は原点を含まない

ex19.Residue.1

留数

の計算

C

zⁿdz = 2πi δn−1= {

2πi ; n=−1

0 ; n̸=−1 , C

は原点を含む反時計回りの閉曲線

C

zⁿdz = 0, C

は原点を含まない

反時計回りの

閉曲線

閉曲線

を表すパラメータを

とする；

Rez

Imz

( )s θ

C

(0) 0 θ =

(1) 2 θ = π ( )

r s

( )ⁱ( )^s

r s e^θ

Cが原点を含む場合

Rez

Imz

( )s θ

C

(0) 0 θ =

( ) r s

( )ⁱ( )^s

r s e^θ

(1) 0 θ =

Cが原点を含まない場合

r(1) =r(0), θ(1)−θ(0) = {

2π ; Cが原点を含む場合

0 ; Cが原点を含まない場合 . (1.3)

積分変数を

から

に変える；

dz → dz

ds ds=

(dr(s)

ds +ir(s)dθ(s) ds

)

exp(iθ(s))ds . (1.4)

I

C

zⁿdz =

∫ 1 0

r(s)ⁿ (dr(s)

ds +ir(s)dθ(s) ds

)

e^i(n+1)θ(s)ds= 1 n+ 1

∫ 1 0

d ds

(

r(s)ⁿ⁺¹e^i(n+1)θ(s) )

ds

= 1

n+ 1 (

r(1)ⁿ⁺¹e^i(n+1)θ(1)−r(0)ⁿ⁺¹e^i(n+1)θ(0) )

= 0, n̸=−1. (1.5)

I

C

z⁻¹dz =

∫ 1 0

r(s)⁻¹ (dr(s)

ds +ir(s)dθ(s) ds

) ds=

∫ 1 0

1 r(s)

dr(s) ds ds+i

∫ 1 0

dθ(s) ds ds

= [

logr(s) +iθ(s) ]s=1

s=0= logr(1)−logr(0) +i (

θ(1)−θ(0) )

= {

2πi ; C

が原点を含む場合

0 ; C

が原点を含まない場合

I

C

f(z)

z−a dz ^z=a+w= I

C^′

f(a+w) w

dz

dwdw ^Taylor=^展開

∑∞ n=0

f⁽ⁿ⁾(a) n!

I

C^′

wⁿ

w dw= 2πif(a), (1.7) I

C

f(z)

(z−a)² dz= 2πi f^′(a), f⁽ⁿ⁾(z) = dⁿf(z)

dzⁿ . (1.8)

ex19.Residue.2

.

● 閉曲線の内部に分母が

になる点が複数ある場合は，積分路を複数に分けて，それぞれの積分路の内部に分 母が

になる点が一つになるようにする。

Rez Imz

C

z=a z=b

Rez Imz

z=a z=b

C1

C2

I

C

f(z)

(z−a)(z−b) dz = I

C1

1 z−a

f(z) z−b dz+

I

C2

1 z−b

f(z) z−a dz

= 2πi (f(a)

a−b+ f(b) b−a

)

= 2πi f(a)−f(b)

a−b . (2.1)

複素数のまとめ

は実数

実/虚部表示 極表示 複素数

実部

虚部

絶対値

x²+y² =r(≥0)

偏角

(tanθ=_x^y)

複素共役

【注】z の複素共役を

ではなく

と書く場合もあり ます。

x y

z iz

−z _z

Re x= z Im

y= z

r θ

O

複素平面

横軸に実部x,縦軸に虚部yを描いたもの

・オイラーの公式

は実数.)

・積と商

z1z2 = x1x2−y1y2+i(x2y1+x1y2) =r1r2e^i(θ1+θ2) (2.2) z1

z2

= x1x2+y1y2+i(x2y1−x1y2) x²₂+y₂² = r1

r2

e^i(θ1−θ2) (2.3)

z1 z2 = z1 z2 (2.4)

・e

の性質

e⁰= e^i2π= 1, e^{i π} =−1. (2.5)

|e^z|= e^x,

特に

特に

・微分積分

d

dte^zt=ze^zt. (2.8)

∫

e^ztdt= 1

ze^zt+C. (2.9)

・オイラーの公式を逆に解いたもの

2i =−i e^iθ−e^−iθ

2 , (2.10) cosθ=e^iθ+ e^−iθ

2 , (2.11)

・複素共役,

倍, 逆数.

¯

z=re^iθ=re^−iθ, (2.12)

−z=−r(e^iθ) =re^i(θ+π), (2.13) 1

z = 1 re^iθ =1

re^−iθ (2.14)