微積分
I (2007
年度後期)
中間試験類題
(工学部共通)
1 次の関数の導関数を求めよ。（基本的な関数の微分） (1) 2x3− x2+ 5x− 3 (2) 1 x4 (3) 5 √ x (4) √31 x(5) ex (6) 2x (7) log x (8) log|x| (9) log10x
(10) sin x (11) cos x (12) tan x (13) sin−1x (14) tan−1x
2 次の関数の導関数を求めよ。 （積の微分，商の微分，合成関数の微分） (1) x√x + 1 (2) 1− x 1 + x (3) (1 + 3x) 10 (4) √ 1− x 1 + x (5) √ 1 x2− 4x + 1 (6) x sin 3x (7) xe −x2 (8) x2e−3x (9) log (
x +√1 + x2) (10) e−xsin(2x+1) (11) log| cos(2x)| (12) ea log x (aは定数)
(13) tan 2x (14) tan−1(3x) (15) sin−1(1− x)
3 y =√2xのグラフを次のように移動したグラフを表す関数を求めよ。（教科書p.3下 参照） (1) x軸方向に1平行移動 (2) y軸方向に−3平行移動 (3) x軸方向に−2，y軸方向に1平行移動 (4) x軸に関して対称移動 (5) y軸に関して対称移動 (6) 原点に関して対称移動 4 次の関数のグラフを描け。 (1) y = 2x− 1 (2) y =|x| (3) y =−|x + 1| + 1 (4) y = x2 (5) y = 2x2− 3x − 2 (6) y =−x2+ 2x 5 次の関数のグラフを描け。（分数関数，無理関数） (1) y =−2 x (2) y = 2x + 3 x + 1 (3) y = x 1− x (4) y =√x (5) y =√2− x (6) y =−√x + 2 6 次の関数のグラフを描け。（指数関数，対数関数） (1) y = ex (2) y = ( 1 2 )x (3) y = 2x− 2 (4) y =−ex+1 (5) y = log x (6) y = log 2x (7) y = log|x − 1|
7 次の関数のグラフを描け。（三角関数，逆三角関数）
(1) y = sin x (2) y = cos x (3) y = sin (x 2 − π 6 ) (4) y = 2 cos x− 1 (5) y = 2 sin ( x +π 4 )
8 次の極限を求めよ。((8)ではa > 0, a̸= 1とする) (1) lim x→−2 √ (x− 1)2 (2) lim x→1 x2− 3x + 2 x− 1 (3) limx→1 √ x− 1 x− 1 (4) lim x→0 x √ 4 + x−√4− x (5)x→+∞lim 3x + 4 x2+ 2x (6)x→−∞lim 2x− 1 2x+ 1 (7) lim x→+∞ 3x− 1 2x+ 1 (8)x→+∞lim ax
1 + ax (9)x→+∞lim {log(x − 1) − log(x + 1)}
(10) lim x→0 x sin(2x) (11) limx→0 sin(2x) sin(3x) (12) limx→0 tan(3x) x (13) lim x→0 1− cos x x2 (14) limx→0 sin−1(2x) x (15)x→−∞lim tan −1(x 4 ) 9 次の関数の微分係数または導関数を定義にしたがって求めよ。（定義は教科書p.19, 20 参照） (1) f (x) =√2xの場合の f′(2) (2) f (x) = 1 x の場合のf ′(1) (3) f (x) = e−xの場合のf′(c) (4) f (x) = cos x の場合のf′(x) 10 f (x)がx = aで微分可能であるとき，次の極限値をf′(a), f (a)を用いて表せ。 (1) lim h→0 f (a− 2h) − f(a) h (2) limx→a xf (a)− af(x) x− a 11 (1)関数y = x2− xのグラフのx = 2での接線の方程式を求めよ。 (2) (1)で求めた接線とx軸との交点のx座標を求めよ。 12 (1)関数y = cos (πx 3 ) のグラフのx = 1での接線の方程式を求めよ。 (2) (1)で求めた接線とx軸，y軸で囲まれる三角形の面積を求めよ。 13 lim x→1 x2+ ax− 2 x− 1 が有限な値になるように定数aを定め，その極限値を求めよ。 14 lim x→−2 x3− ax + b (x + 2)2 が有限な値になるように定数a, bを定め，その極限値を求めよ。 15 直線y = aと曲線y = e x− e−x 2 の交点を求めてその座標をaの式で表せ。 16 f (x) = sin−1xとするとき，次を求めよ。 (1) f (0) (2) f (1) (3) f (1 2) (4) f (− √ 3 2 ) 17 f (x) = tan−1xとするとき，次を求めよ。（ただし (4)では，−π 2 < x < π 2 とする。） (1) f (0) (2) f (1) (3) f (−√1 3) (4) f (tan x)
【 略 解 】 1 (1) 6x2− 2x + 5 (2)− 4 x5 (3) 1 5√5x4 (4) − 1 3x√3x (5) e x (6) 2xlog 2 (7) 1 x (8) 1 x (9) 1
x log 10 (10) cos x (11)− sin x (12)
1 cos2x (13) √ 1 1− x2 (14) 1 1 + x2 2 (1) 2x + 1 2√x + 1 (2) − 2 (1 + x)2 (3) 30(1 + 3x) 9 (4) √ −1 (1− x)(1 + x)3 (5) √ −(x − 2) (x2− 4x + 1)3 (6) 3x cos 3x + sin 3x (7) (1− 2x 2)e−x2 (8) (2x− 3x2)e−3x (9) √ 1 1 + x2 (10) e
−x(2 cos(2x + 1)− sin(2x + 1)) (11)−2 tan(2x) (12) axa−1
(13) 2 cos22x (14) 3 1 + 9x2 (15) − 1 √ 2x− x2 3 (1) y =√2(x− 1) (2) y =√2x− 3 (3) y =√2(x + 2) + 1 (4) y =−√2x (5) y =√−2x (6) y =−√−2x 4 (1) (2) (3) (4) (5) (6) -2 -1 1 2 1 2 x -3 -2 -1 1 y -3 -2 -1 1 2 3x 1 2 3 y -3 -2 -1 1 2 3x -1 1 y -2 -1 1 2 x 1 2 3 y -12 3 4 2 x -258 -2 -1 y 1 2 x 1 2 y 5 (1) (2) (3) (4) (5) (6) -1 1 x -2 -1 1 2 y -32 -1 x 2 3 y 1 x -1 y 1 2 3 4x 1 2 y -2 2x 1 !!!!2 2 y -2 2 x -!!!!2 y 6 (1) (2) (3) (4) 1 x 1 ã y -1 x 1 2 y 1 x -2 -1 y -1 x - ã -1 y (5) (6) (7) 1 ã x 1 y 1 2 x y -3 -2 -1 1 2 3 x -3 -2 -1 1 2 3 y
7 (1) (2) (3) (4) - Π -Π 2 Π 2 Π x -1 1 y -Π 2 Π 2 Π 3Π 2 x -1 1 y Π 3 4Π 3 7Π 3 x -1 -1 2 1 y -5 Π 3 -Π 3 Π 3 5Π 3 x -3 1 y (5) (6) (7) (8) -5 Π 4 -Π 4 3Π 4 x -2 !!!!2 2 y - Π -Π 2 -Π 4 Π 4 Π 2 Π x -1 1 y -1 1x -Π 2 Π 2 y -1 1 x -Π 2 -Π 4 Π 4 Π 2 y 8 (1) 3 (2) −1 (3) 1 2 (4) 2 (5) 0 (6)−1 (7) +∞ (8) 0 < a < 1のとき 0，a > 1のとき 1 (9) 0 (10) 1 2 (11) 2 3 (12) 3 (13) 1 2 (14) 2 (15) − π 2 9 (1) f′(2) = lim h→0 √ 2(2 + h)−√4 h = limh→0 2h (√2(2 + h) + 2)h = 1 2 (2) f′(1) = lim h→0 1 1+h− 1 h = limh→0 −1 1 + h =−1 (3) f′(c) = lim h→0 e−(c+h)− e−c h = e −c lim h→0 e−h− 1 h =−e −c (4) f′(x) = lim h→0 cos(x + h)− cos x h = limh→0 −2 sin(x + h 2) sin h 2 h =− sin x
10 (1)−2f′(a) (2) f (a)− af′(a) 11 (1) y = 3x− 4 (2) 4 3 12 (1) y =− √ 3π 6 x + √ 3π + 3 6 (2) √ 3(π +√3)2 12π 13 a = 1. 極限値は3 14 (a, b) = (12,−16). 極限値は−6 15 (log(a +√a2+ 1), a) 16 (1) 0 (2) π 2 (3) π 6 (4)− π 3 17 (1) 0 (2) π 4 (3)− π 6 (4) x
