 2 人非協力非零和ゲーム

(1)

意思決定科学：ゲーム理論２

情報学部堀田敬介

2011/11/29,Tue.

～

(2)

2 人非協力非零和ゲーム

A ＼ B s _B1 s _B2 s _A1 (2, 3) (-1,-2) s _A2 (-2,-1) (1,1)

A ， B の利得表

N={A, B}

S

_i

={s

_i1

, s

_i2

}, (i=A,B)

f

_i

: S

_A×

S

_B

→ R, (i=A,B)

f_A (s_A1, s_B1) = 2 + f_A (s_A1, s_B2) = -1 + f_A (s_A2, s_B1) = -2 + f_A (s_A2, s_B2) = 1 +

f_B (s_A1, s_B1) = 3 ≠0 f_B (s_A1, s_B2) = -2 ≠0 f_B (s_A2, s_B1) = -1 ≠0 f_B (s_A2, s_B2) = 1 ≠0

S_A={s_A1, s_A2}, S_B ={s_B1, s_B2},

(4)

2 人非協力非零和ゲーム

 双行列ゲーム

 利得関数

 利得行列

) , ( : )

, (

) ,

( )

, (

) ,

( )

, (

) ,

(

) ,

( )

, (

) ,

(

2 2

1 1

2 2

22 22

21 21

1 1

12 12

11 11

B A b

a b

a

b a

mn mn

m m

n n



 





 















ij B

A B ij

B A

A

s s a f s s b

f j

i

i j



i j



 , , ( , ) , ( , ) ]

[

],

[ a

_ij

 b

_ij

 B

A

プレイヤーBの戦略（n個）の利得（右側）

プレイヤーA の戦略（

m

個）

の利得（左側）

双行列和が零（一定）という条件はない（非零和）

(5)

2 人非協力非零和ゲーム

 例１：恋人達のジレンマ battle of sexes

 ある一組のカップルがデートをしたいと思っている

 男性は野球観戦を希望し，女性は映画鑑賞がしたい

 各々が好きなものを見るより一緒にいることの方が大事

男

＼

女野球映画

野球 (2,1) (-1,-1)

映画 (-1,-1) (1,2)

性の戦い，男女の戦い，

逢引きのジレンマ，…

互いに支配戦略は持たない

ミニマックス原理に従うと，互いにどちらの戦略でも良い？

（または各戦略のマックスが大きくなる方を選ぶ！？）

1 min

max

_ij

 

j

i

a

1 min

max

_ij

 

j

i

b

(6)

2 人非協力非零和ゲーム

 例１：恋人達のジレンマ battle of sexes

 零和ゲームの時と同じ方法で，混合戦略で期待利得最大化すると

…

男＼女野球映画野球

(2,1) (-1,-1)

映画

(-1,-1) (1,2)

p

₁

p

₂

q

₁

q

₂

 





   



2 2 1

2 2

1 1

1

2 2 1

2 2

1 1

1

2 ) ,

( , ) 2 (

q p q

p q

p E

q p q

p q

p E

B

A

p q

q p



     

1 2

)) 1 , 0 ( ,

( , ( 1 , 0 )) 3 1 (

1 1

p E

A

p



     

2 3

) ), 1 , 0

(( 1 , 0 ), ) 2 1 ((

1 1

q E

B

q

5 ) 1 , ˆ ( ˆ 5 , ) 1 , ˆ ( ˆ , 5 ) , 2 5 ( 3 5 ), , 3 5 ( 2 ˆ )

ˆ ,

(   



 



  p q p q

q

p E

_A

E

_B

ところが

…

5 ) 1

, ˆ

(  p

₁

 E

_A

p q

5 ) 4

ˆ ,

(   q

₁

 E

_B

p q

B

がをとるなら

A

は

ではなく

(1,0)

にする方が

期待利得が高くなる！

q ˆ p ˆ _A

がをとるなら

B

は

ではなく

(0,1)

にする方が

期待利得が高くなる！

q ˆ p ˆ

均衡しない

つまり，相手が純粋戦略を取ってきたときだけの自分の混合戦略を考えて期待利得を求めるやり方では，均衡解を求められない

(7)

 最適応答対応 best response correspondence

• Ｂの戦略に対するＡの最適応答の集合

を，プレイヤーＡの最適応答対応とよび，

を，プレイヤーＡの最適応答集合とよぶ

 Definition 最適応答と最適応答対応

 最適応答 best response

• プレイヤーＡの戦略が，プレイヤーＢの戦略に対する最適応答であるとは，以下が成り立つこと

2 人非協力非零和ゲーム

A

S

s  s

_B

 S

_B

) , ( max

) ,

( p q p q

p A

A

E

E 

) ,

( max

) ,

(

_A _A _B

S B s

A

s s f s s

f

A A



^{純粋戦略の場合}

混合戦略の場合

B

S

s 

} { ⁽ ^, ⁾ ^max ⁽ ^, ⁾

)

(

_A _A _B

S B s

A A A A

B

A

s s S f s s f s s

R

A A







} { ⁽

_A

^,

_B

⁾

_A _A

⁽

_B

^),

_B _B

A

s s s R s s S

D   

} { ⁽ ^, ⁾ ^max ⁽ ^, ⁾

)

( q p p q p q

p A

A

E E

R  

純粋戦略の場合混合戦略

の場合

2人零和ゲームでは，

ミニマックス原理は最適応答原理に帰着

最適応答原理

(8)

プレイヤーＡの（純戦略での）最適応答

s

_B1

→ max{7,8,4} = 8

s

_B2

→ max{0,6,3} = 6 s

_B3

→ max{5,2,6} = 6

 最適応答と最適応答対応

• プレイヤーＡ，Ｂが各々最適応答をとる場合，その組の集合はとなる

2 人非協力非零和ゲーム

B

A

D

D :  

Ａ＼Ｂ

s

_B1

s

_B2

s

_B3

s

_A1

^(7,7) ^(0,8) ^(5,5) s

_A2

^(8,0) ^(6,6) ^(2,7) s

_A3

^(4,5) ^(3,1) ^(6,2)

 例：

} { ) (

3 3

2 2

2 1

A B

A

A B

A

A B

A

s s

R

s s

R

s s

R





} { ⁽

_A₂

^,

_B₁

^), ⁽

_A₂

^,

_B₂

^), ⁽

_A₃

^,

_B₃

⁾

A

s s s s s s

D 

プレイヤーＢの（純戦略での）最適応答

s

_A1

→ max{7,8,5} = 8

s

_A2

→ max{0,6,7} = 7

s

_A3

→ max{5,1,2} = 5

( ) { } } { ) (

} { ) (

1 3

3 2

2 1

B A

B

B A

B

B A

B

s s

R

s s

R

s s

R





} { ⁽

_A₂

^,

_B₃

^), ⁽

_A₁

^,

_B₂

^), ⁽

_A₃

^,

_B₁

⁾

B

s s s s s s

D 

互いに最適応答なら均衡する

（ D  なら均衡）

より，

純粋戦略のみでは均衡しない





D

(9)

2 人非協力非零和ゲーム

 Definition Nash 均衡点 Nash equilibrium point

 （混合）戦略の組が次の条件を満たすとき，

を Nash 均衡点とよぶ

*)

*, ( p q

q q

p q

p

p q

p    

)

*, (

*)

*,

( , ) ( , *) (

B B

A

E

E E

 Theorem 1

 （混合）戦略の組が互いに最適応答であるならば Nash 均衡点であり，逆も成り立つ．即ち， Nash 均衡点の集合を E とすると，

B

A

D

E  

ˆ ) ˆ , ( p q

Nash均衡点は，零和ゲー

ムの均衡点（鞍点）を含む

一般的な概念

*)

*, ( p q

 Theorem 2

 （混合）戦略の組が Nash 均衡点であるための必要十分条件は

*)

*, ( p q

n j

s E

E

m i

s E

E

j i

B B

B

A A

A

( , ) ( *, ) 1 , , , ,

1 *) ,

(

*)

*, (

 





  



p q

p

q q

p

Bがq*をとるならAはp*がベスト Aがp*をとるならBはq*がベスト

(10)

2 人非協力非零和ゲーム

 2 人非協力非零和ゲームの Nash 均衡点

 ^A, ^B 

) ,

( ) ,

(

) ,

( )

, (

22 22

21 21

12 12

11

 



 





b a

b p

₁

a

p

₂

q

₁

q

₂

 







    

1 ,

0 ,

0 0 , 0 , 1

2 1

2

1

q q q

q

p p

22 1

1 1

1

22 1

22 21

1 12 22

1 1 12

22 21

11

22 1

1 1

1

22 1

22 21

1 12 22

1 1 12

22 21

11

ˆ ~ ˆ )

( ) ( )} ( ) ( )

) {(

, (

ˆ ~ ˆ )

( ) ( )} ( ) ( )

) {(

, (

b q

c p

c q

p c c

b q

b b

p b

b q

p b

b b

b E

a q

r p

r q

p r r

a q

a a

p a

a q

p a

a a

a E

T B

T A







        

     

        

 

Bq p

q p

Aq p

q p

プレイヤーＡ，Ｂが混合戦略をとった際の期待利得

 

 

 

 

)) 1 , 0 ( , ( )

,

( , ) ( , ( 1 , 0 )) (

) ), 1 , 0 ((

) ,

( , ) (( 1 , 0 ), ) (

p q

p

p q

p

q q

p

q q

p

B B

A A

E E

E

Theorem 2

より，

E

Nash

均衡点

(11)

2 人非協力非零和ゲーム

 2 人非協力非零和ゲームの Nash 均衡点

 プレイヤーＡの最適応答について

 





   

 

 









        

 

 

 

0 ˆ }

ˆ )

{( ˆ ) ˆ }( 1 ) 0 {(

~ ˆ ~

ˆ ) (

ˆ ~ ˆ )

~ ( ) ˆ

( ˆ

) ), 1 , 0 ((

) ,

( , ) (( 1 , 0 ), ) (

1 1

22 1

1 1

1

22 1

1 22

1 1

p r q

r r

p r

q r r

a q

r a

q r p

r q

p r r

a q

r r q

r r

a q

r p

r q

p r r

E E

A A

A

p q q

q q

p

1

ˆ 0

ˆ )

( r  r q  r  となる q

 

 

 0 0 1

1

p

1

p

1

ˆ 0

ˆ )

( r  r q  r  となる q

1

ˆ 0

ˆ )

( r  r q  r  となる q

  

任意任意

: : 1

1

p

1

p

 

 

 0 0 1

1

p

1

p

故に，

p  R

_A

(q )

となるためには，

1

 1 p

:

任意

p

1 1

 0

p

(12)

2 人非協力非零和ゲーム

 2 人非協力非零和ゲームの Nash 均衡点

 プレイヤーＢの最適応答について

 





   

 

 











        

 

 

 

0 ~ } ˆ )

{( ˆ ) ~ }( 1 ) 0 {(

~ ˆ ) ˆ

( ˆ

ˆ ~ ˆ )

~ ( ) ˆ

( ˆ

)) 1 , 0 ( , ( )

,

( , ) ( , ( 1 , 0 )) (

1 1

22 1

1 1

1

22 1

1 22

1 1

q c p

c c

q c

p c c

b p

c b

q c p

c q

p c c

b c

p c p

c c

b q

c p

c q

p c c

E E

B B

B

p q p

p q

p

1

~ 0

ˆ )

( c  c p  c  となる p

 

 

 0 0 1

1

q

1

q

  

任意任意

: : 1

1

q

1

q

 

 

 0 0 1

1

q

1

q

故に，

q  R

_B

( p )

となるためには，

1

 1 q

:

任意

q

1 1

 0 q

1

~ 0

ˆ )

( c  c p  c  となる p

1

~ 0

ˆ )

( c  c p  c  となる p

(13)

2 人非協力非零和ゲーム

 2 人非協力非零和ゲームの Nash 均衡点

 例：

Ａ＼Ｂ

s

_B1

s

_B2

s

_A1

^(6,5) ^(2,7) s

_A2

^(3,4) ^(6,1)

4 ˆ 7

ˆ )

( r  r q

₁

 r  q

₁

 p

₁

p

₂

q

₁

q

₂



 











     

     



 













    

     

3 1

~ ˆ 1 5 4 7 4 1 6 3 6

~ ˆ 6 6 3 3 2 3 4

22 21

12 22

21 11

22 21

12 22

21 11

b b

c

b b

c

b b

c

a a

r

a a

r

a a

r





















0 7 :

4 7 : 4

1 7 :

4

1 1

p q

任意























0 5 :

3 5 : 3

1 5 :

3

1 1

q p

任意

3 ~ 5 ˆ )

( c  c p

₁

 c   p

₁



p

₁

q

₁

0 1

1 4/7

3/5

プレイヤーＡの最適応答プレイヤーＢ

の最適応答

Nash

均衡点

(14)

2 人非協力非零和ゲーム

^Ａ^＼^Ｂ

^s

^B1

^s

^B2

s

_A1 ^(6,5) ^(2,7)

s

_A2 ^(3,4) ^(6,1)

0

0.25

0.5

0.75

1 player A

0

0.25 0.5

0.75 1

player B 2

3 4 5 6 Exp

0

0.25

0.5 player A 0.75

E

_A

(p,q)

0

0.25

0.5

0.75

1 player A

0

0.25 0.5

0.75 1

player B 0

2 4 6 Exp

0

0.25

0.5 player A 0.75

E

_B

(p,q)

E

_A

(p,(4/7,3/7))=30/7 E

_B

((3/5,2/5), q)=23/5

p

₁

q

₁

0 1

1 4/7

3/5

(15)

2 人非協力非零和ゲーム

 Theorem 3

 （混合戦略まで拡大すると，）双行列ゲームには，少なくとも 1 つ Nash 均衡点が存在する

 Theorem 4 （ cf. Theorem 2 ）

 （混合）戦略の組が Nash 均衡点であるための必要十分条件は，が写像の不動点であること．即ち，

*)

*, ( p q

*) (

*

* q q p

p   R

_A

 R

_B

*)

*, ( p q

戦略の組が均衡点であるための必要十分性（

Theorem 2, 4

など）

の証明は，「

Brouwer

の不動点定理」「角谷の不動点定理」などから

) ( )

( q

_B

p

A

R

R 

(16)

演習１：

 次の双行列ゲームの Nash 均衡点を求めよ

Ａ

＼

Ｂ s _B1 s _B2

s _A1 ^{(-2 , 1)} ^{( 4 , 6)}

s _A2 ^{( 6 , -8)} ^{(-2 , 2)}

(17)

Coffee Brake!

 John F. Nash (1928- )

 紹介サイトの情報

 A Beautiful Mind

いずれも

2004

年

11

月

9

日（火）取得の情報

Non-Cooperative Games Nash [pdf]

(18)

補足： 2 人非協力零和ゲーム

 2 人非協力零和ゲームの Nash 均衡点

 例：プレイヤー

A

の利得表

Ａ＼Ｂ

s

_B1

s

_B2

s

_A1

³ ^-2 s

_A2

^-1 ⁴

6 ˆ 10

ˆ)

(r r q₁ r  q₁

p

₁

p

₂

q

₁

q

₂















      

      

















     

     

5 ) 4 (

~ˆ ((1 34)) 12 46 5 4

) 1

~ˆ 34( (( 12)) 46

22 21

12 22

21 11

22 21

12 22

21 11

b b

c

b b

c

b b

c

a a

r

a a

r

a a

r























0 5 :

3 5 : 3

1 5 :

3

1 1

p q

任意





















0 2 :

1 2 : 1

1 2 :

1

1 1

q p

任意

5

~ 10 ˆ)

(c c p₁ c  p₁ 

p

₁

q

₁

0 1

1 3/5

1/2

プレイヤーＡの最適応答

Nash均衡点

プレイヤーＢ

の最適応答 4

5 6

10 )

,

(  p₁q₁  p₁  q₁  E p q







 









 

 6 4, ((((10,,01),), )) 55 2 4 ))

1 , 0 ( ,

( ,(1,0)) 4 1 (

1 1 1

1 E p

q E

p E

q q p

p

₁

E

1 0 1/2

1 E

1 0 3/5 q

₁

零和ゲームの場合は

最適応答戦略

ミニマックス戦略いずれの考え方でも均衡解を求められるよ

(19)

2 人非協力非零和ゲーム

 例２：囚人のジレンマ prisoner’s dilemma

 ２人の凶悪犯が別個に取り調べを受けている

 現状では証拠不十分で軽い罪でしか起訴できないため，２人とも 3 年

 各囚人は司法取引を持ちかけられ，応じた方は 1 年，応じない方は 10 年，ただし，２人ともが応じた場合は２人とも 8 年

A

^＼

B 黙秘自白

黙秘 (3,3) (10,1)

自白 (1,10) (8,8)

※司法取引：被告が自分の罪を認める代わりに罪を軽くしてもらうこと

注意：値が小さい

方が嬉しい！

(20)

最適応答原理に従ってまじめに計算しても

…

2 人非協力非零和ゲーム

 例２：囚人のジレンマ prisoner’s dilemma

A

^＼

B 黙秘自白

黙秘 (3,3) (10,1)

自白 (1,10) (8,8)

注意：値が小さい方が嬉しい！

各プレイヤーとも，「自白」が支配戦略！結果として，

（自白，自白）が

Nash

均衡点であり，ゲームは支配可解

} { ⁽⁽ ⁰ ^, ¹ ^), ^q ⁾ ⁰ ^ ^q ^ ¹

A

 D

最適応答原理に従って考えても

…

，

} { ⁽ ^p ^, ⁽ ⁰ ^, ¹ ⁾⁾ ⁰ ^ ^p ^ ¹

B

 D

p

₁

p

₂

q

₁

q

₂

  }

{ ⁽ ⁰ ^, ¹ ^), ⁽ ⁰ ^, ¹ ⁾

:  D

_A

 D

_B

 D

p

₁

q

₁

0 1

1  









    

 ˆ ) ~ 0 2 0

( ˆ ) ˆ 0 2 0

(

1 1

1

c p

p c c

q r

q r r

 

  0 0

1

q

1

p

注意：±逆で計算

明らかにもっと良い解がある

Pareto

最適でない！

(21)

2 人非協力非零和ゲーム

 Nash 均衡点が最適戦略か？

 2 人零和ゲーム

• ミニマックス戦略が最適戦略！

 2 人非零和ゲーム

•

Nash

均衡点が最適戦略を与えるわけではない！

• ゲームの値が異なる複数の均衡点が存在する場合がある！

•

Nash

均衡点は，必ずしも

Pareto

最適ではない！

行動の指針を与えてくれる

最適応答原理は不十分かも

…

！？

（しかし他に適切なものがあるか？）

•

得られる解の状態を示すことで，何らかの均衡戦略をとるべきことを教える

•

均衡状態が複数あることを示すことで，戦略決定判断が困難であることも教える

非協力ゲーム

Nash

均衡点の精緻化協力ゲームへの転換

(22)

2 人非協力非零和ゲーム

 例３：面会ゲーム

 遠く離れている２人が至急会う必要がある

 今居る場所は互いにわかっており，会いに行くか，相手が来るのを待つかの選択が出来る．（途中で会うことはない）

A

^＼

B 行く待つ

行く (-6,-6) (6,10)

待つ (10,6) (0,0)

 



 







 







  

  

 









 







  

  

 









0 0 [ 0 , 1 ]

0 1

6 0

~ 22 ˆ )

(

0 0 0 0 [ 1 0 , 1 ] 6

ˆ 22 ˆ )

(

1 1 1 1

1

1 1 1 1

1

q q q p

c p

c c

p p p q

r q

r

r ^p

¹

q

₁

0 1

1 3/11

3/11 Nash

均衡点

（（0,1）,（1,0））,

（（3/11,8/11）,（3/11,8/11））,

（（

1,0

）

,

（

0,1

））

(23)

2 人非協力非零和ゲーム

p

₁

q

₁

0 1

1 3/11

3/11

0

0.25

0.5

0.75

1 player A

0

0.25 0.5

0.75 1

player B -5

0 5 10 Exp

0

0.25

0.5 player A 0.75

0

0.25

0.5

0.75

1 player A

0

0.25 0.5

0.75 1

player B -5

0 5 10 Exp

0

0.25

0.5 player A 0.75

E

_A

(p,q)

E

_B

(p,q)

E

_A

(p,(3/11,8/11))=30/11

E

_B

((3/11,8/11), q)=30/11

(24)

2 人非協力非零和ゲーム

 例４：弱虫ゲーム chicken game

 ２人の人間が２台の車をそれぞれ運転する

 ２人は，お互いに向かって車を走らせる

 ２台ともそのまま走り続ければ，やがてぶつかり死ぬため，

直前で回避してよい．

 しかし，相手より先によけた（進路を変えた）プレイヤーは

「チキン」と罵られ，臆病者のレッテルを貼られる

A

^＼

B 避ける

^避けない

避ける (2,2) (0,9)

避けない

(9,0) (-5,-5)

(25)

2 人非協力非零和ゲーム

 例４：弱虫ゲーム chicken game

A

^＼

B 避ける

^避けない

避ける (2,2) (0,9)

避けない

(9,0) (-5,-5)

 



 







 







  

  

 









 







  

   











0 0 [ 0 , 1 ]

0 1

5 0

~ 12 ˆ )

(

0 0 0 0 [ 1 0 , 1 ] 5

ˆ 12 ˆ )

(

1 1 1 1

1

1 1 1 1

1

q q q p

c p

c c

p p p q

r q

r r

p

₁

q

₁

0 1

1 5/12

5/12

Nash

均衡点

（（0,1）,（1,0））,

（（

5/12,7/12

）

,

（

5/12,7/12

））

,

（（

1,0

）

,

（

0,1

））

E

_A

(p,(5/12,7/12))=10/12 E

_B

((5/12,7/12), q)=10/12 (9,0)

(0,9)

(26)

2 人非協力非零和ゲーム

 例１：恋人達のジレンマ battle of sexes

男

^＼

女野球映画

野球 (2,1) (-1,-1)

映画 (-1,-1) (1,2)

 



 







 







  

  

 







 







      









0 0 0 0 [ 1 0 , 1 ] 3

~ 5 ˆ )

(

0 0 0 0 [ 1 0 , 1 ] 2

ˆ 5 ˆ )

(

1 1 1 1

1

1 1 1 1

1

q q q p

c p

c c

p p p q

r q

r r

p

₁

q

₁

0 1

1 2/5

3/5

Nash

均衡点

（（1,0）,（1,0））,

（（

3/5,2/5

）

,

（

2/5,3/5

））

,

（（

0,1

）

,

（

0,1

））

E

_A

(p,(5/12,7/12))=1/5 E

_B

((5/12,7/12), q)=1/5 (2,1)

(1,2)

(27)

2 人非協力非零和ゲーム

 例５：病的な例

A

^＼

B s

_B1

s

_B2

s

_A1

(8,8) (4,8) s

_A2

(8,4) (4,4)

友情ルール：自分の利得が同じなら，

相手の利得が大きくなる戦略を選ぶ

嫌がらせルール：自分の利得が同じなら，

相手の利得が小さくなる戦略を選ぶ

Nash

均衡点の精緻化

全ての純粋戦略の組が

Nash

均衡点！

（

s

_A_１

,s

_B1）が均衡点

 





















] 1 , 0 [ 0

0 )

0 0 (

] 1 , 0 [ 0

0 )

0 0 (

1 1

q p

p q

p

₁

q

₁

0 1

1

全ての混合戦略の組が

Nash

均衡点！

（

s

_A2

,s

_B2）が均衡点

A

が友情

& B

が嫌がらせルールに従う

→

（

s

_A_１

,s

_B2），

A

が嫌がらせ

& B

が友情ルールに従う

→

（

s

_A2

,s

_B1）





















2 1

2 2 2

1 1

2 1

1

2 1

2 2 2

1 1

2 1

1

4 8

) , (

4 8

4 4

8 8

) , (

p p

q p q

p q

p E

q q

q p q

p q

p E

B A

↑自分の期待利得を自分の戦略で決められないことによる

(28)

弱支配

2 人非協力非零和ゲーム

 例６：共有地の悲劇

（囚人のジレンマの

n

人拡張版）

 数軒の酪農家が共有の牧草地を所有している．各酪農家が先を争って牛を放牧し，自分の利益最大をはかる限り，牛の数を増やし続けると，

待っているのは共有地の荒廃という悲劇である．

 単純なモデルでの考察

• 酪農家は

4

軒

(i=1,2,3,4)

• 酪農家

i

が放牧する牛の数

q

_i

• 各酪農家は

3

頭まで牛を購入でき，購入価格は全て等しく

2

• 酪農家

i

の収益を

x

_iとし，

x

_i

= q

_i

{16

－

(q

₁

+ q

₂

+ q

₃

+ q

₄

)}

－

2 q

_i

i

^＼

others 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4

2 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6

3 33 30 27 24 21 18 15 12 9 6

たくさん放牧すると収益が減る！

Nash

均衡点

(29)

Nash 均衡点と線形相補性問題

 Definition 戦略的同等性

 ゲーム G の Nash 均衡点が G’ のそれであり，かつその逆も成立するとき， 2 つのゲームは戦略的に同等であるという

 Theorem 5

 2 つの双行列ゲーム G, G’ において，任意の要素について，

 2 人非協力非零和ゲーム

意思決定科学： ゲーム理論２

情報学部 堀田敬介

2011/11/29,Tue.

Contents