第 3 回レポート問題解答例 作成

第

3

回レポート問題解答例

作成 平成

30

年

7

月

3

日 山田 博仁 問

1

式(c)より

0

1

y x

z

E E

H i   x y

   

       

右辺に式(g)と式(h)とを代入すると、

2 2 2 2

0 0

2 2 2 2

0 0 0

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0 0

1

1 1

z z z z

z

z z

z

E H E H

H i k k

i k x y x x y y

H H

k x y k x y H

   

    

     

     

              

     

   

                 

式(f)より

0

1

y x

z

H H

E i   x y

   

        

右辺に式(i)と式(j)とを代入すると、

2 2 2 2

0 0

2 2 2 2

0 0 0

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0 0

1

1 1

z z z z

z

z z

z

H E H E

E i k k

i k x y x x y y

E E

k x y k x y E

   

    

     

     

               

     

   

                 

問

2(1)

与えられた

H

zの解の表式より、

   

       

2

2 2

2^z _x

sin

_{x x}

cos

_x

sin

_y

cos

_y

H Ak k x Bk k x C k y D k y

x

    



   

       

2

2 2

2^z

sin

_x

cos

_{x y}

sin

_{y y}

cos

_y

H A k x B k x Ck k y Dk k y

y

    



2 2

2 2 2 2

0 0

1

z z

H H

k x y

  

 

  

        

の右辺に代入すると、



^{2 2}

  ^{   }       

2 2

0 0

2 2

2 2

0 0

1 sin cos sin cos

z x y x x y y

x y

z

H k k A k x B k x C k y D k y

k k k

k H

  

  

     



 



従って、

2 2

2 2

0 0

x y

1

k k

   k

 



^より、

2 2 2

0 0

1

x y

k k k

 ^   ^{ }

(2)

導体界面においては

E

の接線成分および

H

の法線成分がゼロとなるから、

x = 0, a

において

E

y

, H

x

=0、また y = 0, b

においては

E

x

, H

y

=0

となる。

また、上記の境界条件と式(i), (j)を用い、さらに

E

zがゼロである

TE

波であることを考慮すると、

x = 0, a

において

H

^z

0 x

 



^、また

^{y = 0, b}

^{においては}

H

^z

0 y

 



^となる。

(3)

導波管壁面

x = 0, a

において

H

^z

0 x

 



^、また

^{y = 0, b}

^{においては}

H

^z

0 y

 



^{となることから、}

x = 0, a

において ^z

^cos  

^x

^sin  

^x

 ^sin  

^y

^cos  

^y

 ⁰

x x

H A B

k x k x C k y D k y

x k k

 

         

また

y = 0, b

においては ^z

 ^sin  

x

^cos  

x

 ^cos  

y

^sin  

y

⁰

y y

H C D

A k x B k x k y k y

y k k

 

             

となるためには、 _x

m

k a

 

^、 _y

n

k b

  (m, n

は整数であるが、共に

0

であってはならない)であり、

かつ

A = C = 0

である。従って

TE

波の場合

H

z は、

       

cos cos cos cos cos cos

z x y x y

m n

H B k x D k y k x k y x y

a b

 

  ^{   }

          

という形で表される。ここで

α

は、

BD  

としておいた新しい未定係数であり、m, nは共に値

0

をと ることのない整数である。

(4)

導波管内の磁束密度を

B(x, y, z)とすると、導波管断面の磁束 Φ (z)は、

 

0 0

( ) z

^{b a}

B x y z dxdy , ,

   

となる。従ってその時間微分は、

 

0 0

( )

^{b a}

dB x y z , , d z

dt dt dxdy

 _

 

となる。ファラデーの法則より

rot

t

  



E B

であるから、

0 0

( )

^{b a}

rot d z

dt dxdy

     ^{E n} 

^となる。

ここで

n

は導波管断面に垂直な単位法線ベクトルであり、それは即ち

z

方向の単位ベクトル

e

zである。

rot E

^z

E

^y _x

E

^x

E

^z _y

E

^y

E

^x _z

y z z x x y

 

         

                       

E e e e

であるから、

0 0

( )

^{b a}

E

y

E

x

d z

dt x y dxdy

               

^{となる。TE波で}

^E

^z がゼロであることを考慮して式(g), (h)より、

2 2

2 2 0 2

0 0

x z z

E i E H

y k k x y   y

  

 

              ^,

2 2

2 2 0 2

0 0

y z z

E i E H

x k k x y   x

  

               

^{であるから、}

2 2

0

2 2 2 2

0 0

y x z z

E E i H H

x y k x y

 

  

                  

^となる。

与えられた

H

zの解の表式より、

2

2 2

z

x z

H k H

x

  

 ^,

2

2 2

z

y z

H k H

y

  



^{であるから、 2} 2 ² 2



^{2 2}



z z

x y z

H H

k k H

x y

     

 

従って、 ⁰



^{2 2}



2 2

0 0

x y

y x

z

i k k

E E

x y k H

 

  

  

 

  

^であり、



^{2 2}



0

2 2 0 0

0 0

( )

x y ^{b a}

z

i k k

d z

H dxdy

dt k

  

  

  

  

^となる。

そこでまず

0 0 b a

H dxdy

z

 

^{を求めると、TE波の場合}

^Hz

^は、

   

cos cos cos cos

z x y

m n

H k x k y x y

a b

 

  ^{   }

         

^{と書けるから、}

    ^{ }  

0^b 0^a

H dxdy

_z



0^b 0^a

 cos k x

_x

cos k y dxdy

_y

 

0^a

cos k x dx

_x 0^b

cos k y dy

_y

     

   

0

0 0

1 1

cos sin sin 0

a a

a

x x

x x

k x dx k x m x

k k a



     

              



   

0

0 0

1 1

cos sin sin 0

b b

b

y y

y y

k y dy k y n x

k k b

      

                



従って、

0^b 0^a

H dxdy

_z

 0

 

よって、 ⁰



^{2 2}



2 2 0 0

0 0

( ) i k

^x

k

^{y b a} _z

0

d z

H dxdy

dt k

  

  

   

  

となり、導波管断面を貫く磁束の時間微分はゼロで ある。

(5) k

x

, k

y が共にゼロとなる即ち

k

x

= k

y

= 0

の場合は

m = n = 0

であり、問(4)の結果より

H

_z

 0

となり、Ez

,

H

zが共にゼロとなってしまうので、TE波としては不適。つまり、Ez

, H

z共にゼロとなる

TEM

モード は、導波管内を伝搬する電磁界モードとしての解としては存在しない。