Microsoft PowerPoint - 計測工学第7回.pptx

計測工学講義

第

_7回目

担当：西野信博

A3-525号室

[email protected]

home.hiroshima-u.ac.jp/nishino/

目

次

• 第２章 スペクトル解析

– フーリエ展開と

フーリエ変換

演習

• スペクトル解析とはどのようなものかを、わかりやすく簡潔

に説明せよ。

• ポイント

• 物理的には、ある時系列の現象が、どの周波数成分をど

の程度の大きさを含んでいるかということを表すのがスペ

クトル解析である。

• ある時系列の現象の変動がどのような周波数成分を含ん

でいるかを調べること

– 具体的には、周波数別に振幅、もしくは、パワー（振幅

の

_{2乗に比例)を表した図など}

– 通常、横軸(縦軸)に周波数を取り、縦軸(横軸)に振幅や

パワーなどを取る

授業の流れ

• 前回では、スペクトル解析(周波数解析などとも言う)の基本的な手 法であるフーリエ級数展開の方法を学んだ。 • フーリエ級数展開とは、N次元の任意のベクトルを直交基底ベクトル で近似する方法を、関数を無限次元ベクトルとみなした場合に応用 したものとして考えられる。 • 今回は、それを発展させたフーリエ変換を説明する。

フーリエ級数展開

• ベクトルと同様に、単位直交関数列を利用して関数を展開する(近似 する)｡ • この単位直交関数列を使って、関数 を展開した時、 • 右辺を関数 のFourier(ﾌｰﾘｴ)級数といった。 • 因みに , sinは奇関数, cosは隅関数である。

1

1

1

,

cos

,

sin

(

1)

2

n x

n x

n

a

a

a

a

a









_









0 1

1

( )

(

cos

sin

)

2

n n n

n x

n x

f x

a

a

a

a





_



_













( )

f x

( )

f x

フーリエ級数の複素表示

• オイラーの関係式を用いて、 • 三角関数から指数関数表示に変更すると,

cos

sin

i

e

θ







i

θ

_i

2

 

1

/ / 0

( )

(

in x a in x a

)

n n n

f x

A e



B e

   







/

1

1

(

)

( )

2

2

a in x a n n n a

A

i

f x e

dx

a

a







 









/

1

1

(

)

( )

2

2

a in x a n n n a

B

i

f x e

dx

a

a

















1

i

 

クイズ

複素フーリエ表示

• あるいは、n=－∞から∞とし、右辺をまとめて表示すると、 • この表示を複素フーリエ表示という. /

( )

in x a n n

f x

C e

  





/

1

( )

2

a in x a n a

C

f x e

dx

a

  





フーリエ級数展開からフーリエ変換へ

• フーリエ級数展開を拡張する． • 区間(-

a

,

a

)は有限な任意の大きさであるが

a

→∞とした時の表 現を考える。 • 今、

k

_n=nπ/

a

とおく（

k

_nは波数と呼ばれる量） • すると、その間隔Δ

k

は、Δ

k

=

k

_n+1‐

k

_n=π/

a

で /

1

( )

2

2

n ik x in x a n n n n

k

f x

C e

C e

a





   







△



( )

n a ik x n a

C

f x e



dx







フーリエ変換への移行

• a→∞の時、Δk→０ となるので、 • と考えてよい. • よって、 として • が得られる.

( )

n

k



C





C k dk

△

,

n

k



k

△

k

 



dk

1

( )

( )

2

( )

( )

ikx ikx

f x

C k e dk

C k

f x e

dx



    





_















ディラックの

_δ関数

• 前の式の積分変数の表記を変えてもよいので、

• すると、

• これと、

を比較すると、

•

のように見える。

• 事実、これはδ関数の定義の一つである。

12 ( ) ( )

1

1

( )

( )

( )

2

2

1

( )

2

ikt ikx ik x t ik x t

f x

f t e

dt e dk

f t e

dtdk

f t

e

dk dt







              







_

_













_

_





 

 





1

( )

( )

,

( )

( )

2

ikx ikt

f x

C k e dk

C k

f t e

dt



    









( )

( ) (

)

f x

f t



x t dt

 







( )

1

(

)

2

ik x t

e

dk



x t



  







数係数２

_{πの任意性}

• フーリエ変換,またはその逆変換の間には見て判るように２π が入っている.この２πをどこにつけるかにより,見掛けが変わ るが、本質的な差はない. • 本授業では, のフーリエ変換を • その逆変換を • と書くようにする.

1

( )

( )

2

ikx

F k

f x e

dx



  





( )

( )

ikx

f x

F k e dk

 





( )

f x

余弦変換と正弦変換

• 関数 が偶関数の時、すなわち、 であれば、 • となることは容易にわかる。この時、 も偶関数で、 • となる。 • 関数 が奇関数なら、同様に以下の形にかける。

( )

f x

f x

( )



f

(



x

)

0

( )

( )

ikx

2

( ) cos

f x

F k e dk

F k

kxdk

  









0

1

1

( )

( )

( )(cos

sin )

2

2

1

( ) cos

ikx

F k

f x e

dx

f x

kx i

kx dx

f x

kxdx







     















( )

F k

( )

f x

0

1

( )

( )sin

F k

f x

kxdx









0

( )

( )

ikx

2

( )sin

f x

F k e dk

F k

kxdk

  









虚数はF(k)に入れている

フーリエ変換とスペクトル

• 例えば、プリズムによる光のスペクトル分解の様に、計測値や不 規則信号をフーリエ変換によって、周波数とその成分波の強さ、 エネルギーに分解されたものをスペクトル（あるいはエネルギー スペクトル）と言う。 光のスペクトル （７色） どちらが青？ どちらが赤？ （硝子、もしくは、水晶） 常識問題

パワースペクトル密度関数

• 周波数 の波のエネルギーはその振幅 の２乗で表される • 周波数 の信号成分の単位時間当たりのエネルギー(＝パワー) は,一般に の関数である。 • これをパワースペクトル密度関数と呼び，次の様に定義する。 • この時、

T

は測定時間で、理想的には十分長い間測定すること を で表現している • 定常状態に近い現象を暗に仮定。 2 _*

1

1

( ) lim

( )

lim

( )

( )

T T

P f

X f

X f X

f

T

T

 











_

_



_

_









lim

T

( )

X f

f

f

f

平均パワーとパワースペクトル密度関数

• 不規則変動である信号x(t)の平均パワー は、 • であり、これはあらゆる周波数成分のパワーを含んでいる • よって，周波数 の間の成分波のエネルギー の 総和であるから、 2

x

2 2 2 2

1

lim

( )

T T T

x

x t dt

T

 







  



P

f

df

x

2

(

)

f

～

f



df

P f df

( )

ディジタルフーリエ変換を使用したデータ処理の例

• 右の図は、実験装置と計測装置を示したも のである. • 実験装置は、立体磁気軸のヘリオトロンJ で図１ではピンク色がプラズマ,赤の装置は ヘリカルコイルで青と緑がトロイダルコイル である. • 図２の高速カメラ(上）でプラズマに近づけ たリミター(下）を撮影 • また,水平ポートからも低速カメラでモニター している fast camera (40500fps, max.) half mirror Heliotron J plasma cannonball-shape limiter Langmuir probes second camera (500fps, max.) <R>=1.2m to spectroscopy (movable) 図1 ヘリオトロンJプラズマの鳥瞰図 図2 計測装置概要

実験結果の一例

• 下図は、高速カメラによるヘリオトロンJプラズマの計測の結果の一例です. （Journal of Plasma and Fusion Research 80 (2004) pp179-180)

• 左が原映像(白黒６４ｘ６４画素)

• 右が時間についてフーリエ変換（実際は，FFT）をかけ、最も強い周波数成分 （5.7kHz程度）を取り出したもの

• これにより、コヒーレントな振動が確認されている.

筑波大学のプラズマ実験装置

• 上から概略図 • コイル配置図 • 磁束管と加熱機器 • 磁場強度分布 • ポテンシャル分布

カメラの撮影結果

#202552 #202553 セントラル部のECHがある 時は、磁力線に沿った揺 動の構造がはっきり見える セントラル部のECHがない 時は、磁力線に沿った揺動 の構造がはっきり見えない

瑶動の挙動（

_ECHあり）

• 下図の中央付近の赤い線 上の光量の時間変化を追 うと、 t=160-175ms t=165-166ms #202552 フィラメント状の揺動が 見つかる

高速フーリエ変換（

_{FFT）によるスペクトル解析結果（ECHあり）}

• 光量が大きい適当な画素(80,52)を選び、その信号をFFTにかけた 周波数6.5kHz帯に ブロードなピーク 時間全区間でのFFT 横軸：時間 縦軸：強度 縦軸：強度

• 時間依存FFTを2次元画像にかけて、各画素の位相を色

表現すると、

_{2次元的な挙動がわかる。（32フレーム使用）}

– 基準とした色

ＦＦＴによる

_{2次元位相差図（ECHあり）}

π −π −π/2 π/2 0 #202552 t=165ms t=170ms t=166.5ms 位相がばらつく 回転等は見られ ない。 位相が水平方向で 一定 上から下に回転 位相が水平方向で 一定 回転が止まり、そ の後、逆回転 t=162-173ms

演習

１，区間（

_{-a,a)のフーリエ級数展開の式}

• を利用して、以下を証明せよ。

•

が偶関数の場合は、

•

が奇関数の場合は、

２，次に、

_{ωを定数として、区間(－π、π)で定義される以下の}

関数

のフーリエ級数展開を求めよ。

0 1

1

( )

(

cos

sin

)

2

n n n

n x

n x

f x

a

a

a

a





_



_













( )

f x

( )

f x

( ) cos

(0

)

( )

sin

(

0)

f x

x

x

f x

x

x









 







 

 



( )

f x

0

n





0

n





本日のポイント

• フーリエ級数展開から、区間無限大の関数にも適用可能

なフーリエ変換を概説した。

• 但し、係数の2πの位置は任意性がある。

1

( )

( )

2

ikx

F k

f x e

dx



  





( )

( )

ikx

f x

F k e dk

 



