2014 年度前期 材料力学 I 中間試験

2014

年

6

月

2

日(月)，5時限, 大講義室

2014 年度前期 材料力学 I 中間試験

※以下の

5

題中，4題を選択して答えよ。

１． 《熱応力，不静定》

図

1

に示すように，長さ

l

，断面積

A

₁，ヤング率

E

₁，線膨張率



₁の円柱が，長さ

l

，断面積

A

₂，ヤング率

E

₂， 線膨張率



₂の円筒内に入っており，上端が剛体板で接合されている。この部材を

 T

温

度上昇させる。以下の問に答えよ。

(1)

円柱，円筒に生じる仮想力をそれぞれ

P

₁，

P

₂の引張力，円柱，

円筒の変形量をそれぞれ



₁，



₂とする。力のつり合い式及び変 形量



₁と



₂の間に成り立つ関係式を示せ。

(2)

円柱，円筒に生じる仮想力

P

₁，

P

₂を求めよ。

(3)

円柱，円筒のそれぞれの変形量



₁，



₂を求めよ。

(4)

円柱をアルミニウム，円筒を低炭素鋼とし，A₁

=200 mm

²，A₂

=100 mm

² ，

E

1

=69 GPa

，

E

2

=206 GPa

，



1

=23.6  10

^-6

K

^-1 ，



2

=11.2  10

^-6

K

^-1，また，温度上昇を

 T  100 K

とする。それぞ れに生じる応力



₁，



₂を計算せよ。

(5)

アルミニウム，低炭素鋼のそれぞれの引張強さを



_B1

 167 MPa

，

B2

330 MPa

 

，安全率を

S  3

とする。この部材を安全に使うた めには，何度まで温度を上げることができるか許容温度上昇

 T

_a を求めよ。

E

₁

A

₁



₁

l E

₂

A

₂



₂

図

1 円柱と円筒の熱応力

２． 《熱応力，不静定，段付き棒》

図

2

に示すように，長さ

2l，断面積 2A

の棒と長さ

l，断面積 A

の棒の同じ素材の

2

本の棒から成る段付き棒 が断熱剛体壁に挟まれ，B点に左向きに荷重

P

が負荷されている。段付き棒全体を

 T

だけ温度を変化させた。

以下の問に答えよ。ただし，棒のヤング率を

E，線膨張係数を 

とする。

(1) A，C

の剛体壁から段付き棒に作用する反力をそれぞれ

R

_A，

R

_Cの引張力としてフリーボディダイアグラムを 描き，力のつり合い式を示せ。

(2)

フリーボディの状態において，温度変化

 T

と反力

R

_A，

R

_Cによる段付き棒全体の伸び



を求めよ。

(3)

剛体壁から段付き棒に作用する反力

R

_A，

R

_Cを求めよ。

(4)

ヤ ン グ 率

E=206GPa

， 線 膨 張 係 数

  11.2 10 K 

^{6 -1}， 断 面 積

A=100mm

²，長さ

l=20cm，荷重 P  10kN

，温度上昇

 T  30K

とす る。AB間，BC間に生じる応力



_AB，



_BCを求めよ。

(5)

今度は温度を下げる。引張強度



B

=330MPa，安全率 S=3

の場合，

引張強度を基準強さとして，安全に使用できる温度下降

 T

を求め よ。温度変化以外の他の条件は，小設問(4)と同じとする。

2l l

2A A

A C

B P

図

2 段付き棒の熱応力

３． 《物体力(遠心力)》

図

3

に示すような断面積

A

，密度



₁，



₂の棒からなる段付き 棒が角速度



で回転している。この場合の物体力としての遠 心力を考える。OA 間，AB 間で区間を分け，それぞれの物体 力を

q x dx

₁

( )

，

q x dx

₂

( )

で表すと，

x

の位置のそれぞれの区間 の内力

Q x

₁

( )

，

Q x

₂

( )

は次式で表されると考える。

図

3 密度が変わる棒の回転



8a

a 3a

x

O A B

1

, E

1

 

₂

, E

₂

1

( )

1

(0)

0^x 1

( )

Q x  Q   q   d ^(3.1)

2

( )

2

( )

^x 2

( )

Q x  Q a  

a

q   d ^(3.2)

上記の式を元に，以下の問に答えよ。ただし，それぞれのヤング率を

E

₁，

E

₂とする。

(1)

式(3.2)について，AB間の

q

2を求め，

x  4 a

の境界条件から

Q

2

(a)を求めよ。

(2)

式(3.1)について，OA間の

q

1を求め，

x  a

の仮想断面に働く力の条件から

Q

1

(0)を求めよ。

(3)

全体の伸び



を求めよ。

(4)

回転数

N = 1000 rpm，長さ a = 20cm

の時，全体の伸び



を求めよ。中心部の材質はステンレス鋼，両端 部をジュラルミンとし，ヤング率

E

1

= 197 GPa，E

2

= 69 GPa，密度 

1

= 8.03 10

³

kg/m

³，



2

= 2.79 10

³

kg/m

³とする。

(5)

同じ材質の組合せで，ステンレス鋼とジュラルミンのそれぞれの引張強さを



1B

= 578 MPa， 

2B

= 427 MPa

とする。安全に回転させるには，1 分間に何回転までできるか求めよ。ただし，

rpm

の単位を用いよ。なお，

引張強さを基準強さとし，安全係数は

S  12

とする。

４． 《物体力(自重)》

図

4

に示すように，剛体の天井に取り付けられた長さ

l

，直径が

2d

か ら

d

まで直線的に変化する円形断面の棒に図の方向に大きさ

P

^の荷重 をかけた。ここでは自重の影響を考える。以下の問に答えよ。ただし，こ の材料の密度を



，ヤング率を

E

とする。また，下面を原点として

x

座標 を取り，下面の面積を

A

0とする。ただし，

P   g A l

₀

/ 3

とする。

(1) x

の位置の仮想断面から下の部分の重量を

W x ( )

として，自重を考 慮したフリーボディダイアグラムを描け。

(2) x

の位置から下部の体積

V

_xを求めよ。

(3)

下端から

x

の位置の内力

Q x ( )

を求めよ。

(4)

下端から

x

の位置の応力



_xを求め，増減表を作成して最大応力の 生じる位置とその大きさを求めよ。

(5)

全体の伸び



を求めよ。

l

x

P A

B d

_x

2d d

図

4 直径が変化する棒の自重の

考慮 ５． 《不静定，熱応力》

図

5

に示すように，断面積

A

1，ヤング率

E

1，線膨張係数



1の棒

AB

と断面積

A

2，ヤング率

E

2，線膨張係数



2の棒

AC，AD

の計

3

本がピン接合されている。このトラスに温度変化

 T

を与えた。以下の問に答えよ。

ただし，棒

AB

の長さを

l

，棒

AC，AD

は角度



傾けて取り付けてある。

(1)

棒

AB

に張力

F

1，棒

AC，AD

に張力

F

2が引張りとして働くと仮定し，

各棒

AB，AC，AD

とピン

A

のフリーボディダイアグラムを描け。

(2)

力のつり合い式を示せ。

(3)

フリーボディの状態で，棒

AB，AC

の変形量



，



を求めよ。

(4)

変形の条件も考慮して，張力

F

1，F₂を求めよ。

(5)

棒

AB

を低炭素鋼，棒

AC，AD

をアルミニウムし，A1

=100 mm

²，

A

2

=200 mm

²，

E

1

=206 GPa

，

E

2

=69 GPa

，



1

=11.2  10

^-6

K

^-1，



2

=23.6  10

^-6

K

^-1，また，傾きを

  30

^o，温度上昇を

 T  80 K

と する。それぞれの棒に生じる応力



₁，



₂を計算せよ。

 



₁

A

C B D

A

₂

, E

₂

A

₂

, E

₂

A

₁

, E

₁

l

図

5 ピン接合されたトラスの

熱応力