計 算 数 理 特 論 〔情報科学研究科〕
応 用 数 理 概 論 II 〔多元数理科学研究科〕
応 用 数 理 II 〔理学部数理学科〕
レ ポ ー ト 課 題
2007年1月11日 三井
（1月18日修正）
締切：2月5日 次の課題のうち，任意に2題 を選んで解答せよ．レポートの提出は，電子メイルでよい
（むしろ推奨する）．その場合は，できればLATEX で記述したsource file（と，必要なら そこで用いられるデータや図のfile）を送ってほしい．このレポート課題の pdf fileある いはLATEX2ϵ source file は三井の Web site
http://www.math.cm.is.nagoya-u.ac.jp/~mitsui/
から読みに行くことができる．
1 １階導函数 x′ = dx/dt が陽に現われない２階微分方程式d2x/dt2 = g(t, x) の初期値 問題を解くのに，連立１階方程式に直すことなく数値的に解く次の公式が知られている
（Runge-Kutta-Nystr¨om 公式）．
xn+1 = xn+h
{
x′n+ 1
4h(k1+k2)
}
, x′n+1 = x′n+1
4h(k1+ 3k2), k1 = g(tn, xn), k2 =g
(
tn+ 2
3h, xn+ 2
3hx′n+1 3h2k1
)
この公式が３次であることを示せ．
注意：xn, x′n が tn における真の値だと仮定し，１ステップ進んだとき，数値解のべき級 数展開がh3 まで一致することを示す．ただし，xn+1 だけではなくx′n+1 が２次近似であ ることを示さないと，前記の仮定が続かない．
2 或る生物種の人口 (population) の時間変化u(t)が，次のような方程式で表されると
いう． du
dt =au−bu2−cu
∫ t
0
u(τ) dτ
aをマルサス(Malthus)係数といい，bu2は個体間の競争による死滅の効果を表し，最後 の積分項が，閉じた系(closed system) でのその生物による環境劣化の累積効果を示す．
(i) v(t) =
∫ t
0
u(τ) dτとおいて，u, vに関する連立常微分方程式に，上の微分積分方程式
を書き直せ．
1
(ii) a=b= 1とし，初期条件をu(0) = 0.1のときの解を数値的に求めよ．古典的 Runge- Kutta 公式を用い，c= 0.05,0.1,0.5,2の各々について計算し，解を図示して，その意味 を解釈せよ．
3 単振動の方程式
dq
dt =p, dp dt =−q
に対して，陰的中点則を適用し，第nステップの [qn, pn]T から第(n + 1)ステップの [qn+1, pn+1]T を定める写像を考える．
(1) この写像は面積を保存することを，行列式を計算することにより確かめよ．
(2) 原点を中心とする円は，この写像の不変集合であることを示せ．
(3) 時間ステップh を1/8,1/16,1/32, . . . のように変化させながら，陰的中点則で計算を 実行し，結果を図示せよ．
4 確率微分方程式
dX =aXdt+bXdW(t) （a, b は定数）
の初期値問題X(t0) =X0 を考える．
(1) その解析解 X(t)を伊藤の公式により導出せよ．
(2) X(t) の平均値 E(X(t)) を求めよ．
レポート提出先：研究室（情報科学研究科棟３階３１４室）
電子メイルの場合は
付記：余白があれば，講義に対する感想・意見等を記してもらえると，なお結構である．
以上
2
