TR工J Mathe皿atics 22＝1 （1986〕
ASPACE
CURVE OF GENUS 7 AND DEGREE 8 WHOSE
NORMAL BUNDLE ’
hS SEMI−STABLE
T㎝oaki⑯and Yoshihisa AKIMOTO 、 （Received MaTch 15？ 1986） ． ． 1． Introduction ： ． ’． P．E．． Newstead ［2］ gave an example of“alnon−singular curve of genus g and・d。gree 9。n。’ Mbi・・u・face麺th・p・・j・ctiv・・pace P3 wh・se’n・磁1・ bundle is‘stable． As examples of space cu士ves whose normal bmdles are （semiづ stab16ジwe list the results： 9 ’ ・ ‘genUS
degree
〔semi−〕 stability 1 ． of nonnal I）undle 2﹁ 6stable
［6］． ’P 3 6 ．．唐狽≠b撃 ［3］ 4 「 7 s㎝i−stableF ・｝［5］． 5 7stable
9 9stable
［2］ MOreover E．Ballico and Ph；Ellia［5］showed the『existence Of mmy cuエveS with stable（resp． s㎝i−stal）1e〕nor al bundle． 1。・hi， P。p。。 we。h。11．gi・。．・n・th…x・卿1・・f・四rv・垣P㌔ths㎝i−stable normal bundle． ・．
THEOREM． 五θカ O Z）θ α genθiαZ non−＄ingu 1α？ OZtrvθ of 9θ批s 7 and 飽鯉θθ 8 Zη玩90nαnon＿singZt Zar已ubie swfaee 5仇劫θproゴeσtib’e Sραθ￠P3． IIVieh the nOlmzzZ hundZe of O in P3 is semi＿stubZe． Notation． We work throughout over．an algebraically closed field of characteristic O． If C is a． curve oh a surface S． wさus’6 the same Sy㎡bo1 0for the corresponding divisor class． 3132 T．ONO and Y． AKIMOTO
㍍：隠霊蒜乱：f。1夢、13k．・
o ： ・ ・． ご＝the no皿nal bundle of C in 5． o／s 2．Curves on a cubic surface L。t・S・be。加n−sin四1ar㏄6i・S。・￡acと麺』th・p・・jecti・・space P3． th・・・i・・b・・頑f・㎝・㍉b・・曲9−・p・iX剛…、．…，・，・hi・h…n・t㎝・
conic・and no． three of血ich．are collinearぺWe denote、 bτEi the exceptiona1 ㎝ve c・rr・spOndin9・t・pi ri−1・…・6ノ・，紐d L．th・t・tal t・a・・f・孤・f・1血・ ． 2 ・L・t．ei・Pi・5∫ゲ1・…・のbe・．th・divi・・r・1・・s・f Ei・L・t Z‘PiC SlnP
be the divisoT clasS of z｝． Then Pio 3 is the．fτee． a1）1ian、 group generqted by Z・・1・…・・6・and the、垣te「s㏄ti㎝pai「血9°n Pi・S is giyen by ・4−…i−一…『…、一…、・・ゴー・f・r・≠ゴ・ For any divisor class O＝αZ一ΣカZ弓whereα。ゐ1．＿。カ6 are integers， we have − d＝ 3a一Σカi・ ραr功＝rα三1戊rd−2ノ／2一Σ●〆ゐグ1戊／2 砲…di・th・d・gree・f P・P。・ω）i・the a・it㎞・ti・g・nu・・f D・L・t・パ・th・ class of q hyperplai｝’e seCtion， thqn h＝3Z＿Σ％．、 D・finiti・n・A励；・・r・la・S D−・Z一Σ bi・i ・・ s i・・αZZ・吻τ触9 ra⊃ゐ1♪… 3わ6九 Let、・b・an・n−singu…．i・・ed・・ib1・curv・．pf ggn・・、7飢d d・gree 8．血P3． We have an exact Sequence ． 、 ． ・ 0−一一一◆ lcr3） 一一一一9p3 r3ノー→ Ocr3ノー一一一→ 0． This fOllgws the long e？．ract sequgnce of Cohomologies ・ ・−H°・rp3。％r・〃−i7°・rp3．％・r・〃−H°rら・cr・〃一一…rりASPACE．〔XJRVE OF GENUS 7 AND DEGREE 8
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・ince・de・・，r−・）⑧％・・砲…q。 i・th・⑳nica・・heaf；・・ha・・’hirらδ〆・〃一・．・h・n・h°r…〆・〃三・8晒…enann−R・ch・h…㎝・酔）…g・t
h『〈p3診㌔ri「〃1 0rp339P3 r3，ノ ー hO rら0σr3∼∼ ＝．≧O−18三 2・tt th・ref・t6S・h・te『aT・’…qi・ti・・t i亘e血・ib・…biと・U・face・c・n七・i晦・・『 L・t3〃。β”b←．i廿・血cib1・chi6ic：surface・e6・t・ihi㎎0． th・t・t・i i・t・r・eとtid・．‘ of 5・and’3パis a’浮堰D・． Th㎝Z’is a lihざfbr degree feas6n． From』now・on IWe ass㎝・S”i・an㎝一singul・τ㏄bキr皿「face孤d・・place S by S”． The divisor万 on● is one of the fbllowihg types： rO．−1，0．03030♪の3 r1，0，0，0，0，1，1）3 r230」1，1，1，1，1」．「． ’．㌔．：。t蒜「。ご鷲。芸7；㌶蕊ぷぷ九誕ぷ・．
r9：4二3二3S 3⊃『3」3戊 if 1｝is 6￡’typ6 ro，．＿1303030． o∫o） ： ’ 「・ ‘： ヅ 「8・3・3・㌶・2・2，．if五i・・f typ・「1・°・°・°・°・1・1戊 「7・3・2・2ぷ2！if□手r°f type （．2・°・1・1・1・1・1ノ・、 、 Since孤y°f t｝’e°thrτ．classes in the list c孤be．t「an・｝f・・m・d t・、the class r7・3・2・2・2・2」2両aご㎞9・i・th・’・加ice・f El・…・％・鳩」s｝ia11・tak・・t・ bel°ng t°the class「7・3・2・そ・そ・2・．2ノ・We haye °S（のi・veワ⑭1・（・ee［4P・ deg（C． Z｝ノ＝4． By M．．Watanabe・s・results，σis proj㏄tive工y fidrna1（see．’o］「〕’．；‘…he⊇・6（｛・・6・， we・融・㎞曲t th6⊇・W叫・f・sudh・
genera1 （：urve is semi−stable． 3・S㎝i−・t・bility’ Ef％．；亘．』竺・e澱rt sr㎝rr．． ・ 、．
o−→弓r3ノー一→rcr3）一一一ぴ3）一一一→o’＿＿ω
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T。ONO and Y． AKIMOTO This gives rise to a．homomorT）hism、 ． 王・・°rp3。・，r・〃一一一e°rら・ξr・〃……rβノ Thus any homogeneous polyn㎝ial of degree 3 which vanishes on O defines a ・ecti・n・・f Nξr3ノ・・t f・11・w・f・㎝（・）th・t・エS ・r・・precisely・t th・ sipgular points of the corresponding cubiC surface 5，．which lie on（7． 凛，・e・ha・1・h・W th・t the』・gm・珈皿了・f（B−」 i・i・・rP卿hi・m． ㎜・げ・e°r・3。・C剛一三一．・°rc． ・b ．r・〃『』・ve・． h°r叫r・ノ∼一・・． 、
PROOF． No cubic can be singUlar qt every point of．σ． Hence・°rp3，弓r・〃一・， and・h・h…m・頑i・・アi・血」…i・・． ．−．．
St・p・・T・・（M・p…h°rp3，・。r・〃． w・c・n・id…h・f・…亘・g・xactsequence
O−一 IC「5ノー一→％3「3ノー−00「3ノー→0・
Since C i・p・・jectiv・1y・・㎝・1， w・h・ve a・h・・t・xact sequ・ncC ・一一．・°r・5，・，r3〃一一U°r・3．％・r・〃−rH°rら・。r・〃一一・・ th…C・re h°r・3。・，r・〃−hl° （・3。㌔・r・〃−h°rら・。r・戊ノ三・・−r24・・一・ノー・・ S・・p2…c…npPe・h°rらN3r・〃．・・c・n・ider・・h・・f・…㎞・・xact sequence ．・一一一P・c／s−一％一一一Ns／p31・一一一・・
Dualising th・ab・v・ se・lu・nce and t・n・・ring by OCr3）gives ・n・exact se・岬ce°一一→．°・一一一π；r3戊一一在r・）一一・・
ASPA〔E CURVE OF GENUS 7 AND DEGREE 8
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FT㎝the above sequence， we have． h°・らゾr・〃・h°rら・。ノ・h°rらiVE／。r・〃……r・戊dn th・・ther h孤d・悔r5ノ・・。rLICハ也…五i・3h−°・
Next， we consider the fbllowi皿g exact sequence0−一一％「乙一の』一一％r乙ノー一→0〆乙1の一一一〇・
This gives rise a cohomology sequence ・一一・°r・．・・S・（L−・刀一一・°r・．・。r・〃一一・°r・．・。r・1のノ一・卍r・。％口〃一一・…
一r五一σノ is of t）理）e r5，331，1，1，1，1）・ Since −rZ｝＿0） is an a町）1e divisor （see ［4］〕， hi r・． os rD−・〃一・r・一・。・脚・h・舳i・a v皿・・h垣・・h・・r㎝，・h・輌・w・油・・ ・°r・．・。r・〃一ニー・°rら・〆・1・刀……r・） Since五 is a line， we get an exact sequence0−一一b％一一→．％ω一一一←（）P・「−1ノー一一一〇・
竃1竃i鷺遷総籠三ll撫1㌫
w・・h・v・h°rら・6r・〃一・・聴c・mP・・tes th・p…f・Q・E・D・ LEMMA 2・ Z｝et O Z）θ α geneヱu Z non−8ingZt 1αr cnt？ve Oアgenus 7 and deθree 8 Zying on●． Then irr；educib Ze・ubde SZt？faees contαining o have distinet 8ingu 1αr p（＞ints at mosカ 2 0n O一 PROOF． Letぷ「be an irreducible cubic surface containing O．s（st＝cuL．
36 ・T．ONO and Y． AKIMOTO Here， singular points of 5’which 1手e on o㎜st lie on O（五〇1．et．・日． be a general plane， such that『5’∩ H＝1｝u丑f」 where M is a conic． Then we have two cases： ・ ． ” ， 1）． Caseヱ｝≦t丑f． In fact， it is easy to show that： ： 一 ，−三 ・ ・． ．．：・：一・； ． ・ the singiilar points of’5’which lie on O would then also・be singular points ofヱ｝∪∬イ， and ．「・ ・． ． F ’ the singular points of 3「which lie on C would then a1三50 be points． of・Z｝・∩M． ．：・． 「 ’ ．〉 ・ ． ・．’ … Therefbre， we have the next inequality ．・ ． ・ ・．＃｛the singU1・r・POint・・f 3’・．砲i・h』1i・・n・ρ・｝Sdeg・rL．M戊一2．． ． 2）． Case Z｝ ⊆M◆ In this case五 is the singular locus ofβ’． Therefore 5∩5’should contain五doub1γ， which is麺ossible fdT degree reas㎝． Q．E．D・ 一・： IHEORHN正． Let Cゐ￠・四ene”aτn・n−sZ⑭Zのcux｝ve・f genus 7 Ctnd degree 8
ZW。ηα。。・一吻。Z□翔力Z・蹴恒・5￡・カ㌦・・ゴ・・tiv・spaee P3． n・⊇・
。。r・m。Z加磁Z・・ア・蹴P㌔・・mZ．・鋤・．． ，、．・ ．
PRCOF・1…d・・t・・h・⊇・t巫a i・・㎝i−st・b1…ince d・9噛3戊・4・i・’ i・suffi・i・nt t・・加w t地t旭3ノーha・n・ユine、 subb・nd1・・f d・gree at leaSt 3・ L・切be a 1血e subbund1・・f∬ξr3／and E’b・∬ξr3〃E・脆・・n・id・・the exact sequence， ． ． ・ ・ ． ：・一一一E−一一∬6倒一一E「一一一… ＼
麗、1蕊。二：ζ霊n6：1：eC麗；鵠罐、㌃蓋認。’ご
have followillg two cases． ’二ASPACE CURVE OF GENUS 7 AND DEGR旺i 8 37・ Case（1）． S卿。，e・th・t・h°rC．・E，−0．1・this ca・e，・血ce・h°rらEり≧2 and O is not rationa1， we have∂reg E t ＞1． Eherefore we have〈海g E＝ ． d・g Nc“r5」−d・g・E’ 一・4−d・σ・E’・3・・ C。，e（2〕． S・pP・se th・t hO rC，E，＝1． Fi・・t，『鳩・・n・id・・th・di・g・am・ ・x・・E°・c・．・E）・L→E°rら哨・〃 ・ll㊥一1） E°・（P3．J，r・〃・ S・pP・・e・E H°rらE）i・an・n−ze・。 secti・・， th・n・d・t・㎝m・・acubi・・u曲・・ 5’（≠5／containing O and it is zeTo precisely at the singular pOints of tlle
