確率論 I レジメ ,

確率論 I ^レジメ , ^{Ver. 1}

2009/01/03,

•

, Ver 1

2009/01/14

.

2009/01/21

(

), 3

, 8104

.

•

/

=

4

2

11

38

.

•

/

,

/

,

.

0

•

, ‘

’

.

(i)

, ‘

’

, ‘

’

.

(ii)

, ‘

’

,

. ⇒

,

.

(iii)

,

と捉え

, ‘

’

.

⇒

‘

’

.

•

‘

’

,

=

?

(i)

‘

’

. (ii)

,

.

(iii)

‘

’

,

どが有る^*2

.

(iv)

,

.

0.1

–

•

,

,

?

.

,

.

•

,

.

,

,

,

,

.

•

,

, ‘

’

.

,

.

*1 有名なアインシュタインは,当初‘偶然性‘を物理学に持ち込むことに反対で,「神はサイコロを振らない」という言葉を残し た.しかし晩年には,その立場を変えた.

*2「確率論II」で講義する.

*3 高校数学で学ぶ確率論でも, ‘確率の定義’として 定義0.1を採用している.

定義

0.1 (

).

n

.

A

k

,

A

P[A] = k/n

.

0.2

–

17

,

.

この段階から本質的な飛躍が起こったのがベルヌーイの「大数の法則」の発見である

.

,

:

‘

’

:

n

, 1

n

.

n → ∞

, n

/n → 1/6

.

これは「無限個のランダムな量に関する法則性が発見された」と見る事ができ

,

. t

0.3

•

,

.

•

,

,

0.1

.

•

,

0.1

–

.

.

0.4

–

•

,

,

.

•

, ‘

’

,

.

より詳しくいうと

,

(a)

:

, Ω

.

(b)

:

, F

.

,

.

(c)

:

Ω

,

P

. P

.

の三つ組み

(Ω, F , P)

,

.

つまり

,

,

.

*4競馬,カジノ,宝くじ などの事業での利益を保証する原理である.

*5 無限を扱う場合,一見常識とは異なる事態が起こりえる. 例えば,次の等式が厳密に成立している: 0.999· · ·= 1

注意

0.2. (i)

(Ω, F , P)

,

. F

P

,

.

(ii)

,

Ω

,

(i)

,

「ラプラスによる確率の定義

0.1

.

(iii)

Ω

,

(c) (

Ω

,

確率

P

)

,

.

1

(i)

,

(Ω, P )

.

,

.

(ii)

,

.

.

1.1

• Ω

n

Ω = { w

, w

, · · · , w

}

であり

,

sample space

,

w

∈ Ω

sample

.

• P

probability measure

,

F

,

: 0 ≤ P[A] ≤ 1, P[Ω] = 1, P[ ∅ ] = 0,

i ̸ = k

A

∩ A

= ∅

⇒ P[A

∪ A

∪ · · · ∪ A

] = P[A

] + P[A

] + · · · + P[A

] (1.1)

•

P

,

.

1.1.

(Ω, P)

,

.

(i) P[A

] = 1 − P[A], (ii) A ⊂ B ⇒ P[A] ≤ P[B]

(iii) A ∩ B = ∅ ⇒ P[A ∪ B] = P[A] + P[B]. ♯

1.2

例題

1.2.

1

.

w

≡ { 1

} , w

≡ { 2

} , · · · , w

≡ { 6

}

6

,

Ω = { w

, · · · , w

}

.

*620世紀初頭に,ロシア人の数学者A. N.コルモゴロフ が(iii)を実行する一般的な方法(「コルモゴロフの拡張定理」)を提案 し,近代確率論への道を切り開いた.

*7 しばしば, 事象空間”とも呼ばれる.

*8 この講義では,Fとしては,常に 巾集合族= Ωの部分集合の全体 を考えるので,今後は気にしなくて良い.

*9 F はΩの巾集合族

F ≡ {∅,Ω, w1,· · ·, w6, w1∪w2,· · ·, w5∪w6, w1∪w2∪w3,· · · } で2⁶= 64個の集合から成っている.

また

,

,

P

P[w

] = 1

6 , P[w

] = 1

6 , · · · , P[w

] = 1 6

. ⋄

練習問題

1.3.

1.2

(Ω, P)

,

A ≡

= { w

, w

, w

} , B ≡

4

= { w

, w

, w

}

.

.

(i) P[A ∩ B], (ii) P[A ∪ B], (iii) P[A] + P[B] − P[A ∩ B]. ♯

1.4.

2

.

w

≡ { 1

=

, 2

=

} , w

≡ { 1

=

, 2

=

} , w

≡ { 1

=

, 2

=

} , w

≡ { 1

=

, 2

=

} ,

の

4

,

Ω = { w

, · · · , w

} ,

F

16

.

(1.2)

,

p, 0 < p < 1,

とする

.

P

P[w

] = p

, P[w

] = P[w

] = p(1 − p), P[w

] = (1 − p)

. ⋄

•

,

,

. 20

Kolmogorov

,

次の例題

1.5

n → ∞

,

(= Kolmogorov

)

,

.

例題

1.5.

(1.2)

n

.

w

≡ { 1

=

, 2

=

, 3

=

, · · · , n

=

} , w

≡ { 1

=

, 2

=

, 3

=

, · · · , n

=

} , w

≡ { 1

=

, 2

=

, 3

=

, · · · , n

=

} ,

.. .

w

≡ { 1

=

, 2

=

, 3

=

, · · · , n

=

} , (1.3)

の

N = 2

,

Ω = { w

, · · · , w

}

.

このように極めて多数の元からなる

Ω

, (1.3)

.

*10 Ωの巾集合族は

F ≡ {∅,Ω, w1,· · ·, w4, w1∪w2,· · ·, w3∪w4, w1∪w2∪w3,· · ·, w2∪w3∪w4} で2⁴= 16個の集合から成っている.

*11 F はΩのべき集合族で2^N= 2²ⁿ個の集合から成っている.

別の表記法

: 1

, 0

,

w ∈ Ω

w = (w

, w

, · · · , w

)

w

= 1

0.

(1.4)

この表記法を使うと

, (1.3)

w

= (1, 1, · · · , 1), w

= (0, 1, · · · 1), w

= (1, 0, 1, · · · , 1), · · · , w

= (0, 0, · · · , 0)

.

P

w ∈ Ω

P[w] = p

(1 − p)

,

ここで

| w | ≡ w

+ w

+ · · · + w

=

(1.5)

となる

. ⋄

2

確率空間

(Ω, P)

.

定義

2.1. P[B] ̸ = 0

A, B

,

事象

B

,

A

conditional probability P[A/B]

,

(2.1) P[A/B] ≡ P[A ∩ B ]

P[B] (

)

. ⋄

定義

2.2.

A

B

independent

(2.2) P[A ∩ B] = P[A] · P[B]

が成立することである

. ⋄

•

,

A

B

.

定理

2.3.

A

B

. ⇔ P[A/B] = P[A]. ⋄

[

]

⇒

.

(2.1)

(2.2)

P[A/B] = P[A ∩ B]

P[B] = P[A] · P[B]

P[B] = P[A].

次に

⇐

.

(2.1)

P[A ∩ B]

P[B] = P[A/B] = P[A]

となる

.

P[B ]

, ‘

’

(2.2)

. 2

• 3

,

.

*12 T. Bayesは英国長老派教会の牧師でアマチュア数学者.ベイズの公式(2.1)は彼の死後に発表された.条件付き確率P[A/B]

は‘事後確率’とも呼ばれる. なお,この公式は「朝日新聞」の特集記事で紹介されるなど,各方面へ応用され近年注目を集めて

いる.

定義

2.4. (i) 3

A, B, C

,

: P[A ∩ B] = P[A] · P[B], P[B ∩ C] = P[B] · P[C],

P[C ∩ A] = P[C] · P[A], (2.3a)

(2.3b) P[A ∩ B ∩ C] = P[A] · P[B] · P[C].

(ii) k

A

, A

, · · · , A

, A

, A

, · · · , A

j

A

, A

, · · · , A

,

:

P[A

∩ A

∩ · · · ∩ A

] = P[A

] · P[A

] · · · P[A

]. ⋄

注意

2.5.

A, B, C

(2.3a)

(2.3b)

.

: 4

a, b, c, d

,

「

a

2

,

b

3

,

c

5

,

d

30

.

,

A, B, C

事象

A :

2

,

B :

3

,

C :

5

,

.

(2.3a)

, (2.3b)

.

2.6.

2.5

. ⋄

[

]

a, b, c, d

1/4

,

P[A ∩ B ] = P[

d

] = 1 4

P[A] = P[

a

d

] = 1

2 , P[B] = P[

b

d

] = 1 2

となり

, (2.3a)

.

P[B ∩ C] = P[

d

] = 1 4

P[B] = P[

b

d

] = 1

2 , P[C] = P[

c

d

] = 1 2

,

.

.

,

P[A ∩ B ∩ C] = P[

d

] = 1 4 , P[A] · P[B] · P[C] = 1

2 · 1 2 · 1

2 = 1 8

, (2.3b)

. 2

•

(2.3b)

(2.3a)

.

例題

2.7. 24

,

. ‘

’

‘

’

:

カードに書いてある数字 カードの枚数

2, 3, 5

5

6, 10, 15

2

30 3

いまランダムにカードを選ぶとし

,

A, B, C

事象

A :

2

,

B :

3

,

C :

5

,

.

(i) (2.3b)

. (ii) (2.3a)

. ⋄

2.1

練習問題

2.8. (Ω, P)

1

.

w

≡ { 1

} , · · · , w

≡ { 6

}

,

Ω = { w

, · · · , w

} .

,

P[w

] = 1

6 , P[w

] = 1

6 , · · · , P[w

] = 1 6

A, B

A ≡

= { w

, w

, w

} , B ≡

4

= { w

, w

, w

}

.

.

(i) P[A ∩ B], (ii) P[A ∪ B], (iii) P[A] + P[B] − P[A ∩ B].

練習問題

2.9. (Ω, P)

.

(i)

A ≡

w

, · · · , w

. (ii)

P[w

/A]

.

(iii)

A

w

?

練習問題

2.10. (Ω, P)

2

.

w

≡ { 1

=

, 2

=

} , w

≡ { 1

=

, 2

=

} , w

≡ { 1

=

, 2

=

} , w

≡ { 1

=

, 2

=

} ,

,

Ω = { w

, · · · , w

} .

P

P[w

] = p

, P[w

] = P[w

] = p(1 − p), P[w

] = (1 − p)

.

(i)

A ≡ 1

w

, · · · , w

.

(ii)

B ≡ 2

w

, · · · , w

.

(iii)

A

B

?

3

確率空間

(Ω, P)

.

全ての事象

w ∈ Ω

X : Ω → R

random variable

.

X (w), Y (w)

, X(w)

a

, a

, · · · , a

, Y (w)

b

, b

, · · · , b

. X (w)

Y (w)

independent

,

1 ≤ j ≤ n, 1 ≤ k ≤ m

(3.1) P[X(w) = a

, Y (w) = b

] = P[X (w) = a

] · P[Y (w) = b

]

.

例題

3.1.

1.4

(Ω, P)

X(w), Y (w)

: X(w) ≡

½ 1 1

− 1 1

Y (w) ≡

½ 1 2

− 1 2

(3.2)

すると

,

P[X (w) = 1] = P[w

∪ w

] = P[w

] + P[w

] = p

+ p(1 − p) = p, P[X (w) = − 1] = P[w

∪ w

] = P[w

] + P[w

]

= p(1 − p) + (1 − p)

= 1 − p,

P[Y (w) = 1] = P[w

∪ w

] = P[w

] + P[w

] = p

+ p(1 − p) = p, P[Y (w) = − 1] = P[w

∪ w

] = P[w

] + P[w

]

= p(1 − p) + (1 − p)

= 1 − p (3.3)

となる

. ⋄

練習問題

3.2.

(3.2)

X (w), Y (w)

.

P[X(w) = 1, Y (w) = 1], P[X(w) = 1, Y (w) = − 1], P[X(w) = − 1, Y (w) = 1], P[X (w) = − 1, Y (w) = − 1],

,

. ♯

練習問題

3.3.

1.4

,

(3.4) Z(w) ≡

× 100

だけ賞金がもらえる

.

Z(w)

(3.2)

X (w), Y (w)

.

.

(i) P[Z(w) = 200], (ii) P[Z (w) = 100], (iii) P[Z(w) = 0]. ♯

例題

3.4.

,

1.5

(Ω, P)

,

X

(w), k = 1, 2, · · · , n,

.

(3.5) X

(w) ≡

½ 1 k

− 1 k

この場合にP[Xk(w) =±1]の確率を計算してみよう: (1.4)の表記法を使う. 数学的帰納法を使えば

P[Xk(w) = 1] =P[{w∈Ω :w^(k)= 1}] = X

w∈Ω,w^(k)=1

P[w] =p

P[Xk(w) =−1] =P[{w∈Ω :w^(k)= 0}] = X

w∈Ω,w^(k)=0

P[w] = 1−p

が簡単に証明できる. ⋄

例題

3.5. (3.5)

X

(w), k = 1, 2, · · · , n

,

(3.6) S

(w) ≡

½ 0 k = 0

X

(w) + · · · + X

(w) 1 ≤ k ≤ n.

この確率変数は標準ランダム・ウォークrandom walk^と呼ばれ,^応用上,^{重要なものである}. ⋄

練習問題

3.6 (2

). (3.6)

S

(w), k = 0, 1, · · · , n,

,

P[S

(w) = j] =

C

p

(1 − p)

,

− k ≤ j ≤ k

k + j

(3.7)

となることを示せ

. ( (3.7)

2

binomial distribution

. ) ♯

4

確率変数を特徴づける数値はいろいろあるが

,

.

4.1. (i) a

, · · · , a

X(w)

,

E[X(w)] ≡ a

P[X(w) = a

] + a

P[X (w) = a

] + · · · + a

P[X (w) = a

]

X(w)

mean

. ⋄

例題

4.2.

3.1

X (w)

. (3.3)

E[X(w)] = 1 · P[X (w) = 1] + ( − 1) · P[X(w) = − 1]

= 1 · p + ( − 1) · (1 − p) = 2p − 1. ⋄

4.3.

G

:

G :

1

,

× 100

,

G

? ⋄

解答

.

1.2

(Ω, P)

,

G

w = w

Z(w) = k · 100, k = 1, 2, · · · , 6

. § 5

Kolmogorov

n

.

G

n

,

n · E[Z(w)]

.

G

E[Z(w)] = 100 · P[Z(w) = 100] + · · · + 600 · P[Z (w) = 600]

= 100 · 1

6 + · · · + 600 · 1

6 = 2100

6 = 350

,

/

. 2

一般に

,

.

,

.

*13 しばしば,期待値expectationとも呼ばれる.

*14 運営費用は考えない.

補題

4.4 (

). X (w), Y (w)

, a, b

. (i) E £

a X(w) + b Y (w)] = a E[X(w)] + b E[Y (w)].

(ii)

a

, E[a] = a.

(iii) X(w)

Y (w)

E[X(w) · Y (w)] = E[X (w)] · E[Y (w)]. ⋄

定義

4.5.

. ⋄

例題

4.6.

p (0 < p < 1)

2

.

X

(w), X

(w)

:

X

(w) ≡

½ 1 1

0 1

X

(w) ≡

½ 1 2

0 2

.

(i)

.

(a) X

+ X

, (b) (X

+ X

)

, (c) X

· X

(ii)

.

(d) E[X

+ X

], (e) E[(X

+ X

)

], (f) E[X

· X

].

[

] (i) X

, X

,

X

0 1

1 − p p

X

0 1

1 − p p

X

+ X

0 1 2

確率

(1 − p)

2 p(1 − p) p

(X

+ X

)

0 1 4

確率

(1 − p)

2 p(1 − p) p

X

· X

0 1

確率

1 − p

p

(ii)

E[X

+ X

] = 0 · (1 − p)

+ 1 · 2p(1 − p) + 2 · p

= 2p.

E[(X

+ X

)

] = 0 · (1 − p)

+ 1 · 2p(1 − p) + 4 · p

= 2p + 2p

. E[X

· X

] = 0 · (1 − p

) + 4 · p

= 4p

.

[

]

.

E[X

] = 0 · (1 − p) + 1 · p = p, E[X

] = 0 · (1 − p) + 1 · p = p.

*15 ベルヌイ試行は大変単純だが,実は多くの確率現象がベルヌイ試行の組み合わせで表現できる.

補題

4.4, (i)

,

E[X

+ X

] = E[X

] + E[X

] = p + p = p.

つぎに

X

X

,

4.4, (iii)

E[X

· X

] = E[X

] · E[X

] = p

.

E[X

] = 0

· (1 − p) + 1

· p = p, E[X

] = 0

· (1 − p) + 1

· p = p.

これより

E[(X

+ X

)

] = E[X

+ 2 X

· X

+ X

]

= E[X

] + 2 E[X

· X

] + E[X

] = p + 2 p

+ p = 2p + 2p

. 2

例題

4.7.

p

. (i) k

F (k, p)

.

(ii)

Y (w)

. ⋄ [

] Step 1. q ≡ 1 − p

,

1

: P[Y (w) = 1] = p, 2

: P[Y (w) = 2] = q p,

.. .

k

: P[Y (w) = k] = q

p, .. .

(4.1)

となるので

,

F (k, p) = p + qp + q

p + · · · + q

p = p · 1 − q

1 − q = 1 − (1 − p)

.

,

p

F (k, p)

:

成功確率

p 0.1 0.2 0.3 0.5 3

F (3, p) 0.27 0.49 0.66 0.88 5

F (5, p) 0.41 0.67 0.83 0.97 7

F (7, p) 0.52 0.79 0.92 0.99 10

F (10, p) 0.65 0.89 0.97 ∼ 1

教訓

:

10

,

.

⇔

10%

.

. Step 2. Y (w)

. (4.1)

,

E[Y (w)] = 1 · p + 2 · q p + 3 · q

p + · · · + k · q

p + · · ·

= p ¡

1 + 2q + 3q

+ · · · + kq

+ · · · ¢

= p

(1 − q)

= 1 p .

:

(

I

II

):

1 + 2q + 3q

+ · · · + kq

· · · = 1

(1 − q)

. 2

例題

4.8.

.

,

,

. Z (w)

, 4

.

Z(w)

.

⋄

[

] (i)

1

,

a

.

(ii)

, a

p = 3/4.

3/4

.

Y

(w)

.

(iii) 3

,

2/4

なる

.

Y

(w)

.

(iv) 4

,

1/4

なる

.

Y

(w)

.

(v)

1 + Y

(w) + Y

(w) + Y

(w)

, 4

.

4.7

, Y

(w)

,

E[Z(w)] = E[1 + Y

(w) + · · · + Y

(w)] = 1 + E[Y

(w)] + · · · + E[Y

(w)]

= 1 + 1 3/4 + 1

2/4 + 1 1/4 = 25

3 .

5

確率変数の 散らばり具合 を特徴づける数値として

,

.

.

5.1

確率変数

X (w)

,

m ≡ E[X(w)]

4.1

.

5.1. a

, · · · , a

X (w)

,

σ

[X(w)] ≡ E[ ¡

X (w) − m ¢

] = X

k=0

¡ a

− m ¢

P[X(w) = a

]

X(w)

variance

. ⋄

注意

5.2.

2

X(w)

Y (w)

. P[X (w) = 1] = 1

2 = P[X(w) = − 1], P[Y (w) = 100] = 1

2 = P[Y (w) = − 100].

どちらの確率変数も

E[X(w)] = 1 · 1 2 − 1 · 1

2 = 0, E[Y (w)] = 100 · 1

2 − 100 · 1 2 = 0,

0

.

σ

[X(w)] = E[ ¡

X (w) − 0 ¢

] = 1

· 1

2 + ( − 1)

· 1 2 = 1 σ

[Y (w)] = E[ ¡

Y (w) − 0 ¢

] = (100)

· 1

2 + ( − 100)

· 1

2 = 10000

となり大きく異なる

. X (w)

1

, Y (w)

100

,

. ⋄

例題

5.3 (

).

. 2

A: 2

.

方法

B:

1

,

.

にたいし

,

.

,

. (

:

q

,

A

X (w),

B

Y (w)

. X (w)

Y (w)

. ) ⋄

[

]

,

. Step 1.

X(w), Y (w)

.

X (w)

0 2

q 1 − q

Y (w)

0 1 2

確率

q

2q(1 − q) (1 − q)

,

.

E[X (w)] = 0 · q + 2 · (1 − q) = 2(1 − q),

E[Y (w)] = 0 · q

+ 1 · 2 q (1 − q) + 2 · (1 − q)

= 2(1 − q).

つまり 無事に届く卵 の平均値は等しい

.

Step 2.

,

.

X (w) = 0

©

X(w) − 2(1 − q) ª

= 4(1 − q)

, X (w) = 2

©

X(w) − 2(1 − q) ª

= 4q

だから

©

X (w) − 2(1 − q) ª

の値

4(1 − q)

4q

q 1 − q

σ

[X] = E[ ©

X (w) − 2(1 − q) ª

]

= 4(1 − q)

· q + 4q

· (1 − q) = 4q(1 − q).

Step 3.

Y (w) = 0

©

Y (w) − 2(1 − q) ª

= 4(1 − q)

, Y (w) = 1

©

Y (w) − 2(1 − q) ª

= ( − 1 + 2q)

, Y (w) = 2

©

Y (w) − 2(1 − q) ª

= 4q

,

だから

©

Y (w) − 2(1 − q) ª

の値

4(1 − q)

( − 1 + 2q)

4q

q

2q(1 − q) (1 − q)

*16 株式市場では,分散は ボラタリティー と呼ばれ, 相場変動の激しさ をボラタリティーの大きさで判定している.

これより

σ

[Y ] = E[ ©

Y (w) − 2(1 − q) ª

]

= 4(1 − q)

· q

+ ( − 1 + 2q)

· 2q(1 − q) + 4q

· (1 − q)

= 2q(1 − q).

Step 4.

σ

[X ] = 2 σ

[Y ]

となる

.

,

B

,

A

1/2

,

. 2

,

B

,

A

1/2

,

.

注意

5.4. ”

:

(i) 1949

,

,

A

4

AC

18

トガルとの親善試合からの帰国中の飛行機事故で全員が命を落とした

.

A

.

(ii) 1958

,

,

勝利したが

,

3

.

10

.

(iii) 1961

, USA

.

を含む乗員乗客

73

.

この例に見るとおり

,

1

,

, ”

(=

,

.) 2

一般に

,

.

,

.

5.5 (

). X (w), Y (w)

, c, c

.

(i) σ

[cX(w) + c

] = c

σ

[X (w)].

(ii) σ

[c] = 0.

σ

[X(w)] = 0

X (w)

. (iii) σ

[X(w)] = E[ ¡

X(w) ¢

] − ¡

E[X (w)] ¢

. (iv) X(w)

Y (w)

σ

[X (w) + Y (w)] = σ

[X (w)] + σ

[Y (w)]. ⋄

練習問題

5.6 (

2). n

. 2

C: n

.

方法

D: n

1

,

.

にたいし

,

.

,

. ⋄ [

]

q

,

C

X(w),

D

Y (w)

.

X(w)

Y (w)

. Step 1.

X

.

X(w)

0 n

© X (w) ª

の値

0 n

q 1 − q