演習問題 問

演習問題

問

22

! x

x ² + a ² dx = 1 2

! 2x

x ² + a ² dx

= 1

2 log(x ² + a ² )

問

23

! x

√ a ² − x ² dx = −

!

− x

√ a ² − x ² dx

= − "

a ² − x ²

!

xe ^−x

dx = − 1 2

!

− 2xe ^−x

= − 1 2 e ^{− x}

問

24

!

x ⁿ e ^{− x} dx = − x ⁿ e ^{− x} + n

!

x ^{n − 1} e ^{− x} dx

= − e ^{− x} { x ⁿ + nx ^{n − 1} + n(n − 1)x ^{n − 2} + · · · + n! }

問

25

(x "

a ² − x ² ) # = "

a ² − x ² − x ²

√ a ² − x ²

= "

a ² − x ² + a ² − x ²

√ a ² − x ² − a ²

√ a ² − x ²

= "

a ² − x ² + "

a ² − x ² − a ²

√ a ² − x ²

= 2 "

a ² − x ² − a ²

√ a ² − x ²

1

⇔ "

a ² − x ² = 1 2 { (x "

a ² − x ² ) # + a ²

√ a ² − x ² }

! "

a ² − x ² dx = 1 2 (x "

a ² − x ² + a ²

! 1

√ a ² − x ² dx)

= 1 2 (x "

a ² − x ² + a ² arcsin x)

問

26

x ³ − 1 = (x − 1)(x ² + x + 1)

! 1

x ³ − 1 dx = 1 3

! 1

x − 1 dx − 1 3

! x + 2

x ² + x + 1 dx

= 1

3 log(x − 1) − 1

6 log(x ² + x + 1) −

√ 3

3 arctan 2(x + ¹ ₂ )

√ 3

! 1

x ⁴ − 1 dx = −

! 1

x ² + 1 dx − 1 2

! 1

x + 1 dx + 1 2

! 1

x − 1 dx

= − arctan x − 1

2 log(x + 1) + 1

2 log(x − 1)

問

27

! 1

x ⁴ + 1 dx = 1 2 √ 2

! x + √ 2

x ² + √ 2x + 1 dx − 1 2 √ 2

! x − √ 2

x ² − √ 2x + 1 dx

= 1 2 √

2 { 1

2 log(x ² + √

2x + 1) + √

2 arctan ( √

2x + 1) } − 1 2 √

2 { 1

2 log(x ² − √

2x + 1) − √

2 arctan ( √

2x − 1) }

= 1

4 √ 2 { log(x ² + √

2x + 1) + 2 arctan ( √

2x + 1) − log(x ² − √

2x + 1) + arctan ( √

2x − 1) }

2

問

28

! 1

1 + e ^x + e ^2x dx = ! 1

t(1 + t + t ² ) dt

= ! 1 t dt −

! t + 1

t ² + t + 1 dt

= log t + 1

2 log(t ² + t + 1) + 1

√ 3 arctan 2(t + ¹ ₂ )

√ 3

= x + 1

2 log (e ^2x + e ^x + 1) + 1

√ 3 arctan 2(e ^x + ¹ ₂ )

√ 3

問

30

! 1

√ x ² − 1 dx = ! 1 y dx

= ! 2 1 − t ² dt

= − log | t − 1 t + 1 |

3