逐次近似評価法による制限付操作量
線形系の最適制御
（昭和47年10月20日 原稿受理）
電気工学教室伊藤輝生
Optimal Control of Discrete Linear Systems with Bounded Controller by the Method◎f Successive Appr◎ximati◎n of Performance Indecies
by Teruo ITOH
Necessa主y and su伍cient c・頑ti・n◇f the s・趾・n・f the・pti画c蛎r・1 pr・blem of discrete linear systems with the bounded controller and quadratic performance in−
decies c鍛be sh◇w藁by appling Kuh亘・Tuckeどc◎nditio簸． There訂e§eveぎal meth◎ds to obtain the numerical solution which satis丘es Kuhn・Tucker condition．
H◎wever， for the optimal contr◎1 pr◎blem described ab◎ve， the more ef五cient numerical method is possible． In this paper， the first， we express the optimal control in the feed back form of the state． Then， the ef五cient alg胃01ithm which solves the optimal co就rol problem by seeking th⑤ptimal feedback coef五cients is given without the convergence proof．（We shall give the convergence proof in the next paper）．
Tw◎nume鴛ical exa即1es a宮e sh◎w刀．
1．まえがき 計鱒間および記憶額等を端した・鞭解法
について述べる。
線形離散値系において，各段の操作量が定数に
より制限をうける場合に，二次評価に対する最 2・仮 定
適制御問題の解の存在と唯一性については， 一般に，多入力線形離散値系は，これと等価な
Chyung1）氏により証明されており，また数値解 スカラ操作量線形離散値系に変換して論じること 法としては最大原理にもとつく方法，非線形計画 ができるので，系として，法働的計画法等の適用が散られ・理論的およ 昨＋1）一φ凋（〃）＋吻（〃），〃−q＿，N−1，
び原理的には問題点はないように思われる・しか κ（・）一躍。 （、）
しながら・最適制御の数値解を実際に求める場合 允（〃），〃＿0，＿，」V：η次元状態ベクトル には・計算機の記憶容量や計算時聞等の問題が生 μ（〃），〃一（㌧＿，N＿1：スカラ操作量，
じる。この点について，Deley氏とFranklin氏2）
は，無限段過程に対して，具体的な数値解法を与 ｝雄）1≦1ら一◎・…・N−1・ （2）
えているが，この解法は最適制御のシソセシスを φ：η×n遷移行列・
場なう方法で，この文献の計算例からもあきらか 4：刀×1駆動行列
なように多様の最適制御則を考慮する必要があ を考える。φおよび∂は，記号の煩雑さを避け
り，一般の多次元多入力系に対しては記憶容量等 るため，定数行列と仮定しているが，一般に時変の点で問題があると思われる。 であっても以後の理論に支障をきたすことはな
本論文では，以上のような問題点を考慮して， い。さらに，二次評価として，130
1（μ）＝＝Σ］｛部ノ（為）ζ2斑（カ）十λ（灘（為一一1））つ （3） μ＋（為），μ一（々），為＝・0，…2V−1 （7）
ぷ ユ
0：非負値対角行列 と書くことにすれば・ラグランジェ関数は・
λ・正の定数 ∫（ω，μ㍉μ『）叫吻・＋ωW＋2ω β κ・
ノ エ
ぴ一［μ（◎）…，灘（N−1）P ＋Σ（μ牽（ξ）（μ⑦一D＋μ…⑦（一娠）づ））
づ むを考える。ここで右肩の は行列またはベクトル （8）
鱈㌶篭㌶㍍㍑蕊 1霊ll；：：：蕊ゴ；；： ｝（9）
仮定の下に・与えられた・初期条件輪および制 となる。そして，最適解の必要条件は，
御時間］Vに対して，（1）式の等式制限および ∂W∂び＿◎
（2）式の不等式制限を満足し，（3）式の評価を最 ∂〃∂μ・≦q（∂W∂μ） μ一〇，μ・≧0 小化する最適解ω゜を求める問題について考察す ∂〃∂μ．≦ぴ（∂ガ∂μ），μ．＿◎，μ．≧◎ （1◎）
る。 である4）。（10）式に（8）式を代入すれば最適 3 最適解の必要充分条件 解ガに対して・
系が綱緬・二次であつても緋量が不 1綱鱗㌶㌫、）一口（9≧。
等式制限をうけるために・一般に髄制御麟線 一。・（ ）一、エバω（。・①＋、）一ぴバ⑦≧。
形制概なる・この章では・KuMucke「 ）の ∫一ぴ…，元 （、2）
巖灘鷲霞蕪灘㌶∫こしであ工これより洛々の∫について
の表現とこのKuh西Tuckerの定理による条件 1μ゜（∫）｜＜1のときμ℃）＝μ＾（∫）＝0 との関係をあきらかにする。 μ奪⑦＝1 のとき〆硲≧◎・μ 紛＝0 （1）式を繰返し代入することにより， μ゜（り＝ 1 のときμ当り≧αμ↓σ）＝0 鳶 （13）
湿（ん）一φ々躍・樹φ〃−1吻σ一1） （4） となるから，（1・）（・3）式より，
を得るから，（4）式を（3）式に代入すれば， 1〃°（りK1ならば，
ガ ユハド ユ メ ヘユ
1（鰺＝籠在。＋ΣΣ砺灘紛μ（ノ） Σ砺潔℃）÷ゐアの繭一◎
ゴ＝0 衷ぶ0 ゴ＝1
＋2￡1。ωめ 繊。 〃°ω一1ならば
トゆ み エ
ーκ臨＋姻ω＋2，〆β 允。 （5） 恩叱・〃°（ゴ）＋b （ゼ）κ・＝…μ＋（り≦0 γ＿iiゴφ々 0φ々 が（∫）＝『1 ならば
々＝1 ぷ ま
ぴ∫一Σ ば φ拓ε ρφ局Ol＋δθ・λ ∫＝max｛ 」｝
ガ ヨ
b◎一Σφ《ρφ」一泌 ／＝∫
δがクロネッカのデルタ関数 ．4：正定値行列，β一［b（1）…b（N）］
ごソ
Σα多鋼（ノ）÷ゐ 紛的一ダ（匡）≧◎ （14）
了工1
（6） となる。このKuhn・Tuckerの定理にる必要条件
は，評価関数の凸性と変数μの許容領域の凸性
とから，充分条件でもある。また，砺が正であ ることを考慮すれば（14）式は，2v−1
と書くことができる．したがって髄制御問題 霧奪紛＝sat［（−1／θ・）尻、。、綱（」）
は，（2）式の不等式制限のもとで（5）式を最小 十ぴ（∫）品）］，∫＝0，…，N−1 （15）
と書くことができる。 ＝−2γo（1）｛μo（1V−1）
つぎに，（15）式の条件を状態値M〃），ゐ一〇，…， −B°（1）〃°（1V−1））2β゜（1）∂
N−1，を用いて表現することを考える。（14）式 ＋2♂（ρ＋P＊（1））κ℃V−1）＋2λ況§（N−2）
の左辺は，評価のμ（κ）に関する微係数をあらわ （25）
しているから，最適性の原理により，MN−1）に となる。ここで，（20）式を考慮すれば，（25）式 関する最適点における微係数は，μ゜（0），…，が（N は，
−2）と（1）式によって定まる最適状態値ピ（N ∂11／∂μ奪（N−2）
−1）に対して， ＝2∂ po（1）澱o（2V−1）÷2LO（1）d！
1呈＝允o（N）（2澱o（N）十λ（μo（ハr−1））2 十2d［ （25ψo（ハ「−1）十2λμo（ハ「−1） （26）
一γ゜（1）（μ゜（】V−D−8°（1）躍゜（N−1））2 となる。すなわち（22）式の劉（1）L°（1）招（1）
＋允゜ （1V−1）P＊（1）〆（1V−1） （17） は，（23）式よりあきらかなように灘・（1V−1）の
鰯竃鑑①｝・8）；驚∵1∵∴ ）式
をが（2V−1）に関して微分することにより得ら ＋2L°（1）κ゜（2V−1）＋K°（1）
れ，（17）式より， ＋〆（2V−1）ρ斑゜（2V−1）
2γ・（1）（・・（N−1）−8・①エ・（胴））（19） ＋λ（〃（N−2）｝2 （27）
となる．したがって（15）式と同様にして， とおき・P°（1）L°（1）κ゜（1）を一定とみなして微 。・（∧↑−1）一、at［碑）畔N−、）］（2。） 分したものと一致することカミわかる・とくに・
とな
∫10＝卯o （N−−1）po（1）澱o（N−1）
0から1の間の任意の値でよいことを注意してお ＋2L°①酬一1）＋K℃） （22） く．帰納法によるために，つぎのように仮定す
P°（1）＝P＊（1）＋1α［B°（1）κ゜ ！ る。
（2V−1）］1γ゜（1）β゜ノ（1）β゜（1）1 仮定・残りN一百暇髄酬
五〇（1）＝一α［βo（1）エo（2V−1）］ ｝（23） N
ピ①⑭（・） ｛ 』＝翫（酬（ゾ）G〆（」）＋λ（ピ（ノー1））り
1ζo（1）＝1α｛30（1）灘⑪（ハr−1）］｛γo（1） ノ （29）
となる。つぎに，最適点におけるμ゜（N−2）にょ が・
る評価の微係数を求める。評価は， 1㍍田＝灘゜ ほ÷1）P°（2v一力十1）エ゜（鳶＋1）
1；＝、知o （1V）（2躍o（∧r）十λ（μo（ハr−−1））2 十2Lo（ハr− 十1）×ρψo（ゐ十1）
一←痴o（2V−−1）0κo（】∨−1）十λ（μ§（2V−−2））2 十』ζe（∧了一 十1） （3◎）
一γ゜（1）（μ゜（1V−1）一β⑪（1）卯゜（1V−1））2 であるとする。
＋澱・（2V−1）（ρ＋P＊（1））〆（1V」1） 仮定2 が⑥，∫一為＋1，…，2V−1を最適値に固 ＋λ（〃°（2V−2））2 （24） 定したときの微係数が
であるから， 2po（2V−一〃十1）〆（ゐ十1）十2LOノ（2V−〃十1）
∂」膓／∂μo（2V−2） （31）
一（a1星／∂卯o（ハr−1））（∂灘゜（1V−1）／∂μ゜（1V−2）） であるとする。
132
以上の仮定の下では，評価のが（のに関する微 となり，また，（33）式をゴ（カ）で微分すれば，
係数は，仮定1より， 仮定2により，P°（N−〃十1）， L°（1V−〃＋1）は，
1じづ＝1㌫石十灘解（糾1）（！w奪プ（糾1） 一定と考えてよいから，（26）式を導出したのと ＋λ（ ）（が（〃））2 （32） まったく同様にして，
の微係数を求めればよいから，（1）式を考慮して ∂1鳥．々／∂κ゜（ん）−2P°（1V−〃）允⑪（〃）＋2L° （〃）
変形し， （38）
∫9．々一γ゜（1V−〃）｛μ・（〃）一β⑪（N一ん）κ゜（ゐ） となる。よって，（35）〜（38）式が帰納的に証明 一θ℃V一ゐ）］2＋ピ1但）P＊（2V一是）斑奪（め された。
十2L＊（1V一ん）斑o（〃）十K＊（1V−〃）（33） （37）式は， po（0）＝0， Lo（0）＝0，κo（0）＝0と γ§（」v＿．ヵ）＿λ＋ぱ（（〜＋p奪（2v＿商））∂ おくことによって，逐次，（8（1），θ（1））．→（P（D・
β。（1V＿〃） L（1）， K（1）），→（β（2），θ（2））→を計算するため ＿＿（γn（2V＿め）−14ノ（（2十p・（1Vご痢））φ の繰返し関係を与えているが，最適解を求める段 θ・（N一丘）一（γ・（N一丘））−1L・（N一万W 階においては・最適軌道卯゜（ ）・丘一1・…・Nは未 P＊（1V−〃）一φ （0＋P・（1V−〃＋1））φ 知であるから，（37）式の繰返し関係は一見無意 ＿γ。（N＿ヵ）β・ （2V＿ヵ）8・（N＿旬 味に見える。しかし，（21）式より，α［・］の値は，
L＊（1V＿〃）＿L。（1V＿ヵTi）φ 0か1か一1の三値しかとらず，β゜（1V− ）瓦゜（ ） ＿γ§（1V＿旬θWV＿為）ザ（1V＿ゑ） ＋θ（1V一痴），是一（㌧…，N−1，の値そのものを知る
κ・（2V一ん）一κ・（N一胴） 必要がないことを殼れば
一γ・（1V−〃）（θw一力））・（34） α1刀臼（N一鳶）エθ（為）＋θ゜（N一鳶）］・
となるから，仮定2を考慮して。・（カ）による微分 ＝α ・M （39）
は，0，1，−1，からなる有限個のN系列である を求めて，最適関係を導けば，
から，その中から，最適な系列を選ぶことは可能
姻＝sat｛酬一為）駅為）÷θ咽一崩 である。しかしなカζら，系列の数は全部で3〃個
（35） あり，N猷な錫合は逗適な系列の繰的な となる・（35）式を（33）式に代入すれば， 選択法が必要となる。この点について，次のよう 1㌫戸澱吹旬P°（N一力）ピ（の な最適な系列を決定するアルゴリズムを証明なし ＋2L°（N−〃）〆（〃）＋K°（1V−〃） （36） で提案する。Pw吻 4逐次近似評価法
一P＊（ハr−〃）＋！α［8°（1V−一ゐ）κ゜（／V−〃）
＋θo（1v−〃）引 いま・ α［8酩2V一力）κペカ）＋θ蟹N一為）］・鳶＝◎・
×γ・（2V−〃）β・・（1V＿〃）β。（1V」） …，1V−1，の値（0，1，−1）を適当に推定して，
L，（ノV一ゐ） （34），（37）式の繰返し式を実行したとすれば，
一乙＊（2V一為）一α｛．8・（2V一為）灘奪（2V一為） β（〜V一力），θ（N一丘），カー◎，…，2V−1 （4◎）
＋θ゜（〜V−〃）］γ゜（N一ゐ）〃°（N−〃） が計算される（この場合，必ずしも最適ではない 刊α［ザ（N一のピ（N一幼十θ0（1V一力川 ことを考慮して右肩の゜は落している）。これと ×γ⑪（1V一ん）θ゜（1V一旬B°（N−〃） （35）式および（1）式を組合せれば，与えられた K。（N＿〃） 鋼より，エ臼），…，允（N）が計算できるから，あ ＝K＊（2V−〃）十1α［．80（2V−．為）κo（2V＿々） らためて，
十θo（〜V−〃）］1γo（2V−〃）（1十（θo（〜V一ん））2｝ α［β（2V−〃）κ（ゐ）十θ（2V一ゐ）］，
一α｛β゜（2v一ゐ）㍗N一力） 為一〇，…，N−1 （41）
＋θ゜（2V− ）］γ゜（2V− ）θ゜（1V− ） （37） の値を知ることができる。この系列と先に推定し
た系列とが一致すれば，各繰返し計算に矛盾がな
として，
かったことを意味しているから，先の系列は最適
カモエ系列であったということになる。このことを式で ノ婦一Σ｛卑．戸α［β（2v−」）躍（ノ）
※1あらわせば，
十θ（2V一ノ）D2
」。．、一左1（α。．ゾα［β（N−〃）κ（ゐ） ＝0 （48）
担 が得られているとき，
斗θ（2V−〃）1｝2 α、−q∬一・，一・，硫Ti （49）
＝0 （42） に対して，つぎのようにして，
ということになる。ここで，αN．元，〃−0，…，1V−1， 兎
は推定された適当な系列で，（β（2V一め，θ（N一旬， み＝惑｛α柄一α｛刀ρV一ノ）κ（」）
〃＝0，…，］V−1，は，（34）（37）式の繰返し式にお ＋θ（1V＿ノ）D2 いて，α㌣ザ（1V一力）ピ（の＋θ゜（1V− ）］の代りに，
−0 （50）
α鰺を代入して計算されたものである・またこ を得ることができる。
㌶：蒜膿言∵㍊纂蒙㌫（i）α［β（N一⑭同のとき・
ぱ髄解が求まることがわかる。そこで，い （㈹式の条件下では晒一炉゜）・この場合 まパぽをぴ仁、の三働こ齪せポ は・もともとα ・＝°と仮定しているから・た
だちに九一◎を得る。
1α司≦1 （43） （ii）α［β（N−〃）κ（カ）］一、のとき◎
と仮定すれば（34）（37）式よりあきらカ なよう この場合のα。．、の髄値は・である（証明略）。
に，B（1V−〃），θ（1V一のは，碗→，ノー1V−1，…，
したがって，最初の仮定αN．舞＝0より，鞠ヰ＝1
N 為ヰの連繍数であり・また，碑）， 弍 まで変化させる必要があるが，その途中の間，つ
・Nヰもけっき・くα勒」＝N−L ・の連 ねに在一◎を保たね‖ボならないから，輪は 続関数であることから・」旧の勾配法による最適 っぎのようにして変化させる必要がある。
化が殼ら編・しかしながら・α｛ ］は不連纈 β（N一加（」）＋θ（Nづ，ノ⇒＿，品，
数であるから，通常の勾配法の適用は収束の保証
（51）
を与えないので，ここでは，つぎのような変種の
は，飾．為の連続関数であるから，α∧⑭を0から 勾配法（逐次近似評価法）を提案する（ただし，
1へ途々に変化させれば，（51）式の各値も途々
灘鷲㌶㌶鷲隠煕の都合に璽化する・そして・あるノ酬・℃β（洞
κ（ノ）＋θ（」）の値が1の値を切ると仮定すれば，
（a）α戸ぴ『＝1・…・N−2・ （44） α［β（N一ノ）灘（ノ）＋θ（1V一ノ）］の値が変化するか とし・ ら，β（2V一ノ）κ（プ）＋θ（ノ）＝1となる《鞠一是の値に 」＝（α一α［β（N−1）允（1）］｝2 （45） 固定して，α。．，の値を変イヒしたα［β（N一加（ノ）
のαパに関する最小化をはかる。ここで，θ（N ＋θ（N一ノ）］に一致させたのち，ふたたび輪．彦の 一1）は，（44）式の条件のもとでは0である。そ 値を1へ向けて変化させる。（この場合α ．、の値 して・結果は・碗一・＝◎のときのβσV−1）工臼） の変化は他のみσV一ゾ）灘（ア）＋θρV一ノ ），ノ ←漏 の値をβ1（1V−1）斑1（1），と書くことにし， ノ＝1，…，〃−1の値に何ら影響しない（3章の理 α以＝α［ぴ（1V−1）躍1（1）］ （46） 論参照））。また，β（1V一ノ）κ（ノ）＋θ（1V一ノ）の¶直が
とおけば，晶＝0を得る（証明は次の機会にゆず 一1を切る場合も同様であり，このように，β（1V る）3｝。 一ノ）灘（ノ）＋θ（N一ノ），の値が1，−1を切るたびに （b） いま， α誤∫の値をそれに合わせて変化させることによ α ＝0，∫−1，…，1V−〃， （47） り，λ一〇を得ることができる。
134
（iiD α［β（2V一為）κ（カ）］一一1 のとき。
αN．鳶をoから一1へ変化させる以外は，（ii）と ：㌘こo 」た1 … N−1㎡
まったく同様である・ 。。。，。、、，、。、。，B（1）」。1−，。，
以上のような方法の意を汲んで，具体的には， by・q・ati…（34）（37）
つぎのような計算機アルゴリズムが考えられる。 k氷＋1 k剛
騨のため・』・が得られており・β（N− ） 榔．、）糊。奪 s，。，YESκ（の＞1である場合について述べる。απ鴫の値
がαも。のとき，み．、一◎，すなわち， NO
α礼．戸α［β （N一加 （ノ）＋θ （1V一プ）］， k司YES NO
ノ＝1，… ， 為一一1 （52）
￥ES
NO
が得られているとすれば s日1≡〜漂蕊（1）（；ぽ．
α㌔ax＝＝2一ζどもln （53）
とおき，さらに sパα，．、一（α＿＋α＿）／2 刷一・一（α盆・x減㌔・・）／2 （54） ・。m，嘱．ぼ一、＿，・−1，
αNづ＝αもつ，ノ＝1，…，〃−1 （55） f・rαN．、，j≡1，・．．，k，
とおいて，これに対応する も遠ee壕迦⑭
α［β＊（1V一ノ）が（」）＋θ＊（1V−」）L
ノーL…旧 （56） 蕊蠕；∵二i∴1ごL
を計算し，さらに，もう一・度 砿：㌫，bパh。 e巫泌㈲
α ．，一麟．ノーα［β＊（2V一ノ）κ＊（ノ）＋θ＊（1V一ノ）工，
」＝1，…，〃⊃含α薫．女＝（εビ㌔ax一已ふ）／2， 。・＝ぱ牲 N−j N−j
ホホ αN−1一αNづ 1＝1，．、．，k−1
（57） 」＝L 川k−1 NO ㎜ N−kα ＝α
とおいて，これに対応する
YES α ぱ
α燈ゴ＝α［β＊＊（1V一ノ）席＊＊（ノ）十θ＊＊（］V一ノ）］， Setα蜘＝α牛、 α〔B（N叉）x（k）
M）
ノー1，…，カー−1 （58） ． YES
を計算する。そして
α寿．戸α｛8・・（N一ノ）κ・・（」）＋θ・・（N＿ノ）］， 晦笈 」−1，…， −1， （59） 適用可能であると思われる。
が満足される場合には，飾．海一（α盆、。＋αも1。）／2に
5．例 題 対して，みづ一〇が得られていることを意味して
おり，αLl。＜1，ならば， 例題1 飢一［100］ に対して・
α㌔1・一（碗・・w㌔・・）／2 （6◎） 〔11］ 1
な働こを主 ［。∴＼ヱとおいて，（53）式にもどる。（59）式が満足され 系 席（ ＋1）＝i κ（〃）＋2〃（の，
αL、。一（α盆、。＋αもi。）／2 （61） ＝0・…・9
‡㍍漂蕊遼㌶繰返しの収克 評価磯｛〃（〃）［；1］躍（〃）
のぷ晶この流れ図を馴に示すi62） ＋膨（剛・｝
以上のようなアルゴリズムの収束の証明は参考 最適操作量の値および最適位相軌道を第2図に 文献〔3〕を参照されたい。この方法は現存のデ 示す。なお計算時間は，版3秒（FACσM 23◎−6◎）
ジタル計算機において，かなりの多次多入力系に であった。
づ
例題2 鰯一［租◎P に対して，
系 w但＋1）
P，2，45，☆1ノ。 〃一α…・9
評価：例題1に同じ。
結果は第3図に示す。計算時間は，8．1秒。
参 考 文 献
F g2 ﾔ漂漂㍑、蒜㌶1°f，霊 ・）Chyun・・D・H・・pisc・e・・Li・・・・…im・1
Control Syste㎜s wlth Essentially Quadratic Cost Funetionals， 伍EE Tr餓s A磁◇mati◎
Control AC−1ユ，3，404（1966）
f 婦 2）D・1・y・D・H・：◎p銭m・1B鋼ded C・雄・1・f
l 、。8危 ㌫際p㌶・蒜1隠叢驚
ぺp食 1ng， Seロes】【），87，ρ．135（1965）
3）伊藤：逐次近似評価法の収束の証明，九州工業大 《7 埠‥… 舟……… °ヴ 学研究報告，26号（1973）
4）Kuhn。 H． W．＆Tucker， A． W．：Non−1inear Programming， Proc． of Second Berkeley Sym・
posium on Mathematica▲ Statistics and Pro−
bability，481／492 （1951）
●一●の ㊨●■ 哨・●●一● ● ・●
了 2
S● ● ● 参 珍
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