On a refinement of the reciprocity law on Stark units

(1)

On a refinement of the reciprocity law on Stark units

東京理科大学理工学部加塩朋和 E-mail : kashio [email protected]

2017

年

5

月

31

日

(

水

) 15:00-16:00

(2)

文献

[K1]

K., Fermat curves and a refinement of the reciprocity law on cyclotomic units, to appear in J. Reine Angew. Math.

[K2]

K., On the algebraicity of some products of special values of Barnes’

multiple gamma function, to appear in Amer. J. Math.

[K3]

K., On the ratios of Barnes’ multiple gamma functions to the p-adic analogues (preprint, arXiv:1703.10411)

[Y]

H. Yoshida, Absolute CM-Periods, Math. Surveys Monogr.

106,

Amer. Math. Soc., 2003.

(3)

ガンマ関数

定義

(Euler’s Γ-function) Γ(s ) :=

∫ _∞

0

t

^s⁻¹

e

⁻^t

dt (Re(s ) > 0).

Γ(1) = 1, Γ(2) = 1, Γ(3) = 2, Γ(4) = 6, . . . Γ(n) = (n − 1)! (n ∈

N).

(

∵

sΓ(s ) = Γ(s + 1).) Γ(1/2) = 1.772453850 . . . .

Γ(1/3) = 2.678938534 . . . , Γ(2/3) = 1.354117939 . . . . Γ(1/4) = 3.625609908 . . . , Γ(3/4) = 1.225416702 . . . . Γ(1/2)

²

= 3.141592653 . . . .

Γ(1/4)Γ(3/4)/π = 1.414213562 . . . .

3Γ(1/3)Γ(2/3)/2π = 1.732050807 . . . .

(4)

ガンマ関数

定理

(Euler’s reflection formula)

Γ(z)Γ(1 − z ) =

_sin(πz)^π

.

命題

(Hurwitz-Lerch)

ζ (s , x) :=

∑_∞

m=0

(x + m)

⁻^s

⇒

^Γ(x)^√_2π

= exp(

_∂s^∂

ζ(s , x) |

s=0

).

系

exp(ζ

^′

(0,

^a_n

)) exp(ζ

^′

(0,

ⁿ⁻_n^a

)) =

^Γ(

a n)

√2π

·

^Γ(^√ⁿ_2π⁻ⁿ^a⁾

=

_{2 sin(}¹πa

n)

=

ⁱ

ζ_2n^a−ζ_2n⁻^a ≒

“

円単数

”. (ζ

_2n

:= exp(

^2πi_2n

).) σ ∈

Aut(Q

)

↷

⟨ ζ

_n^a

⟩ ∼ =

Q

/

Z

= {

^a_n

mod

Z}

⇒ “

^{円単数の相互法則}

” σ

(Γ(^a_n)

√2π

·

^Γ(^√ⁿ_2π⁻ⁿ^a⁾ )

= ±

^Γ(σ(^√_2π^aⁿ⁾⁾

·

^Γ(σ(^√ⁿ_2π⁻ⁿ^a⁾⁾

.

≒ ^基礎体がQ^の場合の

Stark Conjecture.

(5)

ガンマ関数

積

exp(ζ

^′

(0,

^a_n

)) exp(ζ

^′

(0,

ⁿ⁻_n^a

))

の代数性

,

相互法則

各

exp(ζ

^′

(0,

^a_n

)) =

^Γ(

a n)

√2π の超越数部分は？

⇝

Chowla-Selberg formula, Rohrlich’s formula

⇝ ^円分体 Q

(ζ

_n

)

の

CM

周期

.

(6)

ガンマ関数

定理

(Chowla-Selberg formula)

虚

2

次体

K

に対し

p

_K

∈

C^×

/

Q^× ^を

,

以下の同値な定義で定める

. O

K ↷

E : y

²

= x

³

+ ax + b (a, b ∈

Q

)

p

K

≡ π

⁻¹

∫

γ dx

y

mod

Q^×

K =

Q

(τ ) (Im(τ ) > 0), η(τ ) := e

^2πiτ²⁴ ∏_∞

n=1

(1 − e

^2nπi^τ

) p

_K

≡ η(τ )

²

mod

Q^×

.

このとき

p

_K

≡ 1

√ π

d∏−1 a=1

Γ(

_d^a

)

^wχ(a)^4h

mod

Q^×

.

p

K は一般の

CM

^体

K

に対して拡張されている

(

^{志村氏の周期記号}

).

⟨P

_Q(ζn)

(ι, ι

^′

), π⟩

_Q≒

⟨Γ(

^a_n

), π⟩

_Q

(Rohrlich’s formula).

(7)

今日の話題

不変量

exp(ζ

^′

(0,

^a_n

)) =

^Γ(

a n)

√2π の

“

多重化

”:

Euler’s Γ-function ⇒ Barnes’ multiple Γ-function.

有理数体 Q

⇒

^総実体

F

^{上の整数論}

.

代数性

.

超越数部分に関する吉田予想の紹介

. p

^進類似

.

吉田予想

+ p

^進類似

⇒

^？？？

(8)

多重ガンマ関数

定義

Barnes’ multiple zeta function: r ∈

N

,

ω

= (ω

₁

, . . . , ω

_r

) ∈

R^r₊

, x ∈

R+

ζ

r

(s ,

ω,

x) :=

∑

m=(m1,...,mr)∈Z^r_≥0

(x +

m^tω)⁻^s

(Re(s) > r ).

(9)

多重ガンマ関数

ζ

_r

(s ,

ω,

x) :=

∑

m=(m1,...,mr)∈Z^r_≥0

(x +

m^tω)⁻^s

.

𝜻𝟏(𝒔, 𝝎 , 𝒙) 𝜻(𝒔, 𝒙)

𝜻𝟐(𝒔, 𝝎𝟏, 𝝎𝟐, 𝒙) 𝟏 𝒙

𝝎 𝒙

𝒙 + 𝟏 𝒙 + 𝟐 𝒙 + 𝟑 𝒙 + 𝟒

𝒙 + 𝝎 𝒙 + 𝟐𝝎 𝒙 + 𝟑𝝎

𝝎𝟏

𝝎𝟐 “半格子点”

(10)

多重ガンマ関数

定義

Barnes’ multiple zeta function: r ∈

N

,

ω

= (ω

₁

, . . . , ω

_r

) ∈

R^r+

, x ∈

R+

ζ

_r

(s ,

ω,

x) :=

∑

m=(m1,...,mr)∈Z^r_≥0

(x +

m^tω)⁻^s

(Re(s) > r ).

(modified) Barnes’ multiple gamma function:

Γ

r

(x,

ω) := exp (

∂

∂s ζ

r

(s,

ω,

x) |

s=0

)

. c.f., Lerch’s formula:

^Γ(x)√

2π

= exp

(_∂

∂s

ζ

1

(s, (1), x) |

s=0

)

.

(11)

総実体の部分ゼータ関数

定義

[F :

Q

] < ∞ :

^代数体

O

F

:

^整数環

, E

F

:= O

^×_F

:

^単数群

.

S

_R

:=

Hom(F

,

R

):

実素点の集合

, r

₁

:= | S

_R

| . F

が総実体

⇔ [F :

Q

] = r

₁

.

F

₊

:= { α ∈ F | ∀ ι ∈ S

_R

, ι(α) > 0 } . α ∈ F

^が総正

⇔ α ∈ F

+

⇔ α >> 0.

O

F,+

:= O

F

∩ F

+

.

E

F,+

:= E

F

∩ F

+

:

^{総正単数群}

.

(12)

総実体の部分ゼータ関数

定理

(Dirichlet’s unit theorem

の系

) F

^{が総実代数体であれば}

E

F,+

∼ =

Z^[F^:^Q^]⁻¹

.

例

F =

Q(

√

2)

^のとき

O

_Q₍^√₂₎

=

Z

[ √

2].

Hom(Q

( √

2),

R

) = { √

2 7→ ± √

2 } , r

1

= 2.

E

_Q₍^√₂₎

= {±(1 + √

2)

ⁿ

| n ∈

Z}.

E

_Q₍^√_2),+

= { (3 + 2 √

2)

ⁿ

| n ∈

Z}

(1 + √

2 7→ 1 ± √

2 = 2.414213562 . . . , − 0.414213562 . . . ).

(13)

総実体の部分ゼータ関数

定義

[F :

Q

] < ∞ .

I

_F

:

^{分数イデアル全体}

.

整イデアルf

⊂ O

F に対し

I

_f

:= {

a

∈ I

_F

| (a,

f) = 1

} ,

P

_f

:= { (α) ∈ I

_F

| α ∈ F

^×

, α ≡ 1 mod

^∗ f, α >>

0 } ,

C

_f

:= I

_f

/P

_f

:

f ^{を法とする}^狭義 ^{イデアル類群} a

∈ I

_f ^{の属するイデアル類を}

[a] ∈ C

_f ^で表す

.

(14)

総実体の部分ゼータ関数

定義

部分ゼータ関数

:

ζ(s, c) =

∑

OF⊃a∈c

Na

⁻^s

(Re(s ) > 1, c ∈ C

_f

) F =

Q^のとき

(

Z

/n

Z

)

^{× ∼}

→

⁼

C

_(n)

, a mod n 7→ [(a)] (0 < a < n, (a, n) = 1).

イデアル類

[(a)] = { (a), (a + n), (a + 2n), . . . } . ζ(s, [(a)]) = (a)

⁻^s

+ (a + n)

⁻^s

+ (a + 2n)

⁻^s

+ . . .

= ζ

₁

(s, (n), a) = n

⁻^s

ζ(s,

^a_n

).

(15)

代数性

以下

F

^は^総実体 ^とする

.

定理

(

新谷公式

+

吉田の類不変量

)

あるデータ

(

^{新谷の基本領域}

,

^{イデアル類の代表元}

)

^{を固定するごとに}

∃ z

_k

, α

_l

, β

_l

∈ F

+

,

v_k

∈ F

₊^r^k

s.t.

ζ

^′

(0, c ) =

∑

ι∈S_R

( _K

∑

k=1

log(Γ

rk

(ι(z

k

), ι(v

k

))) +

∑L l=1

ι(α

l

) log(ι(β

l

))

)

=:

∑

ι∈S_R

X (c , ι).

さらに

exp(X (c , ι)) mod ι(E

_F_,+

)

^Q はデータの選び方によらない

.

(16)

代数性

あるペア

c, c

^′ に対し積

exp(X (c, ι)) exp(X (c

^′

, ι))

は

“

単数

”.

定義

ι ∈ S

_R

=

Hom(F

,

R

)

^に対し

ν

ι

∈ O

F

s.t. ν

ι

≡ 1 mod

f,

ι(ν

ι

) < 0, ι

^′

(ν

ι

) > 0 (ι ̸ = ι

^′

∈ S

_R

).

s

ι

= [(ν

ι

)] ∈ C

f

.

命題

s

_ι^CFT

↔ “

実素点

ι

上の複素共役写像

”.

すなわち

F

^{fin, ab}

⊂ K , ˜ ι: K , →

C, ˜

ι|

F

= ι

^のとき

C

_f_K/F ^Art

→

Gal(K

/F ) →

^˜^ι^∗ Aut(C

),

s

ι

7→

^{複素共役写像}

.

(17)

代数性

定理

(新谷公式 +

吉田の類不変量)

ζ

^′

(0, c ) =

∑

ι∈S_R

X (c , ι).

定理

(

吉田

[Y] ([F : Q ] = 2), [K2] ([F : Q ] > 2))

ι ̸ = ι

^′

⇒ exp(X (c, ι)) exp(X (cs

_ι′

, ι)) ∈ ι(E

_F,+

)

^Q

.

予想

(rank 1 abelian Stark conjecture, w.r.t. real place)

自明な例外を除いて

exp(ζ

^′

(0, c )) exp(ζ

^′

(0, cs

_ι′

)) =

∏

ι∈S_R

exp(X (c , ι)) exp(X (cs

_ι′

, ι)) ∈ ι ˜

^′

(E

_K_f_,+

)

¹²

,

Art(c^′

)(exp(ζ

^′

(0, c)) exp(ζ

^′

(0, cs

_ι′

))) = ± (exp(ζ

^′

(0, cc

^′

)) exp(ζ

^′

(0, cc

^′

s

_ι′

))).

“Stark

^{単数の相互法則}

”

(18)

代数性の証明のアイデア

半格子点の和集合

R ⊂ F

に対し

Z

_ι

(s, R) :=

∑

z∈R

ι(z )

⁻^s とおく

.

吉田の類不変量の定義

⇒ X (c , ι)

≒

Z

_ι^′

(0, R

_c

) ( ∃ R

_c

⊂ F

₊

).

Key fact: R

_c⨿

R

_cs_ι′ ≒

R − uR ( ∃ R = R

_c,cs_ι′

⊂ F , ∃ u ∈ E

_F_,+

).

⇒ X (c , ι) + X (cs

_ι′

, ι)

≒

Z

_ι^′

(0, R

_c⨿

R

_cs_ι′

)

= Z

_ι^′

(0, R) − Z

_ι^′

(0, uR )

= d

ds Z

_ι

(s , R) |

s=0

− d

ds ι(u)

⁻^s

Z

_ι

(s , R) |

s=0

= d ds

(

(1 − ι(u)

⁻^s

)Z

ι

(s, R)

)

|

s=0

= Z

_ι

(0, R) log(ι(u)).

(19)

新谷の手法

より詳しく説明するには

X (c, ι)

≒

Z

_ι^′

(0, R

_c

)

となる

R

_c

⊂ F

₊

⇐

^{吉田の類不変量の定義}

⇑

新谷氏による部分ゼータ関数

ζ (s , c) =

∑

OF⊃a∈c

Na

⁻^s の記述まで戻る必要がある

.

c ∈ C

_f

.

fix

ac

s.t. [a

c

] = π(c) ∈ C

₍₁₎

(π : C

_f

→ C

₍₁₎

).

a

∈ c ⇒ [a] = [a

c

] ∈ C

₍₁₎

⇒ ∃z ∈ F

+

s.t. z

ac

=

a.

⇒ {O

F

⊃

a

∈ c } =

a_c

· { z ∈

a⁻_c¹

∩ F

₊

, | z

a_c

∈ c }

↶

E

_F_,+

=

a_c

· { z ∈

a⁻_c¹

∩ D | z

a_c

∈ c } .

D:

^{新谷の基本領域}≒

F

+

/E

_F,+

(

^実際は

F ⊗

_QR+

/E

_F_,+

).

(20)

新谷の手法

定義

一次独立なベクトルv1

, . . . ,

vr

∈

Rⁿ ^に対し

C (v

1

, . . . ,

vr

) := {t

1v1

+ · · · + t

rvr

| t

i

∈

R+

} ⊂

Rⁿ をv₁

, . . . ,

v_r を基底とする

cone

と呼ぶ

.

n

次の総実体

F

に対し

S

_R

= { ι

₁

, . . . , ι

_n

}

^{の順番を固定して}

F ⊗

R

→

^∼⁼ Rⁿ

, α ⊗ r 7→ (ι

1

(α)r , . . . , ι

n

(α)r)

と同一視する

.

Rⁿ ^の

cone

^で

,

^{基底が全て}

O

F

(⊂ F ⊗

R

=

Rⁿ

)

^に含まれるものを

F

^の

cone

^と呼ぶ

.

同一視

F ⊗

R

=

Rⁿ ^においてRⁿ₊ ^{に対応する部分を}

F ⊗

R+ で表す

.

(21)

新谷の手法

定理

(新谷)

総実体

F

に対し

,

商

F ⊗

R+

/E

_F_,+ の基本領域

D

として

,

有限個の

F

の

cone

の非交和として書けるものが取れる

.

^すなわち

∃ v

_ij

∈ O

F,+

(j ∈ J , 1 ≤ i ≤ r(j ), | J | < ∞ , r(j ) ∈

N

) s.t. F ⊗

R+

=

⨿

u∈EF,+

uD, D =

⨿

j∈J

C (v

j1

, . . . , v

_jr(j₎

).

このような

D

^を^{新谷の基本領域} ^{と呼ぶことにする}

.

(22)

新谷の手法

例えば

F =

Q

( √

d )

^のとき

∃ ϵ = a + b √

d s.t. E

_F_,+

= ⟨ ϵ ⟩ .

⇒ D = C (1)

⨿

C (1, ϵ), F ⊗

R+

=

R²+

=

⨿

n∈Z

ϵ

ⁿ

D.

𝜖 = 𝑎 + 𝑏 𝑑

𝑎 + 𝑏 𝑑 𝑎 − 𝑏 𝑑

𝜖²

𝜖³ 𝜖⁻¹

𝜖⁻² 𝐶(1)

1

𝐶(1, 𝜖)

× 𝝐^−𝟏

× 𝝐

𝐶(𝜖, 𝜖²)

𝐶(𝜖², 𝜖³) 𝐶(𝜖⁻¹, 1)

𝐶(𝜖⁻¹, 𝜖⁻²)

𝑫 = 𝑪 𝟏 ∐ 𝑪(𝟏, 𝝐) 𝐶(𝜖⁻¹)

𝐶(𝜖)

𝐶(𝜖²)

(23)

新谷の手法

新谷の基本領域

D =

⨿

j∈J

C (v

_j

)

に対し

ζ(s, c ) = N(a

_c

)

⁻^s∑

j∈J

∑

z∈a⁻c¹∩C(v_j),zac∈c

Nz

⁻^s

.

命題

f

|

ac と仮定し

R(c ,

v_j

) := {

x

∈ (0, 1]

^r^(j⁾

|

x^tv_j

∈

a⁻_c¹

, (x

^tv_j

)a

c

∈ c }

^とおくと

| R(c ,

v_j

) | < ∞ .

{z ∈

a⁻_c¹

∩ C (v

j

) | za

c

∈ c} =

⨿

x∈R(c,vj)

{(x +

m)^tvj

|

m

∈

Z^r_≥0^(j⁾

}.

⇒ ζ(s, c) = N(a

c

)

⁻^s∑

j∈J

∑

x∈R(c,vj)

∑

m∈Z^r(j)_≥₀



∏

ι∈S_R

ι((x +

m)^tvj

)





−s

.

(24)

新谷の手法

ζ (s , c ) = N(a

_c

)

⁻^s∑

j∈J

∑

x∈R(c,vj)

∑

m∈Z^r(j)_≥0



∏

ι∈SR

ι((x +

m)^tv_j

)





−s

| {z }

半格子点上の和

.

c.f. ζ

_r_(j)

(s , ι(v

_j

), ι(x

^tv_j

)) =

∑

m∈Z^r(j)_≥0

ι((x +

m)^tv_j

)

⁻^s

,

d ds (

∏n i=1

a

_i

)

⁻^s

|

s=0

= − log(

∏n i=1

a

_i

) = −

∑n i=1

log(a

_i

) =

∑n i=1

d

ds a

⁻_i ^s

|

s=0

.

定理

(

新谷

)

ζ

^′

(0, c ) =

∑∑ ∑

log(Γ

_r_(j)

(ι(x

^tv_j

), ι(v

_j

))) + “

補正項

”.

(25)

吉田の類不変量

定理

(

新谷

) ζ

^′

(0, c ) =

∑

ι∈S_R

∑

j∈J

∑

x∈R(c,vj)

log(Γ

r_(j)

(ι(x

^tvj

), ι(v

j

))) + “

^補正項

”.

定理

(

吉田

[Y]) X (c , ι) :=

∑

j∈J

∑

x∈R(c,v_j)

log(Γ

r_(j)

(ι(x

^tvj

), ι(v

j

))) + “

^{補正項の上手い分割}

”

⇒ exp(X (c , ι)) mod ι(E

_F_,+

)

^Q は

,

D,

イデアル類の代表元 ac の取り方によらない

.

(26)

吉田の類不変量

ζ (s , c ) = N(a

c

)

⁻^s ∑

z∈a⁻c¹∩D,zac∈c

Nz

⁻^s

= N(a

_c

)

⁻^s∑

j∈J

∑

x∈R(c,vj)

∑

m∈Z^r(j)_≥0



∏

ι∈SR

ι((x +

m)^tv_j

)





−s

.

の逆をたどれば

X (c , ι) :=

∑

j∈J

∑

x∈R(c,vj)

log(Γ

_r_(j)

(ι(x

^tv_j

), ι(v

_j

))) + “

補正項

”

= Z

_ι^′

(0, R

c

) + “

^補正項

”, Z

_ι

(s , R) :=

∑

z∈R

ι(z)

⁻^s

, R

_c

:=

{

z ∈

a⁻_c¹

∩ D | z

a_c

∈ c

}

.

(27)

吉田の類不変量

X (c , ι) = Z

_ι^′

(0, R

_c

) + “

補正項

”, Z

_ι

(s , R) :=

∑

z∈R

ι(z)

⁻^s

, R

_c

:=

{

z ∈

a⁻_c¹

∩ D | z

a_c

∈ c

}

.

Recall. Key fact: R

_c⨿

R

_cs_ι′ ≒

R − uR ( ∃ R = R

_c,cs_ι′

⊂ F , ∃ u ∈ E

_F_,+

).

補題

([K2])

∃ D :

, ∃ ν ∈ F , ∃ X

_t

⊂ F ⊗

R

, ∃ ϵ

_t

∈ E

_F_,+

s.t.

ι ̸ = ι

^′

⇒ ι(X

_t

) ⊂

R+

.

ι ̸ = ι

^′

⇒ ι(ν) > 0.

^また

ι

^′

(ν) < 0.

(D

⨿

ν D)

⊎ (⊎

t∈T

ϵ

t

X

t

)

=

⊎

t∈T

X

t

.

^ただし ⊎

は

multiset sum.

(28)

具体例 [Y, Chapter III, Example 6.3]

F =

Q

( √

5), O

_Q₍^√₅₎

=

Z

[

¹⁺

√5 2

].

E

_Q₍^√_5),+

= ⟨ϵ :=

³⁺

√5 2

⟩.

D = C (1)

⨿

C (1, ϵ).

h

₊

= | C

₍₁₎

| = 1.

とくに

∀ c ∈ C

_f

,

a_c

=

f としてよい

.

f

= (4).

C

₍₄₎

= { c

1

:= [(1)], c

2

:= [(3)], c

3

:= [(4 + √

5)], c

4

:= [(6 + √ 5)] } .

-

(

¹₄

, 1)

^t

(1, ϵ)(4) = (1 + 4ϵ) ∈ c

1

R(c

₁

, (1)) =

{₁

4

}

, R(c

₁

, (1, ϵ)) = { (

¹₄

, 1), (1,

¹₄

), (

³₄

,

³₄

) } , R(c

2

, (1)) =

{₃

4

}

, R(c

2

, (1, ϵ)) = {(

³₄

, 1), (1,

³₄

), (

¹₄

,

¹₄

)},

R(c

3

, (1)) = ∅ , R(c

3

, (1, ϵ)) = { (

¹₄

,

¹₂

), (

¹₂

,

³₄

), (

¹₄

,

³₄

) } ,

R(c

₄

, (1)) = ∅ , R(c

₄

, (1, ϵ)) = { (

¹₂

,

¹₄

), (

³₄

,

¹₄

), (

³₄

,

¹₂

) } .

(29)

具体例 [Y, Chapter III, Example 6.3]

F =

Q

( √ 5).

C

₍₄₎

= { c

₁

:= [(1)], c

₂

:= [(3)], c

₃

:= [(4 + √

5)], c

₄

:= [(6 + √ 5)] } . ι

₁

=

id,

ι

₂

: √

5 7→ − √ 5.

ϵ = ϵ

⁽¹⁾

=

³⁺

√5

2

, ϵ

⁽²⁾

=

³⁻

√5 2

. exp(X (c

₁

, ι

_i

)) = 2

⁻¹²

ϵ

⁻

√5 32

× Γ

2

(

¹₄

, (1, ϵ

⁽ⁱ⁾

))Γ

2

(1 +

¹₄

ϵ

⁽ⁱ⁾

, (1, ϵ

⁽ⁱ⁾

))Γ

2

(

³₄

+

³₄

ϵ

⁽ⁱ⁾

, (1, ϵ

⁽ⁱ⁾

)), exp(X (c

₂

, ι

_i

)) = 2

⁻¹²

ϵ

⁻

√5 32

× Γ

2

(

³₄

, (1, ϵ

⁽ⁱ⁾

))Γ

2

(1 +

³₄

ϵ

⁽ⁱ⁾

, (1, ϵ

⁽ⁱ⁾

))Γ

2

(

¹₄

+

¹₄

ϵ

⁽ⁱ⁾

, (1, ϵ

⁽ⁱ⁾

)), exp(X (c

₃

, ι

_i

)) = 2

¹²

ϵ

√5 32

× Γ

2

(

¹₄

+

¹₂

ϵ

⁽ⁱ⁾

, (1, ϵ

⁽ⁱ⁾

))Γ

2

(

¹₂

+

³₄

ϵ

⁽ⁱ⁾

, (1, ϵ

⁽ⁱ⁾

))Γ

2

(

¹₄

+

³₄

ϵ

⁽ⁱ⁾

, (1, ϵ

⁽ⁱ⁾

)), exp(X (c

4

, ι

_i

)) = 2

¹²

ϵ

√5 32

× Γ

2

(

¹₂

+

¹₄

ϵ

⁽ⁱ⁾

, (1, ϵ

⁽ⁱ⁾

))Γ

2

(

³₄

+

¹₄

ϵ

⁽ⁱ⁾

, (1, ϵ

⁽ⁱ⁾

))Γ

2

(

³₄

+

¹₂

ϵ

⁽ⁱ⁾

, (1, ϵ

⁽ⁱ⁾

)).

(30)

具体例 [Y, Chapter III, Example 6.3]

G := Γ(

¹₄

) Γ(

³₄

)

(

Γ(

₂₀¹

)Γ(

₂₀³

)Γ(

₂₀⁷

)Γ(

₂₀⁹

) Γ(

¹¹₂₀

)Γ(

¹³₂₀

)Γ(

¹⁷₂₀

)Γ(

¹⁹₂₀

)

)¹

4

, ϵ

₀

= 1 + √ 5

2 .

exp(X (c

1

, ι

1

)) = 80

⁻¹⁸

ϵ

1 8

0

(1 + √

ϵ

0

)

¹⁴

G

¹⁴

, exp(X (c

2

, ι

1

)) = 80

⁻¹⁸

ϵ

⁻

5 8

0

(1 + √

ϵ

0

)

⁻¹⁴

G

¹⁴

, exp(X (c

3

, ι

1

)) = 80

¹⁸

ϵ

3 8

0

(1 + √

ϵ

0

)

¹⁴

G

⁻¹⁴

, exp(X (c

₄

, ι

₁

)) = 80

¹⁸

ϵ

1 8

0

(1 + √

ϵ

₀

)

⁻¹⁴

G

⁻¹⁴

, exp(X (c

₁

, ι

₂

)) = 80

⁻¹⁸

ϵ

1 8

0

(1 + √

ϵ

₀

)

¹⁴

G

¹⁴

, exp(X (c

₂

, ι

₂

)) = 80

⁻¹⁸

ϵ

3 8

0

(1 + √

ϵ

₀

)

⁻¹⁴

G

¹⁴

, exp(X (c

3

, ι

2

)) = 80

¹⁸

ϵ

⁻

3 8

0

(1 + √

ϵ

0

)

⁻¹⁴

G

⁻¹⁴

,

1 −¹

√

¹ ₋¹

(31)

具体例 [Y, Chapter III, Example 6.3]

C

₍₄₎

= { c

₁

:= [(1)], c

₂

:= [(3)], c

₃

:= [(4 + √

5)], c

₄

:= [(6 + √ 5)] } . s

_ι₁

= [(1 − 4 √

5)] = c

₃

, s

_ι₂

= [(1 + 4 √

5)] = c

₄

.

定理 ⇒ E_F,+^Q の元

≀≀

Stark 予想 ⇒ E_F^Q₍√ϵ0),+ の元

.

(

^•

^exp(X ^(c

¹

^{, ι}

¹

^{)) = 80} ⁾

−¹₈

ϵ

1 8

0

(1 + √

ϵ

0

)

¹⁴

G

¹⁴ •

exp(X (c

2

, ι

1

)) = 80

⁻¹⁸

ϵ

⁻

5 8

0

(1 + √

ϵ

0

)

⁻¹⁴

G

¹⁴

exp(X (c

₃

, ι

₁

)) = 80

¹⁸

ϵ

3 8

0

(1 + √

ϵ

₀

)

¹⁴

G

⁻¹⁴ •

•

exp(X (c

₄

, ι

₁

)) = 80

¹⁸

ϵ

1 8

0

(1 + √

ϵ

₀

)

⁻¹⁴

G

⁻¹⁴

exp(X (c

₁

, ι

₂

)) = 80

⁻¹⁸

ϵ

1 8

0

(1 + √ ϵ

₀

)

¹⁴

G

¹⁴

exp(X (c

2

, ι

2

)) = 80

⁻¹⁸

ϵ

3 8

0

(1 + √

ϵ

0

)

⁻¹⁴

G

¹⁴

exp(X (c

3

, ι

2

)) = 80

¹⁸

ϵ

⁻

3 8

0

(1 + √

ϵ

0

)

⁻¹⁴

G

⁻¹⁴

exp(X (c

4

, ι

2

)) = 80

¹⁸

ϵ

⁻

1 8

0

(1 + √

ϵ

0

)

¹⁴

G

⁻¹⁴

(32)

具体例 [Y, Chapter III, Example 6.3]

F =

Q

( √

5), ι

₁

(ϵ

₀

) = ϵ

₀

=

¹⁺₂^√⁵

, ι

₂

(ϵ

₀

) = ϵ

^′₀

=

¹⁻₂^√⁵

. C

₍₄₎

= { c

₁

, c

₂

, c

₃

, c

₄

} = { 1, s

_ι₁

s

_ι₂

, s

_ι₁

, s

_ι₂

} .

F ( √ ϵ

0

, √

−1): mod(4)

^{の狭義最大射類体}

. F ( √

ϵ

0

): ι

1 が分解する最大の部分体 ⇝

Stark

^予想

, Stark

^単数

. F (

√

ϵ

^′₀

): ι

₂ が分解する最大の部分体⇝

Stark

予想

, Stark

単数

. F ( √

−1):

^{最大の部分}

CM

^体⇝ ^吉田予想

, CM

^周期

. F ( √

− 1) ⊂

Q

(ζ

20

)

⇝ ^円分体 Q

(ζ

20

)

^の

CM

^周期

≒

F

₂₀

: x

²⁰

+ y

²⁰

= 1

の周期積分 ≒∏

Γ(

₂₀^∗

).

F ( √ ϵ

0

, √

−1)

F ( √ ϵ

₀

)

(4)ι2

F ( √

− 1)

(4)ι1ι2

F (

√

ϵ

^′₀

)

(4)ι1

F

{1}

CFT

↔ ⟨ s

_ι₁

⟩ ⟨ s

_ι₁

s

_ι₂

⟩ ⟨ s

_ι₂

⟩

C

₍₄₎

(33)

吉田予想

吉田氏は志村の周期記号

p

_K

(

すなわち

π

⁻¹∫

γ dx

y や

η(τ )

² の一般化

)

を

exp(X (c , ι))

の単項式で表す式を予想した

.

以下はこれを逆に解いたもの

.

予想

(

吉田

[Y], [K2])

⟨ s

ι

| ι ⟩

⊋

⟨ s

ι

s

_ι′

| ι ̸ = ι

^′

⟩

^{と仮定する}

.

このとき以下が成り立つ

. exp(X (c,

id))

≡ π

^ζ(0,c) ∏

c^′∈Cf

p

_K_f,CM

(Art(c),

Art(c^′

))

ζ(0,c′) [Kf:Kf,CM]

mod

Q^×

.

ただし

K

_f,CM は

modf

の狭義射類体

K

_f に含まれる最大の

CM

体で

,

Art

: C

_f

→

Gal(K_f,CM

/F )

は

Artin

写像

.

(34)

吉田予想

予想

(

吉田

[Y], [K2])

⟨ s

ι

| ι ⟩

⊋

⟨ s

ι

s

_ι′

| ι ̸ = ι

^′

⟩

^{と仮定する}

.

このとき以下が成り立つ

. exp(X (c,

id))

≡ π

^ζ(0,c) ∏

c^′∈Cf

p

_K_f,CM

(Art(c),

Art(c^′

))

ζ(0,c′)

[Kf:Kf,CM]

mod

Q^×

.

注意

仮定

⇔ ∃K

f,CM

(

^∵

K

f,tot. real

CFT

↔ ⟨s

ι

⟩

⊋

⟨s

ι

s

ι^′

⟩

^CFT

↔ K

f,CM

).

この

version

の予想

⇒ Stark

単数の代数性

.

Stark

単数の代数性を仮定すると

,

元の吉田予想と同値

.

Rohrlich’s formula + Euler’s reflection formula ⇒

^{元の吉田予想の}

F =

Q ^の場合

.

Rohrlich’s formula ⇒

^{上記予想の}

F =

Q^の場合

.