1次元多都市システムにおける人口集積パターンの創発メカニズム
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(2) 土木学会論文集D Vol.66 No.4,442-460,2010.11. and Ottaviano7) の 2 都市 CP モデルを多都市システム の枠組みに拡張する．そして，その短期均衡状態が解析. b) D と対象モデルの効用関数 Jacobi 行列の関係， さえ明らかにすれば，モデルで創発しうる空間的な集. 的に得られることを示す (第 2, 3 章)．この多都市 CP. 積・分散パターンを完全に把握できる．この事実は，本. モデルの特性を把握する上での最大の難所は，均衡解. 稿で具体的な分析例を示す CP モデルに限られたこと. の分岐 (集積パターンの創発) 現象にある．すなわち，. ではなく，集積経済による空間的パターン形成を表現. CP モデルでは，輸送費用パラメータの低下にともない， 人口が各都市に分散した均衡状態から少数の都市に集 積した均衡状態へと分岐する．NEG 分野の多くの研究. する一連のモデルで一般的に成立する．. が 2 都市モデル解析に留まっている最大の理由は，多. B) は，どのような集積パターンが創発しうるかを判定 するための指標が，離散フーリエ変換 (Discrete Fourier Transformation (DFT)) によって，極めて単純かつ直. 都市 CP モデルにおける分岐解析の困難さ (標準的な解. 接的な形で得られることを意味している．そのより具. 析手法の欠如) にある．その問題に対し，本稿では，こ. 体的な意味と重要性は以下のとおりである．. の分岐の基本的な仕組みは，以下で説明する分析法を. まず，集積パターンの創発可能性を判定するためには，. 用いれば，容易に理解できることが示される (第 4, 5,. 一般に，均衡条件を満たす複数の集積・分散パターンの. 6 章)．さらに，計算分岐理論に基づいた系統的な数値 実験によって，より詳細な集積・分散パターンも明ら. うち，安定的に実現可能な解を抽出する必要がある．例. かにされる (第 7 章)．. ム理論分野でよく知られた “Replicator Dynamics” に. えば，標準的な NEG 研究では，数理生態学や進化ゲー よる均衡解への調整ダイナミクスを仮定し，解の局所的. (2). 本研究で提示するアプローチの特徴. 安定性を考える (本研究では，Replicator Dynamics に. 本稿の基本的な目的は，多都市 CP モデルの一般的. 代え，最近の進化ゲーム理論研究によってより良い特性. な特性を明らかにすることであるが，その眼目は，CP. があることが知られている “Perturbed Best Response. モデルの解析だけにあるのではない．むしろ，本研究. Dynamics” を採用する)．この考え方で安定性を判定す. の特徴は，集積経済を扱う様々なモデルの特性を統一. るためには，調整ダイナミクスの Jacobi 行列固有値を. 的に理解するための汎用性の高い分析法を (CP モデル. 知る必要がある．すなわち，ある均衡点での全固有値. の解析を例として) 提示している点にある． A) 空間割引行列,. (実部) が負であれば，その解は安定である; そうでない 場合，その解は不安定であり，大きな固有値を持つ固 有ベクトル方向へ向かうことが判る．さらに，この固. B) 離散フーリエ変換,. 有値をモデルの鍵パラメータ (e.g. CP モデルでは輸送. C) 円周都市システム,. 費用パラメータ) の関数として表現できれば，パラメー. 本稿で提示する分析法は，次の 3 つの鍵概念：. で特徴づけられる．実際，これらを組み合わせれば，CP. タ変化に伴い特定の集積パターンへの “分岐” が発生す. モデルに限らず，空間的な経済集積現象を表現する様々. るか否かを判定できる．. なモデルの特性を，極めて単純な方法で統一的に焙り. 本研究の第 4 章で明らかにされるように，CP モデル. 出すことができる．以下では，3 つの概念の意味を追い. では，この Jacobi 行列固有値は，空間割引行列 D の. ながら，本研究のアプローチを概観しよう．. 固有値の 2 次関数となる．従って，D の固有値さえ得. A) の “空間割引” は，産業・人口の空間的配置パター. られれば，CP モデルの持つ本質的特性を，非常に一般. ンは，経済的な集積力・分散力の各々の効果が空間的. 的に把握することができる．この固有値を明晰に解析. にどのように減衰するかに決定的に依存することを主. するための鍵が，離散 Fourier 変換 (DFT) である．た. 張している．より具体的には，本稿で扱う CP モデル. だし，DFT が D の固有値解析に威力を発揮できるの. では，ある都市で人口・企業数が増加した場合，その. は，次に説明する “円周都市システム” の条件と組合わ. 都市での生産財の多様性増加による集積力と競争激化. された場合である．. による分散力が発生する．そして，集積力・分散力の. C) は，円周上に多数の立地点 (都市) を並べるという 理想化 (単純化) された空間条件下での分析の重要性を 意味している．このような空間条件の設定は，Salop30) ,. 各々の影響は，財の輸送費用と空間的不完全競争 (独占 的競争) の存在から，当該都市のみならず，他の都市に も漏出 (spillover) する．その spillover の程度が空間的. Fujita et al.10) 以降の研究では， (一見，非現実的／限 定的条件に思われるせいか) その価値が十分には認識・ 活用されていないようである．しかし，この条件下で. な広がりとどの様な関係にあるかによって，産業・人 口の集積・分散パターンは決まる． この spillover 効果をモデル中で系統的に表現するた. の分析は，その意義が本稿でも具体的に示されるよう. めの基本部品が，“空間割引行列” である．そして，. に，空間的な経済集積パターンを表現する各種モデル. a) 空間割引行列 D の特性 (固有値)，および，. の特性を理解する上で，極めて重要である．以下では，. 443.
(3) 土木学会論文集D Vol.66 No.4,442-460,2010.11. この点をより具体的に説明しておこう．. a) Krugman22),23) , Fujita 24) Mossay , Tabuchi et. 集積経済現象を扱ったモデルでは，複数均衡や解の. et al.10) (Ch.6), al.34) , Picard and. Tabuchi27) b) Tabuchi and Thisse33) , Ikeda et al.19). 分岐といった複雑な現象が発生しうる．そのため，モ デルの挙動特性は，一般に，モデル自体が持つ本質的 特性とモデルの置かれた空間的境界条件の両者に依存. のみである．. する．実際，モデル自体は同一であっても，境界条件 見，全く異なった挙動を示しうる．にも関わらず，集. a) の Krugman22) では，Krugman21) のモデルに対し て，都市数を 12 とした場合に対する数値シミュレーショ ン例が示されている．しかし，特定パラメータに対す. 積経済モデルを分析した従来研究では，この 2 つを必. る 2 つの計算例，すなわち，極めて断片的な (空間的条. ずしも明確に峻別しないまま分析している (あるいは，. 件すら明記されていない) 計算結果を例示しているのみ. の設定を変えれば，表面上の均衡立地パターンは，一. この区別ができない (i.e. 空間が退化した) 2 都市モデ. であり，CP モデルの一般的な特性を系統的に提示する. ルを分析している) 場合が多い．それに対して，円周都. ものではない．Krugman23) , Fujita et al.10) (Ch.6) は，. 市システムでは，境界条件の影響を取り除き，モデル. Turing35) による方法を採用し，連続空間・円周都市の. 自体の持つ本質的特性を純粋な形で見ることができる． 従って，円周都市システムは，CP モデルに限らず，集. CP モデルにおける均衡解の挙動を解析している．しか し，その解析は，輸送費用の低下に伴い発生する，労. 積経済現象を扱った様々なモデルの挙動特性を統一的. 働者が各都市に均等に分散した均衡状態 (分散均衡状. に比較し，モデル間の関係を理解するための理想的な. 態) からの最初の分岐 (人口集積) 現象しか示すことが. “Testbed” (モデルの基本特性を試験するための “標準. できない．そのため，均衡解の大域的な分岐特性につ. 環境”) である．. いては，全く示されていない．さらに，分散均衡状態. さらに，円周都市システムでは，様々な空間経済モ. からの分岐点は，無限に広い空間を考える極端なケー. デルの分析が著しく容易になる．すなわち，この条件. スを除き，解析的に示されておらず，数値計算を併用. 下では，空間経済モデルの最重要部品である空間割引. して部分的に調べられているのみである．また，近年，. 行列 D が “巡回行列” となる．その結果，D の固有値. Mossay24) , Picard and Tabuchi27) は，連続空間・円周. は，その行ベクトルの DFT として解析的かつ容易に得. 都市の CP モデルにより，Krugman により得られた結. られる．しかも，DFT 行列の各行 (固有ベクトル) の. 果の頑健性を再検証している．Mossay は，都市選択に. パターンは，各都市への集積パターンと 1 対 1 対応し. 関して労働者に異質性がある場合を，理論的に分析し. ている．そのため，各固有値を見るだけで，どの集積パ. ている．Picard and Tabuchi は，輸送費用の関数形が. ターンが，どのような条件下で卓越するかを，極めて簡. 均衡パターンに与える影響を調べている．しかし，こ. 単に知ることができる．なお，円周都市システムの数. れらは，Krugman, Fujita et al. と同様の課題が残され. 学的に本質的な点は，空間的条件の設定が “周期境界”. たままとなっている．すなわち，分散均衡状態からの最. となっていることである．このような対称性の高い系. 初の分岐現象のみの部分的な解析に留まっている．ま. で成立する特性には，群論的分岐理論から保証される. た，Tabuchi et al.34) は，離散空間の多都市 CP モデル. 13). 一般性がある (e.g., Golubitsky and Schaeffer. )．こ. により，輸送費用の減少が都市規模・都市数に与える影. のことから，上記の特性は，1 次元空間に限られるもの. 響を分析している．しかし，この分析は，全ての都市. ではなく，“周期境界条件” であれば，2 次元空間でも. 間の輸送費用が同一であるという特殊なケースに限ら. 成立する．従って，本稿で具体的に示す理論は 1 次元. れている．. 空間に限定されていても，その考え方自体は，2 次元空. なお，NEG とはやや異なった都市群システムの枠組. 間 (広大な平野や大陸を表す空間) へも容易に拡張可能. で集積経済を扱った研究も存在する (e.g. 小林・奥村38) ,. である．. 上田・松葉40) , Mun25) , 奥村ら39) )．これらの研究では，. Krugman21) の CP モデルでは導入されていない外部経 (3). 従来研究と本研究の位置づけ. 済を考慮したモデルが示されている．しかし，いずれ の研究も，モデルの挙動に関しては，断片的な数値計. NEG 分野における CP モデルに関する研究は膨大で , Combes et al. , Fujita et al. , Fujita and Thisse , Glaeser12) , Henderson and Thisse16) 等の包括的レビューを参照)．しかし，NEG 勃. 算例しか示されてない．すなわち，これらの都市群シ. 興期の研究を除く大半の研究が，2 都市システムを対象. 結局，多都市 CP モデルの枠組みで，均衡解の分岐. 3). ある (e.g. Baldwin et al. 10). 5). ステム研究では，一般的な解の分岐特性やその分析法. 11). については，ほとんど未解明のままと言える．. とした解析に終始している．実際，2 以上の都市をもつ. (人口集積) パターンの一般的規則性を議論しているの. CP モデルを扱った研究は，我々の知る限り，. は，b) の Tabuchi and Thisse33) と Ikeda et al.19) (著. 444.
(4) 土木学会論文集D Vol.66 No.4,442-460,2010.11. 者らの研究グループ) のみである．Tabuchi and Thisse. 市・経済環境の設定を示した後，均衡条件を定式化す. は，Ikeda et al. とほぼ並行して独立に，1 次元円周都. る (モデルのより詳細な点は，Fujita et al.10) , Baldwin. 市システムにおいて輸送費用の低下とともに人口集積. (この結果が示す集積パターンの推移は第 6 章参照)．さ. et al.3) , Combes et al.5) などの教科書を参照)．ここで， Forslid and Ottaviano モデル（以降，FO モデル）と Pfl¨ uger モデル (以降，Pf モデル) は，消費者の効用関. らに，複数の産業がある場合に階層構造が創発するこ. 数が異なる以外，同様の構造をもつ．そのため，以下. とを計算例で示している．Ikeda et al. は，計算分岐理. では，FO モデルと Pf モデルを併記する．. の周期倍分岐パターンが存在しうることを示している. 論に基づき，系統的に分岐パターンを明らかにしてい るものの，解析的な分析法を提示している訳ではない．. (1). 以上の関連研究と比較した本研究の第 1 の貢献は，(2). a). 節で説明した方法により，集積経済モデルの分岐特性が. 都市・経済環境の設定 労働者. 本稿で考える労働者は，知識・技術水準に応じて skilled. 簡単に把握できることを明らかにした点にある．むろん， 出せば，従来からよく知られているものである．しかし，. worker と unskilled worker に分類されると仮定する． skilled worker は，高度な知識・技術を活かして，知識 集約的な作業に従事する労働者であり，自らが労働・居. 空間割引行列が集積経済モデルの分岐解析において本. 住する都市を選択できる．unskilled worker は，高度な. 質的役割を果たすことを明らかにし，その特性に基づく. 知識・技術を持たず，労働集約的作業に従事する労働者. 透明性の高い解析法を提示している点は，本研究の独創. である．また，すべての都市に一様に分布し，労働・居. このアプローチの鍵となる 3 つの概念を各々独立に取り. 33). である．Tabuchi and Thisse. においても，空間割引. 住する都市を選択できない．skilled worker，unskilled. 行列の重要性は (明示的には) 認識されておらず，実際，. worker の総人口は，各々，H, L であり，全都市に一様. その安定性解析では，CP モデルに特化した機械的な式. に分布する unskilled worker の各都市の人口が l = 1 と. の展開がなされているのみである (その結果，そこで示. なるように人口の単位を定義する．. されている Jacobi 行列は，Mathematica 以外には理解. b). 33). 不可能な複雑さとなっており，Tabuchi and Thisse. 都市経済システム. で. 離散的な K 個の都市が存在する都市経済システムを考. 示された “証明” の妥当性を確認することは，ほほ不可. える．この経済には，農業部門と工業部門の 2 部門が存. 能である)．それに対して，本研究で示されたアプロー. 在する．農業部門は，収穫一定の技術により，unskilled. チに基づく CP モデルの解析は，単純明快であり，そ. worker の労働を生産要素として 1 種類の同質な財を生 産する完全競争的な部門である．工業部門は，収穫逓. の解析過程や結果の妥当性の確認も容易である． 本研究の第 2 の貢献は，多都市 CP モデルの一般的な. 増の技術により，skilled 及び unskilled worker の労働. 分岐特性を明らかにしている点である．本稿では，まず，. を生産要素として，差別化された財を生産する独占競. 従来研究では 2 都市の場合しか示されていない Forslid. 争的な部門である1 ．ある都市で生産された財は，隣接. 7). 28). and Ottaviano ・Pfl¨ uger の CP モデルを多都市の枠 組みに拡張した上で，その短期均衡解が解析的に表現 できることを示している．その上で，消費者が均質な場. する都市間を結ぶ交通ネットワークにより他の都市へ 輸送することができるため，どの都市でも消費するこ とができる．. 合と異質な場合の両者について，均衡状態の分岐特性. (e.g. 集積創発条件) を解析的に明らかにしている (多都. (2). 市 CP モデルの一般特性を議論している Tabuchi and 33). 消費者行動. 都市 i の消費者は，効用関数 Ui (CiM , CiA ) を所得制. 19). Thisse , Ikeda et al. は消費者が均質な場合のみを 解析している)．さらに，本稿では，解析的なアプロー. 約 Yi の下で最大化するように，工業財と農業財の消費 量 CiM , CiA を決定する:. チに加え，計算分岐理論に基づいた数値計算も併用し，. max Ui (CiM , CiA ) ∑∫ A pij (k)qij (k)dk = Yi , s.t. pA C + i i. (消費者が異質な場合の) 複雑な派生的分岐によって生. CiM ,CiA. じる集積・分散パターンを系統的に解明しており，これ も従来研究には無い新たな知見である．. j. (1) (2). k∈Nj. [FO モデル2 ]: Ui = µ ln CiM + (1 − µ) ln CiA. 2.. 短期均衡状態のモデル. 1. 本稿では，Forslid and Ottaviano7) , Pfl¨ uger28) と全 2. く同一の仮定に基づく多都市 CP モデルの特性を調べ る．そのために，本章では，各々のモデルについて，都. 445. 「農業」 「工業」という言葉は，必ずしも文字通りに解釈する必 要はない．各々の部門の特徴である，収穫一定の技術を持つ完 全競争的な部門と，収穫逓増の技術を持つ不完全競争的な部門 の違いにのみ意味がある． 本研究では，以降の解析のために，Forslid and Ottaviano7) の 効用関数に対数をとった．ただし，これは単調変換であるため， 以降の解析結果の特性には全く影響しない．.
(5) 土木学会論文集D Vol.66 No.4,442-460,2010.11. 工業部門では，企業は Dixit-Stiglitz 型の独占的競争. Ui = µ ln CiM + CiA. [Pf モデル]:. ここで，µ ∈ (0, 1) は工業財への支出割合を表す定数，. を行う．すなわち，自由に参入・撤退できると仮定した. pA i. = 1 は都市 i における農業財の価格であり，ニュー メレールとする．k は，工業財の種類を表すインデック. 企業が，収穫逓増の技術により差別化された工業財を. スであり，常に工業財の種類が連続的かつ無限に存在す. びに供給できる財の種類に制限がないことから，どの. ると仮定するため，連続変数とする．pij (k), qij (k) は，. 企業も必ず他企業とは異なる種類の財を生産する．そ. 都市 j で生産され，都市 i で消費される工業財の種類. のため，生産を行う企業の数 ni は，供給される財の種. 毎の価格，消費量を表す．Nj は都市 j で生産された工. 類に等しい．また，企業が工業財を生産するためには，. 業財の種類 k を要素に持つ集合である．また，工業財. skilled worker の労働を α 単位と，生産量 xi (k) に応 じて unskilled worker の労働を βxi (k) 単位，生産要素. の消費量. CiM. 生産する．規模の経済，消費者の多様性の選好，なら. は，工業財の消費量 qij (k) を代替の弾力. 性 σ > 1 を用いて集計した， σ/(σ−1) ∑∫ qij (k)(σ−1)/σ dk CiM = . として投入する必要があると仮定する．この仮定から， 生産を行う企業の数 ni は，都市 i に居住する skilled. worker の人口 hi と次の関係を持つ:. (3). k∈Nj. j. ni = hi /α.. によって定義される．. また，工業財の生産費用関数 c(xi (k)) は，skilled worker. 上記の効用最大化問題を解くことにより，農業財・工 業財の消費量が価格. pA i , pij (k)，所得. Yi の関数として，. の賃金を wi とすると，. 次のように導出される:. c(xi (k)) = αwi + βxi (k). M [FO モデル]: CiA = [(1 − µ)/pA i ]Yi , Ci = (µ/ρi )Yi. qij (k) = sij (k)Yi , [Pf モデル]:. CiA. =. Yi /pA i. − µ,. =. 工業財の輸送には費用がかかると考える．この輸送. µpA i /ρi. qij (k) = sij (k). 費用は，氷塊費用の形をとると仮定する．すなわち，都 市 i, j 間で 1 単位の工業財を輸送すると，最初の 1 単. (5). 位のうち 1/ϕij 単位だけが実際に到着し，残りは解け. ここで，sij (k) は，. sij (k) ≡ µpA i {pij (k)}. −σ. ρσ−1 i. であり，ρi は，都市 i での工業財の価格指数: 1/(1−σ) ∑∫ ρi = pij (k)1−σ dk j. (12). と表現できる．. (4). CiM. (11). てしまうと考える．そのため，工業財の需要量 Qji (k). (6). と供給量 xi (k) との間に次の関係が成立する: ∑ xi (k) = ϕji Qji (k).. (13). j. (7). 工業部門では，Dixit-Stiglitz 型の独占的競争を仮定. k∈Nj. しているため，企業は価格指数 ρi ，消費者の需要関数. である．導出した工業財の消費量は，所得 Yi の消費者. (8), (9) を所与として自ら生産する工業財の価格 pji (k) を設定する．そのため，企業の利潤最大化行動は，次 のように定式化できる: ∑ max Πi (k) = pji (k)Qji (k) − c(xi (k)). (14). が消費する量である．そのため，都市 i 全体で消費する 都市 j で生産した工業財 k の消費量 Qij (k) は，skilled. worker の各都市の人口を h = [h0 , h1 , ..., hK−1 ]T とす ると，次のように表せる: [FO モデル]: Qij (k) = sij (k)(wi hi + 1),. (8). [Pf モデル]: Qij (k) = sij (k)(hi + 1).. (9). {pji (k)}. j. この企業の最適条件と工業財の需要関数 (8), (9) より， 工業財の価格 pji (k) が次のように導出される:. 農業部門では，unskilled worker の労働のみを生産要. σβ ϕji . (15) σ−1 この結果から明らかなように，工業財の価格は，財の. 素とし，同質な財を完全競争のもとで収穫一定の技術に. 種類 k には依存しない．そのため，Qij (k), xi (k) も同. より生産する．この場合，一般性を失うことなく，1 単. 様に，財の種類 k には依存しない．そこで，以降では，. 位の unskilled worker により，1 単位の財が生産される. k を省略し，pij , Qij , xi と表記する．. (3). pji (k) =. 生産者の行動と独占的競争. と基準化できる．したがって，限界費用原理から，農業 L 財の価格 pA i は，unskilled worker の賃金 wi と等しく. (4). 短期均衡条件と均衡解の導出. なる．また，農業財の輸送には費用がかからないと仮定. 都市経済システムにおいて，財の生産・消費量と賃. するため，どの都市においても農業財の価格，unskilled. 金，財価格は，skilled worker が移住できない程，短期. worker の賃金は等しい:. 間で均衡すると仮定する．この状態を “短期均衡状態”. L pA i = wi = 1. ∀i.. と呼ぼう．短期均衡状態では，企業の参入・撤退が自由. (10). 446.
(6) 土木学会論文集D Vol.66 No.4,442-460,2010.11. であることから，企業の利潤が常にゼロとなる3 ．した. 現しておこう．FO モデルの均衡賃金 w(h) は，式 (25). がって，skilled worker の賃金が次のように表せる: ∑ 1 wi = pji Qji − βxi . (16) α. より，. ]−1 µ µ[ I − M TH M T1 σ σ ∞ µ ∑ ( µ T )n T = M H M 1 σ n=0 σ [ ] ∞ ( ∑ µ µ T )n = I+ M H M T1 σ σ n=1. w(h) =. j. さらに，短期均衡状態では，工業財の市場清算条件 が成立する．工業財には輸送費用がかかるため，この 市場清算条件は，式 (13) で表わされる． 以上の短期均衡条件から得られる短期均衡解を示そ 入することで，また，skilled worker の均衡賃金 wi は， 式 (16) に価格指数 ρi ，式 (8), (9), (13), (15) を代入す. [FO モデル] ( ) dji µ∑ (wj (h)hj + 1), wi (h) = σ j ∆j (h) [Pf モデル] µ∑ wi (h) = σ j. (. dji ∆j (h). 位行列，1 は全ての要素が 1 の要素数 K のベクトルで ある． 式 (27) は，FO モデルの skilled worker の賃金に関 する波及効果を表している．これは，skilled worker の 賃金増加が工業財の消費量の増加をもたらし，さらに，. (17). 工業財の消費量の増加が skilled worker の賃金増加をも たらす，といった効果である．この FO モデルの均衡賃. (18). 金を (28) のように変形すると，FO モデル，Pf モデル 共に，均衡賃金 w(h) を次に示す同じ形式でまとめら れる:. ) (hj + 1).. (19). ) µ ( (H) w (h) + w(L) (h) , σ (L) w (h) = M T 1.. w(h) =. ここで，dij は都市 i, j 間の交易に関する条件を表わし，. dij ≡ ϕ1−σ ij ,. (28). となり，h の陽関数として表現できる．ここで，I は単. う．都市 i の価格指数 ρi は，式 (7) に式 (11), (15) を代. ることで，以下のように導出できる: ( )1/(1−σ) σβ ∆i (h) ρi (h) = , σ−1 α. (27). [FO モデル]. (20). ∆i (h) は都市 i の工業財市場の大きさを表わす指標で あり， ∑ ∆i (h) ≡ dij hj (21). w. (H). (h) =. [. ∞ ( ∑ µ n=1. σ. T. M H. )n. (29) (30). ] M T 1,. (31). [Pf モデル]. j. w(H) (h) = M T h,. と表わされる．そのため，dji /∆j (h) は，都市 i の企業. (32). が都市 j で獲得できる工業財市場のシェアの大きさを. すなわち，両モデルとも，均衡賃金 w(h) を，skilled. 表わす指標と考えられる．. worker の工業財消費により得られる賃金 w(H) (h) と unskilled worker の工業財消費により得られる賃金 w(L) (h) の和で表わすことができる．ここで，Pf モデ ルに注目すると，式 (32) から，このモデルには，skilled. 以上の結果は，都市間の交易に関する条件を表す空 間割引行列:. [ ] D = [dij ] ≡ ϕ1−σ ij. (22). worker の賃金に関する波及効果が存在しないことがわ かる．これは，Pf モデルには，式 (5) で示したように，. を利用することで，その数学的構造を明確にすること ができる．そこで，空間割引行列 D と，. ∆ ≡ diag[∆0 (h), ∆1 (h), ...] = diag[D T h] M ≡∆. −1. D,. H ≡ diag[h]. 工業財の消費量に所得効果が存在しないためである．. (23). 以上で示したように，skilled worker の賃金が skilled. (24). worker の人口 h の陽関数で表現できることから，次の 命題が得られる:. を利用して，式 (18), (19) で表わされる均衡賃金 w(h) を示す:. [FO モデル]: w(h) = (µ/σ)M T (Hw + 1),. (25). [Pf モデル]: w(h) = (µ/σ)M T (h + 1).. (26). 命題 1 FO モデル, Pf モデルともに，間接効用関数 v が skilled worker の各都市の人口 h の陽関数とし て表現できる．. ここで，次章以降の解析の便宜上，間接効用関数 vi を. [FO モデル]. [ ] v(h) = µS(h) + ln w(H) (h) + w(L) (h) (33). h の陽関数として表現しておく必要がある．そのため に，FO モデルの均衡賃金 w(h) を h の陽関数として表 3. [Pf モデル]. [ ] v(h) = S(h) + σ −1 w(H) (h) + w(L) (h) (34). この仮定は，NEG 分野で標準的に用いられる仮定である．その 詳細は，例えば，Fujita et al.10) , Baldwin et al.3) , Combes et al.5) などの教科書を参照．. 447.
(7) 土木学会論文集D Vol.66 No.4,442-460,2010.11. ここで，ベクトルの各要素に対数をとる場合，. (2). ln[w] ≡ [ln w0 , ln w1 , ...] と表記した．また，w. CP モデルは，都市数が少ない状況を取り扱った既存 研究3),10),11),16) でも明らかなように，安定・不安定な. T. (H). ,. w(L) は式 (30), (31), (32), S(h) は，次の通り定義 される: −1. S(h) ≡ (σ − 1). ln[Dh].. 均衡解の分岐と安定性. 均衡解が複数創発する．これは，安定 (不安定) 均衡解 が不安定 (安定) 均衡解に切り替わる瞬間に起こる分岐. (35). 現象によるものである．そこで，本節では，均衡解の. (証明: 付録 I 参照). 分岐や安定性を調べる方法を示そう．. この命題は，多都市システムの枠組みであっても空間. 均衡解の分岐や安定性を考えるためには，skilled. 割引行列 D を利用することで，FO, Pf モデルの間接 効用関数 v が h の陽関数で与えられるという，既存研. worker の人口分布が均衡状態へ到達するまでの調整過 程をモデル化する必要がある．ここでは，時点 t におけ. 究では全く知られていない結果を示している．. る人口パターン h が，以下の常微分方程式に従って変 化すると考える:. 3.. 長期均衡状態のモデル. (1). 労働者の都市選択行動と長期均衡条件. h˙ = F (h) = HP (h) − h.. (40). これは，進化・学習ゲーム理論分野でもよく知られてい る LOGIT 型の Perturbed Best Response dynamics で. 長期的には，skilled worker は，自らの得る効用を最 大化するように労働・居住する都市を選択することがで. ある9),17),29) ．このとき，均衡点 h∗ は，行列 ∇F (h∗ ). きる．そこで，skilled worker の都市選択及び移住行動. の固有値の実部が負であれば，(局所的) 安定となる．そ. が長期的に落ち着く状態を “長期均衡状態” と呼ぼう．. のため，Jacobi 行列 ∇F (h):. 本稿で構築するモデルでは，skilled worker の都市選. ∇F (h) = HJ (h)∇v(h) − I,. 択に対する選好に異質性があり，都市 i の個人 s の効. の固有値の実部の符号が変化する際に，均衡解 h が分岐. 用が， (s). (s). vi (h) = vi (h) + εi. (s) で与えられると仮定する．ここで，εi. (41). することがわかる．ここで，J (h), ∇F (h) は，各々，i, j. (36). 要素が ∂Pi (v)/∂vj , ∂vi (h)/∂hj の Jacobi 行列である．. は，個人 s に固有. の確定的効用項である．いま，各都市における skilled. 4.. 円周都市における純集積力. (s). worker 集団全体にわたる {εi , ∀s} の分布が (skilled. 本章では，第 2, 3 章で定式化された多都市 CP モデ. worker が十分多く存在するため，連続分布で近似でき) 互いに独立で同一の Weibull 分布に従うと仮定すると，. ルの特性を解析的に把握する方法を示す．多都市 CP. 都市 i を選択する skilled worker の割合 Pi (n) は，次の. モデルの特性を探る上での最重要ポイントは，均衡解. LOGIT 型の選択確率で与えられる:. の分岐 (e.g. 集積状態の創発) メカニズムである．この. exp(θvi (h)) Pi (h) = ∑ . j exp(θvj (h)). メカニズムを理解するためには，調整ダイナミクスの. (37). Jacobi 行列固有値が分岐パラメータ (e.g. 輸送費用) に 対してどのような特性を持つかを把握する必要がある．. ここで，θ ∈ (0, ∞) は，skilled worker の選好異質性. この具体的な解析は，一般には非常に複雑で，数値計. (ε(s) の分散) を反映したパラメータである．したがっ て，都市 i の skilled worker 人口 hi を決める長期均衡. 算に頼らない限り，ほぼ不可能である．しかし，第 (1) 節で定義する円周都市システムと第 (2) 節で示す空間割. 条件式は，次のように表わすことができる:. h = HP (h).. 引行列の固有値 f = [f0 , f1 , ...]T の特性 (命題 2) を活用. (38). すれば，この解析は，著しく容易になる．実際，第 (3). hj は skilled worker の総人口, P (h) = [P0 (h), P1 (h), · · · , PK−1 (h)]T である．. 節では，調整ダイナミクスの固有値が f の簡単な関数. ここで，H =. ∑. j. として表現できることが示される (命題 3)．. 長期均衡条件 (38) は，skilled worker が均質である. な お ，命 題 3 から 得 ら れ る 分 岐 臨 界 値 の 特 性 は. 場合を含んだ，一般的な均衡条件であることに注意が. Pfl¨ uger28) ・Forslid and Ottaviano7) の何れでもほぼ共 通であるため，区別の必要が無い限り，2 つのモデルを まとめて CP モデルと呼ぶ．また，以下では，表現の. 必要である．実際，θ → ∞ とした場合，条件 (38) は， 利用者が均質な場合の均衡条件 V ∗ − v (h) = 0 if i V ∗ − v (h) ≥ 0 if i. hi ≥ 0. 煩雑化を避けるため，都市数 K = 2J (J は任意の自然 数) の場合のみを示す4 ．. (39). hi = 0. 4. ∗. に帰着する．ここで，V は均衡時の効用水準である．. 448. 都市数が 2 の冪乗でなくても，以降と全く同様の方法で分岐解 析を行うことができる．.
(8) 土木学会論文集D Vol.66 No.4,442-460,2010.11. (1). 都市システム空間の設定と空間割引行列. 要素 (i.e. 行列 D の K 個の固有値) は，ベクトル d0 の. 半径 1 の円周上に番号 i = 0, 1, · · · , K − 1 の順に (左. 離散 Fourier 変換:. 回りに)K 個の都市を配置する．2 つの都市 i, j 間の距. λ ≡ [λ0 , λ1 , ..., λK−1 ]T = Zd0. 離は t(i, j) と表される．隣接する都市間の距離は均等. により与えられる．ここで，ベクトル d0 の要素の並び. であると仮定し，隣接していない都市間の距離は最短. が M = K/2 番要素 rM を境に反転することに注意す. 経路距離で定義する，すなわち，. t(i, j) = (2π/K)m(i, j).. (52). ると，D の K 個の固有値は，M − 1 種の 2 重根と 2 種. (42). (k = 0, M ) の単根からなることが判る．さらに，上式 の右辺は解析的に評価でき，結局，D の固有値は，r の. ここで，m(i, j) ≡ min{|i − j|, K − |i − j|} である． 都市間の工業財の輸送に必要な氷塊費用 ϕij は，この. 簡単な関数として表現される:. 空間条件 {t(i, j)} に対して定義される．すなわち，氷 塊費用 ϕij は，式 (42) で表わされる t(i, j) に対して，. ϕij ≡ exp(τ t(i, j)).. 補題 1: 円周都市システムにおける空間割引行列 D の 第 k 固有値 (k = 0, 1, · · · , K − 1) は，. (43). と定義される．この ϕij の定義から，空間割引行列 D ≡. λk = ck (r)Rk (r). [dij ](2 章 (4) 節参照) は，. (53). で与えられ，さらに，. dij ≡ exp[(1 − σ)τ t(i, j)]. (44). λm = λK−m. と定義され，第 j 列ベクトルは，. dj ≡ [d0j , d1j , · · · , dK−1j ]. T. (m = 1, 2, ..., M − 1). (54). が成立する (i.e. 2 重根となる)．ここで，M ≡ K/2,. (j = 0, 1, · · · , K − 1) (45). cm (r) ≡. で与えられる (i.e. D ≡ [d0 , d1 , · · · , dK−1 ])．. 1 − r2 , 1 − 2r cos(2πm/K) + r2. Rm (r) ≡ 1 − (−1)m rM. (m = 0, 1, · · · , M ). (56). 円周都市システムでは，空間割引行列 D の要素の配 列には，“巡回行列” と呼ばれる規則性がある (巡回行. (55). (証明: 付録 III 参照). 列の定義とその基本特性については付録 II を参照)．す なわち，. さて，以降で CP モデルの分岐特性を考察する際に. r ≡ exp((1 − σ)τ (2π/K)) > 0 と定義すると，行列 D の (i, j) 要素は，dij = r. は，行列 D をその行和:. (46) m(i,j). d ≡ d0 · 1 = λ0. で. 与えられる．例えば，K = 4 なら，行列 D は， 1 r r2 r r 1 r r2 D= 2 (47) r 1 r r r r2 r 1. (57). で正規化した行列 D/d の固有値 f (r) が重要な役割を 果たす．そこで，補題 1 を用いて f (r) の特性を調べる と，以下の結論が得られる: 命題 2: 円周都市システムにおける空間割引行列 D/d. である．この例からも明らかなように，円周都市シス. の固有値・固有ベクトルは，以下の特性を持つ．. テムにおける D は，K 次元ベクトル d0 から作られる. 1) 第 k 固有ベクトル (k = 0, 1, · · · , K − 1) は，離散. 巡回行列となる．. (2). Fourier 変換行列の第 k 行ベクトル: z k ≡ [1, ω k , ω 2k , · · · , ω (K−1)k ]. 空間割引行列の固有値と離散 Fourier 変換. 空間割引行列 D が巡回行列であることに着目すると，. 2) 第 k 固有値 (k = 0, 1, · · · , K − 1) は， c (r)c (r) k: even M k fk = c (r)c (r)ϵ (r) k: odd. かる．すなわち，D は離散 Fourier 変換行列:. (48). z k = [zjk ] ≡ [ω ]. (j, k = 0, 1, · · · , K − 1) (49). ω ≡ exp(i(2π/K)). (i.e. ω K = 1). jk. によって与えられる．ここで，ω ≡ exp(i(2π/K)) である．. その固有値は離散 Fourier 変換により得られることがわ. Z = [z 0 , z 1 , ..., z K−1 ]T. M. fm = fK−m. Z DZ = Λ.. k. (59). M. で与えられ，さらに. (50). によって対角化される: ∗. (58). (51). (m = 1, 2, · · · , M − 1). (60). が成立する (i.e. 2 重根となる)．ここで，M ≡ K/2，. ∗. ここで，Λ ≡ diag[λ0 , λ1 , ..., λK−1 ], Z は Z の共役転. ϵM (r) ≡. 置行列 (i.e. Z の逆行列)．そして，対角行列 Λ の対角. 449. 1 + rM . 1 − rM. (61).
(9) 土木学会論文集D Vol.66 No.4,442-460,2010.11. 列 D/d の固有値 f の簡単な関数として得られることを 示そう．そのためには，まず，P (h), v(h) の Jacobi 行 列 J (h), ∇v(h) が必要である．J (h) は，式 (37) を間 接効用関数 v で微分することで，次のように得られる:. J (h) = θ(diag[P (h)] − P (h)P (h)T ).. (67). ∇v(h) は，第 2 章の命題 1 で示した間接効用関数を skilled 人口 h で微分すれば， [ ] ∇v(h) =∇S(h) + σ −1 ∇w(L) (h) + ∇w(H) (h) , (68) と得られる (ただし，この式は Pf モデルの間接効用 Ja-. 図–1 円周都市 (K = 8) における D/d の固有値と輸送費用 パラメータ τ の関係. cobi 行列である．FO モデルの Jacobi 行列については， 付録 VI を参照)．ここで，式 (68) 右辺の 3 つの Jacobi. 3) いずれの固有値も 0 ≤ r < 1 の r に関する単調減 少関数で，その値域は (0, 1] である (ただし，第 0. 行列は，3 章で定義した行列 M , H を用いれば，各々，. ∇S(h) ≡ (σ − 1)−1 M T. 固有値は r の値によらず常に 1)．. ∇w(L) (h) ≡ −M M T. 4) 任意の K, 0 ≤ r < 1 に対して，最大固有値は第 0. ∇w. 固有値 (その値は常に 1)，最小固有値は第 M 固有. c2M ). 値 (その値は. である．. 立する:. 1 > f0 > f2 > ... > f2k > ... > fM = c2M ,. M = (hd)−1 D,. (62) (証明: 付録 IV 参照). (M = K/2 = 4) の場合に例示したものである．ただし， 値 f の関係を見るために，グラフの横軸を τ としてい. −1. b ≡ (σ − 1). る．式 (46) の定義から明らかなように，r は τ の単調. r → 0.. (64). (65). τ → +∞ ⇔. fm → 1.. (66). (74) .. (75). (76). であるから，調整ダイナミクスの Jacobi 行列:. は τ の単調増加関数で，. fm = 0,. +σ. −1. ¯ = hθ(I − E/K), J (h). に関して単調減少で，値域は (0, 1] である．従って，fm. ⇔. (73). さらに，選択確率関数 P (h) の Jacobi 行列 J (h) は，人 ¯ では， 口分布 h. 一方，命題 2 で示されたように，fm は 0 ≤ r < 1 の r. τ =0. (72). この Jacobi 行列の式 (73) 右辺に現れる行列 D と D 2 ¯ もまた巡回行列である． は巡回行列であるから，∇v(h). 減少関数であり，. τ → +∞ ⇔. (71). に帰着する．ここで，. a ≡ σ −1 (1 + h−1 ),. 以降の分岐解析で用いる輸送費用パラメータ τ と固有. (63). H = hI. であるから，間接効用 Jacobi 行列は， [ ] ¯ = h−1 b(D/d) − a(D/d)2 ∇v(h). 図–1 は，命題 2 で得られた固有値 f の特性を K = 8. r = 1,. (h) ≡ M − M HM. 状況) を考える．このとき，∇F (h) が巡回行列となる ¯ である場合， ことを示そう．人口分布 h = h. c2M ϵM .. ⇔. (70) T. 次に，CP モデルが持つ本質的特性を調べるために， skilled が円周上の各都市に h = H/K 人ずつ均等に分 ¯ (i.e., 全ての都市の条件が均質となる 散した人口分布 h. 番の各々の系列の固有値で，以下の大小関係が成. τ =0. (H). と表現される．. 5) 任意の K, 0 ≤ r < 1 に対して，偶数番および奇数. 1 ≥ f1 > f3 > ... > f2k+1 > ... > fM −1 =. (69). ¯ = HJ (h)∇v( ¯ ¯ −I ∇F (h) h). (77). も巡回行列であることがわかる．ここで，E は全要素 が 1 の K × K 行列である．. となる．. ¯ の固有値 g は，∇F (h) ¯ 以上より，Jacobi 行列 ∇F (h) が巡回行列であるため，以下の命題に示されるように，. (3). 調整ダイナミクス Jacobi 行列の固有値. 行列 D/d の固有値・固有ベクトルによって特徴づけら. 第 3 章で示したように，CP モデル均衡解の安定性. れることが判る．. や分岐現象の有無は，調整ダイナミクスの Jacobi 行 列 ∇F (h) の K 個の固有値 g = [g0 , g1 , ..., gK−1 ]T に. 命題 3: 円周都市システムの K 個の都市に skilled が均 ¯ を考える．このとき， 等に分散した均衡人口分布 h. よって判定できる．以下では，この g が，空間割引行. 450.
(10) 土木学会論文集D Vol.66 No.4,442-460,2010.11. ¯ CP モデル調整ダイナミクスの Jacobi 行列 ∇F (h) は以下の特性を持つ:. 均衡解の分岐挙動を，命題 2 と命題 3 を用いて，明ら かにしてゆく．. 1) 第 k 固有ベクトル (k = 0, 1, K − 1) は，行列 D/d の固有ベクトルと同様，離散 Fourier 変換行列 Z の第 k 行ベクトル z k で与えられる． 2) 第 0 固有値は常に −1 である．第 k 固有値 gk (k = 1, 2, · · · , K − 1) は，行列 D/d の第 k 固有値 fk の. 5.. 分散状態で発生する分岐のメカニズム. (1). 分岐の発生条件. CP モデルにおいて分散均衡状態から分岐が発生 (i.e. 何らかの集積パターンが創発) するためには，命題 3 の. 2 次関数:. 式 (78) で与えられる K 個の純集積力 (固有値 g) のい. gk = G(fk ). (78). ずれかがゼロとなる必要がある．ここで，輸送費用パ. G(x) ≡ θ[bx − ax2 ] − 1. (79). ラメータ τ の変化によって純集積力に影響を与える変 数は，D/d の固有値 f のみである．従って，τ の変化. で与えられ，さらに，. gm = gK−m. (m = 1, 2, · · · , M − 1). にともなう分岐が発生するためには，fk に関する 2 次. (80). 方程式:. が成立する (証明は，付録 V 参照)．ここで，a, b. G(fk ) = 0. は CP モデルの効用関数パラメータと h, θ から決. (81). まる定数で，式 (74), (75) によって与えられる (な. に実数根が存在する必要がある．さらに，その根は，命. お，FO モデルでも，同様の結論が得られる．詳細. 題 2 で示された fk の値域 (0, 1] に含まれねばならない．. については付録 VI を参照)．. この条件から，以下の命題が直ちに得られる: 命題 4:. CP モデルにおいて，skilled が円周都市シス テムの K 個の都市に均等に分散した均衡状態を考. 命題 3 の 1) で示された調整ダイナミクスの固有ベク トル z k は，その要素の配列パターン (i.e. 1 が現れる周. える．このとき，輸送費用パラメータ τ の変化に. 期) によって，各都市への skilled 人口集積パターンを表. よって，skilled が少数の都市へ集積した均衡状態. 現している．例えば，z 0 は，全要素が 1 であり，skilled. へ分岐するためには，CP モデルのパラメータが，. が均等に分散した状態に対応する; 2 要素毎に 1 と −1 が交互に現れる z M は，一つ飛びの M (= K/2) 個の都 市に skilled が集積したパターンを表している; 同様に，. 4 要素毎に 1 と −1 が現れる z M/2 は，M/2(= K/4) 極. Θ ≡ b2 − 4aθ−1 ≥ 0, √ and 0 < b + Θ ≤ 2a. (82) (83). を満たしている必要がある．. 集積パターンである．. 2) で示された調整ダイナミクスの固有値 gm は，分散 均衡状態から第 m 集積パターン (第 m 固有ベクトル) 方. たす解 fk∗ が存在する条件を表している．そのため，消. 向へ導く “純集積力” を意味している．ここで，純集積. 費者の立地選択に関する異質性が非常に大きい (i.e. θ が. 命題 4 の集積パターン創発条件 (82) は，式 (81) を満. 力とは，集積状態で発生する “集積効果” から “分散効. 非常に小さい) と，任意の (h, σ) に対して条件 (82) が満. 果” を差し引いた効果である．より具体的には，式 (78). たされず，集積状態が発生しないことがあり得る．もう. が fk に関する 2 つの項から成ることに注目しよう．第 ¯ の導出からも明らかなように，集積に 1 項は，∇v(h). 一方の命題 4 の集積パターン創発条件 (83) は，式 (81). よって財多様性が増加することによる “集積効果” を意. を満たす解 fk∗ の最大値が値域 (0, 1] に含まれる条件であ √ る．fk∗ の最大値が 0 より大きくなる条件 (b + Θ > 0). 味している．一方，第 2 項は，集積によって市場競争. が満たされない場合，固有値 gk が常に負となること. 条件が厳しくなる (分散状態での空間的市場独占による. から，分散均衡状態が常に安定的となり，均衡解の分. 利益が消える) ことによる “分散効果” を意味している．. 岐が起こらない．ただし，本稿で考える CP モデルで. ここで注意すべきは，集積効果は fk の 1 次関数であ. は，常に b > 0 が成立するため，この条件は自動的に 満足している．一方，fk∗ の最大値が 1 以下となる条件 √ (b + Θ ≤ 2a) は，既存研究でもよく知られている，. るのに対して，分散効果は fk の 2 次関数となっている 点である．この相違により，2 つの力は，fk の変化に 対して大きく異なる反応を示す．さらに，fk は，輸送 なった値をとる (図–1 参照)．そのため，各集積パター. black-hole の非存在条件である．この条件が満たされな い場合，輸送費用パラメータ τ が高い状況でも，固有 値 gk が常に正となり，分散均衡状態が不安定的 (集積. ンの純集積力と分散状態の安定性は，τ のレベルに応じ. 均衡解が安定的) となる．すなわち，輸送費用パラメー. 費用パラメータ τ に応じて，集積パターン k ごとに異. て，複雑に変化 (i.e. τ の変化に伴い均衡解が分岐) す. タ τ の変化に伴う均等分散パターンからの均衡解の分. る．そこで，以降の章では，τ が変化した場合に起こる. 岐は起こらない．. 451.
(11) 土木学会論文集D Vol.66 No.4,442-460,2010.11. 消費者が立地選択に関して均質な場合 (i.e. θ → ∞) には，Θ = b2 > 0 となるため，命題 4 の集積パターン 創発条件が，black-hole 非存在条件のみの極めて単純 な条件 (b ≤ a) に帰着する．この条件は，例えば Pf モ デルなら, 1 − σ −1 ≥ h である．すなわち，輸送費用パ ラメータ τ が大きい場合に分散均衡状態が安定的とな るためには，skilled 人口 (unkilled 人口に対する相対比. h) が一定の閾値 (1 − σ −1 ) 以下となる必要があり，そ の閾値は，財多様性に対する選好が強い (σ が小さい) ほど，低くなることを意味している．. Case b). Case c). Case a). 図–2 固有値 g と f の関係と均等分散パターンの安定性. ここで，最初に τ ≤ τk∗ (x∗+ ) となる集積パターン は，. (2). 命題 2 より，. 分散均衡状態からの分岐: 集積の創発. 前節で示した分岐の発生条件 (82), (83) が満たされた. ∗ k+ = arg . min{fk (τ )} = M k. 状況において発生する，分散均衡状態からの分岐挙動. である．従って，τ が臨界値:. を調べよう．均衡解の分岐は，純集積力 gk の符号が変. ∗ τ+ ≡ max{τk (x∗+ )} = τM (x∗+ ). 化する際に発生するため，fk に関する 2 次方程式 (81) の実数根:. (89). k. (90). ∗ となったときに集積パターン k+ への分岐が発生する．. √. b± Θ (84) 2a は，分岐が発生する fk の臨界値を意味している．この. 図–1 によっても説明できる．輸送費用パラメータ τ を. 臨界値 (84) と fk の関係から，分散均衡状態の安定性が. 岐は，ある τ に対応した f のうちいずれかの固有値が. なお，以上で示した分岐臨界値を得るための手順は，. x∗± ≡. 徐々に下げてゆく場合，分散状態から集積状態への分. 確認できる．第 3 章で示したように，均衡状態は，全. 最初に x∗+ 以下の値をとる点で発生する．すなわち，臨. ての k について純集積力が負 (gk < 0 ∀k ̸= 0) であれ. 界値 x∗+ に対応した水平な直線 l+ と f4 の交点 C+ で. ば安定，そうでなければ (gk > 0 ∃k) 不安定である．ま. 発生する．これは，直線 l+ 上で τ が最大値をとる固有. た，図–2 に示すように，純集積力 gk は，fk の 2 次方. 値であるから，逆関数 τk (·) を用いて τ の臨界値を表現. 程式 (78) で表わされる．そのため，分散均衡状態の安. すれば，式 (90) のように書ける．. 定性は，以下の 3 つの状態毎に決定される．. Case a) fk > x∗+. Case b) x∗− < fk ≤ x∗+ Case c) fk ≤ x∗−. 上記の例からも明らかな様に，分散状態から集積状. ∀k ̸= 0 ⇔ gk < 0 ∀k ̸= 0 (85) ∃k ⇔ gk > 0 ∃k. ∗ は，D/d の固有値 f と τ の関係 態への分岐臨界値 τ+. (86). ∀k ̸= 0 ⇔ gk < 0 ∀k ̸= 0 (87). すなわち，分散均衡状態は，Case a), c) において安定，. b) では不安定となり，何らかの集積パターンが創発する． 以上で得られた fk の分岐臨界値 (84) を利用して，輸. (i.e. 命題 2 と図–1 ) と x∗+ さえ与えられれば，式 (90) により容易に求められる．ここで，x∗+ は，式 (84) に よって容易に与えることができるから，CP モデルのパ ∗ ラメータと分岐臨界値 τ+ の関係も簡単に把握できる．. この点も含め，CP モデルにおいて最初に発生する分散 状態から集積状態への分岐の特性を命題としてまとめ. 送費用パラメータ τ を低下させた場合に生じる均衡解. ておこう．. の分岐の特性を示そう．そのために，まず，固有値 fk (·) を τ の関数と考え，その逆関数を τk (·) と書く: ∗. ∗. ∗. ∗. τ = τk (x ) ⇔ x = fk (τ ).. 命題 5:. CP モデルにおいて，命題 4 の条件が成立して いるものとする．輸送費用が十分に大きく，skilled. (88). が各都市に分散した均衡状態を考える．この状態. ここで，fk (·) は τ の単調増加関数である (命題 2 と図–. から，輸送費用パラメータ τ を徐々に下げると，. 1 参照) から，その逆関数 τk (·) も fk の単調増加関数で ある． 初期状態では，輸送費用が大きく，τ >. τk (x∗+ ). 1) 任意の集積パターン (固有ベクトル z) に対する純 集積力 (固有値 g) は増加し，式 (90) と式 (84) で. ∀k ̸=. 0, が成立しているとしよう．逆関数 (88) の定義から， この条件は，Case a) の条件 (85) と等価であるため，分 散状態が安定的である．輸送費用 τ が低下すると，あ. ∗ 与えられる臨界値 τ+ で集積状態への分岐が必ず発. 生する． ∗ 2) この臨界値 τ+ は，a) skilled の立地選択の異質性. る集積パターン k ∗ に対して，τ ≤ τk∗ (x∗+ ), が成立す. が小さく (θ 大)，b) skilled 人口比率が大きく (h. る．この条件は，Case b) と同じ条件 (86) を表現して. 大)，c) skilled の財消費代替の弾力性が小さい (σ. いるため，分散パターンが不安定化することがわかる．. 小)，ほど高い．. 452.
(12) 土木学会論文集D Vol.66 No.4,442-460,2010.11. (3). 消費者が均質であっても，臨界値 x∗± を決定する (79). 分散均衡状態への分岐: 集積の崩壊. 前節 (2) では，fk の分岐臨界値 x∗+ , x∗− のうち，x∗+. の関数 G(·) に，θ → ∞ でも効果の消えない新たな定. に. 数項が追加されれば実現する．従って，人口集積によっ. での分岐についてのみ議論した．そこで，次に，x∗−. 対応する輸送費用パラメータ τ の分岐挙動を調べよう． 輸送費用 τ が. ∗ τ+. 対して，τ ≤. τk (x∗− ). て増大する地代や外部不経済といった τ に依存しない 分散力を CP モデルに新たに導入すれば，やはり再分. からさらに低下し，全集積パターンに となる状況を考える．このとき，. 散が発生する．これは，2 都市 CP モデルに地代を導入. Case c) の条件 (87) が成立するため，分散状態が再び. した Tabuchi31) , Helpman15) などが示した再分散の発. 安定化する．ここで，最後に τ ≤ τk (x∗− ) となる集積パ. 生に，理論的な説明を与えている．以上の議論は，次. ターン. の命題にまとめられる．. ∗ k−. は，命題 2 より， ∗ k− = arg . max{fk (τ )} = 1 k̸=0. (91). 命題 6:. CP モデルでは，skilled が各都市に分散した 均衡状態から，輸送費用パラメータ τ を徐々に下. である．従って，τ が臨界値: ∗ τ− ≡ min{τk (x∗− )} = τ1 (x∗− ) k. げると，. (92). 1) どの集積パターン (固有ベクトル z) に対する純集 積力 (固有値 g) も，τ の減少にともない，増加の 後，必ず減少する．. に達すれば，集積状態から分散状態への分岐が発生す る (ただし，分散状態への分岐は，式 (92) の臨界値以 外でも生じうる．この点は，(5) 節で議論する)．. 2) 消費者が均質な場合 (i.e. θ → ∞) には，どの集積 パターンに対する純集積力も，τ = 0 の極限での. ∗ この輸送費用 τ の臨界値 τ− に関わる (i.e. 集積状態. から分散状態への) 分岐の特性は，消費者が均質な場合. み，ゼロとなる．従って，分散状態から集積状態. (i.e. θ → ∞) と異質な場合 (i.e. θ 有限) で，大きく異 なる．まず，消費者が均質な場合には，式 (84) で得ら れる臨界値は，より単純な表現: lim x∗± (θ) = b/a. θ→+∞. or 0. に分岐した後に，再び分散状態に戻ることはない．. 3) 消費者が異質な場合 (i.e. θ が有限) には，どの集 積パターンに対する純集積力も正の τ で必ず負と. (93). なる．従って，式 (92) と式 (84) で与えられる臨界. に帰着する (図–2 参照)．これを τk (·) の定義 (fk と τ. ∗ 値 τ− で集積状態から分散状態への分岐 (“再分散”). の関数関係) と組み合わせれば，任意の集積パターン k. が必ず発生する．. で，τk (x∗− ). = τk (0) = 0 であることがわかる．従って， 集積状態から分散状態への分岐臨界値は， lim. θ→+∞. ∗ τ−. = min{τk (0)} = 0 k. (94). 6.. 集積分散パターンの進展. 前章では，分散均衡状態からの局所的解析によって. である．すなわち，消費者が均質な場合には，輸送費. わかる分岐現象のみを議論した．また，どのような集. 用がどれだけ低下しても，ゼロにならない限り，集積. 積パターンが発生するかについても具体的には言及し. 状態から分散状態には戻らない．. ていない．多数の都市を持つ CP モデルでは，輸送費. 消費者が異質な場合には，パラメータ値によらず，常. ∗ 用パラメータ τ を下げてゆくと，上記の分岐臨界値 τ+. に x∗− > 0 であるから，任意の k に対して，τk (x∗− ) > 0. ∗ と τ− の間においても，最初に創発した集積パターンか. である (図–2 参照)．これは，τ が一定値以下になれば，. ら繰り返し分岐が生じ，さらに複雑な集積・分散の進展. 市場競争激化により分散力が集積力を凌駕し，純集積. が生じうる．以下では，これらの点を，消費者が均質・. 力が必ず負となることを意味している．すなわち，分. 異質な場合の各々について，簡潔に議論しておこう．. 散状態への分岐臨界値は， ∗ τ− = min{τk (x∗− )} > 0 k. (1). (95). 消費者が均質な場合. 消費者が均質な場合，τ を低下させる過程で生じる. である．従って，消費者が異質な場合には，(分散状態. 最初の分岐では，式 (89)(or 図–1 ) で見たように，均衡. から集積状態へ移行した後に) 輸送費用がある程度以下. 解は，固有値 {fk } が最小値をとる固有ベクトル方向へ. に低下すれば，集積状態から分散状態へ必ず分岐 (i.e. ˙分 ˙散 ˙ ”が ˙発 ˙生 ˙ ) することがわかる．これは，消費者の “再. 向かう．この方向は，命題 2 により，必ず，第 M 固有. 異質性を考慮した 2 都市 CP モデルにより Tabuchi and. Thisse32) ，Murata26) が示した再分散の発生を一般化し た結果である． なお，以上の議論から明らかなように，“再分散” が 発生するためには，x∗− > 0 でさえあればよい．これは，. 453. 図–3 最初に創発する集積パターン: K = 8 の場合.
(13) 土木学会論文集D Vol.66 No.4,442-460,2010.11. ベクトル z M ，すなわち，1 と-1 が交互に現れるベクト. より保証できる．従って，上と同様の論法を再帰的に. ルである．従って，最初に創発する集積状態は，偶数. 繰返すことによって，τ の低下にともない “空間的周期. 番，奇数番系列の都市が各々等しい skilled 人口 h + δ ，. 倍分岐” が発生すると結論できる．すなわち，τ を低下. h − δ を持つパターン. させるにつれ，. h = (h + δ, h − δ, h + δ, h − δ, ...) (h > δ > 0) (96). M = K/2 極→ K/4 極 → K/8 極→ · · · → 2 極→ 1 極. となる (図–3 参照)．すなわち，一つ飛びの M = K/2. と skilled が住む都市数が半減しながら集積が進行する. 個の都市に skilled 人口が集積した状態が現れる5 ．これ. ことがわかる．斯くして，以下の命題が得られる．. は，都市間の輸送費用の改善に伴い周辺都市から 1 つ 命題 7:. の都市への人口移動が生じる “ストロー効果” に対応す. 消費者が均質な CP モデルでは，輸送費用係. 数 τ を徐々に減少させると，. る現象である．このパターンにおける人口分布の偏り. 1) 最初の (分散状態が最初に崩壊する) 分岐で現れる. を表す x は，Pf モデルでは，τ に関して連続な単調減 6. 少関数である ．すなわち，分岐臨界値からの τ の低下. 集積状態は，必ず，skilled が一つ飛びの K/2 個の. に伴い x (人口分布の偏り) は増加し，やがて，一つ飛. 都市にのみ集積したパターンである．. 2) さらに τ を減少させてゆくと，必ず，skilled が集 積した都市数が減少するパターンへ進化し，最後 に 1 極集中化する (ただし，τ = 0 の極限では，任. びの M = K/2 個の都市にのみ skilled が均等に存在す る “M 極集中” パターン. h = (2h, 0, 2h, 0, 2h, ...). (97). 意の人口パターンが均衡解となる)． 3) 上記 2) の過程では，その典型例として，“空間的. が現れる．そして，さらに τ を低下させても，しばら くは，この M 極集中パターンが維持される．消費者が. な周期倍分岐” 型の集積進展経路が存在する．. 均質なモデルでは，この様な端点解が安定的均衡状態 となりうることに注意しよう．. (2). この集積状態から，さらに τ を低下させると，さら. 消費者が異質な場合. 消費者が異質な場合，最初の分岐では，消費者が均. なる分岐が発生する．このとき，どのようなパターン. 質な場合と全く同様に，均衡解は，固有値が最小値を. へ分岐するかを具体的に知るためには，一般には，こ. とる第 M 固有ベクトル方向へ向かう．その結果，最初. の集積状態における調整ダイナミクスの Jacobi 行列の. に現れる集積状態は，skilled が一つ飛びの K/2 個の都. 固有値・固有ベクトルを求める必要がある．しかし，消. 市に h1 人ずつ住み，残りの K/2 個の都市に h2 < h1. 費者が均質なら，その具体的な計算をすることなく，ど のような分岐が起こるかを容易に予想できる．ここで，. “M 極集中” 状態は，M 個の都市から成る都市システ ムに skilled 人口が均等に分布した状態とほぼ同じ7 と. 人ずつ住む (i.e. skilled 人口が多い都市と少ない都市が 交互に現れる) パターンとなる．このパターンは，消費 者が均質な場合に生じる M 極集中パターンと類似して いるが，やや異なる．これは，消費者が異質な場合の均. みなせることに注意しよう．これは，K 都市システム. 衡状態は，有限の θ に対して必ず内点解となり，M 極. におけるこれまでの議論と全く同様の方法で，M 極集. 集中パターン (端点) は均衡解となり得ない (立地選択. 中状態で最初に生じる分岐を把握できることを意味し. シェアを決める logit 関数は，全選択肢に非ゼロのシェ. ている．より具体的には，M 都市システムにおける空. アを与える) ためである．従って，異質性が小さい (θ が. 間割引行列の最小固有値を持つ第 M/2 固有ベクトル方. 大きい) ほど h1 と h2 の差は大きくなり，θ → +∞ の. 向への分岐が最初に発生する．そして，skilled が M/2. 極限では h2 → 0 となる．. 個の都市にのみ均等に存在する M/2 極集中パターンと. さらに τ を低下させると，さらなる分岐が発生する．. なる．ただし，この分岐が発生するためには，上記の. 異質性が小さければ，その集積パターンは，均質な場. 第 M/2 固有値が，第 M 固有値よりも大きい必要があ. 合と類似する．ただし，その分岐経路は，均衡状態が内. る．これは，任意の M について命題 2 と同様の議論に. 点解のみであるため，均質な場合とは異なり，滑らか. 5. 6. 7. ここでは，偶数番系列の都市に集積したパターンを書いたが，奇 数番都市に集積する均衡状態も全く同様に生じうる． FO モデルあるいは Krugman21) モデルでは，この連続的な推 移過程を経ずに，均等人口分布から “M 極集中” パターンにジャ ンプする． ただし，上記の議論では，skilled がいない都市における unskilled の影響を無視している．この点を考慮した厳密な証明について は，紙面の制約もあるため，Akamatsu et al.1) , Akamatsu and Takayama2) 参照．また，都市数 K によっては，集積都市数の 半減が不可能な場合もあり，一般には，周期倍分岐過程が崩れ た複雑な分岐経路もある．その例については，池田ら36) , Ikeda et al.19) を参照．. な曲線となる．異質性が大きい場合には，粗い傾向と しては，τ の低下に伴い，集積が進むと言えるものの， 必ず skilled が集積する都市数が減少したり周期倍分岐 が発生するわけではない．実際，命題 6 の 3) でも見た ように，消費者の異質性がある場合，τ が一定値以上ま で減少すれば，集積パターンが必ず崩壊する． 消費者が異質な場合に発生する再分散は，(4) 節で示 ∗ した臨界値 τ− においてのみならず，分散状態から分岐. 454.
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