膜構造およびケーブルネットの基本的力学挙動の解明

(1)

【論　　文】 UDC ；624

．

074

．

43 ；624

，

042

．

41 日本建築学会構造系論文報告集第 390 号

・

昭和 63 年 8 月

膜構造

およびケ

ー

ブ

ル

_ネ

ッ

ト

の

基

本

的

力

学挙

動

の

解

明

名誉会員

　坪

井

善

勝

＊　

1．

序　論

シェル構造物およびその発展を推進させた理論

，

実験

，

および試作的構造物を回顧すれば，鉄筋コンクリ

ー

_トシェル

，

鉄骨ド

ー

ムのような剛構造からテンション構造，膜構造のような柔構造を抱含する薄膜理論実現の場が現代エ学の進展とともに幅広く開放されて

，

、

大スパン構造の実現を可能にしたことを想起するのである。

剛柔を問わず

“

シェル構造の本命は膜応力状態の実現

”

にある。鉄筋コンクリ

ー

トシェルは圧縮応力の領域が支配するのが本命であり

，

付随する曲げ応力の処理が重要となった（特に

，H ．

P 。

曲面について）

。

テンション構造はその逆で

，

_曲げ問題は存在せず，引張応力の主体となる液体膜的性格が特徴である

。

鉄筋コンクリ

ー

トシェルは剛性の高いのが特長であり

，

テンション構造はその柔軟性に長所を持ち

，

純膜応力の形態が実現されるところに魅力がある。

本論文では

，

半ば経験的，実用的（実験を基礎として）に成長した膜応力問題（ケ

ー

ブルネットを含む）を純理論的立場で組み立てて

，

その公式化

，

すなわち

，

実

_甲

_駕

を試みる。本論文は第1章序論を含め

，

全 6 章よりなる

。

第2章では

，

矩形投影面を持つ偏平膜構造の非線形基礎方程式を導入する

。

異なる座標系における

2

種類のひずみ

・

変位関係式を比較し，本論文では

，

膜構造およびケ

ー

ブルネットの理論的展開を効率的にするため

，

曲面上あ曲率線座標で表現された基礎方程式を採用している

。

第 3章では

．

第2章で誘導した基礎方程式をケ_T ブルネットの基礎方程式へ _{拡張}_{して}いる。 2方向ケ

ー

ブルネットは膜構造の力学的挙動を理解するための最も優れたモデルであり，非線形基礎方程式を解析的に取り扱う

・

ことが可能で，非線形問題の直感的把握を養うにも適したモデ

1

ルである。第 4章ではケ

ー

ブルネットの大局的な挙動を把握することを目的として_，フ

ー

リエ _{級数展開の}第 1項を採用した主モ

ー

・ドによる応力

・

．

変形解析を実行する6 結果として，合応力

Nx −−

Ny はたわみ 1次式，乢＋Ns はたわみの 2次式による表現を与えるとともに

，

初期張本論文の

．

部は文献 3 ）

，

4 ｝で発表したものである

。

寧 _坪_{井善勝研究室　東京大学名誉教授}

・

_工_博　（昭和63年 2月 4日原稿受理〕力の効果を

_含

む荷重

・

たわみ_関係式を定

_式

化する。これらの関係は

，

実験計画

，

実験や数値解析結果，等を検討するための基礎知識として活用できる

。

第5章で _は

，

Z ＝

A

（ゴ

ー

yt）および Z

！

・

B

_＝_y で与えられる

H ．

P ．

曲面の基本的性格を論じることを目的とし

，

第

3〜

第

4

章の結果を利用して，ケ

ー

_ブ_ル_{境界}_を_{有す}_{るケ}

ー

_ブ_ル _ネ_ッ _トの挙動を調査

ず

る

1

結果として

，

境界ケ

ー

プルの張力とたわみの_非

纏

形関係式を定式

tt

’

している

6

第

6

章では

，

本論文で公式化

v

た関係式の_有効性を検討するため

，

文献［1

〜

2］で_実施されている実験との比較を行う

。

2．

基礎方程式

本章では，偏平条件を利用した非線形基礎方程式を導入する

。

2−1

　ひずみ

・

変位関係式

図

一1．

に示す矩形投影面を持つ偏平膜構造を考え

，

座標系としてデカルト座標系 0

−

xyz を採用する

。

偏平条件を利用して導いたひ_ずみ

・

変位関係式には，変位の方向により次の 2種類がある（付記

A

）

。

ら一

籌

・

審

讐

＋

吉

（

∂w ∂x

）

’

げ

芻

・

留咢

・

｝（

迦

_∂_y

）

！

・

−

t・

一一

_（_・_）　　　 ∂w ∂We 　　　 ∂u 　　　 ∂v

r・y＝

_可

＋_齎＋_翫 _∂_y

・

寄讐

・

書

黷

ここに

，

u

，

v

，

w は x _，

y

_，z 方向の変位で， ω。は初期形状である

。

Ex一

噐

二・

襟

・

去（

∂w ∂x

）

：

．

．．

研

芻

一

・

襟

咾（

芻

ア

………

（・

1 _．

窟

3 _髪

・

器

一

_助

識

・

器

寄

ここに

，

u

，

　v は曲線座標方向（面上の接線ベクトル方向）の変位

，

w は面の法線方向の変位である

。

通常

，

膜構造では（1 ）式が

，

鉄筋コンクリ

ー

トシェルでは（2）式が用いられる場合が多い

。

本論文では

，

膜構造およびケ

ー

ブルネットの理論展開を効果的にするため（2＞式

一 98 一

(2)

a

0

a X 　　　

y

図

一

1　矩形投影面と座標軸

la

図

一

2　H

．

P

．

曲面とライズを採用する

。

　ここで

，

次の無次元量を導入する

。

ξ

・

吾

・

一

髫

・

…・

・

…・

……・

…・

………・

一

（

3

）

σ

券

y 一

書

，w 一

_詈

，

脆

警

ここに

，

a は矩形投影面の辺長の 1／2である（図

一

1）

。

（3）式を用いて（

2

）式を無次元化すると次式となる。

弓

9 一

讐

暢

（

∂∂

w

ξ

）

2

ev

一

鑑

響

・・

音

（

鰐

γ

一・

・

…・

… 　　　 ∂tw 。　　　 ∂w ∂w 　　　 ∂

u

　　　 ∂v

2∂_ξ_∂η

1

弓厂_＋瀦

一一

窃

「

r・y

＝

万

＋ ∂ξ 初期形状を次式づ与える（図

一

2）

。

Ao

〔

一

ξ2＋ η2）

・

…

曾

・

…

r・

・

一・

・

一一・

（5 ）

既＝

2

上式を（4）式に代入すると

・一

咢

・

A

・w ・

去（

∂

w

∂ξ

）

z

……・

・

…一一

_（・）

ey一

鑑

甜・

S

（

∂

w

∂η

）

2

₋

_・

_{…一・}

_…

の

為

一

警

臣馳讐

讐

……・

…・

一一

（・）　2

−

2　構成方程式　面内合応力を

Nx

，　

Ny

，　

Nxy＝

Nsxとすると

，

構成方程式は次式となる

。

　　　 Nr

＝

K （εr十 vεv）

，

　Ny

＝K

（εy十 vεx｝

・

…

　（9）　　　　1

一

レ

N・y

＝

N・x

ニ

K27 ・y ここに

，

K は面内剛性で

K

＝

Eh

_／（1

−

v！）である（E ：ヤング率， v ：ボアソン比

，

h

：膜の厚さ〉。ボアソン比を零と置ける場合には

，

N

。−

K

・勤凡一

K

・，

，

　IV

。

、

−

N、x

・

57

。y

…・

・

…・

・

（

10

＞　2

−

3　つり合い方程式　面内方向のつり合い方程式（付記

B

）は

，

讐

＋∂

舞

一

・

讐

・

咎

一

・

…・

・

…

（・・）面外方向のつ _り_合い方程式（付記

C

）は，

Nx

。

，

　Ny。；　IVxsu を初期合応力として

，Nx ＝Nx

。＋

Nx

，　

Ny

＝Nso

＋

Nv

，　

Nxy

＝

Nxsc

＋Nxyと置くと次式となる

。

一

∂1ω。

一

∂ 2Wo 　

−

　∂tw 。

ハ厂x

∂xl ＋

Ny

∂yi ＋2Nxy ∂x∂2ノ

＋

羞（

一

_∂_ω

一

_∂_w

N

・_翫＋

N

・y _∂ y

）

＋

品

（

一

_∂_w

−

_∂_w 凡

_哥

₁

＋

N

_{・・}

trt

）

＋

P −

・

…一・

一

（12）　

3 ．

2

方向ケ

ー

ブルネットの基礎方程式

本章では_，前章で導入した基礎方程式を利用して

，

2 方向ケ

ー

ブルネットに対する基礎方程式を導く

。

x，　

y

軸に沿った

2

方向ケ

ー

ブルネットの場合には

，

勘

＝

0

，

Nxy

＝

0

，

　v

＝

O と置くことが出来るから基礎方程式は次式となる。　 3

−

1　ひずみ

・

変位関係式　（6），（7）式より

Ex一

薯

琴

＋

A

_・

w

＋

麦

（

∂

w

∂ξ

）

t

・

……・

…………

_（・3）

げ

鑑

斜＋

者

（

∂

w

∂η

）

t

−

・

…一一・

_（

₁₄

_）　3

−

2 構成方程式　（

9

）式より

，

Ni

K

ε．

，

Ns

　：

K

εy

・

…

　（

15

）　3

−

3　つり合い方程式　（

11

）式において

Nxy＝O

であるから　　　 ∂Ny 　　　 ∂Nx 　　　　　　　　　

＝0 − ・

…・

……・

…・

・

……・

…・

（

16

＞　　　　　

＝

O，

　　　　∂y 　　　 ∂x 面外方向のつり合い方程式（付記

C

）は_，上式を利用することにより　　　

一

∂t（Wo 十 w ）　

一

　　　　∂z（Wo 十 w ）　　　　　　　　　　　　　　　　十_p

＝

0

…・

・

（17）　　　

Nx

　　　十

Ny

　　　 ∂xz 　　　 ∂yi （3 ）式の_無次_元量を導入すると　　　

一

∂2（

Wo

十

w

_）

一

　　　　　　　　　　　　∂2（

w

。＋

w

）　　　　　　　　　　　　　　　　　十p

＝0…

（

18

）

N

・ α∂

9

・

rm

_＋

_N

・ α∂，・さらに

，

（5）式の_{初期}形状を代入すると　　　　

一

一

Ao

−

　　　 ∂2W 　　　　

−

∂2w 　　　（

− Nx

十

Ny

）

。＋

N

・ α∂ξ・＋

N

・ α∂，・＋_ρ＝ _° 　　　　　　　　　　

・

…

一・

一

一・

一

・

…

一・

」

…

け・

・

（

19

）初期張力

Nx。

，

N

．は初期形状でつり合っているから

（

− Nxa

＋

N

_，。

穿

一・

…一 …一・

一一・

一

（2・）つまり，

Nx

。と

N

．は等しくなる

。

その値を

N

。と置くと　　　

一

99 一

(3)

　　　Nxo

＝

Nso

＝

No

・

…・

・

…………・

…・

・

…・

・

（21）（20＞

，

（21＞式を（19）式に代入し_，整理すると

制

从

琢

僻

蝋

窪

・

穿

）

一

吉

（

Nx 一

副

・・

−

5 （

∂：

w

_∂2w ∂ξ2　 ∂η2

）

｝

＋・

一

・　　　

………・

……・

・

（22＞上式において_， _{左辺}の_{第 1 項}は石けん膜の_式であり，第 2項は

H ．

P ．

シェルの鉛直方向のつ _り_合いを示している

。

両者の結合がテンション構造を成立させている

。

ガウス_曲率が正の_場_合には

，

例えば

，

w

。　1

万＝

SA

・（ξ 2 ＋ _η2_＞

… … ’

… … … ’

… ’

’

”

_（23_）では

，

第

2

項は第

1

項に吸収される（空気膜）

。

等分布荷重下の空気膜は石けん膜で理解される

。

4．

主モ

ー

ドによる応力

・

変形解析　たわみ

W

として次式を仮定する

。

W −

F

． … e・S

聖

π ξ・・S

穿

・

…・

………

（・4）本論文ではケ

ー

ブルネットの大局的な挙動を把握することを目的として m

＝

n

＝1

の_{場合}の_主モ

ー

ドによる解析を行う

。

つまり

，

W ＝A

・・c・s 百ξc・s2 η

… ’

… … … …

（25）上式を（13＞

，

（14）式へ _{代入す}る_と

・・

署

瑚・C・sg ξ・・sf ・

・

梺

（

…

S

ξ・・sS ’

1 ）

2

−・

・

………

_（・6 ）　　　 ∂

y

．

　　 π　　　 π

ε_y

；

bl

−

A・A・・COS

7

ξCOS 至「η

・

梺

（

…

9

・…

9

・

）

2

……・

…

［

・

（27 ）　ここで_， ∂

U

／∂_ξ_，∂y_／∂ηを求める

。

（15 ＞式を（16 ＞式へ代入すると

，

　　　 ∂εx 　　　 ∂εy 　　　

＝

0

……・

…………・

tt

…………

_（28_）　　　　　

＝

・

O

，

　　　 ∂ξ 　　　　∂η 積分すると　　　ε_x

＝

／（_η）_，　Ev

＝

9

（_ξ）

・

…

r・

．

・

…

一・

（29）　

．

上式を（26），（27）式へ代入し

，

積分すると　　　 214。

An

　 π 　　 π 　　　σ

＝

∫ （ワ）ξ十

C

、（η）

一

π

・

．

・

i

・

₇

_ξ・・S

−

₂

’

_η

一

π

釜

llc

・s・

晋

・

（

ξ

一

⊥。

i

。。_ξ 　　　π

）

……

_（_・・_）　　　

2A

。

A

，，　　π 　

．

π 　　　

V

＝ g（_ξ）_η十

C2

（ξ）十

π C・S7 ξsm 万η

一

_響

_{・・}_S・

糞

（

　　　η

一一

1　sm

．

　　　 π

）

…・

…

_（₃₁_）境界条件

，

つまり

，

ξ＝＝±

1

で

U

≡ O

，

_η三 _±1_で

V

＝ O を代入すると C，（η）

＝

C2（ξ｝

＝

0となり

，

さらに

，

− loo．

一

．

・

、

≡

f

（_・）

−

2

学

1C ・S

晋

・＋

4tic

・S・

1 ｝

・　　　　

………・

………

（32）

・_，≡

9

_（_ξ）

一一2

学

1c ・s

音

ξ＋ π

釜

も・・s・

晋

ξ 　　　　　　

・

』

・

…

　（33）中央点のひずみは ξ； _η；

O

と_置_{いて}

，

・x ・＿

÷

。

A

。＋

蓋

・

1

・

……・

………一

（・4＞　　　　21　　

．

　 π：　　　　Ai1

・

…

t−・

・

（35）　　　εyle

−

n

＝

0

＝一一

F’

　AoA ” 十　　　 16 　　　 π 上式より

，

ξ

＝

η

＝

0の点で

，

Ex

−

、y一生

A

_轟櫞形）

…．

．

＿．

．

＿．

＿

（36_）

π 2

・・＋・・

一

卸

1

・（非線形）

一 ……・

………

．

…

_（₃₇_）（

15

）式を利用して合応力で表現すると　　　 4　

KAo

　　　　　　 Au

’

…・

………・

（38 ）　　　Nx

−

Ns

＝

　　　 π 　　　 π 2K 　　　　　　

A

至，

…

一・

・

…

齟

・

一・

・

…

一・

・

く

39

）　　　鑑＋_篤

＝

8

上式の概念図を描くと図

一

3 となる

。All

_が増加すると

Nx

l

　e

．

。

．

。は増大し

，1

鞠

1

ξ

．

。

一

。は減少する。　

Ny

＝

− 1V

，の時点で初期張力の効果はなくなる

。

本論文は

INy1

≦

N

。の範囲の論議である。　次に

，

荷重

・

たわみ関係を求める。等分布荷重

p

。をフ

ー

リエ_{級数展開}し

，

（

24

）式の _主モ

ー

ドに対応させて次式で与える。

・

−

1

〜

勲

…

9

… sf ・

一・

・

…………・

・

（・・）（15 ）

，

（

32

）

，

（

33

）式より

Nx

・

Ny−

2

攣

”

（

・・sg ・

一

・・sg ξ

）

・

響

｛・

（

・。S2

詈

・＋・・S2

舞

）

・

…

門・

・

…

一・

・

一・

・

…

　（41 ） Au

↑

乢

一Ny

− 2κ

舎

A11

（

・・S

晋

・＋・・S

詈

ξ

）

・

f

｛

響

（

・

鰐

・

一

・・

S

・

詞

　　　 o − 　　　　 No 　　　　図

一

3　合応力

・

たわみ関係

・

…

_（

₄₂

_）

(4)

また

，

（

25

）式を用いると　　　∂iw _∂：

w

π2　　　　　 π　　　　　π

∂ξ・＋ ∂，・

＝一

榊

・C°S 万ξC°S

’

2 ’

η 　　　　　　　　　

・

…

　（43 ）

豸

署

一

零

罪

一・

…………・

・

…・

…………・

…・

（44＞　　　　（41｝

〜

（44）式を（22 ）式へ _代入し

，

_{両辺} に COS 万ξ 　　　 COS 互η を掛け

，

積分すると（仮

狽

仕事に対する

Galerkin

法〉

，

誓

A

・

［

1＋

綴

A

｛・

］

・

畿

湘 1・

一！

1

’

ller

， ” ． “ ， a 　　　　　　　　　

・

…

　（

45

）上式が荷重 p。とたわみ

A ，

，

との間の関係式となる

。

5．

ケ

ー

ブル境_界を持つ_ケ

ー

ブル _ネ_ットへの拡張　図

一4

（

b

＞に示すケ

ー

ブル境界のケ

ー

ブルネットの構造挙動，特に，境界ケ

ー

_ブ_ル_の_{応力} ，を前章までに誘導した関係式を利用して_調べる

。

このことは_，次の 2式で示される

H ．

P ．

曲面の基本的性格を論じることに相当する

。

Z

＝

A

_（x2

一

_望_ノ2）

・

…

　（46 ） A

「

2a

L

Z ＝Bxy …

一・

・

t−・

・

…

韓・

・

韓・

・

…

簡

…

　（47）　（41｝，（42＞式を利用して，固定境界の場合の Nx

，

Ny

を求めると（図

一

4 （c）の

A

欄を参照）

，

IV

．・・

K

［

≧

勢

・・sf ・＋

1

・

II

／

9

；・ e…

9

・

］

・

…

　（

48

）

Nv−

・

［

−

2

学

1c ・sf ξ＋

望

lc ・S・

調

・

…

　（

49

＞これらの合応力（付記

D

）を境界ケ

ー

ブルの法線方向と接線方向に変換すると

，

e

，を境界ケ

ー

プルに沿う座標

e

，

＝

彑緲として

，

　　　al ・ _ξ

一

麦

〔1＋

ee，

・

一

者

（1

− a

）・・S

穿

一

・・ S

亨

一

舳

孚

，・・S

畢

… S

誓

一za

・・S

孚

，

・・S・

翌

… S

・

誓

司

，

・・S・

挈

一

・・S・

亨

一

…

孚

〆丶！丶丶丶　、

ノ

、丶丶　丶　ノ　／　！！！

L

＿

2、

一

A 　：　Clamped 　Boundary 一 a λ a1

冨

厘 aL 「Ope

B　　Cable　Bou皿dary

A ： Clamped 臼。undary B ： Cable 　Boundary

x （u1A Non

−

Linea ＝ SoapF 五1m y （v ！　　　　置_1（u1 ）　　　　　　　　A yl

（v1 ） N1、

・

圭

（・。＋・_，・ B

…

学

！　B 　　四xN ア LinearH

．

P

，

She11 　　　NxNy 図

一

4　固定境界とケ

ー

ブル境界の H

．

P

．

曲線と合応力

．

_{− 101一}

(5)

N 。

・・

t

（

Nx

＋

Ny

）

』

_撃

4

・・ s・・

チ

9

，・

撃

……一

（・・）・

．，−

s

（

N。− N

。）

一

興

ム1・ C・sf ・・，・

撃

…

S

・，　　　　

・

…

　（51）

＊

（50 ＞式における

Nn

を境界ケ

ー

ブルに_作用する_荷重と考え_，境界ケ

ー

ブルの張力とたわみ

A

、1との関係を求める

。

こめ場合，（50）式の sin　

f

ei

は逆対称モ

ー

_ドで_平均的には影響は小さいので_，次式を近似式として採用する

。

　　　　　πtKAI 、

．

・

…

　（

52

）　　　

Nn

≒ 　　　 32 　これを用いて境界ケ

ー

ブルに

一

様分布荷重（52）が作用する場合（

Nn ＝P

。と置く）の変位と張力を求める。変形前

・

後の張力をT。

，

T とすると

，

次の近似式が成立する。

・・ T・

一

酬

島

・

S

（

dbdx

，

）

z

｝

…・

一 ……

（53）ここに

，EA

：境界ケ

ー

ブルの伸び剛性

，

　 u ：Xl軸方向の_変位_， v ：面外方向変位，である

。

面外方向のつ _り_合い式

　礑

一一

_・・

……・

一 …・

・

…・

………・

・

（・・）より

，

v を求め

，

境界条件を利用すると

v

一

舟

（・

1 −

x；）

一 ……・

…………一 ……

（・5＞上式・（

53

＞式・代入・

，

器

一

・を考慮・て・を求・ると

・

一

乙

（

PoTo

）

z（・

IXI

一

・xl ）

一・

…一 …・

…・

…

（56）（

55

）

，

（

56

＞式を（53 ）式に代入し， Xl

＝

0点の

T

を求めると

T3

・

E

・

t

giai

α　

p

：．，，，

1tfgg

： ai （

Nn2・

…・

一一

（・・）上式に（

52

）式を代入することにより，張力

T

とたわみ

An

との関係が次式で定式化される

。

T3一

_判

響

1

ゲ

・：　 ai

一

青

・

………・

・

（・8）つまり

，

　　　り　　　

T

Ant ・

・

…

tt…

r・

・

…

_（59_）　

6．

数値解析例　前章までに定式化した関係式の _有効性を検討するため真柄

，

等］

・

2｝_による実験結果との比較を行う

。

　固定境界のモデルをモデル A

，

ケ

ー

ブル境界のモデルをモデル

B

と呼ぶことにすると，モデル

A

，

B

の形

一

₁₀₂

状は_{以下}の_様になる

。

　　　 2 　　　　　2 モデ・レA ・

V

・

f

一

斎

・、

塔

。

，

・

一

… mt 　　　　　　κ

言

247kgf〆cm _，　v

＝0．39

，　　　　　　

No＝

2kgf／cm _，　

Ao＝

0

．

4 　　　 t　　　　　z モデル

B

凱一

一

論

＋、

Y

，。

・

・ −

12

・・m

，

　　　　　　α1

＝84．8cm ，

K

＝

247

　kgf／cm _，　　　　　　v

＝

O．

39

，No＝

0

．

57　

kg

正_／cm

_，

To

＝ 90　

kgf，

　EA

＝

218×IO4　kgf

，

　Ao

；

O

，

4

　まず，モデル

A

に対して

，

全荷重

FP

_；

₄₀₀

_kgf

_{のレベ} ルで合応力の比較を行う。この場合

，

（45）式より Atl を求めると

A ，

，

＝ 0

．

0275 _{となり}

，

_（38_）

，

_（39_＞式_よ_り

，

蕊

一N

シ

＝3，46kg

／cm ，　

Nx

十

Ny ＝o．

23

kg

／cm となる。以上の_値より

，

凡＋

N

。

；

3

．

85 （7

．

5）

kg

／cm

，

　Ns＋Ne

＝

O．

　38 （

0，35

）

kg

_／cm が_求める

。

_{括弧}のなかの値は実験値である。鑑＋

AI

。の差は

，

（

38

）式に用いるたわみ

An

の値が

，

理論解析では小さく評価されていることに帰因している。　次に

，

モデル B の境界ケ

ー

ブル張力を比較する。全荷重 P

＝

200kgf のレベルで（45）式を利用して A，、を求めると

A

．1O

．

　Olとなる。この値を（52）式に代入し

，

その結果を（

57

）式に代入すると

T ；

53

．

3 （実験値

90 〜

_100）

_kgf

_{となる}

_。

_逆_に

_，

_実_験_{値 T}

＝

_loo　

kgf

を用い

，

（57）式より

A，

，

を計算すると

A 、

、

＝

0．

Ol6_{となる}

。

7．

結　論　本論文では偏平条件を考慮した非線形基礎方程式を出発点として

，

剛境界のケ

ー

ブルネットに対する（a_｝合応力

・

たわみ関係

，

（

b

）荷重

・

たわみ関係

，

およびケ

ー

ブル境界のケ

ー

ブルネットに対する（c）境界ケ

ー

ブル張力

・

たわみ関係

，

等を定

_式

化した

。

主要モ

ー

ド1個のみを採用することにより

，

定式化の過程ならびに直感的把握の容易な関係式の誘導をわかりやすく提示した。　本論文がテンション構造と曲率に依存する膜応力の効果を理解し

，

大スパン_構造実現のための明確な論拠を

，

さらに

，

複雑化される実用的構造（コンピュ

ー

タ解析を前提としている）への尺度を与え

，

構造設計理念の整理に寄与することを念願する。参考文献 1）斉藤公男；宮田勝利

，

真柄栄毅

，

岡村　潔：サスペンショ　　ン膜構造の基本形態と力学的特性

，

日本建築学会大会学　術講演梗概集

，

pp

．

1147

−

1150

_，

1985

_．

10

_．

2＞ H

．

Magara

，

　_qnd　K

．

　Okarnura

，

：A　study 　of 　Modeling 　and

　 structural 　Behaviour　of　Mernbrane　Structures

，

　Shells

，

　 Membranes 　and 　Space　FTames

，

　Proceedings　of 　IASS

　 Symposium

，

　Osaka

，

1986

，

　Vol

．

2

，

　edited　by　k

．

　Heki

，

　 Elseuier　Science　Publishers

，

　pp

．

161

−

168

，

1986

．

3〕坪井善勝：膜応力の基本的問題の解明

，

L 膜構造

，

ケ

ー

　　ブルネットの力学的挙動の解明即設計理念の確立

，

日本

(6)

　　　建築学会大会学術講演梗概集

，

pp

．

1195

−

1196

，

1987

．

10

．

　4）坪井善勝：膜構造およびケ

ー

ブルネットの構造挙動の解　　　明

，

第 2回シェルと空間構造に関する日

・

韓コロ _{キウ}ム　　　論文集

，

東京大学生産技術研究所

・

成均館大学校建築工　　　学科編 PP

．

81

−

88

，

1987

．

8

．

　付記A：ひずみ

・

変位関係式　デカルト座標系O

−

XY2 におけるグリ

ー

ンひずみ

・

変位関係式は

・x

一

咎

・

去｛

（

∂u ∂x

）

！＋

（

審

）

：＋

（

器

）

z

レ

ー……一

（・・｝物理ひずみの_場_合には

，

（∂u ／∂x｝’

＝

_O となる。さらに

，

Khmhan による平板への非線形問題（大変形

・

座屈）に対する_省略を導入すると

，

（∂v／∂X）x

＝

_O （y方向では（∂u／∂y）』 ₀_）_{とおける}

。

以上を（A1）式に考慮すると

・

一

言

睾

＋

壱

（

∂w 勧

）

’

_………・

_・

_………tt

_………

（A2）元ひずみ εr。および元変位u。

，

w。を含めて（A2）式を書くと

ゼ

讐

・

t

（

∂tVD ∂x

）

’

_・

_{…一・}

_{一 ………・}

_………

（・・_）

E。。・ e。

一

∂（

釜

ω・

去

（

∂（w

。

＋ w 　　 ∂x ）

）

1

・

…一 …・

…

（・・）（A4）式より（A3 ）式を引くと

げ

審

・

｛

裟

讐

・

擔

）

：

_……・

_………

（・・）上式は _（1_）式に

一

致している

。

以上の_諸式においては

，

w は z方向の変位であるが

，

これをω e曲面の法線方向の変位と定義すれば

，

　　　∂w ∂ω o　　　 ∂2w 。

齋「露

噂

吻万

… ’

”

… … … … ’

〈A6）となり

，

（2）式が得られる

。

（2）式は

，

曲面上の曲線座標系・おいてひず・

・

変位関係式・作・諞平条件1》

（

∂w

。

∂x

）

2

、

（

_留

）

_盤

_寄

・鑢 … と・よ・得・れ・e 　（ll_）式は

，

　Nx

，

　Np

，

／NiU_を_曲線_座_標_{＆畠}における

L2

方向の応力の x

，

_y面への射影応力とすれば

，

偏平条件を考慮しなくても

一

般に成立する（A

．

Pucher：

Ober

　denSpannungs

−

_zustand

in　_gekrUmmten 　Fltichen

，

　Beton　u

．

　Eisen　33

，

1934

，

　_pp

．

298

−

304）

。

つまり

，

次式で与えられる 1，2方向の応力の釣合い式（P、

＝

_P_，

＝

₀とする）に文寸応するものである

。

　　　N：e

＝

0

，

PP

＝

O（a

＝

1

，

2）

・

……・

………

（Bl）ここに

，

Nas は応力テンソル

，

貼は共変微分を表す

。

本論文の x

，

y方向は主応力方向に

一

致する

。

従って

，

つり合い式は（16＞式となる事

。

さらに

，

N＝

，

　Nyは主応力で取り扱われるから

，

本論文の範囲では剪断係数G の値は必要でない

。

固定境界の数値計算およびケ

ー

ブルネットにおけるF

、

E

．

M

．

との比較計算（本論文では省略）はこれを証明している

。

　’ 具体的に示す

。

物理的応力N［afi，と応力テンソル Ncaとの関係は騙、尸絆

竪

，

。

，

β

一

1

，

2

，

である

。

ここに

，一

は和を示さないための記号である

。

射影応力は

，

＿

　　　砺

一

一

　　　而π 　　　　

・

〔B2 ）

N

・

1］

＝

以川

7

訂

・

N・・

＝

N・ltl

・

N・v

＝

N［n ＞砺ここに

，

all

−

1＋

（

讐

）

一

1＋

（

咎

）

t

、

・・

一

襟

寄

・

−

1＋

（

∂ω。 ax

）

± ＋

（

筈

）

t

_・

_……・

_・

（・・）主応力方向では

，

Nn

＝

0であるから

，

　　　 ∂Nmi 　　　　∂N［tt ）　　　　　　　　

＝

O

，

Nll，

・

＝

＝

0

・

………

（B4）　　　ハ1噐1

崙

　　　 ∂x 　　　 ∂y 　付記C ：法線方向のつり合い式　単位面積当たりの荷重をρとすると

，

法線方向のつり合い式は

一

般に次式で与えられる

。

　　　NαSbafi ＋_p

＝

O

，

α 9 β

＝

1

，

2

…・

・

…・

……・

…・

…

（

C1

｝ここに

，

ba”は曲面の第2基本計量で次式で得られる。　　　　　 1 ∂2ω。　　 1 ∂ 2 ω。　　 1 ∂ 2 ω。

bn

＝

万

7 ・

bn

＝

万万

・

b

・

・＝

va

∂x ∂y 　　　

一……一……・

・

………・

…

…・

（

C2

）付記Bで与えた物理的応力を書き下すと Ntt・尸・1

》

｝

脚 π

漂

幅

一

_脚

寮

一

師

漂

一 ……・

………

（・・） N：、2］

＝

N／、、1

＝

N

”

v’

ii

’

（C2）

，

（C3）式を（C1｝式に適用するとつり合い式は次式となる

。

　　　　海 ∂2w 。　　　 ∂ 2w 。

N・ll ＞贏 ∂xt ＋2晦 ∂xey 　　　　　　侮 ∂2 ω。

＋N・・

▽纛

∂y・＋・

・

＝

°

… ’

… ””

… … ’

_（_C_‘_｝　　　　　　　　海上式において

，

N”n 　　　　　　　　　　　

…

は（B2）式のPuchelの射影応力　　　　　　　　

VdT

’

であり

，

pa　tS　xy 面に対する射影荷重Z に対応する

。

つまり

，

X ＝

Y

＝

O

_，

_Z

＝

_pα

＝

ρ。v砺

，

ρ。〔自重）：

一

様な面荷重

，

である

。

偏平シェルでは

，

α”

＝

ats

＝

1

，

　al、

＝

a21

＝

O

，

α

＝

1である

。

さらに

，

（C4）式では

，

曲率 b：

＝

・

a°

°

bfi ．を用いないのが特徴である

。

曲線座標の x

，

y面への射影が

，

　x

，

　_y座_標であるとき

，

（C4）式は偏平条件の入っていない面に直角方向のつり合い式である

。

ここに

，

p は面に法線方向の荷重である

。

　付記D ；応力と合応力

　合応力は Stress（σ

，

τ）に対して_，　 Stress　Resultant

（Nx

，

　Ny

，

　Nry_）を意味するが

，

本論文ではあえて同じ用語を使う

。

本論文におけるN

．

，

Nv は主応力であるから

，

1

＝

α覧＋N ｝／2 はモ

ー

ル円の中心

，

N，

＝

（鑑

一

N』）／2はその半径である

。

5章におけるケ

ー

ブル境界の場合

，

Nn

．

从はケ

ー

ブルを境界とするときの法線および接線方向のSurface　Force_（_表_{面力}

1

となる

。

　付記E；2章

〜

5章の関係式本論文・偏平・… 1》

（

∂Wo ∂x

）

tt

_…

・膜盤・扱・たも・・あるが

，

面内力 Nx

，

　Nv

，

_{面内変位} u

，

　v は x

，

　y面内の応力および変位であり，面外変位ω に関しては

，

線形項は面の法線方向の _{変位}

，

_{非線形項}は x

，

創面に直角

，

すなわち

，

2 方向の変位であるとして基礎方程式を簡易化した

。

一

₁₀₃

一

(7)

t/

SYNOPSIS

UDC:624.074.43:624.042.41

FUNDAMENTAL

RESEARCH

ON

THE

STRUCTURAL

BEHAVIOURS

'

OF

MEMBRANE

STRUCTURES

AND

CABLE

NETS

･1

byDr,YOSHIKATSti TSUBOI, Mernberof A.I.J

'

In this _paper, the theoretical treatment of membrane stress states are developed formembrane structures and

cable nets inorder topresentsome

formulas

expressing nonlinear structural

behaviourfi

for

thepracticaluse as well as the

background

to_nFmerical _analyses _andexperiments.

'

Afterdiscussingthe nonlingar strain-disPlacement relations and the equilibrium equations with initial

prestres-sing terms forshallpw rnembrane structures

from

theview _pointsef theexpressions

in

the

different

coordinate

systems :

Cartesian

and curvilinear coordinates, thenonlinear

fundamental

equations are

derived

for

the eable nets of H.P. typewith clamped

boundaries.

From

the stress and

deflection

analyses of theseequations

by

use of the

first

rnain

deflection

term

(Vif=Aii

cosgecosgn), the

following

formulas

are introduced:

(a)

stress resultant-deflection relation

(INL-IV,ocA.

and IV}+N,ocAi,),

(b)

load-deflectionrelation of the thiTd order algebraic expression.

Next,

theseresults are modified totheanalyses of cable nets with cable

boundarie's,

and thetensionof

bound-ary cable-deflection relation

{

TocA:,fS)isformulated,

The validity of these formulasare examined by comparing with theexperimental results of cable net models.

'

膜構造およびケーブルネットの基本的力学挙動の解明

．

．

，

．

・

膜 構 造

お よ び ケ

ー

ブ

ル

ネ

ト

の

基

本

的

力

学挙

動

の

解

明

坪

井

善

勝

1．

，

，

ー

，

ー

，

、

“

”

ー

，

，H ．

P 。

。

，

。

ー

，

，

，

ー

，

，

，

甲

駕

，

。

，

。

2

・

，

ー

，

。

．

ー

・

1

ー

ー

ー

・

．

Nx −−

，

．

．

，

。

・

膜構造

およびケ

_ネ

　坪

_甲

_駕

_含

_式

一一