算数・数学科における図形についての美しさを感得させる教材開発とその指導
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(22) ᮮᵿ࿖┙ᄢቇᄢቇ㒮 1. 17.
(23) 18 池田敏和・馬場裕・橋本吉彦・岩立忠・藤原大樹・石谷優行・橋本吉貴・峰野宏祐・東谷洵・五十嵐潤・前田正男. 㧔⟤ߒߐ㧝㧕࿑ᒻߩⷞⷡ⊛ߥ⟤ߒߐ㧦࿑ᒻߘߩ߽ߩࠍߡ⟤ߒߣᕁ߃ࠆᖱᗧ⊛లታᗵ ߎߎߦߪ㧘ౕߚߞߣޠߒ⟤ߪ⧎ߩߎޟวߦ㧘⺕߽߇ㅢߦᕁ߃ࠆ㧘వᄤ⊛ߦᗵߓࠆߎ ߣߩߢ߈ࠆ⟤ߒߐߣ㧘⚻㛎ࠍ〯ߎߣߢᓢߦޘᗵᓧߢ߈ࠆࠃ߁ߦߥࠆᓟᄤ⊛ߥ⟤ߒߐ߇ ࠆޕᢝ߈ᮨ᭽ߪ㧘⺕߇ߺߡ߽߈ࠇߦߺ߃ࠆߦࠇߘޕኻߒߡ㧘ߘߩᢝ߈ᮨ᭽ߩ⢛ ᥊ߦࠆᢙቇ⊛᭴ㅧࠍ⋥ⷰ⊛ߦᛮߚੱߪ㧘ߘࠇࠍߚߣ߈㧘ߚߛ߈ࠇߛߣ߁ߛߌ ߢߪߥߊ㧘ᢙቇ⊛᭴ㅧ߇ౝ൮ߐࠇߡࠆߎߣࠍ㑐ㅪߠߌߚߢߐࠄߥࠆ⟤ߒߐࠍᗵᓧߔࠆ ߩߢࠆߪࠇߎޕ㧘ᢙቇ⊛⚻㛎ࠍ〯ߎߣߦࠃߞߡᗵᓧߢ߈ࠆᵞ✵ߐࠇߚ⟤ߒߐߢࠈ߁ޕ ߘߒߡ㧘ߎߩᓟ⠪ߩ⚻㛎ߩ߁⟤ߒߐߪ㧘ᰴߩ㧔⟤ߒߐ㧞㧕ߩԘߦኻᔕߒߡࠆޕ 㧔⟤ߒߐ㧞㧕৻⥸⊛ߦᚑ┙ߔࠆ࿑ᒻ⊛ᕈ⾰ߩ⟤ߒߐ㧦ⶄᢙߩ࿑ᒻࠍᢙቇ⊛ߦ⠨ኤߔࠆߎߣ ߦࠃࠅ㧘ߘࠇࠄߩ㑆ߦ㧘ㅢߦ㧘ߐࠄߦߪ৻⥸⊛ߦᚑࠅ┙ߟᕈ⾰߇ẜࠎߢࠆߎߣ ߦ⇊ᢘߩᔨࠍᗵߓߣࠇࠆᖱᗧ⊛లታᗵ 㧔⟤ߒߐ㧝㧕ࠍ೨ឭߣߒߡᆎ߹ࠆᵴേߣ㧘ߘ߁ߢߥᵴേߣ߇⠨߃ࠄࠇࠆޕ Ԙ ߚ⋡ߢ⟤ߒߣᗵߓࠄࠇࠆⶄᢙߩ࿑ᒻ㧔㧔⟤ߒߐ㧝㧕ߢㅀߴߚ߽ߩ㧕ߩᕈ⾰ࠍ⠨ኤߔ ࠆߎߣࠍㅢߒߡ㧘ߘߎߦㅢߩᢙቇ⊛ታ߇ẜࠎߢࠆߎߣߦ⇊ᢘߩᔨࠍᗵߓߣࠇࠆᖱ ᗧ⊛లታᗵ㧦ߎࠇߪ㧘⸥㧔⟤ߒߐ㧝㧕ߩᩮߢߪߥߊ㧘⟤ߒߣᗵߓࠆߎߣߩߢ߈ߚ ⶄᢙߩ࿑ᒻߩᕈ⾰ࠍ⠨ኤߔࠆߎߣߦࠃࠅ㧘ㅢߦหߓᢙቇ⊛ታ߇ẜࠎߢߚߎߣߦኻ ߔࠆ㛳߈ߢࠅ㧘ߘࠇࠁ߃ߦ↢߹ࠇࠆ⇊ᢘߩᔨߢࠆ⇊ߩߎޕᢘߩᔨߪ㧘ᓟᄤ⊛ߥ߽ߩ ߢ㧘⚻㛎ࠍ〯ߎߣߦࠃߞߡᗵᓧߢ߈ࠆ߽ߩߢࠈ߁߃ࠁࠇߘޕ㧘ੱߦࠃߞߡᗵᓧߢ߈ ߚࠅ㧘ߢ߈ߥ߆ߞߚࠅߔࠆ႐ว߇ࠆޕ ԙ ࿑ᒻࠍᢙቇ⊛ߦ⠨ኤߔࠆߎߣߦࠃࠅ㧘ⶄᢙߩ࿑ᒻߦ৻⥸⊛ߦᚑࠅ┙ߟᕈ⾰㧘ࠆߪ㧘 ․ቯߩ࿑ᒻߦᚑࠅ┙ߟ․ᱶߥᕈ⾰ߦ⇊ᢘߩᔨࠍᗵߓߣࠇࠆᖱᗧ⊛లታᗵ㧦ߎࠇߪ㧘࿑ᒻ ߩ⎇ⓥߘߩ߽ߩߢ㧘৻⥸ᕈ߇ࠆ߶ߤࠃࠅᷓߊᗵᓧߢ߈ࠆ߽ߩߢࠆ⇊ߩߎޕᢘߩᔨ߽㧘 ᓟᄤ⊛ߥ߽ߩߢ㧘⚻㛎ࠍ〯ߎߣߦࠃߞߡᗵᓧߢ߈ࠆ߽ߩߢࠈ߁ޕ 㧔⟤ߒߐ㧟㧕࿑ᒻࠍ␠ળߦᔕ↪ߢ߈ࠆ⟤ߒߐ㧦࿑ᒻߩ߽ߟᯏ⢻߿ᕈ⾰╬ࠍᣣᏱ↢ᵴ߿␠ળ ߦᔕ↪ߒߚ㧘ߘߩ⍮ᕺߦᗵ㌏ߢ߈ࠆᖱᗧ⊛లታᗵ ࠆ․ᱶߥᯏ⢻߿ᕈ⾰ࠍ߽ߟ࿑ᒻ߇㧘ᣣᏱ↢ᵴ߿␠ળߦ߅ߡലߦᵴ↪ߐࠇߡࠆ႐ ว߇ࠆޕ࿑ᒻߩ߽ߟᕈ⾰߿ᯏ⢻ߣ㧘ᣣᏱ↢ᵴ߿␠ળߦ߅ߌࠆ⺖㗴ߣࠍ߆ߦ㑐ㅪߠߌࠆ ߆ߦὶὐ߇ᒰߡࠄࠇࠆ⊒ߥ߁ࠃߩߎޕࠍߔࠆߦߪ㧘࿑ᒻߩ߽ߟᕈ⾰ߣᯏ⢻ࠍᷓߊ⎇ⓥߒ ߡߊߣߦ㧘ᣣᏱ↢ᵴ߿␠ળߦ߅ߡ⺖㗴ࠍߛߒ㧘ߘߩ⸃╷ࠍតߞߡߊߎߣߩ ਔᣇ߇ⷐ᳞ߐࠇࠆߚ߹ޕ㧘ᣣᏱ↢ᵴߢᣢߦᔕ↪ߐࠇߡࠆ߽ߩߦߟߡߪ㧘ߩߘߒ߽ޟ࿑ᒻ ߢߥ߆ߞߚࠄߤ߁ߥࠆ߆ࠍޠ⠨߃ࠆߎߣ߇㊀ⷐߣߥࠆޕ 㧔⟤ߒߐ㧠㧕࿑ᒻᠲ╬ߦ߅ߌࠆ੍ᗐᄖߩ⌕ᗐߩ⟤ߒߐ㧦࿑ᒻߩᠲ╬ࠍⴕ߁ਛߢᒁ߈ ߐࠇߚ㧘ᗧߢ੍ᗐᄖߩ⌕ᗐߦᗵ㌏ߢ߈ࠆᖱᗧ⊛లታᗵ ߎࠇߪ㧘࿑ᒻએᄖߩ㗔ၞ㧔ᢙ㊂㑐ଥ╬㧕ࠍኻ⽎ߣߒߚ႐วߦ߽㧘ห᭽ߦሽߔࠆ߽ߩߢ ࠆ⌕ߥ߁ࠃߩߤޕᗐ߇ࠆ߆ߦߟߡߪ㧘߃߫㧘ᰴߩࠃ߁ߥ߽ߩ߇ࠆޕ Ԙ ߎࠇ߹ߢࡃࡃߩ߽ߩߣߒߡߡߚߎߣߦ㧘㑐ㅪᕈ߇ࠆߎߣߦ᳇ߠߊࡃࡃޕ ߩ߽ߩ߇㑐ㅪߠߌࠄࠇࠆߎߣߦߒࠄ߫ߔޟ㧍ߣޠᗵߓࠄࠇࠆᖱᗧ⊛లታᗵߢࠆޕ ԙ ․ᱶߥ႐วߦߒ߆ᚑࠅ┙ߚߥᕈ⾰߇㧘ᣇࠍᄌ߃ࠆߎߣߢ㧘ઁߩ႐วߢ߽৻⥸⊛ߦ 2.
(24) 算数・数学科における図形についての美しさを感得させる教材開発とその指導. ᚑࠅ┙ߟߎߣ߇ߛߖࠆޕᒛߒߚࠅ⛔วߒߚࠅߔࠆߎߣߢหߓ߽ߩߣߺࠇࠆߎߣߦ ߒࠄ߫ߔޟ㧍ߣޠᗵߓࠄࠇࠆᖱᗧ⊛లታᗵߢࠆޕ 㧔⟤ߒߐ㧡㧕࿑ᒻ⊛ߦౕൻߒߡ⺑ߢ߈ࠆ⟤ߒߐ㧦⽎⊛ߥᢙᑼߩ㑐ଥࠍ㧘࿑ᒻ⊛ߦౕ ൻߒߡⷞⷡൻߢ߈ߚߎߣߦᗵ㌏ߢ߈ࠆᖱᗧ⊛లታᗵ ᢙ߿ᢙ㊂㑆ߩ㑐ଥߪ㧘⽎⊛ߥ⇇ߦࠆ߽ߩߢࠅ㧘ⷞⷡ⊛ߦࠆߎߣ߇ߢ߈ߥޕ ߘߩࠃ߁ߥ⽎⊛ߥᢙ߿ᢙ㊂㑆ߩ㑐ଥࠍ࿑ᒻߦࠃߞߡⷞⷡൻߒ㑐ㅪߠߌࠄࠇߚߎߣߪ㧘⋡ ߦ߃ߥߎߣࠍ⋡ߦ߃ࠆᒻߦᄌᒻߔࠆߎߣߢࠅ㧘ߘߩⴕὑ߇น⢻ߦߥߞߚߎߣߦᗵ ㌏ࠍฃߌࠆࠊߌߢࠆޕ 㧔㧞㧕࿑ᒻߦߟߡߩ⟤ߒߐࠍᗵᓧߔࠆᜰዉߦߟߡߩၮᧄ⊛ᨒ⚵ߺ ᰴߩ㧟ߟߩᵹࠇࠍ〯ᬺዷ㐿ࠍ㧘࿑ᒻߦߟߡߩ⟤ߒߐࠍᗵᓧߔࠆᜰዉߩၮᧄ⊛ߥᨒ ⚵ߺߣߒߡ⸳ቯߒߚߪߡߟߦࠄࠇߎޕ㧘⎇ⓥࠍⓍߺ㊀ߨࠆਛߢ㧘ߐࠄߦ⏕ߦߒߡ ߊᔅⷐ߇ࠆޕ Ԙ ఽ┬↢ᓤߦ࿎㔍ࠍᗵߓߐߖࠆ ࿑ᒻߦߟߡߩ⟤ߒߐߩᗵᓧߪ㧘೨ㅀߩㅢࠅ㧘ఽ┬↢ᓤߩవⴕ⚻㛎ߦᄢ߈ߊଐሽߔࠆ ߽ߩߢࠅ㧘หߓ⟤ߒߐߦ㑐ࠊࠆ㕙ࠍ㛎ߒߡߡ߽㧘⟤ߒߐߣߒߡᗵᓧߢ߈ࠆఽ┬ ↢ᓤߣᗵᓧߢ߈ߥఽ┬↢ᓤ߇ߡߊࠆߢࠈ߁ߪߢࠇߘޕ㧘ߤߩࠃ߁ߥవⴕ⚻㛎ࠍߒ ߡࠇ߫㧘࿑ᒻߦߟߡߩ⟤ߒߐࠍᗵᓧߢ߈ࠆߩߢࠈ߁߆⎇ᧄߢߎߘޕⓥߢߪ㧘ㅀߩ 㧡ߟߩ⟤ߒߐߦ㑐ࠊࠆ႐㕙ߦㆣㆄߢ߈ߥ⁁ᴫߢ㧘ఽ┬↢ᓤ߇⹜ⴕ㍲⺋ߒߥ߇ࠄߐ߹ࠃ ߁⚻㛎߇⢄ⷐߢࠆߣ⠨߃ߚߜࠊߥߔޕ㧘߁߹ߊ߆ߥ࿎㔍ߥ⁁ᴫࠍఽ┬↢ᓤߦ⚻㛎 ߒߡ߽ࠄ㧘ߘߩࠃ߁ߥ߁߹ߊ߆ߥ⁁ᴫ߇ߏߊ᥉ㅢߦߎࠅ߁ࠆߎߣࠍ⼂ߔࠆࠊߌ ߢࠆ⚻ߥ߁ࠃߩߎޕ㛎ࠍ⼾ንߦߔࠆߎߣߦࠃߞߡ㧘ߘ߁ߢߥ⟤ߒߐߦ㑐ࠊࠆ㕙ߦㆣ ㆄߒߚߣ߈㧘ࠃࠅᄙߊߩఽ┬↢ᓤ߇⟤ߒߐࠍᗵᓧߢ߈ࠆߩߢߪߥ߆ߣ⠨߃ߚࠊߌߢ ࠆޕฦߡߟߦߐߒ⟤ߩޘ㧘ߤߩࠃ߁ߥ࿎㔍ࠍఽ┬↢ᓤߦ⚻㛎ߒߡ߽ࠄ߃߫ࠃ߆ࠍ․ ቯߒߡ㧘ᜰዉࠍⴕߞߡߊᔅⷐ߇ࠆޕ ԙߦޠߐߒ⟤ޟ㑐ࠊࠆᨩࠍߔ ᰴߦ㧘⸥ߩࠃ߁ߥ߁߹ߊ߆ߥ⁁ᴫߩਛߢ㧘ఽ┬↢ᓤߩ⠨߃߇ᒁ߈㊄ߦߥߞߡ㧘 ⟤ߒߐߦ㑐ࠊࠆ႐㕙ߦㆣㆄߢ߈ࠆࠃ߁ߥ႐㕙⸳ቯࠍᎿᄦߔࠆޕ ߇ߣߎߚߞ߆ߥ߆ߊ߹߁ޟ㧘 ߎࠎߥ㘑ߦ߁߹ߊߊߩ߆⸃ߚߞߣޠߩㆊ⒟ࠍఽ┬↢ᓤ߇⚻㛎ߢ߈ࠆࠃ߁ߦߔࠆࠊ ߌߢࠆߦߐߒ⟤ޕ㑐ࠊࠆ㕙ߦߥ߆ߥ߆ㆣㆄߢ߈ߥ⁁ᴫߦ߅ߡ㧘ߤߩࠃ߁ߥ⊒ࠍ ⴕ㧘ߤߩࠃ߁ߥఽ┬↢ᓤߩ⠨߃ࠍขࠅߍߡ㧘⸃߳ߣዉߡߊ߆߇⺰ὐߣߥࠆޕ ఽ┬↢ᓤ߆ࠄ㧘߅ޟ㨪㧍ߏߔޟޠ㧍ߩ╬ޠჿ߇⡞ߎ߃ࠆࠃ߁ߥ႐㕙ࠍ߆ߦ⸳ቯߔࠆ߆ ࠍ⠨߃ߡߊᔅⷐ߇ࠆޕ Ԛ ࠃߐࠍᝄࠅࠆޕA ߣ nonA ߩኻᲧ ᷙᴋߣߒߚ⁁ᴫ߆ࠄ㧘⟤ߒߐߦ㑐ࠊࠆ㕙ࠍ⚻㛎ߔࠆߎߣߪ㊀ⷐߢࠆ߇㧘ߘࠇߛߌߢ ߪ㧘߇ߤߩࠃ߁ߦ⟤ߒߩ߆ࠍᗵᓧߔࠆߎߣߪߢ߈ߥߩߢ߹ࠇߎޕᵴേࠍᝄࠅࠅ㧘 ߇߁߹ߊ߆ߥ߆ߞߚߩ߆㧘ߘߒߡ㧘ߤߩࠃ߁ߥ⠨߃ߦࠃߞߡ㧘߁߹ߊߊࠃ߁ߦߥߞ ߚߩ߆╬ࠍᝄࠅࠆߎߣ߇⢄ⷐߢࠆޕᝄࠅࠅߦࠃߞߡ㧘⋥ⷰ⊛ߦⴕߞߡߚߎߣߦℂ 3. 19.
(25) 20 池田敏和・馬場裕・橋本吉彦・岩立忠・藤原大樹・石谷優行・橋本吉貴・峰野宏祐・東谷洵・五十嵐潤・前田正男. ↱ߠߌ߇ߥߐࠇ㧘߇ߤ߁⟤ߒߩ߆ࠍᗵᓧߔࠆߎߣ߇ߢ߈ࠆߩߘޕ㓙㧘ࠢࠬౝߢߩ ߒวࠍㅢߒߡ㧘ࠍ⋡ߦߎߤޟઃߌߚ߆ޠ㧘ޟ߇ᧄ⾰ߥߩ߆߇ޠࠄ߆ߦߐࠇߡߊࠃ߁ߥ ዷ㐿ࠍ⠨߃ߡߊᔅⷐ߇ࠆޕ Υ㧚ਛ㜞╬ቇᩞߦ߅ߌࠆታ〣 ⸥ߩᜰዉߩᨒ⚵ߺࠍฃߌߡ㧘ਛቇᩞ㧘㜞╬ቇᩞߦ߅ߡ㧞ߟߩታ〣ࠍⴕߞߚޕ 㧝㧚ޟ㡀⋡ߒࠍޠ㗴᧚ߦߒߚᜰዉታ〣 㧔㧝㧕ὶὐࠍᒰߡࠆ࿑ᒻߦ߅ߌࠆ⟤ߒߐ ᧄታ〣ߢߪ㧘྾ⷺᒻߩ㡀⋡ߒ㧘ߟ߹ࠅ㧘ߤࠎߥ྾ⷺᒻߢ߽ᰴߩࠕ㨪࠙ߩᠲࠍⴕ߁ߣ ߔߴߡᐔⴕ྾ㄝᒻߦᄌᒻߢ߈ࠆߣ߁࿑ᒻߩᕈ⾰ࠍ↢ᓤ⥄りߦᬺ╬ࠍㅢߒߡ⊒ߐߖ㧘 ᣢ⠌ࠍ↪ߡ⸽ߒߡߊޕ . ࠕ㧚྾ⷺᒻߩኻㄝߩਛὐࠍ⚿ࠎߢಾࠆޕ ࠗ㧚ߢ߈ߚ 4 ᨎߩ྾ⷺᒻߩ߁ߜߩ 3 ᨎࠍ㧘ߟߥ߇ߞߡࠆ㗂ὐࠍਛᔃߦ࿁ォ⒖േ ߐߖࠆޕ ࠙㧚ㄝߣㄝߣ߇߁߹ߊ㊀ߥࠆࠃ߁ߦߟߥߍࠆޕ. 䈇. 䈋. o. c n g i h. j. i. Ͱ 䈉. j. k. h g. n. Ͱ o 䈉. 䈇. 䈅. p. 䈋. a b e f. d m. k p f a e b. m d 䈅. c. ߎߩᠲߢߪ㧘৻⥸ߩ྾ⷺᒻߪߔߴߡᐔⴕ྾ㄝᒻߦᄌᒻߔࠆߡߞࠃޕ㧘ᱜᣇᒻ߽㐳ᣇᒻ ߽ᐔⴕ྾ㄝᒻ߽บᒻ߽ߔߴߡᐔⴕ྾ㄝᒻߦߥࠆ߇ࠈߎߣޕ㧘ᱜᣇᒻࠍಾߞߡߟߥߍࠆߣᱜ ᣇᒻߦߥࠅ㧘㐳ᣇᒻࠍಾߞߡߟߥߍࠆߣ㐳ᣇᒻߦߥࠆߚ㧘ߎࠇࠄ߆ࠄ㘃ផߔࠆߣߣ߽ޟ ߩ྾ⷺᒻߣหߓ⒳㘃ߩ྾ⷺᒻߦߥࠆ੍ߣޠᗐߢ߈ࠆ߇ࠈߎߣޕ㧘บᒻࠍಾߞߡߟߥߍࠆߣ บᒻߦߪߥࠄߕ㧘ᐔⴕ྾ㄝᒻߦߥߞߚࠅ㐳ᣇᒻߦߥߞߚࠅߔࠆ㧔㐳ᣇᒻ߽ᐔⴕ྾ㄝᒻߢ ࠆ㧕↢ޕᓤߪߗߥޟᐔⴕ྾ㄝᒻߦᄌᒻߢ߈ࠆߩ߆㧫ޟߪࠆޠ㐳ᣇᒻߦᄌᒻߢ߈ࠆߩߪ߽ ߣߩ྾ⷺᒻ߇ߤߩࠃ߁ߥบᒻߩߣ߈߆㧫ߦߤߥޠࠍ߽ߟߎߣ߇੍ᗐߐࠇ㧘ߘߩᓟߩ⸽ 㧘ᬺߣߞߚᢙቇ⊛ᵴേߩ߈ߞ߆ߌߠߊࠅߦߥࠅᓧࠆޕ ߘߎߢᧄᤨߢߪ㧘ᱜᣇᒻ㧘㐳ᣇᒻߢ㡀⋡ߒࠍ⠨߃ߚᓟߦ㧘ਥߚࠆ⺖㗴ߣߒߡบᒻߦߟ ߡ⠨߃ߐߖ㧘ߘߩᓟ㧘ઁߩ྾ⷺᒻࠆߪ྾ⷺᒻએᄖߩ࿑ᒻߦߟߡᣂߚߥᕈ⾰߇ߥ ߆ߤ߁߆ࠍ⊒ዷ⊛ߦ⠨ኤߒߡߊࠃ߁ߥዷ㐿ࠍታߒߚߣ⠨߃ߚ߅ߥޕ㧘ᄌᒻߒߡߢ߈ ࠆᱜᣇᒻ߿㐳ᣇᒻߪߤߜࠄ߽ᐔⴕ྾ㄝᒻߩ․ᱶߥᒻߢࠅ㧘྾ⷺᒻߩ൮៨㑐ଥߦ⌕⋡ߒߡ ࠇ߫㧘ߘࠇࠄߪ⛔ߡߴߔߊߥߪߢߩ߽ߩޘว⊛ߦߣࠄ߃ࠆߎߣ߽ߢ߈ࠆߜࠊߥߔޕ㧘 4.
(26) 算数・数学科における図形についての美しさを感得させる教材開発とその指導. 21. ᣢ⠌ߩᣇߩᵴ↪႐㕙ߣߥࠅ㧘ߘߩࠃߐߦ᳇ઃߊߎߣ߽ߢ߈ࠆߩߢࠆޕ ߎߩࠃ߁ߦ㧘ᧄᤨߪ㧘྾ⷺᒻߩ㡀⋡ߒߦߟߡ⊒ዷ⊛⠨ኤߣ⛔ว⊛⠨ኤࠍ➅ࠅߔߎ ߣߦࠃߞߡ㧘ᰴߩ࿑ᒻߦߟߡߩ⟤ߒߐࠍᗵᓧߐߖࠆ߽ߩߢࠆޕ 㧔⟤ߒߐ㧞㧕৻⥸⊛ߦᚑ┙ߔࠆ࿑ᒻ⊛ᕈ⾰ߩ⟤ߒߐ 㧔⟤ߒߐ㧠㧕࿑ᒻᠲ╬ߦ߅ߌࠆ⌕ᗐߩ⟤ߒߐ 㧔㧞㧕ᜰዉߩⷐ Ԙ ᣣᤨ ᐔᚑ ᐕ㧝 ᣣ㧔᳓㧕╙㧟ᩞᤨ㧘╙㧡ᩞᤨ㧔㧞ᤨ㑆ᛒ㧕 ԙ ᮮᵿ࿖┙ᄢቇᢎ⢒ੱ㑆⑼ቇㇱ㒝ዻᮮᵿਛቇᩞ㧞ᐕ $ ⚵ Ԛ නరฬ ޟਃⷺᒻߣ྾ⷺᒻޠ ԛ ᢎ᧚ฬ 㡀⋡ߒ 㨪บᒻ߆ࠄ৻⥸ߩ྾ⷺᒻ߳㨪 Ԝ ታᣉᤨᦼ ᐔⴕ྾ㄝᒻߩᕈ⾰㧘ᐔⴕ྾ㄝᒻߦߥࠆߚߩ᧦ઙ㧘ࠈࠈߥ྾ⷺᒻࠍ ቇ⠌ߒߚᓟߦⴕ߁ޕ ԝ ᧄᤨߩ⋡ᮡ บᒻߩਛὐࠍ⚿ࠎߢಾߞߡ࿁ォߐߖߡߟߥߍࠆߣᐔⴕ྾ㄝᒻߦᄌᒻߔࠆߎߣߩℂ↱ࠍ㧘 ቯ߿ᣢ⠌ߩᕈ⾰ࠍၮߦߒߡ⠨߃ࠆߎߣ߇ߢ߈ࠆ㧔ਥߦ╙㧝ᤨ㧕ޕ บᒻએᄖߩ྾ⷺᒻ߇ߤߩࠃ߁ߥ࿑ᒻߦᄌᒻߔࠆ߆ࠍ㧘บᒻߩ႐วߦ㑐ㅪઃߌߥ߇ࠄ㧘 ⊒ዷ⊛㧘⛔ว⊛ߦ⠨߃ࠆߎߣ߇ߢ߈ࠆ㧔ਥߦ╙㧞ᤨ㧕ޕ Ԟ ᧄᤨߩዷ㐿㧔ቇ⠌ᜰዉ᩺㧕 ╙ޝ㧝ᤨޞ ቇ⠌ᵴേߣ ᬺ⠪ߩ⊒. ੍ᗐߐࠇࠆ↢ᓤߩਥߥᔕ. ᜰዉߩ⇐ᗧὐ㧔ڏ㧕 㧛 ⹏ଔ㧔٤㧕. 1㧚㡀⋡ߒߩᠲࠍℂ ⸃ߒ㧘ᚑࠅ┙ߟᕈ⾰ ߩㅢߒࠍ┙ߡࠆޕ ዉ㗴 ᱜᣇᒻߩኻㄝߩਛὐࠍ⚿ࠎߢಾࠅ߹ߔ ߚ߈ߢޕ4 ᨎߩ྾ⷺᒻߩ߁ߜߩ 3 ᨎࠍ㧘ߟߥ߇ߞߚ㗂ὐࠍਛᔃߦ㧘ㄝߣㄝߣ߇㊀ߥࠆࠃ߁ߦ࿁ォ⒖േߐߖߡߟߥߍߡ ߈߹ߔޕ 㧔㡀⋡ߒߣ߁㧕ߔࠆߣ㧘߽ߣߩ࿑ᒻߪߤߩࠃ߁ߥ࿑ᒻߦᄌᒻߔࠆߢߒࠂ߁ ߆ߚ߹ޕ㧘㐳ᣇᒻߛߣߤߩࠃ߁ߥ࿑ᒻߦᄌᒻߔࠆߢߒࠂ߁߆ޕ [৻ᢧ]㧔5 ಽ㧕. S㧦ޟᱜᣇᒻߥࠄᱜᣇᒻߦߥࠆޠޕ. ڏታ㓙ߦෘ⚕ᮨဳࠍ. S㧦ޟ㐳ᣇᒻߥࠄ㐳ᣇᒻ߇ߢ߈ࠆޠޕ. 㤥᧼ߢേ߆ߒᠲ. S㧦߽ࠇߤޟหߓ࿑ᒻߦߥࠆߣᕁ߁ޕ ޠ. ࠍℂ⸃ߐߖࠆޕ. 2㧚ਥ㗴ࠍℂ⸃ߔࠆ ਥ㗴 บᒻߢ㡀⋡ߒࠍߔࠆߣ㧘ߤߩࠃ߁ߥ࿑ᒻߦᄌᒻߔࠆߢߒࠂ߁߆ޠޕ S㧦ޟบᒻߛ߆ࠄบᒻߛޕ ޠ 5. ੍ڏᗐࠍ┙ߡߚᓟ.
(27) 22 池田敏和・馬場裕・橋本吉彦・岩立忠・藤原大樹・石谷優行・橋本吉貴・峰野宏祐・東谷洵・五十嵐潤・前田正男. S㧦߿ޟ㧘㐳ᣇᒻߦߥࠆߣᕁ߁ޠޕ. ߦ㧘⚕ࠍಾߞߡ. S㧦ޟታ㓙ߦߞߚࠄ㐳ᣇᒻߛޠޕ. ᬺߒᬌ⸽ߐߖࠆޕ. S㧦ࠇޟ㧘ᐔⴕ྾ㄝᒻߦߥߞߚࠃޕ ޠ S㧦߇ߜߞߤޟᱜߒߩ㧫ޠ ޟ㐳ᣇᒻߣᐔⴕ྾ㄝᒻ. S㧦 ޟ㐳ᣇᒻߪᐔⴕ྾ㄝᒻߩખ㑆ߛ߆ࠄ㧘 ڏ㐳ᣇᒻߣᐔⴕ྾ㄝ. ߩ㧞⒳㘃߇ߢ߈ߚࠃ. ᐔⴕ྾ㄝᒻ߇ߢ߈ߚߣ⸒ߞߡࠎ. ᒻߩߤߜࠄߦߥࠆ. ߁ߢߔ߇㧘㧞⒳㘃ߢ. ߓ߾ߥ߆ߥޠޕ. ߩ߆ࠍ⼏⺰ߐߖ㧘. ߩߢߒࠂ߁߆ޠޕ. ྾ⷺᒻߩ൮៨㑐ଥ. [ੱ]㧔10 ಽ㧕. ࠍᒁ߈ߔޕ. 3㧚ߛߒߚᕈ⾰ߩ⸽ ࠍ⠨߃ࠆޕ ޟบᒻ߇ᐔⴕ྾ㄝᒻߦ ᄌᒻߔࠆℂ↱ࠍ⠨߃ ߹ߒࠂ߁ޠޕ [ੱ]㧔25 ಽ㧕. S㧦ޟㄝ߇ᐔⴕߛ߆ࠄ㧫ޠ S㧦ޟ྾ⷺᒻߦߥࠅ㧘ߐࠄߦ 2 ⚵ߩኻⷺ ߇╬ߒߊߥࠆ߆ࠄޠޕ S㧦ޟ2 ⚵ߩኻㄝ߇╬ߒߊ߽ߥࠆࠃޕ ޠ. ڏᐔⴕ྾ㄝᒻߦߥࠆ ℂ↱ߩ೨ߦ㧘྾ⷺ ᒻߦߥࠆℂ↱ࠍ⠨ ߃ࠆᔅⷐ߇ࠆߎ ߣࠍℂ⸃ߐߖࠆޕ. ߦ߁ࠃߩߤޟℂ↱ࠍᦠ ߡߊ߆ߦ࿎ߞߡ. S㧦ޟ㗂ὐࠍᢥሼߢߔߣ㧘⸽ࠍ߆ߊ ߣ߈ߦߣߡ߽ࠊ߆ࠅ߿ߔޠޕ. ٤บᒻ߇ᐔⴕ྾ㄝᒻ ߦᄌᒻߔࠆℂ↱. ࠆੱ߇ᄙࠃ߁ߢ. ࠍ㧘ቯ߿ᣢ⠌ߩ. ߔޕ4 ੱ⃰ߦߥࠅ㧘. ᕈ⾰ࠍၮߦߒߡ⠨. ߩߦߟߡ. ߃ࠆߎߣ߇ߢ߈ߡ. ߖว㧘ࠃߣߎࠈ. ࠆ߆[ޕᣇ߿⠨. ࠍๆߒ߹ߒࠂ߁ޠޕ. ߃ᣇ]. [⃰]㧔10 ಽ㧕 ╙ޝ㧞ᤨޞ ቇ⠌ᵴേߣ ᬺ⠪ߩ⊒ 㧝㧚ߛߒߚᕈ⾰ߩ. ੍ᗐߐࠇࠆ↢ᓤߩਥߥᔕ S㧦ߢ߈ࠆ࿑ᒻߩౝㇱߦ㓗㑆߇ߢ߈ߥ. ⸽ࠍߔࠆޕ. ߎߣ㧘ߟߥߍߚㄝߩ㐳ߐ߇╬ߒߎ. ⸽ߥ߁ࠃߩߤޟ߇ߢ. ߣ㧘ߢ߈ߚ྾ⷺᒻ߇ᐔⴕ྾ㄝᒻߦߥࠆ. ߈߹ߒߚ߆⺑ޕߒ. ߎߣ㧘ߩ 3 ߟࠍ㗅ߦ⸽ߢ߈ߡࠆޕ. ߡߊߛߐޕ ޠ [৻ᢧ]10 ಽ. 6. ᜰዉߩ⇐ᗧὐ㧔ڏ㧕 㧛 ⹏ଔ㧔٤㧕.
(28) 算数・数学科における図形についての美しさを感得させる教材開発とその指導. 㧞㧚ઁߩ྾ⷺᒻߦߟ ߡ⊒ዷ⊛ߦ⠨߃ࠆޕ ޟบᒻએᄖߩ྾ⷺᒻߪ ߤߩࠃ߁ߥ࿑ᒻߦᄌ ᒻߔࠆߢߒࠂ߁߆ޠޕ ߪੱࠆ߈ߢޟℂ↱߽⠨. ڏฦ⥄ߢ࿑ᒻࠍ S㧦ޟᐔⴕ྾ㄝᒻߥࠄᐔⴕ྾ㄝᒻߛޕ ޠ. ߡᬺߦขࠅ߆߆. S㧦ߒ߭ޟᒻߪ߭ߒᒻߦߥߞߚޠޕ. ࠄߖࠆޕ. S㧦ߩ⥸৻ޟ྾ⷺᒻߢ߽ᐔⴕ྾ㄝᒻߦߥ ߞߚ㧍ޠ. ٤ઁߩ྾ⷺᒻߥߤߦ ߟߡ⊒ዷ⊛ߦ⠨. S㧦ޟಳ྾ⷺᒻ߽ᐔⴕ྾ㄝᒻߦߥߞߚ. ⸼㧝. ޠ. ߃߹ߒࠂ߁ޕ ޠ. ߃ࠄࠇߡࠆ߆ޕ 㨇ᣇ߿⠨߃ᣇ㨉. [ੱ]㧔30 ಽ㧕 㧟㧚ᧄᤨࠍᝄࠅࠆޕ ߥࠈࠈޟ྾ⷺᒻߢ 㡀⋡ߒࠍߒߡᄌᒻ. S㧦ߥࠎߤޟ྾ⷺᒻߢ߽ᐔⴕ྾ㄝᒻߦߥ ࠆߣ߃ࠆ㧍ޠ. ٤྾ⷺᒻߩ൮៨㑐ଥ ߦၮߠߡ㧘᭽ޘ. ߒߚ྾ⷺᒻ߿ߘߩℂ. S㧦ޟਇᕁ⼏㧍 ߔߏ㧍ޠ. ߥ྾ⷺᒻࠍᐔⴕ྾. ↱ߩ⺑ࠍߡ᳇ઃ. S㧦ޟℂ↱ߩ⺑㧔⸽㧕ߪบᒻߩߣ߈. ㄝᒻߣߒߡ⛔ว⊛. ߊߎߣߪࠅ߹ߔ. ߣหߓߢߣᕁ߁ޠޕ. ߆ޠޕ. ߦߣࠄ߃ࠄࠇߡ ࠆ߆[ޕᣇ߿⠨߃. [ో]㧔10 ಽ㧕. ᣇ]. 㧔㧟㧕ᜰዉߩ⇐ᗧὐ Ԙఽ┬↢ᓤߦ࿎㔍ࠍᗵߓߐߖࠆ ߽ߣߩ࿑ᒻࠍಾߞߡߟߥߍߡᄌᒻߔࠆߣߤߩࠃ߁ߥ࿑ᒻߦߥࠆߩ߆㧘ᔨ㗡ᠲߢߪኈᤃ ߦߪ੍ᗐߢ߈ߥ⚻㛎ࠍߐߖࠆߎߣ߇ᄢಾߢࠆߦߚߩߘޕ㧘ߢ߈ࠆߛߌ↢ᓤߩ⚛ᧉߥ ੍ᗐࠍᄙᢙᒁ߈ߒ㧘ታ㓙ߦᬌ⸽ߒߚߣ߈ߦᗧᄖᕈࠍᗵߓࠄࠇࠆࠃ߁ߦߔࠆޕ ߹ߚ㧘บᒻ߇ᐔⴕ྾ㄝᒻߦᄌᒻߔࠆℂ↱ࠍ⸽ߔࠆߎߣߪ㧘↢ᓤߦߣߞߡ߿߿࿎㔍ߥߎ ߣߢࠆߩߎޕ࿎㔍ߦ┙ߜะ߆㧘⸽ࠍචಽߦℂ⸃ߒߡ߅ߊߎߣ߇㧘ߘߩᓟߩบᒻએᄖ ߩ⊒ዷ⊛㧘⛔ว⊛ߥ⠨ኤߦ߽↢߆ߐࠇࠆ⸥ߪߢᤨᧄޕㅀ⊛ߥ⸽ߦߎߛࠊߞߚᜰዉࠍⴕߞ ߚ߇㧘↢ᓤߩታᘒࠍ㐓ߺࠆߣ㧘ญ㗡ߦࠃࠆ⸽ߢ߽චಽߢߞߚߣᕁࠊࠇࠆޕ ԙߦޠߐߒ⟤ޟ㑐ࠊࠆᨩࠍߔ ੍ᗐߐߖ㧘ታ㓙ߦᬺߢ⏕߆ߐߖࠆޕ೨ㅀߒߚ߇㧘ᱜߒ੍ᗐ߇࿎㔍ߥ⚻㛎㧘߹ߚ੍ ᗐߣᬌ⸽ࠍ➅ࠅߔ⚻㛎ߦࠃࠅ㧘੍ᗐᄖߩ⚿ᨐߦኻߔࠆ⟤ߒߐࠍᗵᓧߐߖࠄࠇࠆޕ ߹ߚ㧘บᒻ߇ᐔⴕ྾ㄝᒻߦᄌᒻߔࠆߎߣߩ⸽ࠍߓߞߊࠅ⠨߃ߐߖࠆࠃ߁ߦߔࠆޕบᒻ ߩߣ߈ߩ⸽ࠍߒߞ߆ࠅℂ⸃ߔࠆߎߣߢ㧘บᒻએᄖߩ྾ⷺᒻߢ⠨߃ߚߣ߈ߦ㧘บᒻߩߣ߈ ߩ⸽߇ߎߩ႐ว߽ㅢ↪ߔࠆߎߣߦ᳇ઃ߈㧘⸽ߩ৻⥸ᕈߦ㑐ࠊࠆ⟤ߒߐࠍᗵᓧߐߖࠄࠇ ࠆߣ⠨߃ࠄࠇࠆޕ Ԛࠃߐࠍᝄࠅࠆޕ# ߣ PQP# ߩኻᲧ ᧄᤨߢߪ㧘੍ᗐߦߒߡบᒻ߿৻⥸ߩ྾ⷺᒻ߇ᐔⴕ྾ㄝᒻߦߥࠆߎߣߩ⟤ߒߐࠍᗵᓧߐ ߖߚ߆ߞߚߦߚߩߘޕ㧘ᧄ᧪ߥࠄ߫㧘ߩಾࠅᣇߥߤߢบᒻ߇྾ⷺᒻߦߥࠄߥ⚻㛎߿ ․ᱶߥ྾ⷺᒻߦߥࠄߥ⚻㛎ࠍߐߖࠆߴ߈ߢߞߚߪߣߎߩߎޕ㧘บᒻ߿ઁߩ྾ⷺᒻ߇ߔ ߴߡᐔⴕ྾ㄝᒻߦᄌᒻߔࠆߎߣߩᗧᄖᕈߦࠃࠆ⟤ߒߐࠍࠃࠅߞߘ߁⺃⊒ߔࠆߛߌߢߥߊ㧘 7. 23.
(29) 24 池田敏和・馬場裕・橋本吉彦・岩立忠・藤原大樹・石谷優行・橋本吉貴・峰野宏祐・東谷洵・五十嵐潤・前田正男. บᒻ߇྾ⷺᒻߦᄌᒻߔࠆߎߣࠍ⸽ߔࠆᔅⷐᕈࠍᗵᓧߐߖࠆᚻߛߡߦߥ ࠅᓧࠆߣ⠨߃ࠆޕᓟ㧘ߎߩኻᲧࠍ߆ߦᬺߦ⚵ߺㄟࠎߢߊ߆߇⺖㗴 ߣߥࠆޕ ԛ⹏ଔ ᧄᤨߢߪ㧘ߤߩߊࠄߩഀวߩ↢ᓤ߇࿑ᒻߦߟߡߩ⟤ߒߐࠍᗵᓧߔࠆ ߎߣ߇ߢ߈ߚ߆ߦߟߡ㧘㊂⊛ߦ⹏ଔߪߒߡߥߒ߆ߒޕ㧘↢ᓤ߇࿑ᒻ. ߩಾࠅᣇߩ. ߩᕈ⾰ߩᗧᄖᕈ߿⸽ߩㅢ↪ᕈߦ㛳ߊᆫ߿㧘৻⥸ߩ྾ⷺ ᒻ߿ಳ྾ⷺᒻߢᐔⴕ྾ㄝᒻߦߥࠆߎߣࠍߛߒߡᗵ ỗߔࠆᆫ㧘ਃⷺᒻ߿ⷺᒻࠍૃߚ߈ࠅᣇߢಾߞߡߟߥߍ ࠆߎߣߢᣂߚߥ࿑ᒻߦߥࠆߎߣࠍ⊒ߒᗵགྷߔࠆᆫ㧘ߎ ࠇࠄߩ㆐ߩ⊒ࠍ㐓⾨ߒⶋ⒓߃ࠆᆫߥߤ߆ࠄ㧘ߨࠄ ߣߒߚ 2 ߟߩ⟤ߒߐࠍ߆ߥࠅᄙߊߩ↢ᓤߦᗵᓧߐߖ ࠄࠇߚߩߢߪߥ߆ߣផ᷹ߒߡࠆޕ 㧞㧚ࡌࠢ࠻࡞ߦ߅ߌࠆᜰዉታ〣 㧔㧝㧕ὶὐࠍᒰߡࠆ࿑ᒻߦ߅ߌࠆ⟤ߒߐ ޟ㧔⟤ߒߐ㧞㧕৻⥸⊛ߦᚑ┙ߔࠆ࿑ᒻ⊛ᕈ⾰ߩ⟤ߒߐޠ. ಳ྾ⷺᒻߦ㑐ߔࠆ↢ᓤ⥄ਥࡐ࠻ߩ ৻ㇱ⸽ޕ߿⛔ว⊛⠨ኤ߽ߒߡࠆޕ྾ ⷺᒻߩ৻㗂ὐࠍኻⷺ✢ߦേ߆ߔߣ㧘ਃ ⷺᒻࠍ྾ⷺᒻߣࠆߎߣ߽ߢ߈ࠆ߹ߟޕ ࠅ㧘ਃⷺᒻ߽ᐔⴕ྾ㄝᒻߦᄌᒻߢ߈ࠆޕ. ߩޟԙ࿑ᒻࠍᢙቇ⊛ߦ⠨ኤߔࠆߎߣߦࠃࠅ㧘ⶄᢙߩ࿑ᒻߦ৻⥸⊛ߦᚑࠅ┙ߟᕈ⾰㧘ࠆ ߪ㧘․ቯߩ࿑ᒻߦᚑࠅ┙ߟ․ᱶߥᕈ⾰ߦ⇊ᢘߩᔨࠍᗵߓߣࠇࠆᖱᗧ⊛లታᗵߦޠὶὐࠍᒰ ߡࠆޕ 㧔㧞㧕ᜰዉߩⷐ Ԙ 㤥᧼ߣ࠴࡚ࠢߦࠃࠆᬺ ߹ߕ㧘ㅢᏱߤ߅ࠅ㤥᧼ߣ࠴࡚ࠢߦࠃࠅᬺࠍㅴߡߊߪߣ࡞࠻ࠢࡌޟޕ߆ߣޠ ߁ࠍㅢߒߡ⥝ࠍᜬߚߖߡߞߚޕ ԙ ࠰ࡈ࠻ࠆࠃߦޠ᧼⊕࡞࠻ࠢࡌޟᬺ ࡌࠢ࠻࡞ߘߩ߽ߩߦ⸅ࠇߡߺࠆߣ߁ᗵⷡ ߪ㧘ߘࠇߎߘ㤥᧼ߣ࠴࡚ࠢߩᬺߢߪ㧘 ࠊ߁ߎߣ߇ߢ߈ߥߎߣߢࠆࡌޟߢߎߘޕ ࠢ࠻࡞⊕᧼ ⸼㧞 ࠻ࠢࡌߡ↪ࠍ࠻ࡈ࠰߁ߣޠ ࡞ߘߩ߽ߩߦ⸅ࠇߡߺࠆᗵߓࠍ㛎ߒߡ߽ࠄ ߞߚߩࠬ࠙ࡑޕฝࠢ࠶ࠢߢࡌࠢ࠻࡞ߩᆎὐ ߿⚳ὐࠍࠢ࠶ࠢߔࠆߣ㧘ࡑࠢ߇ޠغޟ ␜ߐࠇ㧘ߘࠇࠍ࠼࠶ࠣߔࠆߣ㧘ߚ߆߽⥄ ಽߢࡌࠢ࠻࡞ࠍᠲߒߡࠆᗵⷡ߇ࠊ߃ࠆ ߣ߁ࠊߌߢࠆ ޕ࿑㧚ࡌࠢ࠻࡞⊕᧼ߩ╙৻ᱠ 㨠ߩ୯ࠍࠈࠈᄌൻ ߘߒߡ㧘ࡌࠢ࠻࡞⊕᧼ߩ╙৻ᱠߣ߽⸒߁ߴ߈㨠ߩ୯ࠍࠈࠈߣᄌൻߐߖታᗵߒߡ߽ࠄ ߞߚߩߎޕᲑ㓏ߦ߅ߡ↢ᓤߚߜߩᗵᗐ߇એਅߢࠆޕ 8.
(30) 算数・数学科における図形についての美しさを感得させる教材開発とその指導. ࠦࡦࡇࡘ࠲ࠍ߁ߣᄌൻ߇⋡ߦ߃ߡ㕙⊕ߞߚޕ േߡࠆߩࠍࠆߩߪߣߡ߽ᭉߒ߆ߞߚޕ ⥄↱⥄ߦࡌࠢ࠻࡞ࠍേ߆ߖߡ㕙⊕߆ߞߚޕ 㤥᧼ߢߪࠄࠇߥ࿑ߢീᒝߢ߈ߡࠊ߆ࠅ߿ߔߒ⥄ಽߢᗐߟ߆ߥߎߣ߇ಽ߆ࠅ߿ ߔ߆ߞߚߢߔޕ ߣߡ߽ᭉߒ߆ߞߚߢߔߪߢ߹ޕᐔ㕙ߢ㧘᳇ߩߥ߽ߩߛߞߚߩߢߔ߇㧘േߡࠆ ࠃ߁ߔࠍࠆߎߣߢࠃࠅ㗡ߦߞߡ߈߹ߒߚߡߞ߿ߚ߹ޕ᰼ߒߢߔޕ ⥄ಽߢേ߆ߒߡߺࠆߣ㧘⚵ߺ߇ߥࠎߣߥߊಽ߆ߞߚ᳇߇ߒ߹ߔޕ⠨߃ࠄࠇࠆ߆ࠄᭉߒ ߢߔޕ ⋥ᗵ⊛ߦࡌࠢ࠻࡞ࠍߓߞߡ㨠ߩ୯ߢ㧘ࠈࠈߣࡌࠢ࠻࡞߇ᄌࠊࠆߩ߇߅߽ߒࠈޕ 㤥᧼ߩ࿑ߣ㆑㧘⥄ࠄࠇࠆߒ㧘⦡⥝ߣޘ߇ḝߊߩߢᤨ㑆߇ㅦߊᗵߓߚ㧍 ᣣߩᬺߢታ㓙ߦࡌࠢ࠻࡞ߦ⸅ࠇߡേ߆ߒߡߺࠆߣ㧘ࡌࠢ࠻࡞ߩ⿷ߒ▚㧘ᒁ߈▚ߩᗧ ߇ߔߏߊಽ߆ߞߚ᳇߇ߒ߹ߒߚ㧍ߣߦ߆ߊᭉߒ߆ߞߚߢߔۭ ᢙቇࠍ㆑߁ⷞὐ߆ࠄࠆߎߣ߇᧪ߡ߅߽ߒࠈ߆ߞߚߢߔ⧰ߪࡦࠦ࠰ࡄޕᚻߢߔ߇㧘 ᬺߦߟߡߌߡ⦟߆ߞߚߢߔޕ ߎߩᲑ㓏ߦ߅ߡߪ㧘ࠦࡦࡇࡘ࠲ᵴ↪ߦࠃߞߡ↢ᓤߚߜ߇ࡌࠢ࠻࡞ߣ߁߽ߩߦኻߒ㧘 ㅢᏱߩ㤥᧼ߣ࠴࡚ࠢߩᬺߢߪࠊ߁ߎߣߩߢ߈ߥᔕࠍ␜ߒߡߚޕ Ԛ ࠦࡦࡇࡘ࠲ᵴ↪ߦࠃࠆ↢ᓤߩήᔕ ߐߡ㧘ߎߩࠃ߁ߥᗵᗐߩߣ㧘㤥᧼ߣ࠴࡚ ࠢߦࠃࠆᬺ߇⛯ߚޕᢙቇ㧮ߪㆊߦᜂ ᒰߒߚߣ߈߽ߘ߁ߢࠆ߇㧘⺑ߩᤨ㑆߇ߥ ߆ߥ߆ߣࠇߕߦ⧰ഭߔࠆޕ࿁߽หߓߢࠆޕ ߘߒߡ㧢ߩࠆᣣ㧘એਅߩ㗴ߩߣߎࠈࠍ ⸃⺑ߒߡߚٌޟޕ㧭㧮㧯ߦ߅ߡ㧘ㄝ㧭㧮 ࠍ㧝㧦㧞ߦౝಽߔࠆὐࠍ㧼㧘ㄝ㧭㧯ߩਛὐࠍ ࿑3 ὐ㧼㧽㧾߇৻⋥✢ߦߥࠄ߱᭽ሶ 㧽㧘ㄝ㧮㧯ࠍ㧞㧦㧝ߦᄖಽߔࠆὐࠍ㧾ߣߔࠆޕ ߎߩߣ߈㧘㧟ὐ㧼㧘㧽㧘㧾ߪ৻⋥✢ߦࠆߎߣࠍ⸽ߖࠃ ޠޕ㜞╬ቇᩞᢙቇ㧮ᡷ⸓ ᨋ㙚 ᢙ㧮 ᥉ㅢߤ߅ࠅ⺑ߒ㧘24㧩23 ࠍ㤥᧼ߢ⸃⺑ߒߡ ߆ࠄࠞࡉ ⸼ ߦࠃࠅ㧟ὐ߇৻⋥✢ࠍㅢࠆߎߣࠍ ␜ߒߚߚ߹ޕห᭽ߦ㧘ߘߩ㗴㧤ߩਅߦߡࠆ 㗴ޟᐔⴕ྾ㄝᒻ㧻㧭㧮㧯ߦ߅ߡ㧘ㄝ㧻㧭ߩਛ ὐࠍ㧰㧘ኻⷺ✢㧻㧮ࠍ㧞㧦㧡ߦౝಽߔࠆὐࠍ㧱㧘 ㄝ㧻㧯ࠍ㧞㧦㧝ߦౝಽߔࠆὐࠍ㧲ߣߔࠆߣߩߎޕ ߈㧘㧟ὐ㧰㧘㧱㧘㧲ߪ৻⋥✢ߦࠆߎߣࠍ⸽ ߖࠃ ޠޕ࿑3 ὐ㧰㧱㧲߇৻⋥✢ߦߥࠄ߱᭽ሶ 9. 25.
(31) 26 池田敏和・馬場裕・橋本吉彦・岩立忠・藤原大樹・石谷優行・橋本吉貴・峰野宏祐・東谷洵・五十嵐潤・前田正男. ߎߩ㗴߽㧘↢ᓤߚߜ߇ࠆ⒟ᐲ㧘ᱜ⸃ࠍᓧࠄࠇߚߣߎࠈߢࡊࡠࠫࠚࠢ࠲ࠍߞߡࠞࡉ ࠍᤋߒߡߺߚޕ ߒ߆ߒ㧘ߎߎߢ㛳ߚߎߣ߇ߎߞߡߒ ߹߁↢ޕᓤߚߜ㧘⺕߭ߣࠅߣߒߡ㛳߈ߩ ᖱࠍߐߥ߆ߞߚߩߢࠆޕᢎቶౝߪᐔὼ ߣ㕒߹ࠅ߆߃ࠅ⑳ߩ⺑ࠍ᷆ߣޘ⡞ߡ ߚޕ㛳ߡߚߩߪᢎຬߩ⑳߭ߣࠅߛߞߚ ߩ߆߽ߒࠇߥޟߪࠇߘޕਃὐ߇৻⋥✢ ߦਗ߱ߪ⽎߁ߣޠᢎ⑼ᦠߦᦠߡࠅ㧘 ߎߩᬺߩਛߢߪߎࠆߴߊߒߡߎߞߚ ࠊߌߢࠅ㧘↢ᓤߚߜߦߣߞߡߪోߊ⃟ߒ ࿑㧚ᢎቶߩოߦᤋߒߡ⸃⺑ߒߡࠆ᭽ሶ ߽ߩߢߪߥߊ㧘ߚߛ᥉ㅢߩశ᥊ࠍ╩⠪߇ ࠦࡦࡇࡘ࠲ࠍߞߡ␜ߒߡߚߦߔ߉ߥ߆ߞߚߩߢࠆޕ ߎࠇ߹ߢ߽╩⠪ߪ㧘᭽ߥޘᬺዷ㐿ߦ߅ߡࠦࡦࡇࡘ࠲ࠍᵴ↪ߒߡ߈ߚߦ․ޕᢙቇΣ 2. ߦ߅ߡ y=ax 㧗bx+c ߩ a,b,c ߩࡄࡔ࠲ࠍᄌൻߐߖߚߣ߈ߥߤߪߟ߽᱑ჿ߇߇ߞ ߡ߈ߚޕ࿁ߩࠃ߁ߦ࿑ᒻߦ㑐ߒߡߩࠦࡦࡇࡘ࠲ᵴ↪ߦ߅ߡߪ㧘ઍᢙ⊛ߥౝኈߦ߅ߌ ࠆࠦࡦࡇࡘ࠲ߣߪ㆑ߞߚࠕࡊࡠ࠴߇ᔅⷐߢࠆߣᗵߓࠆޕ Ԛ ᢙቇ㧭ߩᢎ⑼ᦠ߆ࠄ ߎߎߢ㧘ᓐࠄ߇ᤓᐕᐲ↪ߒߚᢙቇ㧭ߩᢎ⑼ᦠࠍߡߺࠆޕᐔ㕙࿑ᒻߩߣߎࠈߦ⌕⋡ߔ ࠆߣ㧘ޟቯℂߒ␜ࠍޠ㧘ߘࠇࠍ⸽ޟߡߒޠ㧘ߘߩቯℂࠍߞߚޟ㗴ࡦ࠲ࡄߊ⸃ࠍޠ ߇ᄙߎߣ߇ࠊ߆ࠆᦨ߫߃ޕೋߦߡߊࠆٌޟ㧭㧮㧯ߩㄝ㧮㧯ߩὐ㧰ߦߟߡ㧘㧭㧰 ߇с㧭ߩ㧞╬ಽ✢Њ㧭㧮㧦㧭㧯㧩㧮㧰㧦㧰㧯 ޠ㜞╬ ቇ ᩞ ᢙ ቇ 㧭 ᡷ ⸓ ᨋ 㙚 ᢙ㧭 R ቯℂ ߩ⸽ߩߣߎࠈߢࠆ߇㧘ᢎᏧ↪ᜰዉᦠߢߪޟRЈSޟߣޠSЈRߩޠਔᣇࠍ߈ߜ ࠎߣᜰዉߔࠆࠃ߁ߦࠆࠆࠁࠊޕṶ➈ਛᔃߩᜰዉߣ߁ᒻߦߥߞߡߡ㧘ߎߩ႐ว㧘 с㧭ߩ㧞╬ಽ✢߇㧭㧮㧦㧭㧯㧩㧮㧰㧦㧰㧯ࠍࠅߔᒻࠍ╙৻ߦᜬߞߡ߈ߡ߅ࠅ㧘ߘߩ႐ วߩ߅߽ߒࠈߐ㧘⟤ߒߐߦ㑐ߒߡߪㅀߴࠄࠇߡߥٌޕ㧭㧮㧯ߩㄝ㧮㧯ߦะ߆ߞߡ✢ࠍ ᒁߊߥࠄ߫㧘ᄖᔃࠍㅢࠆ႐ว߿㊀ᔃࠍㅢࠆ႐ว㧘ߐࠄߦౝᔃ߿ုᔃߢߪߤ߁ߛࠈ߁߆ߣ߆㧘 ߐࠄߦޟс㧭ߩ㧟╬ಽ✢ߪ㧫߿ޠ㧘ޟс㧭ߩ㧠╬ಽ✢ߪ㧫ߥ߁ࠃ߁ߣޠᏫ⚊⊛ߥ⥝ 㑐ᔃࠍࡌࠬߣߒߚ᭽⇼ߥޘ߇⊒↢ߒߡ߽ࠃ႐㕙ߢࠆޕ 㧔㧟㧕ᜰዉߩ⇐ᗧὐ Ԙఽ┬↢ᓤߦ࿎㔍ࠍᗵߓߐߖࠆ ߘ߽ߘ߽ᢙቇߩᬺߩࠅᣇߦ߅ߡ㧘ߦ߆ޟᣧߊᱜ⸃ߦߚߤࠅ⌕ߊ߆ࠍޠ㐳ᐕ⚻㛎 ߒߡ߈ߚ㜞ᩞ↢Ბ㓏ߦ߅ߡߪ㧘࿑ᒻߪߩߺߒߩߚޟቲᐶ㧔ᷡች㧘2001㧕ࠆࠇࠊ⸒߽ߣޠ ࠃ߁ߦ㧘᭽ߥޘ࿑ࠍឬ߆ߖߡߺࠆߎߣߛߣ⠨߃ࠆ߫߃ޕਃⷺᒻߩ㊀ᔃߩ࿑ߢߞߡ߽㧘 ᚒ߈ߣࠆߔࠍᦠ᧼߇ޘ㧘࠴࡚ࠢࠍ↪ߡࠆ߆ࠄ㊀ᔃߪ৻⥌ߔࠆߒ߆ߒޕ㧘߃߫㧘㕖 Ᏹߦ⚦ࠪࡖࡊࡍࡦߩ⧌ࠍ↪ߒߡᄢ߈ߥਃⷺᒻࠍឬߚߣߔࠇ߫ߤ߁ߢࠈ߁ޕኈᤃ ߦߪ৻⥌ߒߥߪߕߢࠆߚ߹ޕ㧘⑼⋡ߣߒߡߦߥࠆ߇ᢙቇΣߩਃⷺᲧߩᱜᒏቯℂߥߤ ߽㧘ታ㓙ߦਃⷺᒻࠍឬ߈ਃㄝߩ㐳ߐࠍ⸘ߞߡ㧘ะ߆߁ⷺߩ UKP ߩ୯ߢഀߞߡߺࠆߣ㧘 10.
(32) 算数・数学科における図形についての美しさを感得させる教材開発とその指導. ․ߦഀࠅ▚߇⛊ߎߣ߽ࠅ㧘㧟ߟߩᢙ୯ߪ৻⥌ߒߥޕ ԙߦޠߐߒ⟤ޟ㑐ࠊࠆᨩࠍߔ Ԙߢߩᬺߣㅢߒߡ⠨߃ߡߺࠆߣ㧘㊀ᔃߩߦߒߡ߽ᱜᒏቯℂߩߦߒߡ߽㧘♖ᐲࠍ ߍࠆߎߣ߿߹ߚߪലᢙሼߩⷰὐ߆ࠄ㧘ޟ㧔ߎߩ࿑ߦ߅ߡߪ㧕৻⥌ߣߺߥߔ߁ߣޠ ߎߣ߇ߢ߈ࠆߢࠈ߁ߡߒߘޕ೨ㅀߒߚߐࠄߦᄙߊߩ⽎ࠍ࿑ߔࠆߎߣߦࠃࠅ㧘ᢎ⑼ᦠ ߦߡࠆߎߣ߇ㆊߩஉੱߚߜߦࠃߞߡߺߟߌࠄࠇߚߔ߫ࠄߒᨩߢࠆߎߣߦ᳇ߠ ߊߎߣߢࠈ߁ࠍࠇߘߡߒߘޕᣧᦼߩᲑ㓏߆ࠄታᣉߒߡߊߎߣ߇⢄ⷐߢࠆޕ Ԛࠃߐࠍᝄࠅࠆޕ㧭ߣ PQP㧭ߩኻᲧ ߚߣ߃ٌ߫ޟ㧭㧮㧯ߦ߅ߡ㧘ㄝ㧭㧮ࠍ㧝㧦㧞ߦౝಽߔࠆὐࠍ㧼㧘ㄝ㧭㧯ߩਛὐࠍ㧽㧘 ㄝ㧮㧯ࠍ㧞㧦㧝ߦᄖಽߔࠆὐࠍ㧾ߣߔࠆ߈ߣߩߎޕ㧘 ὐ㧼㧘㧽㧘㧾ߪ৻⋥✢ߦࠆߎߣ ࠍ⸽ߖࠃ߁ߣޠޕ㗴ߦ߅ߡ㧘৻ߟߩ᧦ઙߢ߽㆑ߞߚࠄਃὐߪ৻⋥✢ߦߪߥߣ ߁ߎߣࠍ㧘ታ㓙ߦ␜ߒߡߺࠆߎߣ߇ᄢಾߢࠆޕ ԛ⹏ଔ Ბ㓏ߦ߅ߡ ߩࠃ߁ߦ㧘߆߭ߣߟߩ᧦ઙࠍᄌൻߐߖߚߣߎࠈߢ㧘↢ᓤߚߜ߆ࠄߪ ޟὐߪ৻⋥✢ߦߪߥߩߪߚࠅ߹߃ߢߎߎޕ߁ࠈߢ߁߹ߒߡࠇࠊ⸒ߣޠᄢಾߥߎߣ ߪ㐳ᐕࠍ߆ߌߡ࿑ᒻߣ߁߽ߩࠍ᭽ⷺߥޘᐲ߆ࠄߡ߈ߚ↢ᓤߢࠇ߫㧘ߘࠇߛߌߢ ᄙߊߩ⍮⊛ᅢᄸᔃࠍḩߚߔߎߣߦߥࠆߘߎࠄ߆ߛޕ㐳ᐕߢߩ࿑ᒻߩ⹜ⴕ㍲⺋ߪᄢಾߥ ߩߢࠆߒ߆ߒޕᄙߊߩ↢ᓤߚߜߪ೨ㅀߒߚࠃ߁ߦߦ߆ޟᣧߊᱜ⸃ߦߚߤࠅ⌕ߊ߆߇ޠ ᔨ㗡ߦࠆ↢ߥ߁ࠃߩߘޕᓤߚߜߢߞߡ߽㧘߆߭ߣߟߩ᧦ઙࠍᄌൻߐߖߚߣߎࠈߢ㧘 ⥄ಽߥࠅߩ߫ࠇߢߣߎࠆ߈ߢ߇ޠ⊒ޟ㧘⊒ߣߣ߽ߦ㧘ߘߩ⟤ߒߐࠍᗵᓧߢ߈ࠆߣ⠨ ߃ࠆޟ߫߃ޕᷡችߩቯℂ㧔ᷡች㧘2001㧕ߢࡉࠞࠍޠᬌ⸽ߒࠃ߁ߣߒߡߡ㧘ߘߩㅜਛ ߢߩ ὐ߇৻⋥✢ߦਗࠎߢࠆߎߣࠍޕࠆߢߣߎࠆߔࠅߚߒޠ⊒ޟ Φ㧚ዊቇᩞᲑ㓏߆ࠄ㜞╬ቇᩞᲑ㓏ߦ߅ߌࠆᢎ᧚㐿⊒ ዊቇᩞᲑ㓏ߩᢎ᧚ 2 ὐ㧘ਛ㜞╬ቇᩞᲑ㓏ߩᢎ᧚ࠍ 3 ὐ㐿⊒ߒߚޕ㗅ߦ⺑ߒߡߊޕ 㧝㧚ᱜᣇᒻ߇ᄌり㧍 㧔㧝㧕ᢎ᧚ߩ⟎ߠߌ Ԙ ቇᐕ ዊቇᩞ╙㧡ቇᐕ ԙ 㑐ㅪනర ྾ⷺᒻߣਃⷺᒻߩ㕙Ⓧ 㧔㧞㧕ὶὐࠍᒰߡࠆ࿑ᒻߦ߅ߌࠆ⟤ߒߐ ޟ㧔⟤ߒߐ㧠㧕࿑ᒻᠲ╬ߦ߅ߌࠆ੍ᗐᄖߩ⌕ᗐߩ⟤ߒߐߦޠὶὐࠍᒰߡࠆޕ ࿑ᒻߩ㕙Ⓧߩቇ⠌ߪ╙㧡ቇᐕߢߔࠆޕਃⷺᒻ߿྾ⷺᒻࠍ╬Ⓧᄌᒻ߿Ⓧᄌᒻߩ⠨߃ࠍ↪ ߡᣢ⠌ߩᒻߦᄌ߃ߡ㕙Ⓧࠍ᳞ࠆߩߎޕᄌᒻߩߒ߆ߚߪ㊀ⷐߥࠕࠗ࠺ࠖࠕߢࠆ߇㧘ߥ ߆ߥ߆ఽ┬ߦቯ⌕ߒߠࠄߣߎࠈߢ߽ࠆߪࠇߘޕ㧘ߎߩࠕࠗ࠺ࠖࠕ߇ߎߩනరߩઁߦߪ ⶄว࿑ᒻߩ㕙Ⓧ߿Ⓧߩቇ⠌એᄖ߹ࠅࠊࠇߥߣ߁ὐ߇ේ࿃ߣߒߡ⠨߃ࠄࠇࠆޕ ߎߩᢎ᧚ߢߪ㧘ޟਃⷺᒻ྾ⷺᒻψᱜᣇᒻߩޠㅒߩᠲࠍߔࠆ⚻㛎ࠍߐߖࠆޕᱜᣇᒻࠍ╬ Ⓧᄌᒻߒߡਃⷺᒻ߿྾ⷺᒻߦߔࠆߎߣߢ㧘࿑ᒻ⋧ߩ㑐ଥࠍࠃࠅℂ⸃ߔࠆߎߣ߇ߢ߈ࠆߣ ߣ߽ߦ㧘৻ߟߩᱜᣇᒻ߇᭽ߥޘᒻߦᄌࠊߞߡߊ㕙⊕ߐ߇ࠆޕ 11. 27.
(33) 28 池田敏和・馬場裕・橋本吉彦・岩立忠・藤原大樹・石谷優行・橋本吉貴・峰野宏祐・東谷洵・五十嵐潤・前田正男. ߹ߚ㧘ߘࠇߙࠇߩ⺖㗴ߪᄌᒻߐߖࠆᒻߛߌߢߪߥߊ㧘ᢙ୯ࠍࠇߡࠆߪࠇߎޕ㧘ߘߩ ᢙ୯ࠍ߽ߣߦߒߡ⺰ℂ⊛ߦ⠨߃ࠆߎߣ߇ߢ߈ࠆߚߢࠆޟޕ㧝㧞㨏㨙߫ࠇߣޠ㧘߽ߣߩ ᱜᣇᒻߩ㧝ㄝߩ㧞ߢࠅ㧘╬Ⓧᄌᒻࠍߒߡㄝ߇㧞ߟಽߦߥࠆࠃ߁ߦߔࠇ߫ࠃⷺޕᐲߦ ߟߡ߽㧘㧥㧜ᐲߩㇱಽ㧘㧠㧡ᐲߩㇱಽߥߤ㧘㎛ߣߥࠆⷺᐲߦ⌕⋡ߒߡ⠨߃ࠆߎߣ߇ߢ߈ ࠆޕᱜᣇᒻࠍߤ߁ಾߞߡᔅⷐߥ㐳ߐ߿ⷺᐲࠍࠆߩ߆㧘᭴ᚑⷐ⚛ߦ⌕⋡ߒߡ⠨߃ߡߊ㕙 ⊕ߐ߽ࠆޕ 㧔㧟㧕ᢎ᧚ߩⷐ. 㧝ㄝ߇㧢㨏㨙ߩᱜᣇᒻ߇ࠅ߹ߔޕ ߎߩᱜᣇᒻࠍ㧝࿁ߛߌಾߞߡ ࠈࠈߥᒻߦᄌりߐߖ߹ߒࠂ߁ޕ. Ԙ 㐳ᣇᒻߡߚޟ㧟㨏㨙㧘ᮮ㧝㧞㨏㨙ߩ㐳ᣇᒻޠ㧦ߚߡߪ߽ߣߩᱜᣇᒻߩ㧝ㄝߩඨಽ㧘ᮮߪ 㧞ߩ㐳ᣇᒻߦᄌᒻߐࠇࠆޕ. ԙ ⋥ⷺੑ╬ㄝਃⷺᒻޟᢳㄝ㧝㧞㨏㨙ߩ⋥ⷺੑ╬ㄝਃⷺᒻޠ㧦ᢳㄝ߇߽ߣߩᱜᣇᒻߩ㧝ㄝߩ 㧞㧘㧠㧡ᐲߩⷺᐲ߇㧞ࡩᚲߩ⋥ⷺਃⷺᒻߦᄌᒻߢ߈ࠆޕ . Ԛ ᐔⴕ྾ㄝᒻޟᐩㄝ㧢㨏㨙㧘㜞ߐ㧢㨏㨙ߩᐔⴕ྾ㄝᒻޠ 㧦ᐩㄝ߽㜞ߐ߽߽ߣߩᱜᣇᒻߩ㧝 ㄝߦߥࠆᐔⴕ྾ㄝᒻߦᄌᒻߢ߈ࠆޕ. ԛ ⋥ⷺਃⷺᒻޟᐩㄝ㧢㨏㨙㧘㜞ߐ㧝㧞㨏㨙ߩ⋥ⷺਃⷺᒻޠ㧦ᐩㄝߪ߽ߣߩᱜᣇᒻߩ㧝ㄝ㧘 12.
(34) 算数・数学科における図形についての美しさを感得させる教材開発とその指導. 㜞ߐߪ㧞ߦߥࠆ⋥ⷺਃⷺᒻߦᄌᒻߢ߈ࠆޕ. Ԝ ߭ߒᒻޟኻⷺ✢ߩ㐳ߐ߇㧢㨏㨙ߩ߭ߒᒻ㧔㧞࿁ಾࠆ㧕ޠ㧦ኻⷺ✢߇߽ߣߩᱜᣇᒻߩ㧝ㄝ ߦߥࠆ߭ߒᒻߦᄌᒻߢ߈ࠆޕ. ԝ บᒻޟᐩ㧟㨏㨙㧘ਅᐩ㧥㨏㨙ߩบᒻ㧔ⵣߒࠅ㧕ޠ㧦ᐩߪ߽ߣߩᱜᣇᒻߩ㧝ㄝߩ ඨಽ㧘ਅᐩߪ 1.5 ߦߥࠆบᒻߦᄌᒻߢ߈ࠆޕ. Ԟ 㐳ᣇᒻߡߚޟ㧠㨏㨙㧘ᮮ㧥㨏㨙ߩ㐳ᣇᒻޠ 㧦ߚߡߪ߽ߣߩᱜᣇᒻߩ㧞/㧟㧘ᮮߪ 1.5 ߩ㐳ᣇᒻߦᄌᒻߢ߈ࠆ✢⋥ޕ㧝࿁ߢߪࠆߎߣ߇ߢ߈ߥࠕࠗ࠺ࠖࠕߩ㕙⊕ߐ߇ࠆᒻ ߢࠆޕ . 㧞㧚ࠞࡦ࠲ࡌࡄ࠭࡞ࠍ↪ߚ࿑ᒻߩ╬Ⓧᄌᒻ 㧔㧝㧕ᢎ᧚ߩ⟎ߠߌ Ԙ ቇᐕ ዊቇᩞ╙㧡ቇᐕ ԙ 㑐ㅪනర ྾ⷺᒻߣਃⷺᒻߩ㕙Ⓧ 㧔㧞㧕࿑ᒻߩ⟤ߒߐߣᢎ᧚ߣߩ㑐ㅪᕈ ޟ㧔⟤ߒߐ㧠㧕㧦࿑ᒻᠲ╬ߦ߅ߌࠆ੍ᗐᄖߩ⌕ᗐߩ⟤ߒߐߦޠὶὐࠍᒰߡࠆޕ ࿑ᒻߩ╬Ⓧᄌᒻߪ㧘╙㧡ቇᐕߩනరޟ྾ⷺᒻߣਃⷺᒻߩ㕙Ⓧߢޠ㧘ᐔⴕ྾ㄝᒻ߿ਃⷺᒻ㧘 บᒻߥߤߩ㕙Ⓧࠍ᳞ࠆ㓙ߦ↪ࠄࠇࠆ⠨߃ᣇߢࠆޕ࿁⚫ߔࠆࠞࡦ࠲ࡌࡄ࠭ ࡞ߢߪ㧘ᱜᣇᒻࠍᰴ㗁ߩ࿑㧔Ꮐ㧕ߩᚻ㗅ߦߒߚ߇ߞߡ㧡ᨎߩࡇࠬߦಽഀߒ㧘ਗߴᦧ߃ࠆ ߣ㐳ᣇᒻ߿ᱜਃⷺᒻ߇ߢ߈ࠆޕਗߴᦧ߃ࠆߣ߁ᠲ߇㧘╬Ⓧᄌᒻߢࠅ㧘ఽ┬ߪ㐳ᣇᒻ ߿ᱜਃⷺᒻ߇ߢ߈ߚ⍍㑆ߦ੍ᗐᄖߩߢ߈ߏߣߦ㛳ߊߢࠈ߁ޕ 13. 29.
(35) 30 池田敏和・馬場裕・橋本吉彦・岩立忠・藤原大樹・石谷優行・橋本吉貴・峰野宏祐・東谷洵・五十嵐潤・前田正男. 㧔㧟㧕ᢎ᧚ߩⷐ ߎߩࡄ࠭࡞ߪ㧘╙ 68 ࿁ࡂࡦ࠭ࠝࡦࡑࠬ⎇ⓥળߦߡᏒ⼱ჽ᳁߆ࠄ⚫ߐࠇߚߩ࡞࠭ࡄޕ ⚦ߦߟߡߪ㧘ޢ࡞࠭ࡄࡌ࠲ࡦࠞޡ㧔࠺ࡘ࠼࠾㧘2009㧕ߦឝタߐࠇߡࠆޕ. ࿑㧚ᱜᣇᒻߩಽഀᚻ㗅 ࿑㧚㐳ᣇᒻ߳ߩ╬Ⓧᄌᒻ ᱜᣇᒻߩ↪⚕㧔᛬ࠅ⚕ߢࠃ㧕ߣਃⷺቯⷙ߹ߚߪಽᐲེࠍḰߔࠆޕ࿑Ꮐߩᚻ㗅ߦߒ ߚ߇ߞߡ㧘ᱜᣇᒻࠍ㧡ߟߩࡇࠬߦಽഀߔࠆޕԘᱜᣇᒻߩ⚕ࠍ↪ᗧߔࠆޕԙᱜਃⷺᒻࠍߟ ߊࠆޕԚ㧱㧭㧩㧱㧲ߣߥࠆࠃ߁ߥὐ㧲ࠍߣࠆޕԛ㧭ߣ㧲ࠍ⚿߱ޕԜ㧭㧲ӆ㧳㧰ߣߥࠆࠃ߁ ߥὐ㧳ࠍߣࠆޕԝ࿑ߩࠃ߁ߦಽഀߔࠆޕ ߥ߅㧘ᱜਃⷺᒻ߳ߩ╬Ⓧᄌᒻߢߪ㧘ታ㓙ߦߪ㧞mm ߶ߤߩ⺋Ꮕ߇ߢ߈ࠆޕㄭૃ⊛ߦߪᱜ ਃⷺᒻߣ߃ࠆ߇㧘ᱜ⏕ߦߪᱜਃⷺᒻߣߪ߃ߥޕ ߹ߚ㧘ᱜᣇᒻߣᱜਃⷺᒻߩ╬Ⓧᄌᒻߦ㑐ㅪߔࠆ㗴ߣߒߡߪ㧘ᯅᧄ㧔2009㧕ߩ▚ޡᢙᢎ ⢒ේ⺰ߩޢਛߢޟᐔ㕙࿑ᒻߩᱜਃⷺᒻࠍหߓ㕙Ⓧߩᱜᣇᒻߦᄌᒻߔࠆߎߣߪኈᤃߦߢ߈ࠆޕ ߘߩㅒ㧘ߔߥࠊߜᱜᣇᒻࠍหߓ㕙Ⓧߩᱜਃⷺᒻߦᄌᒻߔࠆߎߣߪ◲නߥߎߣߢߪߥ߇㧘 น⢻ߢࠆޕ ߇ߣߎ߁ߣޠᜰ៰ߐࠇߡࠆޕ 㧔㧠㧕⠨ኤ ᧄᢎ᧚ߦߟߡ㧘ᰴߩ 2 ὐࠍߨࠄߦ⺞ᩏࠍⴕ⠨ኤߒߚޕ Ԙ ࠞࡦ࠲ࡌࡄ࠭࡞ࠍ↪ߚ╬Ⓧᄌᒻߩ㗴ߦߟߡ㧘ᧄቇߩቇ↢߇㛎ߔࠆߎߣ ࠍㅢߒߡ㧘ᗧߢ੍ᗐᄖߩ⌕ᗐߦᗵ㌏ߢ߈ࠆࠃ߁ߥ㗴ߢࠆ߆ߤ߁߆ࠍ⠨ኤߔࠆ ߎߣޕ ԙ ࠞࠠࡘࡓߩਛߢߩ⟎ߠߌߦߟߡ⠨ኤߔࠆߎߣޕ ↪ߚᚻ㗅ߪਅ⸥ߩㅢࠅߢࠆޕ Ԙ ╬Ⓧᄌᒻߩ㗴ࠍ㧘᛬ࠅ⚕ࠍ↪ߡᬺ⊛㛎⊛ߥ▚ᢙ⊛ᵴേࠍㅢߒߡℂ⸃ߐߖ㧘 ⾰⚕⺞ᩏߩౝኈ߆ࠄ㧘ᗧߢ੍ᗐᄖߩ⌕ᗐߦᗵ㌏ߢ߈ߚ߆ߤ߁߆ࠍ⠨ኤߔࠆޕ ԙ ╬Ⓧᄌᒻߩㆊ⒟ࠍㅊ߁ߎߣߦࠃߞߡ㧘ዊቇᩞ▚ᢙ⑼ߦ߅ߌࠆ㧘ߤߩනరߦ⟎ߠߌࠄ ࠇࠆߩ߆ࠍ⠨ኤߔࠆޕ 14.
(36) 31. 算数・数学科における図形についての美しさを感得させる教材開発とその指導. Ԙߦߟߡߪ㧘ޟ㧟㧚࿑ᒻߩ⟤ߒߐߣᢎ᧚ߣߩ㑐ㅪᕈߢޠㅀߴߚㅢࠅߢࠆޕቇ↢߳ߩ⾰ ⚕⺞ᩏߢߪ㧘 (ޟ1)ߎߩᢎ᧚ࠍㅢߒߡఽ┬ߦߤߩࠃ߁ߥജ߇りߦߟߊ߆ޠ㧘 (ޟ2)╬Ⓧᄌᒻࠍⴕ ߞߡߩᗵᗐߡߟߦޠߨߚ⚿ߩߘޕᨐ㧘(1)ߦߟߡߪ㧘 ޟ࿑ᒻࠍࠈࠈߥᣇะ߆ࠄࠆ ߎߣ߇ߢ߈ࠆࠃ߁ߦߥࠆޠ㧘ⴕ⹜ޟ㍲⺋ߒߡ⠨߃ࠆജ߇りߦߟ߈㧘ߢ߈ߚߣ߈ߩ㆐ᚑᗵࠍ ࠊ߃ࠆ߁ߣޠᗵᗐ߇ߞߚ(ޕ2)ߦߟߡߪ㧘ޟᱜਃⷺᒻߩ㧝ߟߩⷺߪ 60qߥߩߢ㧘30q 㧗30qߣ⠨߃ߚࠄߢ߈ߚޠ㧘ޟᱜᣇᒻ߆ࠄߎߩࠃ߁ߦ᭽ߥޘ࿑ᒻ߇ߢ߈ߚߩ߇ਇᕁ⼏ߛߣᕁ ߞߚ߁ߣޠᗵᗐ߇ߞߚ⸥ߩࠄࠇߎޕㅀ߆ࠄ㧘ᗧߥᵴേߢࠆߎߣߣ㧘੍ᗐᄖߩዷ 㐿ߦߥߞߚߣ߁ߎߣߢ㧘ߨᧄ⎇ⓥߩߨࠄߪ㆐ᚑߐࠇߚߣ⠨߃ࠆޕԙߦߟߡߪ㧘㐳 ᣇᒻ߿ᱜਃⷺᒻߦ⋥ߒߚᠲߪ㧘ታߪ╬Ⓧᄌᒻߩᠲࠍⴕߞߡߚߣ߁ߎߣߦቇ↢⥄り㧘 ᳇߇ߟߊߎߣ߇ᄢಾߢࠆߩߎޕ㗴᧚ࠍᛒ߁႐㕙ߣߒߡ㧘߃߫╬Ⓧᄌᒻߩቇ⠌ᓟ߇⠨߃ ࠄࠇࠆޕ 㧟㧚ᐔ㕙ߩಽഀᢙߪߊߟ㧫 㧔㧝㧕ᢎ᧚ߩ⟎ߠߌ 㜞╬ቇᩞ ╙ 2 ቇᐕ. Ԙ ቇᐕ. ԙ 㑐ㅪනరᢙቇ B ᢙ㧔㓏Ꮕᢙẋൻᑼ㧕 㧔㧞㧕࿑ᒻߩ⟤ߒߐߣᢎ᧚ߣߩ㑐ㅪᕈ ޟ㧔⟤ߒߐ㧞㧕㧦৻⥸⊛ߦᚑ┙ߔࠆ࿑ᒻ⊛ᕈ⾰ߩ⟤ߒߐޠ㧘ޟ㧔⟤ߒߐ㧡㧕㧦࿑ᒻ⊛ߦౕൻ ߒߡ⺑ߢ߈ࠆ⟤ߒߐߦޠὶὐࠍᒰߡࠆᦨޕᄢಽഀᢙࠍ᳞ࠆߎߣ߹ߢߢࠇ߫㧘ᧄᢎ᧚ ߪᣢߦࠃߊᛒࠊࠇߡࠆߒ߆ߒޕ㧘ߐࠄߦ⊒ዷߐߖߡᑼࠍࠃᵴേࠍട߃ߡᛒ߁ߎߣߦࠃ ߞߡ㧘㧔⟤ߒߐ㧡㧕ࠍᗵᓧߔࠆߎߣ߇ߢ߈ࠆߣ⠨߃ࠆߚ߹ޕ㧘ᐔⴕ߿ὐࠍ႐วߦߟ ߡ߽ห᭽ߦᑼߩᗧࠍ࿑ᒻߦ߅ߡ⠨߃ࠆߎߣ߇ߢ߈ࠆߚ߹ޕ㧘ᐔ㕙߆ࠄⓨ㑆߳ߣ⊒ዷߐ ߖࠆߎߣߢ㧘 㧔⟤ߒߐ㧞㧕ࠍᗵᓧߔࠆߎߣ߇ߢ߈ࠆߣ⠨߃ࠆޕ 㧔㧟㧕ᢎ᧚ߩⷐ Ԙޟᐔ㕙ಽഀᢙߩޠᛒࠊࠇᣇߩ⁁ ᢙቇ B ߩᢙߦ㑐ߔࠆ㗴ߢ㧘㓏Ꮕᢙࠍᣢ⠌㗄ߣߒߡ㧘ᰴߩࠃ߁ߦ݊ᧄߩ⋥✢ߦࠃ ࠆᐔ㕙ߩᦨᄢಽഀᢙࠍ᳞ࠆ㗴߇ࠆޕ ᐔ㕙ߦࠆ݊ᧄߩ⋥✢߇㧘ߤߩ 2 ᧄ߽ᐔⴕ ߢߥߊ㧘ߤߩ 3 ᧄ߽ 1 ὐߢࠊࠄߥߣ߈㧘ᐔ 㕙ߩᦨᄢಽഀᢙܽ ࠍ᳞ࠃޕ. ݊ ൌ ͳǡ ʹǡ ͵ǡ Ͷǡ̖ߣ࿑߿ࠍ↪ߥ߇ࠄᏫ⚊⊛ ߦ⠨߃ߡ߈㧘ⷙೣᕈࠍߟߌߡ╵߃ࠍ᳞ߡ ߊ㗴ߢࠆޕᣂߚߦട߃ࠆ⋥✢ߦࠃߞߡᐔ 㕙߇ߊߟჇ߃ࠆ߆ࠍ⠨߃ࠆߣ㧘ሺ݊ ͳሻᧄ⋡ߩ. ⋥✢ߪᣢߦሽߒߡࠆ݊ᧄߩ⋥✢ߣὐࠍ ࠅ㧘ᐔ㕙ߪᣂߚߦሺ݊ ͳሻჇ߃ࠆࠍࠇߎޕẋൻ. ᑼߢߔߣ㧘. ܽାଵ ൌ ܽ ሺ݊ ͳሻ. 15. ݊ ൌ ͳ ݊ ൌ ʹ . . ݊ ൌ ͵ ͵ ݊ ൌ Ͷ Ͷ ̖. . ̖.
(37) 32 池田敏和・馬場裕・橋本吉彦・岩立忠・藤原大樹・石谷優行・橋本吉貴・峰野宏祐・東谷洵・五十嵐潤・前田正男. ߣߥࠅ㧘᳞ࠆܽ ߪᰴߩࠃ߁ߥᑼߦߥࠆޕ ିଵ. Ԛ ᑼࠍࠃᵴേ. ܽ ൌ ܽଵ ሺ݇ ͳሻ ൌ ୀଵ. ͳ ଶ ሺ݊ ݊ ʹሻ ʹ. ߎߎߢߪ㧘ܽ ࠍ৻⥸ൻߒߚᓟߦ㧘ᑼࠍࠃߎߣߢ⊒ዷ⊛ߦขࠅᛒߞߡߊޕᑼࠍࠃߎ. ߣߢ㧘ߥߗߎߩᑼߦߥࠆߩ߆ࠍౕ⊛ߥ႐㕙ߦ㑐ㅪઃߌߡℂ⸃ߢ߈ࠆߎߣ߇ߘߩࠃߐߢ ࠆޕ೨ㅀߩܽ ߪ㧘ᰴߩᑼߦᄌᒻߢ߈ࠆߎߣ߇⍮ࠄࠇߡࠆ (ౝᶏ㧘1965)ޕ. ܽ ൌ ଵ ଶ. ߎߩᑼࠍ↢ᓤ⥄り߇ዉ߈ߖࠆࠃ߁ߦߔࠆߚߦ㧘ᰴߩ㗴ࠍขࠅߍ㧘↢ᓤߦ⠨߃ߐ ߖࠆߎߣߦߔࠆޕ. ᐔ㕙ߦࠆ݊ᧄߩ⋥✢߇㧘ߤߩ 2 ᧄ߽ᐔⴕߢߥߊ㧘ߤߩ 3 ᧄ߽ 1 ὐߢࠊࠄߥߣ߈㧘 ὐߩᦨᄢᢙݔ ࠍ᳞ࠃޕ. ߎߎߢߪܽ ࠍ᳞ࠆᤨߦ↪ߚ࿑ߦ߅ߡ㧘ὐߦߟߡ⠨߃ࠆᵴേࠍⴕ߁ߢߎߘޕ㧘ܽ . ࠍ᳞ࠆ㓙ߦ↪ߚߦ㨬ὐߩᢙ㨭ࠍട߃ࠆߎߣߢᰴߩⷙೣߦ᳇ઃߊᚻដ߆ࠅߦߒߡ ߊߎߣߦߔࠆޕฝߩࠃ߁ߥ߆ࠄ㧘. ܽ ൌ ͳ ൫⋥✢ߩᧄᢙ൯ ൫ὐߩᢙ൯. ߣ߁ⷙೣߦ᳇ઃ߆ߖ㧘⸒⪲ߢ⟎߈឵ ߃ߚߘࠇߙࠇߩ㗄ࠍ݊ߢߔᵴേࠍⴕ. ߁ݔޕ ࠍ߹ߢߣห᭽ߦ㓏Ꮕᢙ߆ࠄ. ݊. ܽ ݔ. 1. 2. 3. 4. 5. 6. ̖. 2. 4. 7. 11. 16. 22. ̖. 0. 1. 3. 6. 10. 15. ̖. ዉߊߎߣ߽ߢ߈ࠆ߇㧘ᑼᄌᒻࠍవߦᝪ߃㧘ὐ߇ߤߩࠃ߁ߦߢ߈ࠆ߆ࠍ⠨߃ࠆߎߣߢޟ ὐߩᢙ㧦ݔ ࠍޠዉߡߊߎߣߦߔࠆ ࠆޕ2 ᧄߩ⋥✢ࠍㆬ߮ߔߣ߈㧘ㆬࠎߛ 2 ᧄߩ ⋥✢ߦࠃߞߡߚߛ 1 ߟߩὐ߇ߢ߈ࠆࠅ߹ߟޕ㧘⚵ߺวࠊߖߩ⠨߃ᣇ߆ࠄ݊ᧄߩ⋥✢ߦࠃߞ ߡߢ߈ࠆݔ ࠍ ଶ ߣߖࠆߎߣߦ᳇ઃ߆ߖࠆࠍࠇߎޕᚻដ߆ࠅߦ㧘⋥✢ߩᧄᢙࠍ ଵ 㧘ᱷ ࠅߩ㗄ࠍ ߣห᭽ߦߔߎߣ߇ߢ߈ࠆ ޕ ߪ݊ߩ୯ߦ㑐ଥߥߊᏱߦ 1 ߢࠆߎߣ߆ࠄ㧘 ޟᐔ㕙ߘߩ߽ߩߩᢙߣޠᗧઃߌࠆߎߣ߇ߢ߈㧘ܽ ߩߘࠇߙࠇߩ㗄߇࿑ᒻߦ߅ߡߤߩ ㇱಽࠍߔߩ߆ࠍ⸒⪲ߢ⸒឵߃ࠆߎߣ߇ߢ߈ࠆޕ ߎࠇߦࠃߞߡ㧘ܽ ߇ࠍߒߡࠆߩ߆ࠍࠃࠅౕ⊛ߦ⠨߃ࠆߎߣ߇ߢ߈㧘ᑼࠍࠃᵴ േߦ߽ߥࠆޕᑼߦౕᕈ߇ࠆᣇ߇ଔ୯ࠍߒ߿ߔߊ㧘ߘߩᑼߩ⟤ߒߐ߿ᑼࠍ⊒ߢ߈ ߚ༑߽߮ᄢ߈ߣ⠨߃ࠄࠇࠆޕ Ԛ ᧦ઙᄌᦝߦࠃࠆ৻⥸ൻ ߎߩᑼᄌᒻࠍᚻដ߆ࠅߦߒߡߎߩ㗴ࠍᐔ㕙߆ࠄⓨ㑆߳ߣ⊒ዷߐߖࠆޕⓨ㑆ߦࠆ݊ߩ ᐔ㕙ߦࠃࠆᦨᄢಽഀᢙܾ ߣߔࠆߣ㧘. ܾ ൌ ଵ ଶ ଷ. ߣߥࠅߘ߁ߛߣ੍᷹ߔࠆߎߣ߇ߢ߈㧘Ꮻ⚊⊛ߦ⊒ߔࠆᵴേ߆ࠄṶ➈⊛ߥᵴേࠍขࠅࠇ ࠆߎߣ߇ߢ߈ࠆܾߩߎޕ ߩߘࠇߙࠇߩ㗄߇ࠍߔߩ߆ߦߟߡ߽㧘ᐔ㕙ߩ႐ว߆ࠄṶ➈ ⊛ߦ੍᷹ߐߖ㧘ߘࠇࠍᬌ⸽ߔࠆᵴേߦߥࠆߦࠄߐޕᰴరࠍჇ߿ߒ㧘݊ᰴర߹ߢ⠨߃ࠆߎߣߦ ߽ߟߥߍࠆߎߣ߇ߢ߈ࠆߣ⠨߃ࠆޕ. ߐࠄߦ㧘ࠃࠅ৻⥸⊛ߥ㧘ᐔⴕ߿ὐࠍ႐วࠍ⠨ኤߔࠆᵴേߦ⊒ዷߐߖࠆߎߣ߇ߢ߈ 16.
(38) 算数・数学科における図形についての美しさを感得させる教材開発とその指導. ࠆޕᐔⴕ߿ὐࠍߥߔ⋥✢ߩᧄᢙ߿ߘࠇࠄߩᢙߢ႐วಽߌࠍߒߡ࿑ߦߔߣ㧘ᐔⴕ㧘 ὐ߇ 1 ߟߢ㧘ߘࠇࠄࠍߥߔ⋥✢߇ߘࠇߙࠇᧄ㧘߈ߣߩᧄݍ㧘ᦨᄢಽഀᢙ߆ࠄ ଶ 㧘ିଵଶ ᷫ ዋߔࠆߦࠄߐޕᐔⴕ㧘ὐߩᢙ߇Ⴧ߃ࠆߦᓥߞߡ㧘ߎࠇࠄߩ㗄ࠍჇ߿ߒߡߌ߫ࠃޕ ߎߩⷙೣࠍ࿑߆ࠄᏫ⚊⊛ߦ⊒ߔࠆߎߣ߇ߢ߈ࠆⴕ⹜ޕ㍲⺋ߒߡ㧘⥄ࠄ⠨߃㧘ᚻࠍേ߆ߒ ߡⷙೣࠍ⊒ߒߚ༑߮ߪᄢ߈ߊ㧘࿑ᒻߩ⟤ߒߐࠍታᗵߒ߿ߔߣ⠨߃ࠄࠇࠆߚ߹ޕ㧘ᐔⴕ ߿ὐߦࠃߞߡᷫዋߔࠆᢙ߇㧘࿑ᒻߦ߅ߡߤߎࠍߔߩ߆ࠍ⠨߃ࠆᵴേࠍขࠅࠇࠆ ߎߣ߽ߢ߈ࠆޕᐔⴕߩ႐ว㧘ᐔ㕙߇ᷫዋߔࠆᢙߪ㧘ᐔⴕ߇߹ࠇࠆߎߣߦࠃߞߡᷫዋߔ ࠆὐߩᢙߣ৻⥌ߔࠆޕὐߩ႐ว㧘ᐔ㕙߇ᷫዋߔࠆᢙߪ㧘ᦨᄢಽഀࠍߔࠆߣ߈ߦ⋥ ✢ߦࠃߞߡ࿐߹ࠇࠆᐔ㕙ߩᢙߣ৻⥌ߔࠆޕ 㧠㧚┙ᣇࠍ⺞ߴࠃ߁ 㧔㧝㧕ᢎ᧚ߩ⟎ߠߌ 㜞╬ቇᩞ╙ 1 ቇᐕޟⓨ㑆࿑ᒻޠ㧘㜞╬ቇᩞ╙ 2 ቇᐕޟੑ㗄ቯℂޠ㧘ᛒᣇߦࠃࠅਛቇᩞ╙ 1 ቇᐕޟⓨ㑆࿑ᒻߢޠขࠅᛒ߁ߎߣ߽น⢻ߢࠆޕ 㧔㧞㧕࿑ᒻߩ⟤ߒߐߣᢎ᧚ߣߩ㑐ㅪ ޟ㧔⟤ߒߐ㧝㧕㧦࿑ᒻߩⷞⷡ⊛ߥ⟤ߒߐޠ㧘ޟ㧔⟤ߒߐ㧞㧕㧦৻⥸⊛ߦᚑ┙ߔࠆ࿑ᒻ⊛ᕈ⾰ߩ ⟤ߒߐߦޠὶὐࠍᒰߡࠆޕ 㧔⟤ߒߐ㧝㧕ߦ㑐ߒߡ㧘ᧄᢎ᧚ߢߪ yogeometry (ᄢ㊁ኡᱞ᳁ߦࠃࠆ) ࠍ↪ߡ㧘3 ᰴరߢ ߩ┙ᣇߛߌߢߥߊ┙ᣇߣ߫ࠇࠆ㧠ᰴరߩ┙ᣇ5 ᰴరߩ┙ᣇߩࡕ࠺࡞㧔ਅ⸥ߩ 㧟ߟߩ࿑㧕ࠍߔߩ࡞࠺ࡕߩߘޕᚑ߿ⷰኤࠍⴕ߁ߎߣࠍㅢߒߡ㧘ߘߩ᭴ㅧ߇ⶄ㔀ߦ⛊ߺ ว߁⟤ߒߐࠍⷞⷡ⊛ߦ⏕ߔࠆߎߣ߇᧪㧘߹ߚߘߩ࿑ᒻߩਛߦ 3 ᰴర┙ᣇߥߤߩߘߩ ߽ߩ⥄ࠃࠅ߽ૐᰴరߩ┙ᣇ߇ߊߟ߽⏕ߢ߈ࠆߎߣ߆ࠄߐࠄߦ⟤ߒߐࠍᗵߓࠆߎ ߣ߇ߢ߈ࠆޕ. . . ࿑㧚 4 ᰴర┙ᣇ(⦡ಽߌࠅ) ࿑㧚 5 ᰴర┙ᣇ㧔⦡ಽߌࠅ㧕 ࿑㧚 5 ᰴర┙ᣇ㧔⦡ಽߌߥߒ㧕. 㧔⟤ߒߐ㧞㧕ߦ㑐ߒߡߪ㧘n ᰴరߩ┙ᣇߩਛߦẜⷐ⚛ߩᢙࠍߦߒ㧘ߘߩࠍ⠨ኤ ߔࠆߎߣߢ㧘ߘߩ߇͵ ߦߥࠆߣ߁㓝ࠇߚᕈ⾰ࠍߔߎߣߢ㧘ᖱᗧ⊛లታᗵࠍᓧࠆߎߣ ߇ߢ߈ࠆߚ߹ޕ㧘ߘߩࠍዉ߈ߔㆊ⒟ߢᥧ⸥ߦࠅ߇ߜߥੑ㗄ቯℂࠍ↪ߒߡ⠨߃ࠆ႐ 㕙ࠍࠆߎߣ߇᧪ࠆޕ 㧔㧟㧕ᢎ᧚ߩ․ᓽ ᧄᢎ᧚ߢߪ㧘৻⥸⊛ߦ┙ᣇߣ⸒ࠊࠇߡࠆ 3 ᰴరߩ߽ߩࠍ 4 ᰴర߿ 5 ᰴరߣ߁ࠃ߁ ߦᰴరࠍߍߚߣ߈ߩᕈ⾰ࠍ⺞ߴࠆߢߎߎޕ㧘n ᰴర┙ᣇߣߪ㧘(n㧙1)ᰴర┙ᣇࠍု⋥ ᣇะߦ 1 න⒖േߐߖߚߣ߈ߩ゠〔ߣߒ㧘0 ᰴర┙ᣇࠍὐߣ⠨߃ࠆ ߣࠆߔ߁ߘޕ1 ᰴర┙ 17. 33.
(39) 34 池田敏和・馬場裕・橋本吉彦・岩立忠・藤原大樹・石谷優行・橋本吉貴・峰野宏祐・東谷洵・五十嵐潤・前田正男. ᣇߪ✢ಽ(ㄝ)㧘2 ᰴర┙ᣇߪᱜᣇᒻߣ⠨߃ࠆߎߣ߇᧪ࠆޕ Ԙ 4 ᰴర┙ᣇ5 ᰴర┙ᣇࠍߞߡߺࠃ߁ ᐔ㕙ߦ 4 ᰴర┙ᣇࠍᦠߊߛߌߢߪ㧘᭴ㅧࠍℂ⸃ߔࠆߩߪኈᤃߢߥᧄޕᢎ᧚ߢߪῪᬢ ᨑߣࠣ࡞ࠟࡦࠍ߁ߎߣߢᲧセ⊛◲නߦ 4 ᰴరߩ┙ᣇߩࡕ࠺࡞ࠍࠆߣࠆߔޕ㧘Ꮕ ߒߡࠆߣߎࠈࠍ⊒ߢ߈㧘ⓨ㑆ߢߟߊࠆߎߣߩ㔍ߒߐࠍᗵߓࠆߎߣ߇᧪ࠆߚ߹ޕ㧘ߎ ߩࡕ࠺࡞ࠍ⦡ߥޘᣇะ߆ࠄ⌑ࠆߎߣߢᐔ㕙ߢߪಽ߆ࠅߦߊ᭴ㅧࠍߟߌࠄࠇߚࠅ㧘ᣂ ߒᣇะࠍု⋥ߛߣ┙ߡࠆߣ㧘᭽ߥޘ႐ᚲߦ┙ᣇߩࠆߎߣ߇ࠊ߆ߞߚࠅߒ㧘ⓨ㑆࿑ ᒻߦኻߔࠆᗵⷡࠍ⼾߆ߦߔࠆߎߣߦߟߥ߇ࠆߚ߹ޕ㧘೨㗁ߩ࿑ߩࠃ߁ߦ⦡ಽߌߔࠆߎߣߢ㧘 ೨ߩᰴరߩ߽ߩ߇⒖േߒߡࠆ᭽ሶ߇ಽ߆ࠅ߿ߔߊߥࠅ㧘⦡ಽߌߒߡߥ߽ߩࠍߺࠆߎ ߣߢ㧘ߊߟ߽หߓ᭴ㅧߩ࿑ᒻ߇㓝ࠇߡࠆߎߣࠍតࠅ߿ߔߊߥࠆߣ⠨߃ࠆޕ ԙ ฦⷐ⚛ߩᢙࠍᢙ߃ߡߺࠃ߁ ߎߎߢߪ㧘n ᰴర┙ᣇߩਛߦ㓝ࠇߡࠆⷐ⚛㧔0 ᰴరߩ᭴ᚑⷐ⚛㧘1 ᰴరߩ᭴ᚑⷐ⚛㧘 2 ᰴరߩ᭴ᚑⷐ⚛㧘̖㧘n ᰴరߩ᭴ᚑⷐ⚛㧕ߩᢙࠍ⺞ߴࠆޕ ޣ᭴ᚑⷐ⚛ߩჇ߃ᣇߩ࡞࡞ޤ ࠕ㧚0 ᰴరߩ᭴ᚑⷐ⚛㧔㗂ὐ㧕ߩᢙߪ 2 ߕߟჇ߃ࠆޕ ࠗ㧚㨚ᰴర┙ᣇ㧔㨚-┙ᣇߢ⸥ߔࠆ㧕ߦߪ㧘0 ᰴర߆ࠄ n ᰴర߹ߢߩ㧔n+1㧕ߩ᭴ ᚑⷐ⚛߇ࠅ㧘㨚ᰴర┙ᣇߦ߅ߌࠆ㨞ᰴరߩ᭴ᚑⷐ⚛ߩᢙࠍ N㧔n,r㧕ߢߔߣ㧘ᰴ ߩᑼ߇ᚑࠅ┙ߟ ޕN(n,r)㧩㧺(n-1㧘r-1)㧗2N(n-1,r) ࡕ࠺࡞߇ࠇߡࠆ႐วߪᢙ߃ߡ߽ࠃ߇㧘ߘࠇߢ߽ n ᰴర߹ߢ⠨߃ࠆߚߦߪ㧘Ⴧ߃ ᣇߩ㑐ଥࠍߟߌࠆᔅⷐ߇ࠅ㧘ߘߩ㑐ଥࠍ߽ߣߦࠍߞߡߊޕ (ὐ). (✢ಽ). (ᱜᣇᒻ). (┙ᣇ) 㧔┙ᣇ㧕 㨯㨯㨯. N(n,0) N(n,1) N(n,2) N(n,3) N(n,4) N(n,5)̖ N(n,r) ̖N(n,n) 0-┙ᣇ 1 ̖ 1-┙ᣇ 2 1 2-┙ᣇ 4 4 . 1 . ̖ 3. ̖. 3-┙ᣇ. 8. 12. 6. 1. 4-┙ᣇ. 16. 32. 24. 8. 1. 5-┙ᣇ. 32. 80. 80. 40. 10. 1 . 1 9. . ̖. 27. . ̖. 81. . ̖243. 㨯㨯㨯 㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯 n-┙ᣇ nC02n. nC12n-1. nC22n-2 nC32n-3. nC42n-4. ̖ nCr2n-r nCn20 ̖. 3n. n ᰴర┙ᣇ߇ߎߩ᭽ߦ␜ߖࠆߎߣߪ㧘r=㧝ߩߣ߈㧘ߔߥࠊߜ n ᰴర┙ᣇߩਛߩ✢ಽ 㧔=nC1㧕 ߩᢙࠍߦ⠨߃ࠆߣ㧘 Ԙฦ㗂ὐߩᢙߪ 2n㧘ԙฦ㗂ὐ߆ࠄ n ᧄߩㄝ߇ߡࠆ߆ࠄ n 㧘Ԛ1 ᧄߩㄝߦ㑐ߒߡ࠳ࡉ࡞ࠞ࠙ࡦ࠻ߒߡࠆ߆ࠄ 1/2 ߣߥࠅ㧘(nC12n)㧛2㧩nC12n-1 ߣ ߁ࠃ߁ߦ⠨߃ࠆߎߣ߇᧪ࠆޕห᭽ߦ㧘Ԙฦ✢ಽߩᢙߪ n㨯2n-1(=nC12n-1)㧘ԙฦ✢ಽ߆ ࠄ(n-1)ࠤߩᐔ㕙߇ߡࠆ߆ࠄ(n-1)㧘Ԛ৻ߟߩ㕙ߦኻߒߡ 4 ࿁㧔=2+2㧕㧔ὐߩᢙ 2 ࡩ߇ ⒖േߒߡ㧞ߟߩ✢ಽߦߥࠅ㧘ర✢ߚߞޘಽߣᣂߒߊߢ߈ߚ✢ಽߢ 2 ߟࠆ㧕࠳ࡉ࡞ࠞ࠙ 18.
(40) 算数・数学科における図形についての美しさを感得させる教材開発とその指導. ࡦ࠻ߒߡࠆ߆ࠄ 1/4 ߣߥࠅ㧘n(n-1)2n-1㧛4㧩nC22n-2 ߣߥࠆߩߎޕჇ߃ᣇ߇ߤߩ႐ว ߢ߽หߓࠃ߁ߦ⠨߃ࠄࠇࠆߡߒߘޕ㧘n ᰴర┙ᣇߩ᭴ᚑⷐ⚛ߩᢙߩߪ㧘ੑ㗄ቯℂߩ⠨ ߃ࠍ↪ߔࠆߎߣߢᰴߩࠃ߁ߦ⸘▚ߐࠇࠆ ⸼ ޕ σୀ ݊ʹ ݎܥି 㧩nC02n㧗nC12n-1㧗nC22n-2 㧗nC32n-3㧗nC42n-4㧗nC52n-5㧗̖. ާሺߙ ߚሻ 㧩ͲǩǪͲ㧗ͳǩǦͳǪͳ㧗ʹǩǦʹǪʹ㧗͵ǩǦ͵Ǫ͵㧗ͶǩǦͶǪͶ㧗ͷǩǦͷǪͷ㧗̖ި . ࠁ߃ߦ σ୬୰ୀ ʹ୬ି୰ 㧩nC02n㧗nC12n-1㧗nC22n-2 㧗nC32n-3㧗nC42n-4㧗nC52n-5㧗̖ 㧩ሺʹ ͳሻ 㧩͵. 㧡㧚Ⴎߩᐞቇߦࠃࠆᬦᦛ✢ߩ৻⥸ൻ 㧔㧝㧕ᢎ᧚ߩ⟎ߠߌ Ԙ ኻ⽎ቇᐕ 㜞╬ቇᩞ ╙ 3 ቇᐕ㧔ᢙቇΥ㧕 ԙ 㑐ㅪනర ᐔ㕙ߩᦛ✢ 㧔㧞㧕࿑ᒻߩ⟤ߒߐߣᢎ᧚ߣߩ㑐ㅪ ޟ㧔⟤ߒߐ㧝㧕㧦࿑ᒻߩⷞⷡ⊛ߥ⟤ߒߐޠ㧘ޟ㧔⟤ߒߐ㧞㧕㧦৻⥸⊛ߦᚑ┙ߔࠆ࿑ᒻ⊛ᕈ⾰ߩ ⟤ߒߐޠ㧘ޟ 㧔⟤ߒߐ㧡㧕㧦࿑ᒻ⊛ߦౕൻߒߡ⺑ߢ߈ࠆ⟤ߒߐߦޠὶὐࠍᒰߡࠆޕ (⟤ߒߐ㧝)ߦߟߡߪ㧘Ⴎߦࠃߞߡ߃߇߆ࠇߚ⒫✢ߘߩ߽ߩߩ⟤ߒߐߢࠆߐߒ⟤(ޕ㧞) ߦߟߡߪ㧘Ⴎߩᐞቇߦࠃߞߡߟߊࠄࠇߚ࿑ᒻ߇ߔߴߡޟႮߪ㧝⇟ㄭⓣ߆ࠄ⪭ߜ㧘ⓣ ߆ࠄ╬ߒ〒㔌ߩߣߎࠈߦ⒫✢߇ߢ߈ࠆ߁ߣޠၮᧄ⊛ᕈ⾰ߦၮߠߚ߽ߩߢࠆߎߣߦ ࿃ߔࠆ⟤ߒߐߢࠆ ߐߒ⟤(ޕ5)ߦߟߡߪ㧘Ⴎߢࠄࠊߐࠇߚ࿑ᒻࠍᢙᑼ߿ࠣࡈ╬ߦ ࠃߞߡ⸃ᨆߒ,߹ߚᢙᑼ߿ࠣࡈ╬ߣߒߡᓧࠄࠇߚ߽ߩࠍႮߢࠄࠊߖߚߣ߈ߦᓧࠄࠇࠆ⋧ ߩߟߥ߇ࠅߦࠃࠆ⟤ߒߐߢࠆޕ 㧔㧟㧕ᢎ᧚ߩ․ᓽ Ԙ Ⴎߩᐞቇߣߪ Ⴎߩᐞቇߣߪ㧘ࠆ࿑ᒻߩบߩߦ㧘 ႮࠍⓍ߽ࠄߖߚߣ߈ߦߢ߈ࠆ⒫✢ߩᒻࠍ ⷰኤߔࠆᢎ᧚ߢࠆޕႮߪ㧘ᐔ㕙ߩߩ 㧝ὐߦ⋡ដߌߡု⋥ߦ⪭ਅߐߖࠆߣ㍙ ࠍᒻࠅ㧘ߘߩ┵㧔ᐩ㕙ߩ㧕ߪ㧘㍙. ౮⌀ 1. ౮⌀ 2. ߩ㗂ὐࠍਛᔃߣߒߡหᔃ⁁ߦᐢ߇ߞߡߊ(౮⌀ 1)ߚ߹ޕ㧘ᐔ㕙ߦ 1 ὐࠍߌߡႮࠍᵹ ߒㄟߣ㧘ߔࠅ㋬⁁ߦ⪭ਅߒߡ߈㧘ߘߩ┵߽߿ߪࠅⓣࠍਛᔃߣߒߡหᔃ⁁ߦᐢ߇ߞߡ ߊ(౮⌀ 2)߈ߣߩߎޕ㧘บߣߥࠆ࿑ᒻࠍᄌ߃ࠆߎߣߢߢ߈ࠆ⒫✢㧔Ⓧ߽ߞߚㇱಽ㧕ߩ࿑ ᒻߦߟߡ⠨ኤߒߡߊޕ ߎߩᢎ᧚ߩၮᧄ⊛ߥᕈ⾰ߪ㧘ޟႮߪ㧝⇟ㄭⓣ߆ࠄ⪭ߜ㧘ⓣ߆ࠄ╬ߒ〒㔌ߩߣߎࠈߦ⒫ ✢߇ߢ߈ࠆߜࠊߥߔ߈ߣߩߎޕࠆߢߣߎ߁ߣޠ⒫✢ߪ᧦ࠆޟઙ㧔ⓣ߆ࠄ╬ߒ〒㔌㧕 ࠍḩߚߔὐߩ㓸วޠ㧘ߟ߹ࠅ゠〔ߢࠆޟޕႮߩᐞቇࠍޠㅢߒߡ㧘࿑ᒻߩ゠〔ߣߒߡߩ ᣇࠍ⢒ߣߣ߽ߦ㧘Ⴎ߇߃߇ߊ࿑ᒻߩ⟤ߒߐࠍᗵᓧߐߖࠆߎߣ߇ᧄᢎ᧚ࠍᛒ߁ᗧ⟵ߢࠆޕ ԙ ᢎ᧚ ᄙ᭽ߥᢎ᧚߇ࠆ߇,ߘߩਛߢᬦᦛ✢ߩ৻⥸ൻߦߟߡߩᢎ᧚ࠍ⚫ߔࠆޕዏ,ᧄᢎ 19. 35.
(41) 36 池田敏和・馬場裕・橋本吉彦・岩立忠・藤原大樹・石谷優行・橋本吉貴・峰野宏祐・東谷洵・五十嵐潤・前田正男. ᧚ߪᬦᜰዉߩᓟߦⴕ߁߽ߩߣߔࠆޕ ⺖ޣ㗴ޤ ߩછᗧߩὐߦⓣࠍߌ(౮⌀ 3)㧘Ⴎࠍ߆ࠄⓍ߽ࠄ ߖࠆߣ㧘⒫✢ߪ౮⌀ 4 ߩࠃ߁ߦߥࠆ㧚. ౮⌀ 3 ౮⌀ 4 ߎߩߣ߈㧘⒫✢ߪߤߩࠃ߁ߥ࿑ᒻࠍ߃߇ߊߛࠈ߁߆㧫 ⒫✢ࠍߟߊࠆⷐ⚛㧔บߩᒻ㧘ⓣߩ⟎㧘⒫✢㧕ߩߺࠍߒ㧘ޟႮߩᐞቇߩޠၮᧄ⊛ ᕈ⾰ࠍ߽ߣߦᐳᮡᐔ㕙ߢߔߣ㧘ᰴߩࠃ߁ߦߥࠆޕ บߩߩඨᓘࠍ㧝ߣߒ㧘ⓣࠍ x ゲߩὐ F(c,0)㧘゠〔ࠍ߃߇ߊേὐ P(x,y)ࠍ㧘ߩ ὐ Q ࠍㅢࠆඨᓘߢ㧘PQ=PF ߣߥࠆࠃ߁ߦ߅ߊ߈ߣߩߎޕ㧘OP+PF=1 ߣߥࠅ㧘േὐ P ߪὐ O㧘P ߆ࠄߩ〒㔌ߩ߇╬ߒὐߦߥࠆߩߢ㧘ᬦࠍ߃߇ߊߎߣ߇ࠊ߆ࠆޕ ⓣࠍߌࠆ⟎ߦࠃߞߡᬦߩᒻߪߤߩࠃ߁ߦᄌࠊࠆߛࠈ߁߆㧫 ᒻߩᄌൻࠍ⏕ߦߣࠄ߃ࠆߚߦ,ࠣࡈឬ↹࠰ࡈ࠻ GRAPES ࠍ↪ࠆߩߘޕ㓙,ᢙᑼࠍ ജߔࠆᔅⷐ߇ࠆߩߢ,వߦᓧࠄࠇߚᐳᮡࠍ߽ߣߦᢙᑼߦ⋥ߔߣ,. . ౙ. ሺ୶ିమሻమ భ ర. . ୷మ. భషౙమ ర. ൌ ͳ (-1<c<1). ߣ߁ᑼ߇ᓧࠄࠇࠆࠍ࠲ࡔࡄޕ㨏ߣߒߡࠣ ࡈߦߒ,㨏ߩ୯ࠍᄌൻߐߖࠆߣฝ࿑ߩࠃ߁ߦߥࠆޕ ߎߩߣ߈,ᑼߣᾖࠄߒวࠊߖߡࠣࡈࠍⷰኤߔࠆ ߣ,߃߫㨥ߩಽᲣߪ,c ĺ 0 ߩߣ߈(1-c2)/4 ĺ 1/4 ߣ. c=0. c=0.5. c=0.9. c=1. ߥࠅ,x ߩಽᲣ 1/4 ߦㄭߠߊߎߣ߆ࠄᒻ߇ߦㄭߠߊ ߎߣ߇ࠊ߆ࠅ,߹ߚ c ĺ 1 ߩߣ߈ (1-c2)/4 ĺ 0 ߣߥࠆ ߎߣ߆ࠄࠣࡈ߇߃߇ߌߥߎߣ߇ࠊ߆ࠆ㧔ߎߩߎ ߣߪ,ߦⓣࠍߌࠆߎߣ߇ߢ߈ߥߎߣ߆ࠄ ߽ࠊ߆ࠆ㧕ޕ ୯ߩ▸࿐ࠍ߃ߡߐࠄߦ㨏ࠍേ߆ߒߡߊߣ, 㨏㧪1 ߩߣ߈,ࠣࡈߪᰴߩࠃ߁ߦߥࠆߪࠇߎޕ ᦛ✢ߢࠆ߇,ᑼߦ߅ߡ߽ 1-c2<0 ߣߥࠆߩ ߢ,╓ภ߇ᄌࠊࠆߣࠆߔޕ,ᬦߩὶὐߩ⒖േߦࠃ ߞߡᦛ✢ࠍዉߔࠆߎߣ߇ߢ߈ࠆޕ ߢߪ,ᦛ✢ࠍޟႮߩᐞቇߪߣߎࠆߊߟߢޠ ߢ߈ߥߛࠈ߁߆ޕᬦ߆ࠄⓣࠍߕࠄߔߛߌߢߪ. c=1.5. ߢ߈ߥ߇,৻Ꮏᄦߔࠆߣ,౮⌀ 5 ߩࠃ߁ߦߟߊࠆߎߣ߇ߢ߈ࠆޕ 20. ౮⌀ 5.
(42) 37. 算数・数学科における図形についての美しさを感得させる教材開発とその指導. 㧢㧚྾ⷺᒻߩ㊀ᔃࠍ᳞ࠆᣇᴺߦߟߡ ಲ྾ⷺᒻ ABCD ߩ㊀ᔃࠍ᳞ࠆᮡḰ⊛ߥᣇᴺߪ (1) ྾ⷺᒻ ABCD ࠍኻⷺ✢ AC ߦࠃࠅ㧞ߟߩਃⷺᒻٌABC ߣٌADC ߦಽߌ㧘ߘࠇߙࠇߩ㊀ ᔃࠍ᳞㧞ߟߩ㊀ᔃࠍㅢࠆ⋥✢ࠍᒁߊޕ (2) ྾ⷺᒻ ABCD ࠍኻⷺ✢ BD ߦࠃࠅ㧞ߟߩਃⷺᒻٌABD ߣٌCBD ߦಽߌ㧘ߘࠇߙࠇߩ ㊀ᔃࠍ᳞㧞ߟߩ㊀ᔃࠍㅢࠆ⋥✢ࠍᒁߊޕ (3) (1),(2)ߦࠃߞߡᓧࠄࠇߚ㧞ߟߩ⋥✢ߩὐ߇྾ⷺᒻ ABCD ߩ㊀ᔃߣߥࠆޕ ߣ߁߽ߩߢࠆߒ߆ߒޕ㧘ߎߩᣇᴺߢߪಳ྾ⷺᒻߩ႐วߦ㊀ᔃࠍ᳞ࠆߎߣ߇ߢ߈ߥޕ ᦨㄭ Khorshidi(2007)ߪ,㧠ߟߩਃⷺᒻߢߪߥߊߚߛ߭ߣߟߩਃⷺᒻߩ㊀ᔃࠍߞߡ㧘ಲ ߿ಳߦ߆߆ࠊࠄߕߔߴߡߩ྾ⷺᒻߩ㊀ᔃࠍ᳞ࠆ◲නߥᣇᴺࠍ␜ߒߚߩߘޕⷐࠍᰴߦ␜ ߔޕ ྾ⷺᒻ ABCD ߩኻⷺ✢ AC ߣ BD ߩὐࠍ E ߣߒ㧘⋥✢ AC ߦὐ F ࠍ CF=AE ߣߥࠆ ࠃ߁ߦߣࠆߣᰴߩቯℂࠍᓧࠆ㧔ਅ࿑ෳᾖ㧘(a)ߪಲߩ႐ว㧘(b)ߪಳߩ႐ว㧕ޕ (a). (b). B. A . B. E. F C E A. C. F. . D. D. ቯℂ ྾ⷺᒻ ABCD ߩ㊀ᔃߪٌDBF ߩ㊀ᔃߢࠆޕ ߎߩቯℂߦኻߒߡ Khorshidi ߇ਈ߃ߚ⸽ߪߘࠇ߶ߤ㔍ߒ߽ߩߢߪߥ߇㧘ߐࠄߦ߿ ߐߒ⸽߇ߢ߈ߚߩߢߎߎߦ␜ߔޕ 㧔ᣂ⸽㧕 ಲ྾ⷺᒻߩ႐วࠍ⸽ߔࠆޕಳ྾ⷺᒻߩ႐ว߽ห᭽ߦ⸽ߢ߈ࠆޕAC ߣ EF ߩਛὐߪ৻⥌ߔࠆ߆ࠄ㧘ٌABC ߣٌEBF ߪห৻ߩ㊀ᔃ G ࠍ߽ߜ ٌADC ߣٌEDF ߪห৻ ߩ㊀ᔃ H ࠍ߽ߟٌޕDBF ࠍ྾ⷺᒻ DEBF ߇ㅌൻߒߚ߽ߩߣ⠨߃ࠆߣ㧘ٌDBF ߩ㊀ᔃ I ߣ ྾ⷺᒻ ABCD ߩ㊀ᔃ J ߪߤߜࠄ߽ G ߣ H ࠍ⚿߱✢ಽߦࠆ ߚ߹ޕI ߪ GH ࠍ ٌEBF : ٌEDF ߦౝಽߔࠆὐߢࠅ㧘J ߪ GH ࠍٌABC : ٌADC ߦౝಽߔࠆὐߢࠆ߇㧘 ٌABC : ٌADC=ٌEBF : ٌEDF ߢࠆߎߣࠃࠅ I ߣ J ߪ৻⥌ߔࠆޕ Χ㧚⚳ࠊࠅߦ ᧄⓂߢߪ㧘࿑ᒻߦߟߡߩ⟤ߒߐࠍఽ┬↢ᓤ߇ᗵᓧߔࠆᜰዉᴺߩ㐿⊒ߦะߌߡ㧘㧡ߟ ߩ࿑ᒻߦߟߡߩ⟤ߒߐߦὶὐࠍᒰߡ㧘ᜰዉߩၮᧄ⊛ᨒ⚵ߺࠍ⸳ቯߒߡ㧘ߘߩᜰዉߩࠅ 21.
(43) 38 池田敏和・馬場裕・橋本吉彦・岩立忠・藤原大樹・石谷優行・橋本吉貴・峰野宏祐・東谷洵・五十嵐潤・前田正男. ᣇࠍ⊛ߦ⠨ኤߒߚߚ߹ޕ㧘࿑ᒻߦߟߡߩ⟤ߒߐࠍᗵᓧߔࠆᢎ᧚ߦߟߡ㐿⊒ߒߚޕ ౕ⊛ߦߪ㧘࿑ᒻߦߟߡߩ⟤ߒߐߣߒߡ㧘 (⟤ߒߐ 1)㧦࿑ᒻߩⷞⷡ⊛ߥ⟤ߒߐ (⟤ߒߐ 2)㧦৻⥸⊛ߦᚑ┙ߔࠆ࿑ᒻ⊛ᕈ⾰ߩ⟤ߒߐ (⟤ߒߐ 3)㧦࿑ᒻࠍ␠ળߦᔕ↪ߢ߈ࠆ⟤ߒߐ (⟤ߒߐ 4)㧦࿑ᒻᠲ╬ߦ߅ߌࠆ੍ᗐᄖߩ⌕ᗐߩ⟤ߒߐ (⟤ߒߐ 5)㧦࿑ᒻ⊛ߦౕൻߒߡ⺑ߢ߈ࠆ⟤ߒߐ ߩ㧡ߟߦὶὐࠍᒰߡ㧘ਅ⸥ߩ㧟ߟߩᵹࠇࠍ࿑ᒻߦ߅ߌࠆ⟤ߒߐࠍᗵᓧߔࠆᜰዉߩၮᧄ⊛ ᨒ⚵ߺߣߒߡ⸳ቯߒߚޕ Ԙఽ┬↢ᓤߦ࿎㔍ࠍᗵߓߐߖࠆ ԙߦޠߐߒ⟤ޟ㑐ࠊࠆᨩࠍߔ ԚࠃߐࠍᝄࠅࠆޕA ߣ nonA ߩኻᲧ ⸥ߩᨒ⚵ߺߦၮߠ߈㧘ਛ㜞╬ቇᩞߦ߅ߡ㧞ߟߩᜰዉታ〣ࠍⴕߞߚߪߟ৻ޕ㧘ਛቇ 2 ᐕ↢ࠍኻ⽎ߦߒߚޟ㡀⋡ߒࠍޠ㗴᧚ߦߒߚᜰዉߢ㧘㧔⟤ߒߐ 2㧕㧘㧔⟤ߒߐ 4㧕ߦὶὐࠍᒰ ߡߡࠆߪߟ৻߁߽ޕ㧘㜞╬ቇᩞߦ߅ߌࠆᢙቇ A㧘ᢙቇ B ࠍጁୃߒߚ↢ᓤࠍኻ⽎ߦ㧘ࡌࠢ ࠻࡞ࠍ㗴᧚ߦߒߚࠦࡦࡇࡘ࠲ࠍ↪ߚᜰዉߢ㧘㧔⟤ߒߐ 2㧕ߦὶὐࠍᒰߡߡࠆޕታ〣 ࠍㅢߒߡ㧘࿑ᒻߦ߅ߌࠆ⟤ߒߐߦኻᔕߔࠆ↢ᓤߦߣߞߡߩ࿎㔍ߥᵴേࠍ⊛⏕ߦ․ቯߔࠆ ߎߣ㧘ਗ߮ߦ㧘㐳ᦼߦࠊߚߞߡߎߩࠃ߁ߥᜰዉࠍ➅ࠅߒᜰዉߒߡߊߎߣ㧘ߩ㊀ⷐᕈ߇ ␜ໂߐࠇߚޕ ߐࠄߦ㧘ዊਛ㜞╬ቇᩞߦ߅ߡ㧘ਅ⸥ߩࠃ߁ߦ㧘࿑ᒻߦߟߡߩ⟤ߒߐߦὶὐࠍᒰ ߡߚᢎ᧚ࠍ㧡ߟ㐿⊒ߒߚޕ (a) ᱜᣇᒻߦᄌり㧍㧔ዊ 5㧘⟤ߒߐ 4) (b) ࠞࡦ࠲ࡌࡄ࠭࡞ࠍ↪ߚ࿑ᒻߩ╬Ⓧᄌᒻ㧔ዊ 5㧘⟤ߒߐ 4㧕 (c) ᐔ㕙ߩಽഀᢙߪߊߟ㧫㧔㜞 2㧘⟤ߒߐ 2⟤ߒߐ 5㧕 (d) ┙ᣇࠍ⺞ߴࠃ߁㧔㜞 1㨯2㧘⟤ߒߐ 1⟤ߒߐ 2㧕 (e) Ⴎߩᐞቇߦࠃࠆᬦᦛ✢ߩ৻⥸ൻ㧔㜞 3㧘⟤ߒߐ 1⟤ߒߐ 2⟤ߒߐ 5㧕 ᦨᓟߦ㧘྾ⷺᒻߩ㊀ᔃࠍ᳞ࠆᣇᴺߩᢎ᧚㐿⊒ߦ㑐ㅪߒߡ㧘ᣂߚߥ⸽ᣇᴺ߇ߐࠇ ߚߩߢߎߎߢ⚫ߒߚޕ ᓟߣ߽㧘ߐࠄߥࠆᢎ᧚ࠍ㐿⊒ߔࠆߣߦ㧘ߘߩᜰዉߩࠅᣇߦߟߡ⛮⛯⊛ߦ⎇ⓥࠍ ㅴߡߊᔅⷐ߇ࠆޕ 㨇ෳ⠨ᒁ↪ᢥ₂㨉 Banchoff, T.F.(1990)㧘“Dimension” In On the Shoulders of GIANTS㧘edited by Steen, L., National Academy Press㧘pp.53-58㧚 ᯅᧄศᒾ㧔2009㧕㧘▚ޡᢙᢎ⢒ේ⺰ޢ㧘᧲ᵗ㙚 㧘p.42㧚 㧴.㧱.࠺ࡘ࠼࠾㧘↰⦟テ⸶㧔2009㧕㧘 ޢ࡞࠭ࡄࡌ࠲ࡦࠞޡ㧘ߜߊ߹ቇ⧓ᢥᐶ㧘pp.62-63㧚 Ꮢ⼱ჽ㧔2010㧕㧘 ޟᱜᣇᒻψᱜਃⷺᒻߩ╬Ⓧᄌᒻޠ 㧘 ╙ޡ68 ࿁ࡂࡦ࠭ࠝࡦࡑࠬ⎇ⓥળ㈩ઃ⾗ ᢱޢ㧚 ᳰ↰ᢅ(2009)㧘ޟᢙቇ⊛ࡕ࠺ࡦࠣߣᢙቇ⊛⍮⼂ߩ᭴ᚑ̆ࡕ࠺࡞ਥ⟵ߦၮߠߊᢙቇᢎ⢒ߩ 22.
(44) 算数・数学科における図形についての美しさを感得させる教材開発とその指導. ᭴ᗐ̆ޠ㧘 ╙ޡ33 ࿁⑼ቇᢎ⢒ቇળᐕળ⺰ᢥ㓸ޢ㧘 pp.251-254㧚 ᳰ↰ᢅᅏ㚅ዊጊஜੳጤ┙ᔘ⚐ጟዏผ㑐ญᘕ๋೨↰ᱜ↵㚍႐ᯅᧄ ศᒾ㧔2010㧕㧘ޟዊቇᩞ▚ᢙ⑼ߦ߅ߌࠆ࿑ᒻߦߟߡߩ⟤ߒߐࠍᗵᓧߔࠆᢎ᧚㐿⊒ޠ㧘ޡᮮ ᵿ࿖┙ᄢቇᢎ⢒ੱ㑆⑼ቇㇱ♿ⷐΣ㧔ᢎ⢒⑼ቇ㧕 ޢNo.12㧘pp.1-12㧚 Khorshidi, B.(2007)㧘A new and improved method for finding the center of gravity of a quadrilateral㧘The College Mathematics Journal 38 (2007)㧘 pp.225-226㧚 㤥↰ବ㇢(2000)㧘ޡႮ߇ᢎ߃ࠆᐞቇޢ㧘ᮮጊᱜ ✬㓸⊒ⴕ㧚 ೨↰ᱜ↵ᳰ↰ᢅ⮮ේᄢ᮸㋈ᧁ⺈ᯅᧄศ⾆ዊጊ⋥ੱ⍹⼱ఝⴕዊේ⟤ᨑ㚍 ႐ᯅᧄศᒾ㧔2010㧕㧘ޟਛ㜞╬ቇᩞᢙቇ⑼ߦ߅ߌࠆ࿑ᒻߦߟߡߩ⟤ߒߐࠍᗵᓧߔ ࠆᢎ᧚㐿⊒ޠ 㧘 ޡᮮᵿ࿖┙ᄢቇᢎ⢒ੱ㑆⑼ቇㇱ♿ⷐΣ㧔ᢎ⢒⑼ቇ㧕ޢNo㧚12㧘pp.135-154㧚 ਛ⼱ቝศ㇢(1958)㧘⑼ޡቇߩᣇᴺޢ㧘ጤᵄᣂᦠ㧚 ᷡችବ㓶(2001)㧘ޡೋ╬ᐞߩߚߩߒߺޢ㧘ᣣᧄ⹏⺰␠㧚 ᢙቇᢎ⢒ද⼏ળዊᴛஜ৻㧔✬㧕㧔1998㧕▚ޡᢙᢙቇ߅߽ߜ߾▫ޢ㧘࿖␠㧘p.32㧚 ㋈ᧁ⺈(2009)㧘 ߥࠎߤޟ྾ⷺᒻ߇ߢ߈ࠆ߆ߥ㧫ޠ㧘೨↰ᱜ↵ᳰ↰ᢅઁޡਛ㜞╬ቇᩞᢙቇ ⑼ߦ߅ߌࠆ࿑ᒻߦߟߡߩ⟤ߒߐࠍᗵᓧߔࠆᢎ᧚㐿⊒ޢ㧘ᮮᵿ࿖┙ᄢቇᢎ⢒ੱ㑆⑼ቇㇱ♿ ⷐΣ㧔ᢎ⢒⑼ቇ㧕No.12㧘pp.137-140㧚 ┻ౝ⧐↵ᴛ↰ᄦ(1984)㧘ޡ㗴߆ࠄ㗴߳̆㗴ߩ⊒ዷ⊛ߥᛒߦࠃࠆ▚ᢙᢙቇ⑼ߩ ᬺᡷༀ̆ޢ 㧘᧲ᵗ㙚 ␠㧚 ౝᶏᐣਃ(1965)㧘ޟ㗴⸃ߦ߅ߌࠆⷙೣᕈߩ⊒ߣߘߩᕁ⠨ߩ᭽⋧ߦߟߡޠ 㧘ޡᣣᧄᢙቇ ᢎ⢒ળ ⥃ᤨჇೀภ ᢙቇᢎ⢒ቇ⺰ⓥΫޢ㧘 pp.33-55㧚 ศ↰ผ(2004)㧘 ޟᢙቇࠍㅢߒߚੱ㑆ᒻᚑߣߪ߆ޠ㧘㐳ፒᩕਃ㐳የ◊ᔒศ↰ผ৻ᭉ ㊀㓶ᷰㆻᄦ࿖ቬㅴ⪺, ޡᬺ⎇ⓥߦቇ߱㜞ᩞᣂᢙቇ⑼ߩࠅᣇޢ㧘ᴦ࿑ᦠ㧘pp㧚21-35㧚 Ziman, J.㧘᪉㇌ᄢᳯ⑲ᚱ⸶(1985)㧘⑼ޡቇℂ⺰ߩᧄ⾰ޢ㧘ੱᦠ㙚㧚 㨇⸼㨉 (1) ಳ྾ⷺᒻߩᐔⴕ྾ㄝᒻ߳ߩᄌᒻߪ㧘ಳ྾ⷺᒻߩᒻߦଐሽߒߡߢ߈ࠆ႐วߣߢ߈ߥ႐ว ߇ࠆߒ߆ߒޕ㧘ߢ߈ߥ႐วߢ߽㧘⠨߃ᣇࠍᒛߔࠆߎߣߢ㧘ᐔⴕ྾ㄝᒻ߳ߣᄌᒻߔ ࠆߎߣ߇น⢻ߦߥࠆߪߊߒޕ㧘ᰴߩᢥ₂ߦឝタߐࠇߡࠆޕᳰ↰ᢅ(2009)㧘ޟ㕟⊛ ⍮⼂₪ᓧߣ⚥Ⓧ⊛⍮⼂₪ᓧߩႺ⇇✢ࠍߋߞߡ㧙ᒛߩࡊࡠࠬߦὶὐࠍᒰߡߡ㧙ޠ㧘ᢙ ቇ⊛ᵴേޟㅪタ㧦ߐ߹ࠃ߆ࠄ᳇ߠ߈㧘ߘߒߡ⚊ᓧ߳ޠ㧘 ޡᢙቇᢎ⢒ޢNo.615㧘ᴦ࿑ᦠ㧘 pp.92-97㧚 (2) ⿒ጟᱜᲞ㧘ޠ᧼⊕࡞࠻ࠢࡌޟ㧘ጊ᪸⋵┙㖴ፒ㜞ᩞ(ᒰᤨ)ߩ⿒ጟᱜᲞవ↢߇㧝㧞ᐕ߶ߤ೨ߦ ࠄࠇߚ࠰ࡈ࠻ޕ 㧔⿒ጟవ↢߆ࠄߩଐ㗬ࠍฃߌ⍹⼱ߩࡎࡓࡍࠫ߆ࠄ࠳࠙ࡦࡠ࠼ߢ߈ ࠆޕhttp://www.ishitani.com/vector1.htm㧕 (3) ࠞࡉߩ⹏ଔࡃ࡚ࠫࡦޟhttp://www.naoco.com/cabri/download/ޠ (4) ⚿ᨐ߇߈ࠇߦ 3n ߦߥࠆࠊߌߢࠆ߇㧘ߎߩᗧߦߟߡ⿷ߔࠆޕ (n-1)ᰴర┙ᣇ߆ࠄ n ᰴర┙ᣇࠍ᭴ᚑߔࠆߎߣߪ㧘(n-1)ᰴర┙ᣇߦ߅ߌࠆ(n-1)ߩ ᭴ᚑⷐ⚛ߩฦߩޘᢙߩߦ 3(=2+1)ࠍ߆ߌߚߎߣߦߥࠆޕᰴߩᑼࠍߺࠇ߫㧘 3㧔=1+2㧕 ࠍ߆ߌࠆߣࠃ߆߇⸃㉼ߢ߈ࠆߢࠈ߁ޕ {N(n-1,0)㧗N(n-1,1)㧗㨯㨯㨯㧗N(n-1,r)㧗㨯㨯㨯㧗n(n-1,n-1)}(2+1) 㧩N(n-1,0)2㧗{N(n-1,0)1㧗N(n-1,1)2}㧗㨯㨯㨯㧗{N(n-1,r-1)1㧗N(n-1,r)2}㧗 㨯㨯㨯㧗{N(n-1,n-2)1㧗N(n-1,n-1)2}㧗N(n-1,n-1)1 =N(n,0)㧗N(n,1)㧗㨯㨯㨯㧗N(n,r)㧗㨯㨯㨯㧗N(n,n-1)㧗N(n,n) ᑼߩਅ✢ㇱࠍኻᔕߐߖࠆߣ㧘3n ߩᗧߪᦨೋߦㅀߴߚࠕ㧘ࠗߩ࡞࡞ߦઁߥࠄߥ ߎߣ߇ࠊ߆ࠆޕ 23. 39.
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