrm{W}$
$\mathrm{T}$による本
$\mathrm{D}$ $\mathrm{N}$ $\mathrm{S}$の並列計算の実測性能を示す。
横軸は使用された PE
台
数を示し
$\text{、}$縦軸は
$\text{、}$本
$\mathrm{D}$ $\mathrm{N}$ $\mathrm{S}$
の計算が
単位時間ステ
$\text{ッ}$プ進むのに必要な
$\mathrm{C}\mathrm{P}\mathrm{U}$
時間
(
秒
)
を示す。
ま
$\underline{\Phi \mathrm{O}}$
.
$|\mathrm{E}$
1
$\mathrm{D}$ $\mathrm{N}$ $\mathrm{S}$$\{D$
プログラムの
$\Phi\in$並列計算性能
.—
Q)
縦軸は
$\mathrm{D}$ $\mathrm{N}$ $\mathrm{S}$ $.\underline{\in}$が単位時間進
1
むのに必要な
$\mathrm{L}$$\mathrm{C}$ $\mathrm{P}$ $\mathrm{U}$
時間を
$\mathrm{O}$あらわし
$\mathrm{Y}$ $\mathrm{N}$ $\mathrm{P}$ $\mathrm{E}$は使用
された
$\mathrm{P}\mathrm{E}$台
数
を表す。
$\mathrm{N}_{\mathrm{P}\mathrm{E}}$た
$\text{、}$ $\mathrm{O}$$\text{、}$ $\triangle$
等の記号は
$\mathrm{D}$ $\mathrm{N}$ $\mathrm{S}$が実行される空間格子点数を示
している。本研究では最大の
5123
の
$\mathrm{D}$ $\mathrm{N}$ $\mathrm{S}$は
128
台の
$\mathrm{P}\mathrm{E}$を使
用して可能とな
$\text{っ}$たが
$\text{、}$その実行計算速度は
90
ギガフロ
$\text{ッ}$プ
スに到達し
$\text{、}$これは理論的ピ
$\text{ー}$ク性能に対して約
42%
の効率
である。この結果
$\text{、}$1
回の
$\mathrm{D}$ $\mathrm{N}$ $\mathrm{S}$
に要する全計算時間は約
24
時間とな
$\text{っ}$た。
4.
減衰等方性乱流の性質
等方性乱流研究の主たる目的は乱流の微細変動における普
遍的力学法則を明らかにすることである。以下では本
$\mathrm{D}$ $\mathrm{N}$ $\mathrm{S}$の計算デ
$\text{ー}$タを数値解析して得られた乱流のいろいろな力学
法則について述べる。
4. 1
エネルギ
$\text{ー}$スペクトル
図
2
は流れのエネルギ
$\text{ー}$スペクトル
$E_{u}(k)\text{の}$
時間的発達の結
果を示す。初期に低波数領域に与えられた乱れのエネルギ
$\text{ー}$が時間と共に高波数領域に流れて
$\text{、}$発達した乱流スペクトル
が実現されることが分かる。そして
$\text{、}$ $\mathrm{t}$が
10
でエネルギ
$\text{ー}$ス
ペクトルの高波数領域の値は最大になり
$\text{、}$その後は全領域で
ほぼ単調に減衰する。この
$t=10$
で得られたエネルギ
$\text{ー}$スペク
トルには波数の中間領域
(
$k$
が
$3\sim 30$
の範囲)
で巾乗則
$(\sim$
$\angle$ $\tau\aleph$
へ
$\mathrm{o}\langle$ $\vee\sigma$’
$\uparrow\langle$ミ
彪
ム
$\text{ノ}\backslash 8$ $\nwarrow$ $\mathrm{Q}$遡
$\circ\langle$綿甲
$\uparrow\langle$遡鐙目
附麗辱
駕盤
$\underline{\}i}$ $arrow \mathfrak{t}\mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{Q}\ovalbox{\tt\small REJECT}+\backslash$$\Delta\backslash \lrcorner 0_{\backslash }’-$
,
1
旨
の
図
ム
如
$\angle$ $\sigma)$ $\nwarrow$ $\circ\langle$ $\triangle\backslash$ $\uparrow\langle$ム
$|$へ
聯
て
全遡
$\uparrow\langle$$*$
輝
$\ovalbox{\tt\small REJECT}$ $\mu_{1}\mathrm{E}$辱
$\not\leq$窪
$\ovalbox{\tt\small REJECT}$ $\}\mathrm{r}arrow$盤外
$+\backslash$ $\mathrm{Q}\lrcorner 0_{-,\backslash }’$’1
旨
$\mathrm{c}\triangleleft$$k^{-/_{3}}5$
:
コルモゴロフ
スペクトル)
が観測される。したが
$\text{っ}$て
$t=10$
の流れは本
$\mathrm{D}$ $\mathrm{N}$ $\mathrm{S}$で得られた流れの中で最も発達した乱
流速度場と考えることが出来る。その時テイラ
$\text{ー}$のマイクロ
スケ
$\text{ー}$ルレイノルズ数は
159
で
ある。
他方
$\text{、}$図
3
は温度の分散
$/12\langle\Theta(\mathrm{x})2\rangle \text{の}$
スペクトル
$E_{8}(k)\text{の}$
時間的
発達を示す。この場合高波数領域の値が最大のスペクトルは
t=7 で
得られる。また
$\text{、}$エネルギ
$\text{ー}$スペクトルと同様に慣性
領域の
$k^{-/_{3}}5$
則が
$\mathrm{B}$a
$\mathrm{t}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}$に
よ
$\text{っ}$て予測されているが
$\text{、}$
$t=7$
のス
ペクトルでは必ずしも明確ではない
$\circ$4. 2
速度場の確率分布
$\mathrm{D}$ $\mathrm{N}$ $\mathrm{S}$
によ
$\text{っ}$て得られた発達した乱流速度場のデ
$\text{ー}$タより
$\rangle$速度場のいろいろな確率分布が計算出来る。まず
$\text{、}$速度の確
率分布ついては従来の理論や実験からガウス分布になること
が知られているが
$\text{、}$図
4
に示す様に
$\text{、}$$\mathrm{D}$ $\mathrm{N}$ $\mathrm{S}$
の結果もこれと
良く
–
致する
$\dot{l}$ –方
$\text{、}$渦度やエネルギ
$\text{ー}$散逸等速度の微分に
関する確率分布については指数関数となることが報告されて
いる
1
$0$
)
$\text{。}$図
5
は本
$\mathrm{D}$ $\mathrm{N}$ $\mathrm{S}$
によ
$\text{っ}$て得られた速度の縦微分
昏
濠
$\mathrm{e}$ $\aleph$ $c\circ$ $\backslash \Phi\approx$傘
$K_{\backslash }$題
心
驚
兼
$\mathrm{C}$楚
遡樽纏
蝦魚蝋
ゆ
区
$(^{x_{\theta}}/n_{\Theta})I$
ト
終
如
1
$\text{ノ_{}\mathbb{R}^{*}}\backslash \backslash$$**\mathrm{I}<$
$\ovalbox{\tt\small REJECT}\{\backslash$ $\mathrm{Q}\prime \mathrm{R}$$\Im$
セ
遡纏
蝦蝋
寸
図
4.
3
乱流の空間的微細構造
流れの瞬間デ
$\text{ー}$タを時空間で得られるのが
$\mathrm{D}$ $\mathrm{N}$ $\mathrm{S}$の大きな
利点であるので
$\text{、}$$\mathrm{D}$ $\mathrm{N}$ $\mathrm{S}$
のデ
$\text{ー}$タから流のいろいろな時空間
微細構造が調べられてきた。その結果
$\text{、}$乱流渦度は空間的に
短い卵管領域に集中することが明らかにな
$\text{っ}$てきた
3
$-$
5
7
$-$
$9)$
$0$しかし
$\text{、}$この様な劇団生成の力学機構はまだ明確には
分か
$\text{っ}$ていない
$\circ$図
6
は乱流高渦度領域が空間的に集中する様子を乱流の発
達途中
$(\mathrm{t} = 5 )$
で可視化した結果である。渦度場はまずシ
-
ト状の渦層に引き伸ばされ
$\text{、}$その渦層の不安定性により渦
管に巻きあがることを示している。
図
7
は
$t=10$
で計算された発達した乱流の高細密領域を可視
化した結果で
$\text{、}$平均エンストフイの
5
倍の等値面を示す。
ほ
とんど細い渦管領域に集中している。この様な渦管はしばし
ば
$\mathrm{w}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{s}$と呼ばれている
4
7
$-$
9
11)
$0$図
8
に乱流温度場
$\Theta$の高温度領域を可視化した結果を示す。
温度場については
$\text{、}$その勾配
H=|\nabla 0|
の
高い領域が空間的にシ
$\text{ー}$ト状に集中することが知られているが
8
9
1
1
)
,
図の結果
もこれを示している。
仔如
蘇
餐
認
$\ovalbox{\tt\small REJECT}$扉
$\mathrm{r}_{\mathrm{C}\mathrm{I}}$$\sim$
$\{\mathrm{I}\mathrm{E}-rightarrow$ $\mathrm{Q}\underline{\mathrm{o}}$ $\mathrm{Q}$ $11$$\oplus\sim$
督
肝
\sim
騒
記下訟
翼黙 市
」ぽ町
遡
$\mathrm{Q}$楚
課攣下卜
駆弓
$|\vdash’\backslash$卜
区
如
@
@
$\triangleleft\approx\Psi$ $\triangleleft \mathfrak{W}_{\mathrm{n}}$ $\mathrm{R}$ $\infty\infty$$\Phi$
$\sim-$
櫨
^
$\mathrm{Q}$駕
$\mathrm{t}\mathrm{O}$鰹
記
$||$駆
$\mathrm{Q}\mathrm{b}$小
仔
$arrow$
市
蜘 \simeq 丁
$W\ovalbox{\tt\small REJECT}^{\mathrm{I}}$丁
朝置紫卜
$\mathrm{Q}$伍爬
$(o$
図
図
8
発達し
た乱流中の高
温度領域の可
視化
$( t=10)$
白線は全計算
領域の
1/8
$\text{領}$域を示す。
5
む
す
び
並列計算機数値風洞によ
$\mathcal{P}$て減衰等方性乱流の大規模
$\mathrm{D}$ $\mathrm{N}$ $\mathrm{S}$を行
$\text{っ}$
た。ナビ
$=\mathrm{L}$.
スト
$\text{ー}$クス方程式の計算にはフ
$\text{ー}$リ
エスペクトル法が使用されたが
$\text{、}$計算の並列化の方法につ
いて述べた。
$\mathrm{D}$ $\mathrm{N}$ $\mathrm{S}$によ
$\text{っ}$
て得られた計算デ
$\text{ー}$タを数値解析
して
$\text{、}$乱流のエネルギ
$\text{ー}$スペクトルや速度場の確率分布を明
らかにした。また
$\text{、}$乱流高渦度場が空間的に微細な渦管領域
に
$\text{、}$温度勾配の強い領域がシ
$\text{ー}$ト状領域に集中する結果を得
た。
参
考
文
献
1)
山本稀義:
航技研数値風洞と乱流の数値シミ
$2_{-}$レ
$\text{ー}$シ
$\exists$ン
$\text{、}$ながれ
$\text{、}$14
(1995)
353.
2)
$\mathrm{C}$a
$\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{o}$,
C.
$\mathrm{e}\mathrm{t}$a1
:
$SpeC\tau xa\mathit{1}$
Me th
$ods$
in
$FluidD_{Y^{lI\mathit{8}J\dot{\Pi}}}i_{C}s\cdot(\mathrm{S}_{\mathrm{P}^{\mathrm{r}}}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{r}-$
V
$\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{l}$a
$\mathrm{g}$,
$\mathrm{N}$
ew
$\mathrm{Y}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{k}$,
1988).
3)
$\mathrm{K}$err,
R. M.
:
$\mathrm{H}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}$Or
$\mathrm{d}$er
$\mathrm{d}$er
$\mathrm{i}\mathrm{v}$a
$\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}$ $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{l}$a
$\mathrm{t}\mathrm{i}$on
an
$\mathrm{d}$th
$\mathrm{e}$a
1
$\mathrm{i}$
gnme
$\mathrm{n}\mathrm{t}$ $\mathrm{o}\mathrm{f}$ $\mathrm{s}\mathrm{m}$all-s
$\mathrm{c}$a1
$\mathrm{e}$ $\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}$ $\mathrm{i}\mathrm{n}$ $\mathrm{i}_{\mathrm{S}\mathrm{O}\mathrm{t}\mathrm{O}\mathrm{D}}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{c}$ $\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{c}$a1
$\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{b}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{C}\mathrm{e}$,
J.
$\mathrm{F}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{i}\mathrm{d}$ $\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}$.
,
153
(1985)
31.
4)
$\mathrm{Y}$a
$\mathrm{m}$a
$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{o}$,
K.
a
$\mathrm{n}\mathrm{d}$ $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{k}$a
$\mathrm{w}$a,
I.
:
A
$\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{c}$
a
$\mathrm{y}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}$I
$\mathrm{S}\mathrm{O}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{P}^{\mathrm{i}\mathrm{c}}$ $\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{b}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{e}$Pursued by
the
Spectral Method,
J.
Phys
Soc
Japan,
57
(1988)
1532.
5)
V
$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}$,
A
a
$\mathrm{n}\mathrm{d}$Me
$\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{u}\mathrm{Z}\mathrm{z}\mathrm{i}$,
M.
:
Th
$\mathrm{e}$ $\mathrm{s}\mathrm{p}$a
$\mathrm{t}\mathrm{i}$
a1
$\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{C}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{e}$an
$\mathrm{d}$ $\mathrm{s}\mathrm{t}$a
$\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{i}-$ $\mathrm{c}$a1
$\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{P}^{\mathrm{e}\mathrm{r}}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{s}$ $\mathrm{o}\mathrm{f}$ $\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{s}$ $\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{b}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{e}$,
J.
$\mathrm{F}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{i}\mathrm{d}$ $\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}$.
,
225
(1991)
1.
6)
Ch
$\mathrm{e}\mathrm{n}$,
S.
$\mathrm{e}\mathrm{t}$a1
:
0
$\mathrm{n}$$\mathrm{s}\mathrm{t}$
a
$\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}$a1
$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{l}$a
$\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}$ $\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{w}\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{n}$ $\mathrm{v}\mathrm{e}1_{\mathrm{o}\mathrm{C}}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{y}$$i\mathrm{n}-$
crements and locally
averaged
dissipation
inhomogeneous turbulence,
Phys
Fluids A
5
(1993)
458.
7)
$\mathrm{J}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{Z}$,
J.
$\mathrm{e}\mathrm{t}$a1:
$\mathrm{T}\mathrm{h}\mathrm{e}$ $\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{e}$ $\mathrm{o}\mathrm{f}$ $\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{S}\mathrm{e}$ $\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{i}_{\mathrm{C}}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{y}$ $\mathrm{i}\mathrm{n}$ $\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{P}\mathrm{i}_{\mathrm{C}}$ $\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{b}\mathrm{u}\mathrm{l}$en
$\mathrm{C}\mathrm{e}$,
J.
Flu
$\mathrm{i}\mathrm{d}$
Me
$\mathrm{c}\mathrm{h}$.
255
(1993)65.
8)
$\mathrm{Y}$amamo
$\mathrm{t}\mathrm{o}$,
K.
:
$\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{C}\mathrm{t}$Num
$\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{c}$a1
$\mathrm{S}\mathrm{i}$mula
$\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$ $\mathrm{o}\mathrm{f}$I
$\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{P}\mathrm{i}\mathrm{c}$ $\mathrm{T}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{b}\mathfrak{U}1\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{e}$-U
$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}$ $\mathrm{N}\mathrm{A}\mathrm{L}$Nu
$\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{c}$a1
$\mathrm{W}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}$ $\mathrm{T}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{e}1$,
$\mathrm{i}\mathrm{n}$Para
11
$e\mathit{1}$Comp
$u$
ta
$ti_{\mathit{0}}na\mathit{1}$
$Flu\mathit{1}d$
Dynarn
1
$CS$
.
Ne
$w$
A lgori
$t\mathrm{A}ffJs$
and
$App\mathit{1}ic\mathit{8}\tau i_{\mathit{0}}nS$
(
$\mathrm{E}\mathrm{d}\mathrm{s}$.
$\mathrm{S}$a
$\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{u}$ka
, N.
$\mathrm{e}\mathrm{t}$ $\mathrm{a}1$,
Elsevier
Science,
1995)
13.
9) 山口博他
:
等方性乱流の微細構造の可視化
$\text{、}$第
9
回数値
流体力学シンポジ
$\text{ュ}$ウム講演論文集
(1995)
167.
10)
$\mathrm{Y}$amamo
$\mathrm{t}\mathrm{o}$,
K. a
$\mathrm{n}\mathrm{d}$ $\mathrm{K}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}\mathrm{e}$,
$\mathrm{T}$:
$\mathrm{G}$a
$\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{i}$a
$\mathrm{n}$a
$\mathrm{n}\mathrm{d}$ $\mathrm{n}\mathrm{e}$a
$\mathrm{r}-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{P}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}$a1
$\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}$a
$\mathrm{b}\mathrm{i}1-$ity
distributions of turbulence obtained from a numerical
simula-tion,
Fluid
Dynam
Research
.
Vol. 8
(1991)
65.
11)Ru
$\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}$,
G.
R.
a
$\mathrm{n}\mathrm{d}$ ${\rm Max} \mathrm{e}\mathrm{y}$,
M. R.
:Sma
ll-s
$\mathrm{c}$a1
$\mathrm{e}$ $\mathrm{f}\mathrm{e}$a
$\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}$ $\mathrm{o}\mathrm{f}$
$\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{i}_{\mathrm{C}}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{y}$
