質点：基本の復習（１）

(1)

物理学 C

質点系と剛体

工学院大学の学生のみ利用可：印刷不可：再配布不可加藤潔

1

(2)

目標

質点（物理学Ａ，Ｂ）

大きさを持たない。

属性：質量記述：時間位置速度

：

剛体 ^{（物理学Ｃ）}

大きさ・形がある（よりリアル）。

変形は考えない。

属性：質量，それと？

記述：時間位置速度

：

直進運動並進（直進）運動＋回転運動大きさがある→ 「向き」を区別する

→「向き」が変化する＝回転運動

(3)

質点：基本の復習（１）

Ｎｅｗｔｏｎの３つの法則教科書

p.25

運動方程式

（万物を支配する究極の方程式）

a m

F =

U

2 2

1

mv K =

エネルギー運動エネルギー

ポテンシャルエネルギー

動いている質点の持つエネルギー力の表現であるエネルギー

単位力 N エネルギー J

3

(4)

質点：基本の復習（２）

dt r v = d

) , ,

( x y z r =

t m

) ,

,

( v

_x

v

_y

v

_z

v =

) ,

,

( a

_x

a

_y

a

_z

a =

質量時間

位置（座標）

速度加速度

単位

kg s m m/s

m/s²

dt

v a = d

基本

(5)

質点：基本の復習（３）

dt F p d =

p r

L = × v m p = F

F r

N = ×

力

運動量

力のモーメント角運動量

dt N L d =

基本関係

教科書 p.60

×

^{外積の記号}

教科書 p.241 理解

運動量の「変化の原因」が力角運動量の「変化の原因」が力のモーメント

5

(6)

ベクトルの外積（ p.241,A.3 ）

 

= 

×

向きに垂直（右ネジ）

大きさ

,

sin b

a b ab

a θ

a b b

a ×

= 0

×

⇔ a b b

a //

良く使う性質

b a

a

b × = − ×

θ

sin

ab

(7)

外積 (p.241)

b a ×

a b

位置関係をしっかり頭に刻み込むこと

皆さんは「３次元」の存在

7

(8)

外積，成分での表現 (p.241)

) ,

,

( a

_x

a

_y

a

_z

a = b = ( b

_x

, b

_y

, b

_z

)

) ,

,

= (

× b a

z y

x , , z y

x

z y

b

a a

z

b

x

a

_x

b

_y

) ,

,

( a

_y

b

_z

a

_z

b

_y

a

_z

b

_x

a

_x

b

_z

a

_x

b

_y

a

_y

b

_x

b

a × = − − −

この図式を頭に入れるあとは逆の添字の積を引き算

(9)

運動

v r

m

p r

L

×

=

×

=

v m

p =

^運動量

角運動量

理解

直進的な運動の「はげしさ」

を表す量

回転的な運動の「はげしさ」

を表す量

9

(10)

v m p =

運動量

(11)

角運動量

回転的運動のはげしさ

L = mrv

r

v

v r ×

回転軸

v

の方向

r m

L = ×

ベクトルの外積

11

(12)

浅田真央

角運動量ベクトル

角運動量

(13)

質点系と剛体

13

(14)

質点系

...

, ,

₂

1

m m

複数の質点の集まり

のように量に添字をつけ区別

m

j^質量

原点

r

j

位置

(15)

質点系 → 剛体

剛体のモデル

剛体＝多数の質点の集まり

ただし，相互の位置関係が変化しない

r

j

位置

m

j^質量

15

(16)

これからの議論

質点系について，運動量，角運動量に関する運動方程式を作る

使うもの：Ｆ＝ｍａと運動の第3法則

→ その利用（１）運動量，角運動量に関す保存則を示す

→ その利用（２）それが剛体の運動方程式となる

dt F

p

d =

(17)

力の記号 (p.63)

j jk j

f F

F

^質点

^j

^に働く力

質点

j

が質点

k

におよぼす力（内力）

質点

j

に系外から働く力（外力）

f

1

1 2 F

12

F

21

f

2

17

(18)

作用反作用の法則

1

2 r

2

F

12

F

21

O r

1

作用と反作用が等しい

力の向きは両者を結ぶ方向

21

12

F

F = −

1 2

21 1

2

12

r r F r r

F // − // −

(19)

証明（教科書 p.63 ）

ｎ個の質点系を考え，それぞれに，Newtonの方程式を書く

1 1

31

1 F21 F F f

dt p d

n + +

+ +

= ...

2 2

32

2 F12 F F f

dt p d

n + +

+ +

= ...

n n

n F n F F f

dt p

d = 1 + 2 + ⁻1, +

：

19

(20)

証明（教科書 p.63 ）

両辺の和をとり，全部加える。

：

n n

n F n F F f

dt p

d = 1 + 2 + ⁻1, +

＋）

21

12 F

F = −

∑ ^d ^p

^j

⁼ ∑ ^f

^j

1 1

31

1 F21 F F f

dt p d

n + +

+ +

= ...

2 2

32

2 F12 F F f

dt p d

n + +

+ +

= ... 打ち消す

(21)

運動量と力

∑ ^d _dt ^p

^j

⁼ ∑ ^f

^j

全運動量

^P ⁼ ∑ ^p

^j

外力の合計

F ext

dt P

d =

21

(22)

証明（教科書 p.63 ）

：

n n

n F n F F f

dt p

d = 1 + 2 + ⁻1, +

それぞれに，

r

_j を左から外積で乗じ，全部加える。

× r

2

× r

1

＋）

∑ ^r

^j

^× ^d ^p

^j

⁼ ∑ ^r

^j

^× ^f

^j

21 2

1 F 21 r F

r × + ×

1 1

31

1 F21 F F f

dt p d

n + +

+ +

= ...

2 2

32

2 F12 F F f

dt p d

n + +

+ +

= ...

これはゼロになる

(23)

角運動量と力のモーメント

全角運動量

^L ⁼ ∑ ^L

^j

外力のモーメントの合計

N ext

dt L

d =

∑ ^r

^j

^× ^d _dt ^p

^j

⁼ ∑ ^r

^j

^× ^f

^j

23

(24)

結果のまとめ

N ext

dt L

d = F ext

dt P

d =

(25)

保存則

•

外部からの力の和，力のモーメントの和が０のとき，質点系の全運動量，全角運動量は保存する。