微分積分学第一 (7)

微分積分学第一 (7)

山田光太郎 [email protected]

http://www.math.titech.ac.jp/~kotaro/class/2014/calc1/

2014.05.28 (2014.05.28

)

ご意見から

ご意見： 授業の

PowerPoint

コメント：

PowerPoint

提示資料は当日朝に電車の中で作ったりしているので，難 しいです．

ご意見： 睡摩の

“

”

. . .

ご意見： パソコン画面のマウスポインターってどうやって動かして るんでしょうか．マウスを使っていらっしゃらないように 見えるのですが

. . .

コメント： ワイヤレス・トラックボール（通称「ごろねマウス」）を 使っています．

質問から

Q:

?

A:

日常生活ではどのように使い分けるのですか

?

Q:

ボクの目がおかしいのでしょうか

?

A:

質問から

Q: ∂

u

∂t

− c

∂

u

∂x

(c > 0)

ξ = x − ct , η = x + ct

A:

この置換を思いついたのが偉いので，

d’Alembert

質問から

Q:

6.5

d (G ◦ F )(x) = dG ( F (x) )

dF (x)

の「右辺の積が行列の積を表す」とありますが，行列の積 だといわれるまで気づきませんでした．どこを見て行列の 積だと判断すべきなのでしょうか

?

A:

定義から

dG

dF

ひとつ記号が数を表すのか，ベクトル，行列を表すのか，

関数を表すのかを文脈で判断しましょう．

質問から

Q: p47

6.8

d (F

) ( F (x) )

は

( F (x) )

d (F

)

?

d (F

) ( F (x) )

= dE

? d (F

) (

F (x) )

= (

dF

(x) )

の式が理解できません．

A:

d ( F

)(

F (x) )

= (

dF (x) )

.

左辺： 写像

F

d (F

)

F (x)

F

dF

x

写像の微分（ヤコビ行列）

D :=

{

(r, θ) r > 0, − π

2 < θ < π 2

}

, U := { (x, y) | x > 0 }

F : R

⊃ D ∋ (r, θ) 7−→ (x, y) ∈ U ⊂ R

F (r , θ) = (x, y) x(r, θ) = r cos θ, y(r, θ) = r sin θ.

F

dF (

= dF (r, θ) )

=



 

∂x

∂r

∂x

∂θ

∂y

∂r

∂y

∂θ



  =

( cos θ − r sin θ sin θ r cos θ

)

.

写像の微分（ヤコビ行列）

D :=

{

(r, θ) r > 0, − π

2 < θ < π 2

}

, U := { (x, y) | x > 0 }

G : R

⊃ U ∋ (x, y) 7−→ (r, θ) ∈ D ⊂ R

G (x, y) = (r, θ) r(x, y) = √

x

+ y

, θ(x, y) = tan

y x . G

dG (

= dG (x, y) )

=



 

∂r

∂x

∂r

∂y

∂θ

∂x

∂θ

∂y



  =



 

√ x

x

+ y

√ y

x

+ y

− y x

+ y

x x

+ y



  .

合成写像

D :=

{

(r, θ) r > 0, − π

2 < θ < π 2

}

, U := { (x, y) | x > 0 } F (r , θ) = (r cos θ, r sin θ) G (x , y) = (√

x

+ y

, tan

y x

)

この状況で

F ◦ G (x, y) = F (

G (x, y) )

= F (√

x

+ y

, tan

y x

)

= (√

x

+ y

cos tan

y x , √

x

+ y

sin tan

y x

)

= (x, y) = id

(x, y) (

) G ◦ F (r , θ) = G (

F (r, θ) )

= G (

r cos θ, r sin θ )

= (√

(r cos θ)

+ (r sin θ)

, tan

r sin θ r cos θ

)

= (r, θ) = id

(r , θ) (

)

逆写像

D :=

{

(r, θ) r > 0, − π

2 < θ < π 2

}

, U := { (x, y) | x > 0 } F (r , θ) = (r cos θ, r sin θ) G (x , y) = (√

x

+ y

, tan

y x

)

この状況で

F ◦ G = id

, G ◦ F = id

(id

, id

)

G = F

F = G

(

)

合成関数と逆関数の微分公式

一般に

d (F ◦ G ) = (dF )(dG ) d (

F ◦ G (x, y) )

= dF (

G (x, y) )

dG (x, y) d (G ◦ F ) = (dG )(dF ) d (

G ◦ F (r , θ) )

= dG (

F (r , θ) )

dF (r , θ).

とくに

G = F

d (F ◦ G) = d id

= E d (G ◦ F ) = d id

= E E = ( 1 0

0 1 )

すなわち

(dF )(dG ) = E , (dG )(dF ) = E (G = F

)

dG = d (F

) = (dF )

合成関数と逆関数の微分公式

F (r, θ) = (r cos θ, r sin θ) G (x, y) = (√

x

+ y

, tan

y x

)

= F

(x, y)

dF (r, θ) =

( x

x

y

y

)

=

( cos θ − r sin θ sin θ r cos θ

)

dG (x, y ) = (

r

r

θ

θ

)

=



 

√ x

x

+ y

√ y

x

+ y

− y x

+ y

x x

+ y



  .

すなわち

dF (r, θ) = (

dG (r cos θ, r sin θ) )

, dG (x, y ) =

( dF (√

x

+ y

, tan

y x

))

ラプラシアンの極座標表示

u

+ u

= u

+ 1 r u

+ 1

r

u

(x = r cos θ, y = r sin θ)

( r

r

θ

θ

)

=

( x

x

y

y

)

=

( cos θ −r sin θ sin θ r cos θ

)

=

( cos θ sin θ

−

sin θ

cos θ )

だから

∂u

∂x = r

∂u

∂r + θ

∂u

∂θ = cos θ ∂u

∂r − 1

r sin θ ∂u

∂θ

∂

u

∂x

= cos θ ∂

∂r (

cos θ ∂u

∂r − 1

r sin θ ∂u

∂θ )

− 1 r sin θ ∂

∂θ (

cos θ ∂u

∂r − 1

r sin θ ∂u

∂θ

)

Cassinian Oval

F (x, y ) = 2(x

− y

) − (x

+ y

)

− a, C = { (x, y ) | F (x, y ) = 0 }

-1 1

x

1

y

a ‡ 1

Cassinian Oval

F (x, y ) = 2(x

− y

) − (x

+ y

)

− a, C = { (x, y ) | F (x, y ) = 0 }

-1 1

x

1

y

a ‡ 0.5

Cassinian Oval

F (x, y ) = 2(x

− y

) − (x

+ y

)

− a, C = { (x, y ) | F (x, y ) = 0 }

-1 1

x

1

y

a ‡ 0

Cassinian Oval

F (x, y ) = 2(x

− y

) − (x

+ y

)

− a, C = { (x, y ) | F (x, y ) = 0 }

-1 1

x

1

y

a ‡ - 1

Cassinian Oval

F (x, y ) = 2(x

− y

) − (x

+ y

)

− a, C = { (x, y ) | F (x, y ) = 0 }

-1 1

x

1

y

a ‡ - 3

Cassinian Oval

F (x, y ) = 2(x

− y

) − (x

+ y

)

− a, C = { (x, y ) | F (x, y ) = 0 }

-1 1

x

1

y

a ‡ - 4