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算数・数学科における図形についての美しさを感得させる教材開発とその指導

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Academic year: 2021

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(1)算数・数学科における図形についての美しさを感得させる教材開発とその指導. ▚ᢙ࡮ᢙቇ⑼ߦ߅ߌࠆ࿑ᒻߦߟ޿ߡߩ⟤ߒߐ ࠍᗵᓧߐߖࠆᢎ᧚㐿⊒ߣߘߩᜰዉ    ᳰ↰ᢅ๺*㧘㚍႐⵨*㧘ᯅᧄศᒾ*㧘ጤ┙ᔘ**㧘⮮ේᄢ᮸***㧘⍹⼱ఝⴕ****㧘 ᯅᧄศ⾆*****㧘ፄ㊁ብ␭******㧘᧲⼱ᵰ******㧘੖ච፲Ả******㧘೨↰ᱜ↵*. Σ㧚ߪߓ߼ߦ  ࿑ᒻߦߟ޿ߡߩ⼾߆ߥᗵⷡ࡮⟤ߒߐࠍᗵᓧߐߖࠆᜰዉߦߟ޿ߡ㧘ᐔᚑ 20 ᐕᐲࠃࠅ 3 ᐕ㑆 ߦᷰߞߡ㧘⑼ቇ⎇ⓥ⾌⵬ഥ㊄ၮ⋚⎇ⓥ㧔㧯㧕‫ޟ‬࿑ᒻߦߟ޿ߡߩ⼾߆ߥᗵⷡ࡮⟤ߒߐࠍᗵᓧߐ ߖࠆᜰዉ‫ޠ‬ 㧔⎇ⓥઍ⴫⠪㧦೨↰ᱜ↵㧘⺖㗴⇟ภ㧦2050074900㧕߇ታᣉߐࠇࠆߎߣߦߥߞߚ‫ޕ‬ ߘߒߡ㧘ߎࠇ߹ߢ 2 ᐕ㑆ߦࠊߚߞߡ㧘ዊቇᩞ߆ࠄ㜞╬ቇᩞ  ᐕ߹ߢࠍኻ⽎ߦ㧘࿑ᒻߦߟ޿ ߡߩ⟤ߒߐߩᜰዉߦὶὐࠍᒰߡߡ⎇ⓥ߇ㅴ߼ࠄࠇߡ߈ߚ㧔ᳰ↰ઁ㧘2010㧧೨↰ઁ㧘2010㧕‫ޕ‬  ᧄⓂߢߪ㧘 ᐕ㑆ߩ⎇ⓥࠍฃߌߡ㧘ਅ⸥ߩ  ὐࠍ⎇ⓥߩ⋡⊛ߣߒߡ⸳ቯߒ⠨ኤߒߡ޿ߊߎ ߣߦߔࠆ‫ޕ‬ 㧔㧝㧕࿑ᒻߦߟ޿ߡߩ⟤ߒߐࠍఽ┬࡮↢ᓤ߇ᗵᓧߔࠆߚ߼ߩᜰዉᴺߩ㐿⊒ߦะߌߡ㧘ߘߩ ၮᧄ⊛ᨒ⚵ߺࠍ⸳ቯߒ㧘ౕ૕⊛ߥᜰዉߩ޽ࠅᣇࠍ੐଀⊛ߦ⠨ኤߔࠆߎߣ‫ޕ‬ 㧔㧞㧕࿑ᒻߦߟ޿ߡߩ㧡ߟߩ⟤ߒߐߦὶὐࠍᒰߡߚᢎ᧚ࠍ㐿⊒ߔࠆߎߣ‫ޕ‬ Τ㧚࿑ᒻߦߟ޿ߡߩ⟤ߒߐߣߘࠇࠍᗵᓧߔࠆᜰዉߩၮᧄ⊛ᨒ⚵ߺ  ࿑ᒻߦߟ޿ߡߩ⟤ߒߐߩᝒ߃ࠍㅀߴߚ਄ߢ㧘ߘߩᜰዉࠍ޿߆ߦⴕߞߡ޿ߊߩ߆㧘ߘߩၮ ᧄ⊛ߥᨒ⚵ߺߦߟ޿ߡ⠨ኤߔࠆ‫ޕ‬ 㧔㧝㧕࿑ᒻߦߟ޿ߡߩ⟤ߒߐ ⟤ߒߐߪ㧘ੱ㑆ߩⴕὑߩᚲ↥ߣߒߡ⷗޿ߛߐࠇࠆ߽ߩߣߒߡᝒ߃㧘ߘࠇࠄߦߪ㧘ੱ㑆߇ ഃࠅ಴ߒߚ߽ߩߣ㧘ੱ㑆ߦࠃߞߡ⷗޿ߛߐࠇߚ㧘ੱ㑆ߩⴕὑࠍ⿥⿧ߒߡሽ࿷ߒߡ޿ࠆ߽ߩ ߇޽ࠆߣ޿߁┙႐ࠍߣࠆ‫ߡߒߘޕ‬㧘ߘߩ⟤ߒߐߩኻ⽎ߪ㧘ഃࠅ਄ߍࠄࠇߚ߽ߩߩ᭴ㅧ߿ᕈ ⾰ߦ㒢ቯߖߕ㧘ੱ㑆߇ഃࠅ਄ߍࠆ㓙ߩࡊࡠ࠮ࠬ㧘⠨߃ᣇߦ߽෸߽߱ߩߣߒߡᝒ߃ࠆߎߣߦ ߔࠆ‫ߡߒߘޕ‬㧘ߘࠇࠄߪ㧘୘ੱ⊛࡮㓏⚖⊛ߥ߽ߩߢߪߥߊ㧘ోߡߩੱࠍኻ⽎ߣߒߚ␠ળ⊛ ߥ߽ߩߢ޽ࠆߣ޿߁┙႐ߢ⠨߃ߡ޿ߊߎߣߦߔࠆ‫ޕ‬  ਄⸥ߩ⠨ኤࠍ೨ឭߦ㧘࿑ᒻߦߟ޿ߡߩ⟤ߒߐߦߟ޿ߡߪ㧘ࠃࠅ᏷ᐢ޿ⷞὐ߆ࠄ㧘ఽ┬࡮ ↢ᓤ߇࿑ᒻߦ㑐ࠊࠆᵴേࠍߔࠆਛߢ㧘ߤߩࠃ߁ߥᖱᗧ⊛లታᗵ߇޽ߞߚߩ߆ࠍ᣿ࠄ߆ߦߔ ࠆߣ޿߁┙႐ߢ⠨߃ࠆ‫ޕ‬㐿⊒ߐࠇߚᢎ᧚ࠍಽᨆߒߚ⚿ᨐ㧘࿑ᒻߦߟ޿ߡߩ⟤ߒߐࠍਅ⸥ߩ 㧡ߟߦ㘃ဳൻߒߚ‫ߩߎޕ‬㘃ဳൻߪ㧘ᔅߕߒ߽⁛┙ߥ߽ߩߢߪߥߊ㧘ⶄᢙߩⷰὐࠍหᤨߦḩ ߚߔᢎ᧚߽ሽ࿷ߔࠆߎߣߦ⇐ᗧߔࠆᔅⷐ߇޽ࠆ‫ޕ‬ 

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(18)

(19)

(20)

(21)

(22) ᮮᵿ࿖┙ᄢቇᄢቇ㒮 1. 17.

(23) 18 池田敏和・馬場裕・橋本吉彦・岩立忠・藤原大樹・石谷優行・橋本吉貴・峰野宏祐・東谷洵・五十嵐潤・前田正男. 㧔⟤ߒߐ㧝㧕࿑ᒻߩⷞⷡ⊛ߥ⟤ߒߐ㧦࿑ᒻߘߩ߽ߩࠍ⷗ߡ⟤ߒ޿ߣᕁ߃ࠆᖱᗧ⊛లታᗵ ߎߎߦߪ㧘‫ౕߚߞ޿ߣޠ޿ߒ⟤ߪ⧎ߩߎޟ‬วߦ㧘⺕߽߇౒ㅢߦᕁ߃ࠆ㧘వᄤ⊛ߦᗵߓࠆߎ ߣߩߢ߈ࠆ⟤ߒߐߣ㧘⚻㛎ࠍ〯߻ߎߣߢᓢ‫ߦޘ‬ᗵᓧߢ߈ࠆࠃ߁ߦߥࠆᓟᄤ⊛ߥ⟤ߒߐ߇޽ ࠆ‫ޕ‬ᢝ߈⹣߼ᮨ᭽ߪ㧘⺕߇ߺߡ߽߈ࠇ޿ߦߺ߃ࠆ‫ߦࠇߘޕ‬ኻߒߡ㧘ߘߩᢝ߈⹣߼ᮨ᭽ߩ⢛ ᥊ߦ޽ࠆᢙቇ⊛᭴ㅧࠍ⋥ⷰ⊛ߦ⷗ᛮ޿ߚੱߪ㧘ߘࠇࠍ⷗ߚߣ߈㧘ߚߛ߈ࠇ޿ߛߣ޿߁ߛߌ ߢߪߥߊ㧘ᢙቇ⊛᭴ㅧ߇ౝ൮ߐࠇߡ޿ࠆߎߣࠍ㑐ㅪߠߌߚ਄ߢߐࠄߥࠆ⟤ߒߐࠍᗵᓧߔࠆ ߩߢ޽ࠆ‫ߪࠇߎޕ‬㧘ᢙቇ⊛⚻㛎ࠍ〯߻ߎߣߦࠃߞߡᗵᓧߢ߈ࠆᵞ✵ߐࠇߚ⟤ߒߐߢ޽ࠈ߁‫ޕ‬ ߘߒߡ㧘ߎߩᓟ⠪ߩ⚻㛎ߩ઻߁⟤ߒߐߪ㧘ᰴߩ㧔⟤ߒߐ㧞㧕ߩԘߦኻᔕߒߡ޿ࠆ‫ޕ‬ 㧔⟤ߒߐ㧞㧕৻⥸⊛ߦᚑ┙ߔࠆ࿑ᒻ⊛ᕈ⾰ߩ⟤ߒߐ㧦ⶄᢙߩ࿑ᒻࠍᢙቇ⊛ߦ⠨ኤߔࠆߎߣ ߦࠃࠅ㧘ߘࠇࠄߩ㑆ߦ㧘౒ㅢߦ㧘ߐࠄߦߪ৻⥸⊛ߦᚑࠅ┙ߟᕈ⾰߇ẜࠎߢ޿ࠆߎߣ ߦ⇊ᢘߩᔨࠍᗵߓߣࠇࠆᖱᗧ⊛లታᗵ 㧔⟤ߒߐ㧝㧕ࠍ೨ឭߣߒߡᆎ߹ࠆᵴേߣ㧘ߘ߁ߢߥ޿ᵴേߣ߇⠨߃ࠄࠇࠆ‫ޕ‬ Ԙ ⷗ߚ⋡ߢ⟤ߒ޿ߣᗵߓࠄࠇࠆⶄᢙߩ࿑ᒻ㧔㧔⟤ߒߐ㧝㧕ߢㅀߴߚ߽ߩ㧕ߩᕈ⾰ࠍ⠨ኤߔ ࠆߎߣࠍㅢߒߡ㧘ߘߎߦ౒ㅢߩᢙቇ⊛੐ታ߇ẜࠎߢ޿ࠆߎߣߦ⇊ᢘߩᔨࠍᗵߓߣࠇࠆᖱ ᗧ⊛లታᗵ㧦ߎࠇߪ㧘਄⸥㧔⟤ߒߐ㧝㧕ߩᩮ᜚ߢߪߥߊ㧘⟤ߒ޿ߣᗵߓࠆߎߣߩߢ߈ߚ ⶄᢙߩ࿑ᒻߩᕈ⾰ࠍ⠨ኤߔࠆߎߣߦࠃࠅ㧘౒ㅢߦหߓᢙቇ⊛੐ታ߇ẜࠎߢ޿ߚߎߣߦኻ ߔࠆ㛳߈ߢ޽ࠅ㧘ߘࠇࠁ߃ߦ↢߹ࠇࠆ⇊ᢘߩᔨߢ޽ࠆ‫⇊ߩߎޕ‬ᢘߩᔨߪ㧘ᓟᄤ⊛ߥ߽ߩ ߢ㧘⚻㛎ࠍ〯߻ߎߣߦࠃߞߡᗵᓧߢ߈ࠆ߽ߩߢ޽ࠈ߁‫߃ࠁࠇߘޕ‬㧘ੱߦࠃߞߡᗵᓧߢ߈ ߚࠅ㧘ߢ߈ߥ߆ߞߚࠅߔࠆ႐ว߇޽ࠆ‫ޕ‬ ԙ ࿑ᒻࠍᢙቇ⊛ߦ⠨ኤߔࠆߎߣߦࠃࠅ㧘ⶄᢙߩ࿑ᒻߦ৻⥸⊛ߦᚑࠅ┙ߟᕈ⾰㧘޽ࠆ޿ߪ㧘 ․ቯߩ࿑ᒻߦᚑࠅ┙ߟ․ᱶߥᕈ⾰ߦ⇊ᢘߩᔨࠍᗵߓߣࠇࠆᖱᗧ⊛లታᗵ㧦ߎࠇߪ㧘࿑ᒻ ߩ⎇ⓥߘߩ߽ߩߢ㧘৻⥸ᕈ߇޽ࠆ߶ߤࠃࠅᷓߊᗵᓧߢ߈ࠆ߽ߩߢ޽ࠆ‫⇊ߩߎޕ‬ᢘߩᔨ߽㧘 ᓟᄤ⊛ߥ߽ߩߢ㧘⚻㛎ࠍ〯߻ߎߣߦࠃߞߡᗵᓧߢ߈ࠆ߽ߩߢ޽ࠈ߁‫ޕ‬ 㧔⟤ߒߐ㧟㧕࿑ᒻࠍ␠ળߦᔕ↪ߢ߈ࠆ⟤ߒߐ㧦࿑ᒻߩ߽ߟᯏ⢻߿ᕈ⾰╬ࠍᣣᏱ↢ᵴ߿␠ળ ߦᔕ↪ߒߚ㧘ߘߩ⍮ᕺߦᗵ㌏ߢ߈ࠆᖱᗧ⊛లታᗵ ޽ࠆ․ᱶߥᯏ⢻߿ᕈ⾰ࠍ߽ߟ࿑ᒻ߇㧘ᣣᏱ↢ᵴ߿␠ળߦ߅޿ߡ᦭ലߦᵴ↪ߐࠇߡ޿ࠆ႐ ว߇޽ࠆ‫ޕ‬࿑ᒻߩ߽ߟᕈ⾰߿ᯏ⢻ߣ㧘ᣣᏱ↢ᵴ߿␠ળߦ߅ߌࠆ⺖㗴ߣࠍ޿߆ߦ㑐ㅪߠߌࠆ ߆ߦὶὐ߇ᒰߡࠄࠇࠆ‫⊒ߥ߁ࠃߩߎޕ‬᣿ࠍߔࠆߦߪ㧘࿑ᒻߩ߽ߟᕈ⾰ߣᯏ⢻ࠍᷓߊ⎇ⓥߒ ߡ޿ߊߣ౒ߦ㧘ᣣᏱ↢ᵴ߿␠ળߦ߅޿ߡ⺖㗴ࠍ⷗޿ߛߒ㧘ߘߩ⸃᳿╷ࠍតߞߡ޿ߊߎߣߩ ਔᣇ߇ⷐ᳞ߐࠇࠆ‫ߚ߹ޕ‬㧘ᣣᏱ↢ᵴߢᣢߦᔕ↪ߐࠇߡ޿ࠆ߽ߩߦߟ޿ߡߪ㧘‫ߩߘߒ߽ޟ‬࿑ᒻ ߢߥ߆ߞߚࠄߤ߁ߥࠆ߆‫ࠍޠ‬⠨߃ࠆߎߣ߇㊀ⷐߣߥࠆ‫ޕ‬ 㧔⟤ߒߐ㧠㧕࿑ᒻᠲ૞╬ߦ߅ߌࠆ੍ᗐᄖߩ⌕ᗐߩ⟤ߒߐ㧦࿑ᒻߩᠲ૞╬ࠍⴕ߁ਛߢᒁ߈಴ ߐࠇߚ㧘᦭ᗧ๧ߢ੍ᗐᄖߩ⌕ᗐߦᗵ㌏ߢ߈ࠆᖱᗧ⊛లታᗵ ߎࠇߪ㧘࿑ᒻએᄖߩ㗔ၞ㧔ᢙ㊂㑐ଥ╬㧕ࠍኻ⽎ߣߒߚ႐วߦ߽㧘ห᭽ߦሽ࿷ߔࠆ߽ߩߢ ޽ࠆ‫⌕ߥ߁ࠃߩߤޕ‬ᗐ߇޽ࠆ߆ߦߟ޿ߡߪ㧘଀߃߫㧘ᰴߩࠃ߁ߥ߽ߩ߇޽ࠆ‫ޕ‬ Ԙ  ߎࠇ߹ߢࡃ࡜ࡃ࡜ߩ߽ߩߣߒߡ⷗ߡ޿ߚߎߣߦ㧘㑐ㅪᕈ߇޽ࠆߎߣߦ᳇ߠߊ‫ࡃ࡜ࡃޕ‬ ࡜ߩ߽ߩ߇㑐ㅪߠߌࠄࠇࠆߎߣߦ‫޿ߒࠄ߫ߔޟ‬㧍‫ߣޠ‬ᗵߓࠄࠇࠆᖱᗧ⊛లታᗵߢ޽ࠆ‫ޕ‬ ԙ  ․ᱶߥ႐วߦߒ߆ᚑࠅ┙ߚߥ޿ᕈ⾰߇㧘⷗ᣇࠍᄌ߃ࠆߎߣߢ㧘ઁߩ႐วߢ߽৻⥸⊛ߦ 2.

(24) 算数・数学科における図形についての美しさを感得させる教材開発とその指導. ᚑࠅ┙ߟߎߣ߇⷗޿ߛߖࠆ‫ޕ‬᜛ᒛߒߚࠅ⛔วߒߚࠅߔࠆߎߣߢหߓ߽ߩߣߺࠇࠆߎߣߦ ‫޿ߒࠄ߫ߔޟ‬㧍‫ߣޠ‬ᗵߓࠄࠇࠆᖱᗧ⊛లታᗵߢ޽ࠆ‫ޕ‬ 㧔⟤ߒߐ㧡㧕࿑ᒻ⊛ߦౕ૕ൻߒߡ⺑᣿ߢ߈ࠆ⟤ߒߐ㧦᛽⽎⊛ߥᢙᑼߩ㑐ଥࠍ㧘࿑ᒻ⊛ߦౕ ૕ൻߒߡⷞⷡൻߢ߈ߚߎߣߦᗵ㌏ߢ߈ࠆᖱᗧ⊛లታᗵ ᢙ߿ᢙ㊂㑆ߩ㑐ଥߪ㧘᛽⽎⊛ߥ਎⇇ߦ޽ࠆ߽ߩߢ޽ࠅ㧘ⷞⷡ⊛ߦ⷗ࠆߎߣ߇ߢ߈ߥ޿‫ޕ‬ ߘߩࠃ߁ߥ᛽⽎⊛ߥᢙ߿ᢙ㊂㑆ߩ㑐ଥࠍ࿑ᒻߦࠃߞߡⷞⷡൻߒ㑐ㅪߠߌࠄࠇߚߎߣߪ㧘⋡ ߦ⷗߃ߥ޿ߎߣࠍ⋡ߦ⷗߃ࠆᒻߦᄌᒻߔࠆߎߣߢ޽ࠅ㧘ߘߩⴕὑ߇น⢻ߦߥߞߚߎߣߦᗵ ㌏ࠍฃߌࠆࠊߌߢ޽ࠆ‫ޕ‬ 㧔㧞㧕࿑ᒻߦߟ޿ߡߩ⟤ߒߐࠍᗵᓧߔࠆᜰዉߦߟ޿ߡߩၮᧄ⊛ᨒ⚵ߺ  ᰴߩ㧟ߟߩᵹࠇࠍ〯߻᝼ᬺዷ㐿ࠍ㧘࿑ᒻߦߟ޿ߡߩ⟤ߒߐࠍᗵᓧߔࠆᜰዉߩၮᧄ⊛ߥᨒ ⚵ߺߣߒߡ⸳ቯߒߚ‫ߪߡ޿ߟߦࠄࠇߎޕ‬㧘੐଀⎇ⓥࠍⓍߺ㊀ߨࠆਛߢ㧘ߐࠄߦ᣿⏕ߦߒߡ ޿ߊᔅⷐ߇޽ࠆ‫ޕ‬ Ԙ ఽ┬࡮↢ᓤߦ࿎㔍ࠍᗵߓߐߖࠆ  ࿑ᒻߦߟ޿ߡߩ⟤ߒߐߩᗵᓧߪ㧘೨ㅀߩㅢࠅ㧘ఽ┬࡮↢ᓤߩవⴕ⚻㛎ߦᄢ߈ߊଐሽߔࠆ ߽ߩߢ޽ࠅ㧘หߓ⟤ߒߐߦ㑐ࠊࠆ஥㕙ࠍ૕㛎ߒߡ޿ߡ߽㧘⟤ߒߐߣߒߡᗵᓧߢ߈ࠆఽ┬࡮ ↢ᓤߣᗵᓧߢ߈ߥ޿ఽ┬࡮↢ᓤ߇಴ߡߊࠆߢ޽ࠈ߁‫ߪߢࠇߘޕ‬㧘ߤߩࠃ߁ߥవⴕ⚻㛎ࠍߒ ߡ޿ࠇ߫㧘࿑ᒻߦߟ޿ߡߩ⟤ߒߐࠍᗵᓧߢ߈ࠆߩߢ޽ࠈ߁߆‫⎇ᧄߢߎߘޕ‬ⓥߢߪ㧘਄ㅀߩ 㧡ߟߩ⟤ߒߐߦ㑐ࠊࠆ႐㕙ߦㆣㆄߢ߈ߥ޿⁁ᴫߢ㧘ఽ┬࡮↢ᓤ߇⹜ⴕ㍲⺋ߒߥ߇ࠄߐ߹ࠃ ߁⚻㛎߇⢄ⷐߢ޽ࠆߣ⠨߃ߚ‫ߜࠊߥߔޕ‬㧘߁߹ߊ޿߆ߥ޿࿎㔍ߥ⁁ᴫࠍఽ┬࡮↢ᓤߦ⚻㛎 ߒߡ߽ࠄ޿㧘ߘߩࠃ߁ߥ߁߹ߊ޿߆ߥ޿⁁ᴫ߇ߏߊ᥉ㅢߦ⿠ߎࠅ߁ࠆߎߣࠍ⹺⼂ߔࠆࠊߌ ߢ޽ࠆ‫⚻ߥ߁ࠃߩߎޕ‬㛎ࠍ⼾ንߦߔࠆߎߣߦࠃߞߡ㧘ߘ߁ߢߥ޿⟤ߒߐߦ㑐ࠊࠆ஥㕙ߦㆣ ㆄߒߚߣ߈㧘ࠃࠅᄙߊߩఽ┬࡮↢ᓤ߇⟤ߒߐࠍᗵᓧߢ߈ࠆߩߢߪߥ޿߆ߣ⠨߃ߚࠊߌߢ޽ ࠆ‫ޕ‬ฦ‫ߡ޿ߟߦߐߒ⟤ߩޘ‬㧘ߤߩࠃ߁ߥ࿎㔍ࠍఽ┬࡮↢ᓤߦ⚻㛎ߒߡ߽ࠄ߃߫ࠃ޿߆ࠍ․ ቯߒߡ㧘ᜰዉࠍⴕߞߡ޿ߊᔅⷐ߇޽ࠆ‫ޕ‬ ԙ‫ߦޠߐߒ⟤ޟ‬㑐ࠊࠆ੐ᨩࠍ⷗಴ߔ ᰴߦ㧘਄⸥ߩࠃ߁ߥ߁߹ߊ޿߆ߥ޿⁁ᴫߩਛߢ㧘ఽ┬࡮↢ᓤߩ⠨߃߇ᒁ߈㊄ߦߥߞߡ㧘 ⟤ߒߐߦ㑐ࠊࠆ႐㕙ߦㆣㆄߢ߈ࠆࠃ߁ߥ႐㕙⸳ቯࠍᎿᄦߔࠆ‫ޕ‬ ‫߇ߣߎߚߞ߆ߥ߆޿ߊ߹߁ޟ‬㧘 ߎࠎߥ㘑ߦ߁߹ߊ޿ߊߩ߆‫⸃ߚߞ޿ߣޠ‬᳿ߩㆊ⒟ࠍఽ┬࡮↢ᓤ߇⚻㛎ߢ߈ࠆࠃ߁ߦߔࠆࠊ ߌߢ޽ࠆ‫ߦߐߒ⟤ޕ‬㑐ࠊࠆ஥㕙ߦߥ߆ߥ߆ㆣㆄߢ߈ߥ޿⁁ᴫߦ߅޿ߡ㧘ߤߩࠃ߁ߥ⊒໧ࠍ ⴕ޿㧘ߤߩࠃ߁ߥఽ┬࡮↢ᓤߩ⠨߃ࠍขࠅ਄ߍߡ㧘⸃᳿߳ߣዉ޿ߡ޿ߊ߆߇⺰ὐߣߥࠆ‫ޕ‬ ఽ┬࡮↢ᓤ߆ࠄ㧘‫߅ޟ‬㨪㧍‫޿ߏߔޟޠ‬㧍‫ߩ╬ޠ‬ჿ߇⡞ߎ߃ࠆࠃ߁ߥ႐㕙ࠍ޿߆ߦ⸳ቯߔࠆ߆ ࠍ⠨߃ߡ޿ߊᔅⷐ߇޽ࠆ‫ޕ‬ Ԛ ࠃߐࠍᝄࠅ㄰ࠆ‫ޕ‬A ߣ nonA ߩኻᲧ  ᷙᴋߣߒߚ⁁ᴫ߆ࠄ㧘⟤ߒߐߦ㑐ࠊࠆ஥㕙ࠍ⚻㛎ߔࠆߎߣߪ㊀ⷐߢ޽ࠆ߇㧘ߘࠇߛߌߢ ߪ㧘૗߇ߤߩࠃ߁ߦ⟤ߒ޿ߩ߆ࠍᗵᓧߔࠆߎߣߪߢ߈ߥ޿‫ߩߢ߹ࠇߎޕ‬ᵴേࠍᝄࠅ㄰ࠅ㧘 ૗߇߁߹ߊ޿߆ߥ߆ߞߚߩ߆㧘ߘߒߡ㧘ߤߩࠃ߁ߥ⠨߃ߦࠃߞߡ㧘߁߹ߊ޿ߊࠃ߁ߦߥߞ ߚߩ߆╬ࠍᝄࠅ㄰ࠆߎߣ߇⢄ⷐߢ޽ࠆ‫ޕ‬ᝄࠅ㄰ࠅߦࠃߞߡ㧘⋥ⷰ⊛ߦⴕߞߡ޿ߚߎߣߦℂ 3. 19.

(25) 20 池田敏和・馬場裕・橋本吉彦・岩立忠・藤原大樹・石谷優行・橋本吉貴・峰野宏祐・東谷洵・五十嵐潤・前田正男. ↱ߠߌ߇ߥߐࠇ㧘૗߇ߤ߁⟤ߒ޿ߩ߆ࠍᗵᓧߔࠆߎߣ߇ߢ߈ࠆ‫ߩߘޕ‬㓙㧘ࠢ࡜ࠬౝߢߩ⹤ ߒว޿ࠍㅢߒߡ㧘‫ࠍ⋡ߦߎߤޟ‬ઃߌߚ߆‫ޠ‬㧘‫ޟ‬૗߇ᧄ⾰ߥߩ߆‫߇ޠ‬᣿ࠄ߆ߦߐࠇߡ޿ߊࠃ߁ߥ ዷ㐿ࠍ⠨߃ߡ޿ߊᔅⷐ߇޽ࠆ‫ޕ‬ Υ㧚ਛ㜞╬ቇᩞߦ߅ߌࠆታ〣੐଀  ਄⸥ߩᜰዉߩᨒ⚵ߺࠍฃߌߡ㧘ਛቇᩞ㧘㜞╬ቇᩞߦ߅޿ߡ㧞ߟߩታ〣ࠍⴕߞߚ‫ޕ‬ 㧝㧚‫ޟ‬㡀⋡㄰ߒ‫ࠍޠ‬㗴᧚ߦߒߚᜰዉታ〣 㧔㧝㧕ὶὐࠍᒰߡࠆ࿑ᒻߦ߅ߌࠆ⟤ߒߐ ᧄታ〣ߢߪ㧘྾ⷺᒻߩ㡀⋡㄰ߒ㧘ߟ߹ࠅ㧘ߤࠎߥ྾ⷺᒻߢ߽ᰴߩࠕ㨪࠙ߩᠲ૞ࠍⴕ߁ߣ ߔߴߡᐔⴕ྾ㄝᒻߦᄌᒻߢ߈ࠆߣ޿߁࿑ᒻߩᕈ⾰ࠍ↢ᓤ⥄りߦ૞ᬺ╬ࠍㅢߒߡ⊒⷗ߐߖ㧘 ᣢ⠌ࠍ↪޿ߡ⸽᣿ߒߡ޿ߊ‫ޕ‬ . ࠕ㧚྾ⷺᒻߩኻㄝߩਛὐࠍ⚿ࠎߢಾࠆ‫ޕ‬ ࠗ㧚ߢ߈ߚ 4 ᨎߩ྾ⷺᒻߩ߁ߜߩ 3 ᨎࠍ㧘ߟߥ߇ߞߡ޿ࠆ㗂ὐࠍਛᔃߦ࿁ォ⒖േ ߐߖࠆ‫ޕ‬ ࠙㧚ㄝߣㄝߣ߇߁߹ߊ㊀ߥࠆࠃ߁ߦߟߥߍࠆ‫ޕ‬. 䈇. 䈋. o. c n g i h. j. i. Ͱ 䈉. j. k. h g. n. Ͱ o 䈉. 䈇. 䈅. p. 䈋. a b e f. d m. k p f a e b. m d 䈅. c. ߎߩᠲ૞ߢߪ㧘৻⥸ߩ྾ⷺᒻߪߔߴߡᐔⴕ྾ㄝᒻߦᄌᒻߔࠆ‫ߡߞࠃޕ‬㧘ᱜᣇᒻ߽㐳ᣇᒻ ߽ᐔⴕ྾ㄝᒻ߽บᒻ߽ߔߴߡᐔⴕ྾ㄝᒻߦߥࠆ‫߇ࠈߎߣޕ‬㧘ᱜᣇᒻࠍಾߞߡߟߥߍࠆߣᱜ ᣇᒻߦߥࠅ㧘㐳ᣇᒻࠍಾߞߡߟߥߍࠆߣ㐳ᣇᒻߦߥࠆߚ߼㧘ߎࠇࠄ߆ࠄ㘃ផߔࠆߣ‫ߣ߽ޟ‬ ߩ྾ⷺᒻߣหߓ⒳㘃ߩ྾ⷺᒻߦߥࠆ‫੍ߣޠ‬ᗐߢ߈ࠆ‫߇ࠈߎߣޕ‬㧘บᒻࠍಾߞߡߟߥߍࠆߣ บᒻߦߪߥࠄߕ㧘ᐔⴕ྾ㄝᒻߦߥߞߚࠅ㐳ᣇᒻߦߥߞߚࠅߔࠆ㧔㐳ᣇᒻ߽ᐔⴕ྾ㄝᒻߢ޽ ࠆ㧕‫↢ޕ‬ᓤߪ‫ߗߥޟ‬ᐔⴕ྾ㄝᒻߦᄌᒻߢ߈ࠆߩ߆㧫‫ޟߪ޿ࠆ޽ޠ‬㐳ᣇᒻߦᄌᒻߢ߈ࠆߩߪ߽ ߣߩ྾ⷺᒻ߇ߤߩࠃ߁ߥบᒻߩߣ߈߆㧫‫ߦߤߥޠ‬໧޿ࠍ߽ߟߎߣ߇੍ᗐߐࠇ㧘ߘߩᓟߩ⸽ ᣿㧘૞ᬺߣ޿ߞߚᢙቇ⊛ᵴേߩ߈ߞ߆ߌߠߊࠅߦߥࠅᓧࠆ‫ޕ‬ ߘߎߢᧄᤨߢߪ㧘ᱜᣇᒻ㧘㐳ᣇᒻߢ㡀⋡㄰ߒࠍ⠨߃ߚᓟߦ㧘ਥߚࠆ⺖㗴ߣߒߡบᒻߦߟ ޿ߡ⠨߃ߐߖ㧘ߘߩᓟ㧘ઁߩ྾ⷺᒻ޽ࠆ޿ߪ྾ⷺᒻએᄖߩ࿑ᒻߦߟ޿ߡᣂߚߥᕈ⾰߇ߥ޿ ߆ߤ߁߆ࠍ⊒ዷ⊛ߦ⠨ኤߒߡ޿ߊࠃ߁ߥዷ㐿ࠍታ⃻ߒߚ޿ߣ⠨߃ߚ‫߅ߥޕ‬㧘ᄌᒻߒߡߢ߈ ࠆᱜᣇᒻ߿㐳ᣇᒻߪߤߜࠄ߽ᐔⴕ྾ㄝᒻߩ․ᱶߥᒻߢ޽ࠅ㧘྾ⷺᒻߩ൮៨㑐ଥߦ⌕⋡ߒߡ ⷗ࠇ߫㧘ߘࠇࠄߪ೎‫⛔ߡߴߔߊߥߪߢߩ߽ߩޘ‬ว⊛ߦߣࠄ߃ࠆߎߣ߽ߢ߈ࠆ‫ߜࠊߥߔޕ‬㧘 4.

(26) 算数・数学科における図形についての美しさを感得させる教材開発とその指導. 21. ᣢ⠌ߩ⷗ᣇߩᵴ↪႐㕙ߣߥࠅ㧘ߘߩࠃߐߦ᳇ઃߊߎߣ߽ߢ߈ࠆߩߢ޽ࠆ‫ޕ‬ ߎߩࠃ߁ߦ㧘ᧄᤨߪ㧘྾ⷺᒻߩ㡀⋡㄰ߒߦߟ޿ߡ⊒ዷ⊛⠨ኤߣ⛔ว⊛⠨ኤࠍ➅ࠅ㄰ߔߎ ߣߦࠃߞߡ㧘ᰴߩ࿑ᒻߦߟ޿ߡߩ⟤ߒߐࠍᗵᓧߐߖࠆ߽ߩߢ޽ࠆ‫ޕ‬  㧔⟤ߒߐ㧞㧕৻⥸⊛ߦᚑ┙ߔࠆ࿑ᒻ⊛ᕈ⾰ߩ⟤ߒߐ  㧔⟤ߒߐ㧠㧕࿑ᒻᠲ૞╬ߦ߅ߌࠆ⌕ᗐߩ⟤ߒߐ  㧔㧞㧕ᜰዉߩ᭎ⷐ Ԙ ᣣᤨ ᐔᚑ  ᐕ㧝᦬  ᣣ㧔᳓㧕╙㧟ᩞᤨ㧘╙㧡ᩞᤨ㧔㧞ᤨ㑆ᛒ޿㧕 ԙ ᮮᵿ࿖┙ᄢቇᢎ⢒ੱ㑆⑼ቇㇱ㒝ዻᮮᵿਛቇᩞ㧞ᐕ $ ⚵ Ԛ නరฬ  ‫ޟ‬ਃⷺᒻߣ྾ⷺᒻ‫ޠ‬ ԛ ᢎ᧚ฬ  㡀⋡㄰ߒ 㨪บᒻ߆ࠄ৻⥸ߩ྾ⷺᒻ߳㨪 Ԝ ታᣉᤨᦼ ᐔⴕ྾ㄝᒻߩᕈ⾰㧘ᐔⴕ྾ㄝᒻߦߥࠆߚ߼ߩ᧦ઙ㧘޿ࠈ޿ࠈߥ྾ⷺᒻࠍ ቇ⠌ߒߚᓟߦⴕ߁‫ޕ‬ ԝ ᧄᤨߩ⋡ᮡ บᒻߩਛὐࠍ⚿ࠎߢಾߞߡ࿁ォߐߖߡߟߥߍࠆߣᐔⴕ྾ㄝᒻߦᄌᒻߔࠆߎߣߩℂ↱ࠍ㧘 ઒ቯ߿ᣢ⠌ߩᕈ⾰ࠍၮߦߒߡ⠨߃ࠆߎߣ߇ߢ߈ࠆ㧔ਥߦ╙㧝ᤨ㧕‫ޕ‬ บᒻએᄖߩ྾ⷺᒻ߇ߤߩࠃ߁ߥ࿑ᒻߦᄌᒻߔࠆ߆ࠍ㧘บᒻߩ႐วߦ㑐ㅪઃߌߥ߇ࠄ㧘 ⊒ዷ⊛㧘⛔ว⊛ߦ⠨߃ࠆߎߣ߇ߢ߈ࠆ㧔ਥߦ╙㧞ᤨ㧕‫ޕ‬ Ԟ ᧄᤨߩዷ㐿㧔ቇ⠌ᜰዉ᩺㧕 ‫╙ޝ‬㧝ᤨ‫ޞ‬ ቇ⠌ᵴേߣ ᝼ᬺ⠪ߩ⊒໧. ੍ᗐߐࠇࠆ↢ᓤߩਥߥ෻ᔕ. ᜰዉ਄ߩ⇐ᗧὐ㧔‫ڏ‬㧕 㧛 ⹏ଔ㧔٤㧕. 1㧚㡀⋡㄰ߒߩᠲ૞ࠍℂ ⸃ߒ㧘ᚑࠅ┙ߟᕈ⾰ ߩ⷗ㅢߒࠍ┙ߡࠆ‫ޕ‬ ዉ౉໧㗴  ᱜᣇᒻߩኻㄝߩਛὐࠍ⚿ࠎߢಾࠅ߹ߔ‫ ߚ߈ߢޕ‬4 ᨎߩ྾ⷺᒻߩ߁ߜߩ 3 ᨎࠍ㧘ߟߥ߇ߞߚ㗂ὐࠍਛᔃߦ㧘ㄝߣㄝߣ߇㊀ߥࠆࠃ߁ߦ࿁ォ⒖േߐߖߡߟߥߍߡ޿ ߈߹ߔ‫ޕ‬ 㧔㡀⋡㄰ߒߣ޿߁㧕ߔࠆߣ㧘߽ߣߩ࿑ᒻߪߤߩࠃ߁ߥ࿑ᒻߦᄌᒻߔࠆߢߒࠂ߁ ߆‫ߚ߹ޕ‬㧘㐳ᣇᒻߛߣߤߩࠃ߁ߥ࿑ᒻߦᄌᒻߔࠆߢߒࠂ߁߆‫ޕ‬ [৻ᢧ]㧔5 ಽ㧕. S㧦‫ޟ‬ᱜᣇᒻߥࠄᱜᣇᒻߦߥࠆ‫ޠޕ‬. ‫ڏ‬ታ㓙ߦෘ⚕ᮨဳࠍ. S㧦‫ޟ‬㐳ᣇᒻߥࠄ㐳ᣇᒻ߇ߢ߈ࠆ‫ޠޕ‬. 㤥᧼਄ߢേ߆ߒᠲ. S㧦‫߽ࠇߤޟ‬หߓ࿑ᒻߦߥࠆߣᕁ߁‫ޕ‬ ‫ޠ‬. ૞ࠍℂ⸃ߐߖࠆ‫ޕ‬. 2㧚ਥ໧㗴ࠍℂ⸃ߔࠆ ਥ໧㗴  บᒻߢ㡀⋡㄰ߒࠍߔࠆߣ㧘ߤߩࠃ߁ߥ࿑ᒻߦᄌᒻߔࠆߢߒࠂ߁߆‫ޠޕ‬ S㧦‫ޟ‬บᒻߛ߆ࠄบᒻߛ‫ޕ‬ ‫ޠ‬ 5. ‫੍ڏ‬ᗐࠍ┙ߡߚᓟ.

(27) 22 池田敏和・馬場裕・橋本吉彦・岩立忠・藤原大樹・石谷優行・橋本吉貴・峰野宏祐・東谷洵・五十嵐潤・前田正男. S㧦‫߿޿ޟ‬㧘㐳ᣇᒻߦߥࠆߣᕁ߁‫ޠޕ‬. ߦ㧘⚕ࠍಾߞߡ૞. S㧦‫ޟ‬ታ㓙ߦ૞ߞߚࠄ㐳ᣇᒻߛ‫ޠޕ‬. ᬺߒᬌ⸽ߐߖࠆ‫ޕ‬. S㧦‫ࠇ޽ޟ‬㧘ᐔⴕ྾ㄝᒻߦߥߞߚࠃ‫ޕ‬ ‫ޠ‬ S㧦‫߇ߜߞߤޟ‬ᱜߒ޿ߩ㧫‫ޠ‬ ‫ޟ‬㐳ᣇᒻߣᐔⴕ྾ㄝᒻ. S㧦 ‫ޟ‬㐳ᣇᒻߪᐔⴕ྾ㄝᒻߩખ㑆ߛ߆ࠄ㧘 ‫ڏ‬㐳ᣇᒻߣᐔⴕ྾ㄝ. ߩ㧞⒳㘃߇ߢ߈ߚࠃ. ᐔⴕ྾ㄝᒻ߇ߢ߈ߚߣ⸒ߞߡ޿޿ࠎ. ᒻߩߤߜࠄߦߥࠆ. ߁ߢߔ߇㧘㧞⒳㘃ߢ. ߓ߾ߥ޿߆ߥ‫ޠޕ‬. ߩ߆ࠍ⼏⺰ߐߖ㧘. ޿޿ߩߢߒࠂ߁߆‫ޠޕ‬. ྾ⷺᒻߩ൮៨㑐ଥ. [୘ੱ]㧔10 ಽ㧕. ࠍᒁ߈಴ߔ‫ޕ‬. 3㧚⷗޿ߛߒߚᕈ⾰ߩ⸽ ᣿ࠍ⠨߃ࠆ‫ޕ‬ ‫ޟ‬บᒻ߇ᐔⴕ྾ㄝᒻߦ ᄌᒻߔࠆℂ↱ࠍ⠨߃ ߹ߒࠂ߁‫ޠޕ‬ [୘ੱ]㧔25 ಽ㧕. S㧦‫ޟ‬ㄝ߇ᐔⴕߛ߆ࠄ㧫‫ޠ‬ S㧦‫ޟ‬྾ⷺᒻߦߥࠅ㧘ߐࠄߦ 2 ⚵ߩኻⷺ ߇╬ߒߊߥࠆ߆ࠄ‫ޠޕ‬ S㧦‫ޟ‬2 ⚵ߩኻㄝ߇╬ߒߊ߽ߥࠆࠃ‫ޕ‬ ‫ޠ‬. ‫ڏ‬ᐔⴕ྾ㄝᒻߦߥࠆ ℂ↱ߩ೨ߦ㧘྾ⷺ ᒻߦߥࠆℂ↱ࠍ⠨ ߃ࠆᔅⷐ߇޽ࠆߎ ߣࠍℂ⸃ߐߖࠆ‫ޕ‬. ‫ߦ߁ࠃߩߤޟ‬ℂ↱ࠍᦠ ޿ߡ޿ߊ߆ߦ࿎ߞߡ. S㧦‫ޟ‬㗂ὐࠍᢥሼߢ⴫ߔߣ㧘⸽᣿ࠍ߆ߊ ߣ߈ߦߣߡ߽ࠊ߆ࠅ߿ߔ޿‫ޠޕ‬. ٤บᒻ߇ᐔⴕ྾ㄝᒻ ߦᄌᒻߔࠆℂ↱. ޿ࠆੱ߇ᄙ޿ࠃ߁ߢ. ࠍ㧘઒ቯ߿ᣢ⠌ߩ. ߔ‫ޕ‬4 ੱ⃰ߦߥࠅ㧘੕. ᕈ⾰ࠍၮߦߒߡ⠨. ޿ߩ⴫⃻ߦߟ޿ߡ⷗. ߃ࠆߎߣ߇ߢ߈ߡ. ߖว޿㧘ࠃ޿ߣߎࠈ. ޿ࠆ߆‫⷗[ޕ‬ᣇ߿⠨. ࠍๆ෼ߒ߹ߒࠂ߁‫ޠޕ‬. ߃ᣇ]. [⃰]㧔10 ಽ㧕 ‫╙ޝ‬㧞ᤨ‫ޞ‬ ቇ⠌ᵴേߣ ᝼ᬺ⠪ߩ⊒໧ 㧝㧚⷗޿ߛߒߚᕈ⾰ߩ. ੍ᗐߐࠇࠆ↢ᓤߩਥߥ෻ᔕ S㧦ߢ߈ࠆ࿑ᒻߩౝㇱߦ㓗㑆߇ߢ߈ߥ޿. ⸽᣿ࠍ౒᦭ߔࠆ‫ޕ‬. ߎߣ㧘ߟߥߍߚㄝߩ㐳ߐ߇╬ߒ޿ߎ. ‫⸽ߥ߁ࠃߩߤޟ‬᣿߇ߢ. ߣ㧘ߢ߈ߚ྾ⷺᒻ߇ᐔⴕ྾ㄝᒻߦߥࠆ. ߈߹ߒߚ߆‫⺑ޕ‬᣿ߒ. ߎߣ㧘ߩ 3 ߟࠍ㗅ߦ⸽᣿ߢ߈ߡ޿ࠆ‫ޕ‬. ߡߊߛߐ޿‫ޕ‬ ‫ޠ‬ [৻ᢧ]10 ಽ. 6. ᜰዉ਄ߩ⇐ᗧὐ㧔‫ڏ‬㧕 㧛 ⹏ଔ㧔٤㧕.

(28) 算数・数学科における図形についての美しさを感得させる教材開発とその指導. 㧞㧚ઁߩ྾ⷺᒻߦߟ޿ ߡ⊒ዷ⊛ߦ⠨߃ࠆ‫ޕ‬ ‫ޟ‬บᒻએᄖߩ྾ⷺᒻߪ ߤߩࠃ߁ߥ࿑ᒻߦᄌ ᒻߔࠆߢߒࠂ߁߆‫ޠޕ‬ ‫ߪੱࠆ߈ߢޟ‬ℂ↱߽⠨. ‫ڏ‬ฦ⥄ߢ࿑ᒻࠍ᳿߼ S㧦‫ޟ‬ᐔⴕ྾ㄝᒻߥࠄᐔⴕ྾ㄝᒻߛ‫ޕ‬ ‫ޠ‬. ߡ૞ᬺߦขࠅ߆߆. S㧦‫ߒ߭ޟ‬ᒻߪ߭ߒᒻߦߥߞߚ‫ޠޕ‬. ࠄߖࠆ‫ޕ‬. S㧦‫ߩ⥸৻ޟ‬྾ⷺᒻߢ߽ᐔⴕ྾ㄝᒻߦߥ ߞߚ㧍‫ޠ‬. ٤ઁߩ྾ⷺᒻߥߤߦ ߟ޿ߡ⊒ዷ⊛ߦ⠨. S㧦‫ޟ‬ಳ྾ⷺᒻ߽ᐔⴕ྾ㄝᒻߦߥߞߚ. ⸼㧝. ‫ޠ‬. ߃߹ߒࠂ߁‫ޕ‬ ‫ޠ‬. ߃ࠄࠇߡ޿ࠆ߆‫ޕ‬ 㨇⷗ᣇ߿⠨߃ᣇ㨉. [୘ੱ]㧔30 ಽ㧕 㧟㧚ᧄᤨࠍᝄࠅ㄰ࠆ‫ޕ‬ ‫ߥࠈ޿ࠈ޿ޟ‬྾ⷺᒻߢ 㡀⋡㄰ߒࠍߒߡᄌᒻ. S㧦‫ߥࠎߤޟ‬྾ⷺᒻߢ߽ᐔⴕ྾ㄝᒻߦߥ ࠆߣ޿߃ࠆ㧍‫ޠ‬. ٤྾ⷺᒻߩ൮៨㑐ଥ ߦၮߠ޿ߡ㧘᭽‫ޘ‬. ߒߚ྾ⷺᒻ߿ߘߩℂ. S㧦‫ޟ‬ਇᕁ⼏㧍 ߔߏ޿㧍‫ޠ‬. ߥ྾ⷺᒻࠍᐔⴕ྾. ↱ߩ⺑᣿ࠍ⷗ߡ᳇ઃ. S㧦‫ޟ‬ℂ↱ߩ⺑᣿㧔⸽᣿㧕ߪบᒻߩߣ߈. ㄝᒻߣߒߡ⛔ว⊛. ߊߎߣߪ޽ࠅ߹ߔ. ߣหߓߢ޿޿ߣᕁ߁‫ޠޕ‬. ߆‫ޠޕ‬. ߦߣࠄ߃ࠄࠇߡ޿ ࠆ߆‫⷗[ޕ‬ᣇ߿⠨߃. [ో૕]㧔10 ಽ㧕. ᣇ].  㧔㧟㧕ᜰዉ਄ߩ⇐ᗧὐ Ԙఽ┬࡮↢ᓤߦ࿎㔍ࠍᗵߓߐߖࠆ ߽ߣߩ࿑ᒻࠍಾߞߡߟߥߍߡᄌᒻߔࠆߣߤߩࠃ߁ߥ࿑ᒻߦߥࠆߩ߆㧘ᔨ㗡ᠲ૞ߢߪኈᤃ ߦߪ੍ᗐߢ߈ߥ޿⚻㛎ࠍߐߖࠆߎߣ߇ᄢಾߢ޽ࠆ‫ߦ߼ߚߩߘޕ‬㧘ߢ߈ࠆߛߌ↢ᓤߩ⚛ᧉߥ ੍ᗐࠍᄙᢙᒁ߈಴ߒ㧘ታ㓙ߦᬌ⸽ߒߚߣ߈ߦᗧᄖᕈࠍᗵߓࠄࠇࠆࠃ߁ߦߔࠆ‫ޕ‬ ߹ߚ㧘บᒻ߇ᐔⴕ྾ㄝᒻߦᄌᒻߔࠆℂ↱ࠍ⸽᣿ߔࠆߎߣߪ㧘↢ᓤߦߣߞߡ߿߿࿎㔍ߥߎ ߣߢ޽ࠆ‫ߩߎޕ‬࿎㔍ߦ┙ߜะ߆޿㧘⸽᣿ࠍචಽߦℂ⸃ߒߡ߅ߊߎߣ߇㧘ߘߩᓟߩบᒻએᄖ ߩ⊒ዷ⊛㧘⛔ว⊛ߥ⠨ኤߦ߽↢߆ߐࠇࠆ‫⸥ߪߢᤨᧄޕ‬ㅀ⊛ߥ⸽᣿ߦߎߛࠊߞߚᜰዉࠍⴕߞ ߚ߇㧘↢ᓤߩታᘒࠍ㐓ߺࠆߣ㧘ญ㗡ߦࠃࠆ⸽᣿ߢ߽චಽߢ޽ߞߚߣᕁࠊࠇࠆ‫ޕ‬ ԙ‫ߦޠߐߒ⟤ޟ‬㑐ࠊࠆ੐ᨩࠍ⷗಴ߔ ੍ᗐߐߖ㧘ታ㓙ߦ૞ᬺߢ⏕߆߼ߐߖࠆ‫ޕ‬೨ㅀߒߚ߇㧘ᱜߒ޿੍ᗐ߇࿎㔍ߥ⚻㛎㧘߹ߚ੍ ᗐߣᬌ⸽ࠍ➅ࠅ㄰ߔ⚻㛎ߦࠃࠅ㧘੍ᗐᄖߩ⚿ᨐߦኻߔࠆ⟤ߒߐࠍᗵᓧߐߖࠄࠇࠆ‫ޕ‬ ߹ߚ㧘บᒻ߇ᐔⴕ྾ㄝᒻߦᄌᒻߔࠆߎߣߩ⸽᣿ࠍߓߞߊࠅ⠨߃ߐߖࠆࠃ߁ߦߔࠆ‫ޕ‬บᒻ ߩߣ߈ߩ⸽᣿ࠍߒߞ߆ࠅℂ⸃ߔࠆߎߣߢ㧘บᒻએᄖߩ྾ⷺᒻߢ⠨߃ߚߣ߈ߦ㧘บᒻߩߣ߈ ߩ⸽᣿߇ߎߩ႐ว߽ㅢ↪ߔࠆߎߣߦ᳇ઃ߈㧘⸽᣿ߩ৻⥸ᕈߦ㑐ࠊࠆ⟤ߒߐࠍᗵᓧߐߖࠄࠇ ࠆߣ⠨߃ࠄࠇࠆ‫ޕ‬ Ԛࠃߐࠍᝄࠅ㄰ࠆ‫ޕ‬# ߣ PQP# ߩኻᲧ ᧄᤨߢߪ㧘੍ᗐߦ෻ߒߡบᒻ߿৻⥸ߩ྾ⷺᒻ߇ᐔⴕ྾ㄝᒻߦߥࠆߎߣߩ⟤ߒߐࠍᗵᓧߐ ߖߚ߆ߞߚ‫ߦ߼ߚߩߘޕ‬㧘ᧄ᧪ߥࠄ߫㧘೎ߩಾࠅᣇߥߤߢบᒻ߇྾ⷺᒻߦߥࠄߥ޿⚻㛎߿ ․ᱶߥ྾ⷺᒻߦߥࠄߥ޿⚻㛎ࠍߐߖࠆߴ߈ߢ޽ߞߚ‫ߪߣߎߩߎޕ‬㧘บᒻ߿ઁߩ྾ⷺᒻ߇ߔ ߴߡᐔⴕ྾ㄝᒻߦᄌᒻߔࠆߎߣߩᗧᄖᕈߦࠃࠆ⟤ߒߐࠍࠃࠅ޿ߞߘ߁⺃⊒ߔࠆߛߌߢߥߊ㧘 7. 23.

(29) 24 池田敏和・馬場裕・橋本吉彦・岩立忠・藤原大樹・石谷優行・橋本吉貴・峰野宏祐・東谷洵・五十嵐潤・前田正男. บᒻ߇྾ⷺᒻߦᄌᒻߔࠆߎߣࠍ⸽᣿ߔࠆᔅⷐᕈࠍᗵᓧߐߖࠆᚻߛߡߦߥ ࠅᓧࠆߣ⠨߃ࠆ‫੹ޕ‬ᓟ㧘ߎߩኻᲧࠍ޿߆ߦ᝼ᬺߦ⚵ߺㄟࠎߢ޿ߊ߆߇⺖㗴 ߣߥࠆ‫ޕ‬ ԛ⹏ଔ ᧄᤨߢߪ㧘ߤߩߊࠄ޿ߩഀวߩ↢ᓤ߇࿑ᒻߦߟ޿ߡߩ⟤ߒߐࠍᗵᓧߔࠆ ߎߣ߇ߢ߈ߚ߆ߦߟ޿ߡ㧘㊂⊛ߦ⹏ଔߪߒߡ޿ߥ޿‫ߒ߆ߒޕ‬㧘↢ᓤ߇࿑ᒻ. ೎ߩಾࠅᣇߩ଀. ߩᕈ⾰ߩᗧᄖᕈ߿⸽᣿ߩㅢ↪ᕈߦ㛳ߊᆫ߿㧘৻⥸ߩ྾ⷺ ᒻ߿ಳ྾ⷺᒻߢᐔⴕ྾ㄝᒻߦߥࠆߎߣࠍ⷗޿ߛߒߡᗵ ỗߔࠆᆫ㧘ਃⷺᒻ߿౐ⷺᒻࠍૃߚ߈ࠅᣇߢಾߞߡߟߥߍ ࠆߎߣߢᣂߚߥ࿑ᒻߦߥࠆߎߣࠍ⊒⷗ߒᗵགྷߔࠆᆫ㧘ߎ ࠇࠄߩ෹㆐ߩ⊒⷗ࠍ㐓⾨ߒⶋ߼⒓߃ࠆᆫߥߤ߆ࠄ㧘ߨࠄ ޿ߣߒߚ 2 ߟߩ⟤ߒߐࠍ߆ߥࠅᄙߊߩ↢ᓤߦᗵᓧߐߖ ࠄࠇߚߩߢߪߥ޿߆ߣផ᷹ߒߡ޿ࠆ‫ޕ‬ 㧞㧚ࡌࠢ࠻࡞ߦ߅ߌࠆᜰዉታ〣 㧔㧝㧕ὶὐࠍᒰߡࠆ࿑ᒻߦ߅ߌࠆ⟤ߒߐ ‫ޟ‬㧔⟤ߒߐ㧞㧕৻⥸⊛ߦᚑ┙ߔࠆ࿑ᒻ⊛ᕈ⾰ߩ⟤ߒߐ‫ޠ‬. ಳ྾ⷺᒻߦ㑐ߔࠆ↢ᓤ⥄ਥ࡟ࡐ࡯࠻ߩ ৻ㇱ‫⸽ޕ‬᣿߿⛔ว⊛⠨ኤ߽ߒߡ޽ࠆ‫ޕ‬྾ ⷺᒻߩ৻㗂ὐࠍኻⷺ✢਄ߦേ߆ߔߣ㧘ਃ ⷺᒻࠍ྾ⷺᒻߣ⷗ࠆߎߣ߽ߢ߈ࠆ‫߹ߟޕ‬ ࠅ㧘ਃⷺᒻ߽ᐔⴕ྾ㄝᒻߦᄌᒻߢ߈ࠆ‫ޕ‬. ߩ‫ޟ‬ԙ࿑ᒻࠍᢙቇ⊛ߦ⠨ኤߔࠆߎߣߦࠃࠅ㧘ⶄᢙߩ࿑ᒻߦ৻⥸⊛ߦᚑࠅ┙ߟᕈ⾰㧘޽ࠆ޿ ߪ㧘․ቯߩ࿑ᒻߦᚑࠅ┙ߟ․ᱶߥᕈ⾰ߦ⇊ᢘߩᔨࠍᗵߓߣࠇࠆᖱᗧ⊛లታᗵ‫ߦޠ‬ὶὐࠍᒰ ߡࠆ‫ޕ‬ 㧔㧞㧕ᜰዉߩ᭎ⷐ Ԙ 㤥᧼ߣ࠴࡚࡯ࠢߦࠃࠆ᝼ᬺ  ߹ߕ㧘ㅢᏱߤ߅ࠅ㤥᧼ߣ࠴࡚࡯ࠢߦࠃࠅ᝼ᬺࠍㅴ߼ߡ޿ߊ‫ߪߣ࡞࠻ࠢࡌޟޕ‬૗߆‫޿ߣޠ‬ ߁⹤ࠍㅢߒߡ⥝๧ࠍᜬߚߖߡ޿ߞߚ‫ޕ‬ ԙ ࠰ࡈ࠻‫ࠆࠃߦޠ᧼⊕࡞࠻ࠢࡌޟ‬᝼ᬺ ࡌࠢ࠻࡞ߘߩ߽ߩߦ⸅ࠇߡߺࠆߣ޿߁ᗵⷡ ߪ㧘ߘࠇߎߘ㤥᧼ߣ࠴࡚࡯ࠢߩ᝼ᬺߢߪ㧘๧ ࠊ߁ߎߣ߇ߢ߈ߥ޿ߎߣߢ޽ࠆ‫ࡌޟߢߎߘޕ‬ ࠢ࠻࡞⊕᧼ ⸼㧞 ‫࠻ࠢࡌߡ޿↪ࠍ࠻ࡈ࠰߁޿ߣޠ‬ ࡞ߘߩ߽ߩߦ⸅ࠇߡߺࠆᗵߓࠍ૕㛎ߒߡ߽ࠄ ߞߚ‫ߩࠬ࠙ࡑޕ‬ฝࠢ࡝࠶ࠢߢࡌࠢ࠻࡞ߩᆎὐ ߿⚳ὐࠍࠢ࡝࠶ࠢߔࠆߣ㧘ࡑ࡯ࠢ‫⴫߇ޠغޟ‬ ␜ߐࠇ㧘ߘࠇࠍ࠼࡜࠶ࠣߔࠆߣ㧘޽ߚ߆߽⥄ ಽߢࡌࠢ࠻࡞ࠍᠲ૞ߒߡ޿ࠆᗵⷡ߇๧ࠊ߃ࠆ ߣ޿߁ࠊߌߢ޽ࠆ‫            ޕ‬࿑㧚ࡌࠢ࠻࡞⊕᧼ߩ╙৻ᱠ 㨠ߩ୯ࠍ޿ࠈ޿ࠈᄌൻ  ߘߒߡ㧘ࡌࠢ࠻࡞⊕᧼ߩ╙৻ᱠߣ߽⸒߁ߴ߈㨠ߩ୯ࠍ޿ࠈ޿ࠈߣᄌൻߐߖታᗵߒߡ߽ࠄ ߞߚ‫ߩߎޕ‬Ბ㓏ߦ߅޿ߡ↢ᓤߚߜߩᗵᗐ߇એਅߢ޽ࠆ‫ޕ‬  8.

(30) 算数・数学科における図形についての美しさを感得させる教材開発とその指導.  ࡮ࠦࡦࡇࡘ࡯࠲ࠍ૶߁ߣᄌൻ߇⋡ߦ⷗߃ߡ㕙⊕ߞߚ‫ޕ‬ ࡮േ޿ߡ޿ࠆߩࠍ⷗ࠆߩߪߣߡ߽ᭉߒ߆ߞߚ‫ޕ‬ ࡮⥄↱⥄࿷ߦࡌࠢ࠻࡞ࠍേ߆ߖߡ㕙⊕߆ߞߚ‫ޕ‬ ࡮㤥᧼ߢߪ⷗ࠄࠇߥ޿࿑ߢീᒝߢ߈ߡࠊ߆ࠅ߿ߔ޿ߒ⥄ಽߢᗐ௝ߟ߆ߥ޿ߎߣ߇ಽ߆ࠅ߿  ߔ߆ߞߚߢߔ‫ޕ‬ ࡮ߣߡ߽ᭉߒ߆ߞߚߢߔ‫ߪߢ߹੹ޕ‬ᐔ㕙ߢ㧘๧᳇ߩߥ޿߽ߩߛߞߚߩߢߔ߇㧘േ޿ߡ޿ࠆ ࠃ߁ߔࠍ⷗ࠆߎߣߢࠃࠅ㗡ߦ౉ߞߡ߈߹ߒߚ‫ߡߞ߿ߚ߹ޕ‬᰼ߒ޿ߢߔ‫ޕ‬ ࡮⥄ಽߢേ߆ߒߡߺࠆߣ㧘઀⚵ߺ߇ߥࠎߣߥߊಽ߆ߞߚ᳇߇ߒ߹ߔ‫ޕ‬⠨߃ࠄࠇࠆ߆ࠄᭉߒ  ޿ߢߔ‫ޕ‬ ࡮⋥ᗵ⊛ߦࡌࠢ࠻࡞ࠍ޿ߓߞߡ㨠ߩ୯ߢ㧘޿ࠈ޿ࠈߣࡌࠢ࠻࡞߇ᄌࠊࠆߩ߇߅߽ߒࠈ޿‫ޕ‬ ࡮㤥᧼ߩ࿑ߣ㆑޿㧘⥄ࠄ૞ࠇࠆߒ㧘⦡‫⥝ߣޘ‬๧߇ḝߊߩߢᤨ㑆߇ㅦߊᗵߓߚ㧍 ࡮੹ᣣߩ᝼ᬺߢታ㓙ߦࡌࠢ࠻࡞ߦ⸅ࠇߡേ߆ߒߡߺࠆߣ㧘ࡌࠢ࠻࡞ߩ⿷ߒ▚㧘ᒁ߈▚ߩᗧ  ๧߇ߔߏߊಽ߆ߞߚ᳇߇ߒ߹ߒߚ㧍ߣߦ߆ߊᭉߒ߆ߞߚߢߔۭ ࡮ᢙቇࠍ㆑߁ⷞὐ߆ࠄ⷗ࠆߎߣ߇಴᧪ߡ߅߽ߒࠈ߆ߞߚߢߔ‫⧰ߪࡦࠦ࠰ࡄޕ‬ᚻߢߔ߇㧘᝼  ᬺߦߟ޿ߡ޿ߌߡ⦟߆ߞߚߢߔ‫ޕ‬  ߎߩᲑ㓏ߦ߅޿ߡߪ㧘ࠦࡦࡇࡘ࡯࠲ᵴ↪ߦࠃߞߡ↢ᓤߚߜ߇ࡌࠢ࠻࡞ߣ޿߁߽ߩߦኻߒ㧘 ㅢᏱߩ㤥᧼ߣ࠴࡚࡯ࠢߩ᝼ᬺߢߪ๧ࠊ߁ߎߣߩߢ߈ߥ޿෻ᔕࠍ␜ߒߡ޿ߚ‫ޕ‬ Ԛ ࠦࡦࡇࡘ࡯࠲ᵴ↪ߦࠃࠆ↢ᓤߩή෻ᔕ ߐߡ㧘ߎߩࠃ߁ߥᗵᗐߩ޽ߣ㧘㤥᧼ߣ࠴࡚ ࡯ࠢߦࠃࠆ᝼ᬺ߇⛯޿ߚ‫ޕ‬ᢙቇ㧮ߪㆊ෰ߦᜂ ᒰߒߚߣ߈߽ߘ߁ߢ޽ࠆ߇㧘⺑᣿ߩᤨ㑆߇ߥ ߆ߥ߆ߣࠇߕߦ⧰ഭߔࠆ‫੹ޕ‬࿁߽หߓߢ޽ࠆ‫ޕ‬ ߘߒߡ㧢᦬ߩ޽ࠆᣣ㧘એਅߩ໧㗴ߩߣߎࠈࠍ ⸃⺑ߒߡ޿ߚ‫ٌޟޕ‬㧭㧮㧯ߦ߅޿ߡ㧘ㄝ㧭㧮 ࠍ㧝㧦㧞ߦౝಽߔࠆὐࠍ㧼㧘ㄝ㧭㧯ߩਛὐࠍ  ࿑3 ὐ㧼㧽㧾߇৻⋥✢਄ߦߥࠄ߱᭽ሶ 㧽㧘ㄝ㧮㧯ࠍ㧞㧦㧝ߦᄖಽߔࠆὐࠍ㧾ߣߔࠆ‫ޕ‬ ߎߩߣ߈㧘㧟ὐ㧼㧘㧽㧘㧾ߪ৻⋥✢਄ߦ޽ࠆߎߣࠍ⸽᣿ߖࠃ‫ ޠޕ‬㜞╬ቇᩞᢙቇ㧮ᡷ⸓ ໪ ᨋ㙚 ᢙ㧮  ᥉ㅢߤ߅ࠅ⺑᣿ߒ㧘24㧩23 ࠍ㤥᧼ߢ⸃⺑ߒߡ ߆ࠄࠞࡉ࡝ ⸼  ߦࠃࠅ㧟ὐ߇৻⋥✢਄ࠍㅢࠆߎߣࠍ ␜ߒߚ‫ߚ߹ޕ‬ห᭽ߦ㧘ߘߩ଀㗴㧤ߩਅߦ಴ߡ޿ࠆ ໧㗴‫ޟ‬ᐔⴕ྾ㄝᒻ㧻㧭㧮㧯ߦ߅޿ߡ㧘ㄝ㧻㧭ߩਛ ὐࠍ㧰㧘ኻⷺ✢㧻㧮ࠍ㧞㧦㧡ߦౝಽߔࠆὐࠍ㧱㧘 ㄝ㧻㧯ࠍ㧞㧦㧝ߦౝಽߔࠆὐࠍ㧲ߣߔࠆ‫ߣߩߎޕ‬ ߈㧘㧟ὐ㧰㧘㧱㧘㧲ߪ৻⋥✢਄ߦ޽ࠆߎߣࠍ⸽᣿ ߖࠃ‫                  ޠޕ‬࿑3 ὐ㧰㧱㧲߇৻⋥✢਄ߦߥࠄ߱᭽ሶ 9. 25.

(31) 26 池田敏和・馬場裕・橋本吉彦・岩立忠・藤原大樹・石谷優行・橋本吉貴・峰野宏祐・東谷洵・五十嵐潤・前田正男. ߎߩ໧㗴߽㧘↢ᓤߚߜ߇޽ࠆ⒟ᐲ㧘ᱜ⸃ࠍᓧࠄࠇߚߣߎࠈߢࡊࡠࠫࠚࠢ࠲ࠍ૶ߞߡࠞࡉ ࡝ࠍᤋߒߡߺߚ‫ޕ‬ ߒ߆ߒ㧘ߎߎߢ㛳޿ߚߎߣ߇⿠ߎߞߡߒ ߹߁‫↢ޕ‬ᓤߚߜ㧘⺕߭ߣࠅߣߒߡ㛳߈ߩ⴫ ᖱࠍ⴫ߐߥ߆ߞߚߩߢ޽ࠆ‫ޕ‬ᢎቶౝߪᐔὼ ߣ㕒߹ࠅ߆߃ࠅ⑳ߩ⺑᣿ࠍ᷆‫ߣޘ‬⡞޿ߡ޿ ߚ‫ޕ‬㛳޿ߡ޿ߚߩߪᢎຬߩ⑳߭ߣࠅߛߞߚ ߩ߆߽ߒࠇߥ޿‫ޟߪࠇߘޕ‬ਃὐ߇৻⋥✢਄ ߦਗ߱‫ߪ⽎⃻߁޿ߣޠ‬ᢎ⑼ᦠߦᦠ޿ߡ޽ࠅ㧘 ߎߩ᝼ᬺߩਛߢߪ⿠ߎࠆߴߊߒߡ⿠ߎߞߚ ࠊߌߢ޽ࠅ㧘↢ᓤߚߜߦߣߞߡߪోߊ⃟ߒ   ࿑㧚ᢎቶߩოߦᤋߒߡ⸃⺑ߒߡ޿ࠆ᭽ሶ ޿߽ߩߢߪߥߊ㧘ߚߛ᥉ㅢߩశ᥊ࠍ╩⠪߇ ࠦࡦࡇࡘ࡯࠲ࠍ૶ߞߡ␜ߒߡ޿ߚߦߔ߉ߥ߆ߞߚߩߢ޽ࠆ‫ޕ‬ ߎࠇ߹ߢ߽╩⠪ߪ㧘᭽‫ߥޘ‬᝼ᬺዷ㐿ߦ߅޿ߡࠦࡦࡇࡘ࡯࠲ࠍᵴ↪ߒߡ߈ߚ‫ߦ․ޕ‬ᢙቇΣ 2. ߦ߅޿ߡ y=ax 㧗bx+c ߩ a,b,c ߩࡄ࡜ࡔ࡯࠲ࠍᄌൻߐߖߚߣ߈ߥߤߪ޿ߟ߽᱑ჿ߇޽߇ߞ ߡ߈ߚ‫੹ޕ‬࿁ߩࠃ߁ߦ࿑ᒻߦ㑐ߒߡߩࠦࡦࡇࡘ࡯࠲ᵴ↪ߦ߅޿ߡߪ㧘ઍᢙ⊛ߥౝኈߦ߅ߌ ࠆࠦࡦࡇࡘ࡯࠲ߣߪ㆑ߞߚࠕࡊࡠ࡯࠴߇ᔅⷐߢ޽ࠆߣᗵߓࠆ‫ޕ‬ Ԛ  ᢙቇ㧭ߩᢎ⑼ᦠ߆ࠄ  ߎߎߢ㧘ᓐࠄ߇ᤓᐕᐲ૶↪ߒߚᢙቇ㧭ߩᢎ⑼ᦠࠍ⷗ߡߺࠆ‫ޕ‬ᐔ㕙࿑ᒻߩߣߎࠈߦ⌕⋡ߔ ࠆߣ㧘‫ޟ‬ቯℂ‫ߒ␜ࠍޠ‬㧘ߘࠇࠍ‫⸽ޟ‬᣿‫ߡߒޠ‬㧘ߘߩቯℂࠍ૶ߞߚ‫଀ޟ‬㗴‫ࡦ࡯࠲ࡄߊ⸃ࠍޠ‬ ߇ᄙ޿ߎߣ߇ࠊ߆ࠆ‫ᦨ߫߃଀ޕ‬ೋߦ಴ߡߊࠆ‫ٌޟ‬㧭㧮㧯ߩㄝ㧮㧯਄ߩὐ㧰ߦߟ޿ߡ㧘㧭㧰 ߇с㧭ߩ㧞╬ಽ✢Њ㧭㧮㧦㧭㧯㧩㧮㧰㧦㧰㧯‫ ޠ‬㜞╬ ቇ ᩞ ᢙ ቇ 㧭 ᡷ ⸓    ໪ ᨋ 㙚 ᢙ㧭  R ቯℂ  ߩ⸽᣿ߩߣߎࠈߢ޽ࠆ߇㧘ᢎᏧ↪ᜰዉᦠߢߪ‫ޟ‬RЈS‫ޟߣޠ‬SЈR‫ߩޠ‬ਔᣇࠍ߈ߜ ࠎߣᜰዉߔࠆࠃ߁ߦ޽ࠆ‫ࠆࠁࠊ޿ޕ‬Ṷ➈ਛᔃߩᜰዉߣ޿߁ᒻߦߥߞߡ޿ߡ㧘ߎߩ႐ว㧘  с㧭ߩ㧞╬ಽ✢߇㧭㧮㧦㧭㧯㧩㧮㧰㧦㧰㧯ࠍ૞ࠅ಴ߔᒻࠍ╙৻ߦᜬߞߡ߈ߡ߅ࠅ㧘ߘߩ႐ วߩ߅߽ߒࠈߐ㧘⟤ߒߐߦ㑐ߒߡߪㅀߴࠄࠇߡ޿ߥ޿‫ٌޕ‬㧭㧮㧯ߩㄝ㧮㧯ߦะ߆ߞߡ✢ࠍ ᒁߊߥࠄ߫㧘ᄖᔃࠍㅢࠆ႐ว߿㊀ᔃࠍㅢࠆ႐ว㧘ߐࠄߦౝᔃ߿ုᔃߢߪߤ߁ߛࠈ߁߆ߣ߆㧘 ߐࠄߦ‫ޟ‬с㧭ߩ㧟╬ಽ✢ߪ㧫‫߿ޠ‬㧘‫ޟ‬с㧭ߩ㧠╬ಽ✢ߪ㧫‫ߥ߁ࠃ߁޿ߣޠ‬Ꮻ⚊⊛ߥ⥝๧࡮ 㑐ᔃࠍࡌ࡯ࠬߣߒߚ᭽‫⇼ߥޘ‬໧߇⊒↢ߒߡ߽ࠃ޿႐㕙ߢ޽ࠆ‫ޕ‬ 㧔㧟㧕ᜰዉ਄ߩ⇐ᗧὐ  Ԙఽ┬࡮↢ᓤߦ࿎㔍ࠍᗵߓߐߖࠆ ߘ߽ߘ߽ᢙቇߩ᝼ᬺߩ޽ࠅᣇߦ߅޿ߡ㧘‫ߦ߆޿ޟ‬ᣧߊᱜ⸃ߦߚߤࠅ⌕ߊ߆‫ࠍޠ‬㐳ᐕ⚻㛎 ߒߡ߈ߚ㜞ᩞ↢Ბ㓏ߦ߅޿ߡߪ㧘࿑ᒻߪ‫ߩߺߒߩߚޟ‬ቲᐶ㧔ᷡች㧘2001㧕‫ࠆࠇࠊ⸒߽ߣޠ‬ ࠃ߁ߦ㧘᭽‫ߥޘ‬࿑ࠍឬ߆ߖߡߺࠆߎߣߛߣ⠨߃ࠆ‫߫߃଀ޕ‬ਃⷺᒻߩ㊀ᔃߩ૞࿑ߢ޽ߞߡ߽㧘 ᚒ‫߈ߣࠆߔࠍᦠ᧼߇ޘ‬㧘࠴࡚࡯ࠢࠍ↪޿ߡ޿ࠆ߆ࠄ㊀ᔃߪ৻⥌ߔࠆ‫ߒ߆ߒޕ‬㧘଀߃߫㧘㕖 Ᏹߦ⚦޿ࠪࡖ࡯ࡊࡍࡦߩ⧌ࠍ૶↪ߒߡᄢ߈ߥਃⷺᒻࠍឬ޿ߚߣߔࠇ߫ߤ߁ߢ޽ࠈ߁‫ޕ‬ኈᤃ ߦߪ৻⥌ߒߥ޿ߪߕߢ޽ࠆ‫ߚ߹ޕ‬㧘⑼⋡ߣߒߡ೎ߦߥࠆ߇ᢙቇΣߩਃⷺᲧߩᱜᒏቯℂߥߤ ߽㧘ታ㓙ߦਃⷺᒻࠍឬ߈ਃㄝߩ㐳ߐࠍ⸘ߞߡ㧘ะ߆޿޽߁ⷺߩ UKP ߩ୯ߢഀߞߡߺࠆߣ㧘 10.

(32) 算数・数学科における図形についての美しさを感得させる教材開発とその指導. ․ߦഀࠅ▚߇⛊߻ߎߣ߽޽ࠅ㧘㧟ߟߩᢙ୯ߪ৻⥌ߒߥ޿‫ޕ‬  ԙ‫ߦޠߐߒ⟤ޟ‬㑐ࠊࠆ੐ᨩࠍ⷗಴ߔ  Ԙߢߩ૞ᬺߣㅢߒߡ⠨߃ߡߺࠆߣ㧘㊀ᔃߩ⹤ߦߒߡ߽ᱜᒏቯℂߩ⹤ߦߒߡ߽㧘♖ᐲࠍ਄ ߍࠆߎߣ߿߹ߚߪ᦭ലᢙሼߩⷰὐ߆ࠄ㧘‫ޟ‬㧔ߎߩ૞࿑ߦ߅޿ߡߪ㧕৻⥌ߣߺߥߔ‫߁޿ߣޠ‬ ߎߣ߇ߢ߈ࠆߢ޽ࠈ߁‫ߡߒߘޕ‬೨ㅀߒߚߐࠄߦᄙߊߩ੐⽎ࠍ૞࿑ߔࠆߎߣߦࠃࠅ㧘ᢎ⑼ᦠ ߦ಴ߡ޿ࠆߎߣ߇ㆊ෰ߩஉੱߚߜߦࠃߞߡߺߟߌࠄࠇߚߔ߫ࠄߒ޿੐ᨩߢ޽ࠆߎߣߦ᳇ߠ ߊߎߣߢ޽ࠈ߁‫ࠍࠇߘߡߒߘޕ‬ᣧᦼߩᲑ㓏߆ࠄታᣉߒߡ޿ߊߎߣ߇⢄ⷐߢ޽ࠆ‫ޕ‬  Ԛࠃߐࠍᝄࠅ㄰ࠆ‫ޕ‬㧭ߣ PQP㧭ߩኻᲧ ߚߣ߃߫‫ٌޟ‬㧭㧮㧯ߦ߅޿ߡ㧘ㄝ㧭㧮ࠍ㧝㧦㧞ߦౝಽߔࠆὐࠍ㧼㧘ㄝ㧭㧯ߩਛὐࠍ㧽㧘 ㄝ㧮㧯ࠍ㧞㧦㧝ߦᄖಽߔࠆὐࠍ㧾ߣߔࠆ‫߈ߣߩߎޕ‬㧘 ὐ㧼㧘㧽㧘㧾ߪ৻⋥✢਄ߦ޽ࠆߎߣ ࠍ⸽᣿ߖࠃ‫߁޿ߣޠޕ‬໧㗴ߦ߅޿ߡ㧘৻ߟߩ᧦ઙߢ߽㆑ߞߚࠄਃὐߪ৻⋥✢਄ߦߪߥ޿ߣ ޿߁ߎߣࠍ㧘ታ㓙ߦ␜ߒߡߺࠆߎߣ߇ᄢಾߢ޽ࠆ‫ޕ‬  ԛ⹏ଔ ⃻Ბ㓏ߦ߅޿ߡ  ߩࠃ߁ߦ㧘૗߆߭ߣߟߩ᧦ઙࠍᄌൻߐߖߚߣߎࠈߢ㧘↢ᓤߚߜ߆ࠄߪ ‫ ޟ‬ὐߪ৻⋥✢਄ߦߪߥ޿ߩߪ޽ߚࠅ߹߃‫ߢߎߎޕ߁ࠈ޽ߢ߁߹ߒߡࠇࠊ⸒ߣޠ‬ᄢಾߥߎߣ ߪ㐳޿ᐕ᦬ࠍ߆ߌߡ࿑ᒻߣ޿߁߽ߩࠍ᭽‫ⷺߥޘ‬ᐲ߆ࠄ⷗ߡ߈ߚ↢ᓤߢ޽ࠇ߫㧘ߘࠇߛߌߢ ᄙߊߩ⍮⊛ᅢᄸᔃࠍḩߚߔߎߣߦߥࠆ‫ߘߎࠄ߆ߛޕ‬㐳޿ᐕ᦬ߢߩ࿑ᒻߩ⹜ⴕ㍲⺋ߪᄢಾߥ ߩߢ޽ࠆ‫ߒ߆ߒޕ‬ᄙߊߩ↢ᓤߚߜߪ೨ㅀߒߚࠃ߁ߦ‫ߦ߆޿ޟ‬ᣧߊᱜ⸃ߦߚߤࠅ⌕ߊ߆‫߇ޠ‬ ᔨ㗡ߦ޽ࠆ‫↢ߥ߁ࠃߩߘޕ‬ᓤߚߜߢ޽ߞߡ߽㧘૗߆߭ߣߟߩ᧦ઙࠍᄌൻߐߖߚߣߎࠈߢ㧘 ⥄ಽߥࠅߩ‫߫ࠇ޽ߢߣߎࠆ߈ߢ߇ޠ⷗⊒ޟ‬㧘⊒⷗ߣߣ߽ߦ㧘ߘߩ⟤ߒߐࠍᗵᓧߢ߈ࠆߣ⠨ ߃ࠆ‫ޟ߫߃଀ޕ‬ᷡችߩቯℂ㧔ᷡች㧘2001㧕‫ߢ࡝ࡉࠞࠍޠ‬ᬌ⸽ߒࠃ߁ߣߒߡ޿ߡ㧘ߘߩㅜਛ ߢ೎ߩ  ὐ߇৻⋥✢਄ߦਗࠎߢ޿ࠆߎߣࠍ‫ޕࠆ޽ߢߣߎࠆߔࠅߚߒޠ⷗⊒ޟ‬  Φ㧚ዊቇᩞᲑ㓏߆ࠄ㜞╬ቇᩞᲑ㓏ߦ߅ߌࠆᢎ᧚㐿⊒  ዊቇᩞᲑ㓏ߩᢎ᧚ 2 ὐ㧘ਛ࡮㜞╬ቇᩞᲑ㓏ߩᢎ᧚ࠍ 3 ὐ㐿⊒ߒߚ‫ޕ‬㗅ߦ⺑᣿ߒߡ޿ߊ‫ޕ‬ 㧝㧚ᱜᣇᒻ߇ᄌり㧍 㧔㧝㧕ᢎ᧚ߩ૏⟎ߠߌ Ԙ ቇᐕ   ዊቇᩞ╙㧡ቇᐕ ԙ 㑐ㅪනర ྾ⷺᒻߣਃⷺᒻߩ㕙Ⓧ 㧔㧞㧕ὶὐࠍᒰߡࠆ࿑ᒻߦ߅ߌࠆ⟤ߒߐ ‫ޟ‬㧔⟤ߒߐ㧠㧕࿑ᒻᠲ૞╬ߦ߅ߌࠆ੍ᗐᄖߩ⌕ᗐߩ⟤ߒߐ‫ߦޠ‬ὶὐࠍᒰߡࠆ‫ޕ‬ ࿑ᒻߩ㕙Ⓧߩቇ⠌ߪ╙㧡ቇᐕߢߔࠆ‫ޕ‬ਃⷺᒻ߿྾ⷺᒻࠍ╬Ⓧᄌᒻ߿୚Ⓧᄌᒻߩ⠨߃ࠍ↪ ޿ߡᣢ⠌ߩᒻߦᄌ߃ߡ㕙Ⓧࠍ᳞߼ࠆ‫ߩߎޕ‬ᄌᒻߩߒ߆ߚߪ㊀ⷐߥࠕࠗ࠺ࠖࠕߢ޽ࠆ߇㧘ߥ ߆ߥ߆ఽ┬ߦቯ⌕ߒߠࠄ޿ߣߎࠈߢ߽޽ࠆ‫ߪࠇߘޕ‬㧘ߎߩࠕࠗ࠺ࠖࠕ߇ߎߩනరߩઁߦߪ ⶄว࿑ᒻߩ㕙Ⓧ߿૕Ⓧߩቇ⠌એᄖ޽߹ࠅ૶ࠊࠇߥ޿ߣ޿߁ὐ߇ේ࿃ߣߒߡ⠨߃ࠄࠇࠆ‫ޕ‬ ߎߩᢎ᧚ߢߪ㧘‫ޟ‬ਃⷺᒻ࡮྾ⷺᒻψᱜᣇᒻ‫ߩޠ‬ㅒߩᠲ૞ࠍߔࠆ⚻㛎ࠍߐߖࠆ‫ޕ‬ᱜᣇᒻࠍ╬ Ⓧᄌᒻߒߡਃⷺᒻ߿྾ⷺᒻߦߔࠆߎߣߢ㧘࿑ᒻ⋧੕ߩ㑐ଥࠍࠃࠅℂ⸃ߔࠆߎߣ߇ߢ߈ࠆߣ ߣ߽ߦ㧘৻ߟߩᱜᣇᒻ߇᭽‫ߥޘ‬ᒻߦᄌࠊߞߡ޿ߊ㕙⊕ߐ߇޽ࠆ‫ޕ‬ 11. 27.

(33) 28 池田敏和・馬場裕・橋本吉彦・岩立忠・藤原大樹・石谷優行・橋本吉貴・峰野宏祐・東谷洵・五十嵐潤・前田正男. ߹ߚ㧘ߘࠇߙࠇߩ⺖㗴ߪᄌᒻߐߖࠆᒻߛߌߢߪߥߊ㧘ᢙ୯ࠍ౉ࠇߡ޿ࠆ‫ߪࠇߎޕ‬㧘ߘߩ ᢙ୯ࠍ߽ߣߦߒߡ⺰ℂ⊛ߦ⠨߃ࠆߎߣ߇ߢ߈ࠆߚ߼ߢ޽ࠆ‫ޟޕ‬㧝㧞㨏㨙‫߫ࠇ޽ߣޠ‬㧘߽ߣߩ ᱜᣇᒻߩ㧝ㄝߩ㧞୚ߢ޽ࠅ㧘╬Ⓧᄌᒻࠍߒߡㄝ߇㧞ߟಽߦߥࠆࠃ߁ߦߔࠇ߫ࠃ޿‫ⷺޕ‬ᐲߦ ߟ޿ߡ߽㧘㧥㧜ᐲߩㇱಽ㧘㧠㧡ᐲߩㇱಽߥߤ㧘㎛ߣߥࠆⷺᐲߦ⌕⋡ߒߡ⠨߃ࠆߎߣ߇ߢ߈ ࠆ‫ޕ‬ᱜᣇᒻࠍߤ߁ಾߞߡᔅⷐߥ㐳ߐ߿ⷺᐲࠍ૞ࠆߩ߆㧘᭴ᚑⷐ⚛ߦ⌕⋡ߒߡ⠨߃ߡ޿ߊ㕙 ⊕ߐ߽޽ࠆ‫ޕ‬ 㧔㧟㧕ᢎ᧚ߩ᭎ⷐ. 㧝ㄝ߇㧢㨏㨙ߩᱜᣇᒻ߇޽ࠅ߹ߔ‫ޕ‬ ߎߩᱜᣇᒻࠍ㧝࿁ߛߌಾߞߡ ޿ࠈ޿ࠈߥᒻߦᄌりߐߖ߹ߒࠂ߁‫ޕ‬. Ԙ 㐳ᣇᒻ‫ߡߚޟ‬㧟㨏㨙㧘ᮮ㧝㧞㨏㨙ߩ㐳ᣇᒻ‫ޠ‬㧦ߚߡߪ߽ߣߩᱜᣇᒻߩ㧝ㄝߩඨಽ㧘ᮮߪ 㧞୚ߩ㐳ᣇᒻߦᄌᒻߐࠇࠆ‫ޕ‬. ԙ ⋥ⷺੑ╬ㄝਃⷺᒻ‫ޟ‬ᢳㄝ㧝㧞㨏㨙ߩ⋥ⷺੑ╬ㄝਃⷺᒻ‫ޠ‬㧦ᢳㄝ߇߽ߣߩᱜᣇᒻߩ㧝ㄝߩ 㧞୚㧘㧠㧡ᐲߩⷺᐲ߇㧞ࡩᚲߩ⋥ⷺਃⷺᒻߦᄌᒻߢ߈ࠆ‫ޕ‬   . Ԛ ᐔⴕ྾ㄝᒻ‫ޟ‬ᐩㄝ㧢㨏㨙㧘㜞ߐ㧢㨏㨙ߩᐔⴕ྾ㄝᒻ‫ޠ‬ 㧦ᐩㄝ߽㜞ߐ߽߽ߣߩᱜᣇᒻߩ㧝 ㄝߦߥࠆᐔⴕ྾ㄝᒻߦᄌᒻߢ߈ࠆ‫ޕ‬. ԛ ⋥ⷺਃⷺᒻ‫ޟ‬ᐩㄝ㧢㨏㨙㧘㜞ߐ㧝㧞㨏㨙ߩ⋥ⷺਃⷺᒻ‫ޠ‬㧦ᐩㄝߪ߽ߣߩᱜᣇᒻߩ㧝ㄝ㧘 12.

(34) 算数・数学科における図形についての美しさを感得させる教材開発とその指導. 㜞ߐߪ㧞୚ߦߥࠆ⋥ⷺਃⷺᒻߦᄌᒻߢ߈ࠆ‫ޕ‬. Ԝ ߭ߒᒻ‫ޟ‬ኻⷺ✢ߩ㐳ߐ߇㧢㨏㨙ߩ߭ߒᒻ㧔㧞࿁ಾࠆ㧕‫ޠ‬㧦ኻⷺ✢߇߽ߣߩᱜᣇᒻߩ㧝ㄝ ߦߥࠆ߭ߒᒻߦᄌᒻߢ߈ࠆ‫ޕ‬.     ԝ บᒻ‫ޟ‬਄ᐩ㧟㨏㨙㧘ਅᐩ㧥㨏㨙ߩบᒻ㧔ⵣ㄰ߒ޽ࠅ㧕‫ޠ‬㧦਄ᐩߪ߽ߣߩᱜᣇᒻߩ㧝ㄝߩ ඨಽ㧘ਅᐩߪ 1.5 ୚ߦߥࠆบᒻߦᄌᒻߢ߈ࠆ‫ޕ‬. Ԟ 㐳ᣇᒻ‫ߡߚޟ‬㧠㨏㨙㧘ᮮ㧥㨏㨙ߩ㐳ᣇᒻ‫ޠ‬ 㧦ߚߡߪ߽ߣߩᱜᣇᒻߩ㧞/㧟୚㧘ᮮߪ 1.5 ୚ ߩ㐳ᣇᒻߦᄌᒻߢ߈ࠆ‫✢⋥ޕ‬㧝࿁ߢߪ૞ࠆߎߣ߇ߢ߈ߥ޿ࠕࠗ࠺ࠖࠕߩ㕙⊕ߐ߇޽ࠆᒻ ߢ޽ࠆ‫ޕ‬       . 㧞㧚ࠞࡦ࠲ࡌ࡝࡯࡮ࡄ࠭࡞ࠍ↪޿ߚ࿑ᒻߩ╬Ⓧᄌᒻ 㧔㧝㧕ᢎ᧚ߩ૏⟎ߠߌ Ԙ ቇᐕ ዊቇᩞ╙㧡ቇᐕ ԙ 㑐ㅪනర ྾ⷺᒻߣਃⷺᒻߩ㕙Ⓧ 㧔㧞㧕࿑ᒻߩ⟤ߒߐߣᢎ᧚ߣߩ㑐ㅪᕈ ‫ޟ‬㧔⟤ߒߐ㧠㧕㧦࿑ᒻᠲ૞╬ߦ߅ߌࠆ੍ᗐᄖߩ⌕ᗐߩ⟤ߒߐ‫ߦޠ‬ὶὐࠍᒰߡࠆ‫ޕ‬ ࿑ᒻߩ╬Ⓧᄌᒻߪ㧘╙㧡ቇᐕߩනర‫ޟ‬྾ⷺᒻߣਃⷺᒻߩ㕙Ⓧ‫ߢޠ‬㧘ᐔⴕ྾ㄝᒻ߿ਃⷺᒻ㧘 บᒻߥߤߩ㕙Ⓧࠍ᳞߼ࠆ㓙ߦ↪޿ࠄࠇࠆ⠨߃ᣇߢ޽ࠆ‫੹ޕ‬࿁⚫੺ߔࠆࠞࡦ࠲ࡌ࡝࡯࡮ࡄ࠭ ࡞ߢߪ㧘ᱜᣇᒻࠍᰴ㗁ߩ࿑㧔Ꮐ㧕ߩᚻ㗅ߦߒߚ߇ߞߡ㧡ᨎߩࡇ࡯ࠬߦಽഀߒ㧘ਗߴᦧ߃ࠆ ߣ㐳ᣇᒻ߿ᱜਃⷺᒻ߇ߢ߈ࠆ‫ޕ‬ਗߴᦧ߃ࠆߣ޿߁ᠲ૞߇㧘╬Ⓧᄌᒻߢ޽ࠅ㧘ఽ┬ߪ㐳ᣇᒻ ߿ᱜਃⷺᒻ߇ߢ߈ߚ⍍㑆ߦ੍ᗐᄖߩߢ߈ߏߣߦ㛳ߊߢ޽ࠈ߁‫ޕ‬ 13. 29.

(35) 30 池田敏和・馬場裕・橋本吉彦・岩立忠・藤原大樹・石谷優行・橋本吉貴・峰野宏祐・東谷洵・五十嵐潤・前田正男. 㧔㧟㧕ᢎ᧚ߩ᭎ⷐ ߎߩࡄ࠭࡞ߪ㧘╙ 68 ࿁ࡂࡦ࠭ࠝࡦ࡮ࡑࠬ⎇ⓥળߦߡᏒ⼱ჽ᳁߆ࠄ⚫੺ߐࠇߚ‫ߩ࡞࠭ࡄޕ‬ ⹦⚦ߦߟ޿ߡߪ㧘‫ޢ࡞࠭ࡄ࡮࡯࡝ࡌ࠲ࡦࠞޡ‬㧔࠺ࡘ࡯࠼࠾࡯㧘2009㧕ߦឝタߐࠇߡ޿ࠆ‫ޕ‬. ࿑㧚ᱜᣇᒻߩಽഀᚻ㗅            ࿑㧚㐳ᣇᒻ߳ߩ╬Ⓧᄌᒻ ᱜᣇᒻߩ↪⚕㧔᛬ࠅ⚕ߢࠃ޿㧕ߣਃⷺቯⷙ߹ߚߪಽᐲེࠍḰ஻ߔࠆ‫ޕ‬਄࿑Ꮐߩᚻ㗅ߦߒ ߚ߇ߞߡ㧘ᱜᣇᒻࠍ㧡ߟߩࡇ࡯ࠬߦಽഀߔࠆ‫ޕ‬Ԙᱜᣇᒻߩ⚕ࠍ↪ᗧߔࠆ‫ޕ‬ԙᱜਃⷺᒻࠍߟ ߊࠆ‫ޕ‬Ԛ㧱㧭㧩㧱㧲ߣߥࠆࠃ߁ߥὐ㧲ࠍߣࠆ‫ޕ‬ԛ㧭ߣ㧲ࠍ⚿߱‫ޕ‬Ԝ㧭㧲ӆ㧳㧰ߣߥࠆࠃ߁ ߥὐ㧳ࠍߣࠆ‫ޕ‬ԝ࿑ߩࠃ߁ߦಽഀߔࠆ‫ޕ‬ ߥ߅㧘ᱜਃⷺᒻ߳ߩ╬Ⓧᄌᒻߢߪ㧘ታ㓙ߦߪ㧞mm ߶ߤߩ⺋Ꮕ߇ߢ߈ࠆ‫ޕ‬ㄭૃ⊛ߦߪᱜ ਃⷺᒻߣ޿߃ࠆ߇㧘ᱜ⏕ߦߪᱜਃⷺᒻߣߪ޿߃ߥ޿‫ޕ‬ ߹ߚ㧘ᱜᣇᒻߣᱜਃⷺᒻߩ╬Ⓧᄌᒻߦ㑐ㅪߔࠆ⹤㗴ߣߒߡߪ㧘ᯅᧄ㧔2009㧕ߩ‫▚ޡ‬ᢙᢎ ⢒ේ⺰‫ߩޢ‬ਛߢ‫ޟ‬ᐔ㕙࿑ᒻߩᱜਃⷺᒻࠍหߓ㕙Ⓧߩᱜᣇᒻߦᄌᒻߔࠆߎߣߪኈᤃߦߢ߈ࠆ‫ޕ‬ ߘߩㅒ㧘ߔߥࠊߜᱜᣇᒻࠍหߓ㕙Ⓧߩᱜਃⷺᒻߦᄌᒻߔࠆߎߣߪ◲නߥߎߣߢߪߥ޿߇㧘 น⢻ߢ޽ࠆ‫ޕ‬ ‫߇ߣߎ߁޿ߣޠ‬ᜰ៰ߐࠇߡ޿ࠆ‫ޕ‬ 㧔㧠㧕⠨ኤ ᧄᢎ᧚ߦߟ޿ߡ㧘ᰴߩ 2 ὐࠍߨࠄ޿ߦ⺞ᩏࠍⴕ޿⠨ኤߒߚ‫ޕ‬ Ԙ ࠞࡦ࠲ࡌ࡝࡯࡮ࡄ࠭࡞ࠍ↪޿ߚ╬Ⓧᄌᒻߩ໧㗴ߦߟ޿ߡ㧘ᧄቇߩቇ↢߇૕㛎ߔࠆߎߣ ࠍㅢߒߡ㧘᦭ᗧ๧ߢ੍ᗐᄖߩ⌕ᗐߦᗵ㌏ߢ߈ࠆࠃ߁ߥ໧㗴ߢ޽ࠆ߆ߤ߁߆ࠍ⠨ኤߔࠆ ߎߣ‫ޕ‬ ԙ ࠞ࡝ࠠࡘ࡜ࡓߩਛߢߩ૏⟎ߠߌߦߟ޿ߡ⠨ኤߔࠆߎߣ‫ޕ‬ ↪޿ߚᚻ㗅ߪਅ⸥ߩㅢࠅߢ޽ࠆ‫ޕ‬ Ԙ ╬Ⓧᄌᒻߩ໧㗴ࠍ㧘᛬ࠅ⚕ࠍ↪޿ߡ૞ᬺ⊛࡮૕㛎⊛ߥ▚ᢙ⊛ᵴേࠍㅢߒߡℂ⸃ߐߖ㧘 ⾰໧⚕⺞ᩏߩౝኈ߆ࠄ㧘᦭ᗧ๧ߢ੍ᗐᄖߩ⌕ᗐߦᗵ㌏ߢ߈ߚ߆ߤ߁߆ࠍ⠨ኤߔࠆ‫ޕ‬ ԙ ╬Ⓧᄌᒻߩㆊ⒟ࠍㅊ߁ߎߣߦࠃߞߡ㧘ዊቇᩞ▚ᢙ⑼ߦ߅ߌࠆ㧘ߤߩනరߦ૏⟎ߠߌࠄ ࠇࠆߩ߆ࠍ⠨ኤߔࠆ‫ޕ‬ 14.

(36) 31. 算数・数学科における図形についての美しさを感得させる教材開発とその指導. Ԙߦߟ޿ߡߪ㧘‫ޟ‬㧟㧚࿑ᒻߩ⟤ߒߐߣᢎ᧚ߣߩ㑐ㅪᕈ‫ߢޠ‬ㅀߴߚㅢࠅߢ޽ࠆ‫ޕ‬ቇ↢߳ߩ⾰ ໧⚕⺞ᩏߢߪ㧘 ‫(ޟ‬1)ߎߩᢎ᧚ࠍㅢߒߡఽ┬ߦߤߩࠃ߁ߥജ߇りߦߟߊ߆‫ޠ‬㧘 ‫(ޟ‬2)╬Ⓧᄌᒻࠍⴕ ߞߡߩᗵᗐ‫ߡ޿ߟߦޠ‬዆ߨߚ‫⚿ߩߘޕ‬ᨐ㧘(1)ߦߟ޿ߡߪ㧘 ‫ޟ‬࿑ᒻࠍ޿ࠈ޿ࠈߥᣇะ߆ࠄ⷗ࠆ ߎߣ߇ߢ߈ࠆࠃ߁ߦߥࠆ‫ޠ‬㧘‫ⴕ⹜ޟ‬㍲⺋ߒߡ⠨߃ࠆജ߇りߦߟ߈㧘ߢ߈ߚߣ߈ߩ㆐ᚑᗵࠍ๧ ࠊ߃ࠆ‫߁޿ߣޠ‬ᗵᗐ߇޽ߞߚ‫(ޕ‬2)ߦߟ޿ߡߪ㧘‫ޟ‬ᱜਃⷺᒻߩ㧝ߟߩⷺߪ 60qߥߩߢ㧘30q 㧗30qߣ⠨߃ߚࠄߢ߈ߚ‫ޠ‬㧘‫ޟ‬ᱜᣇᒻ߆ࠄߎߩࠃ߁ߦ᭽‫ߥޘ‬࿑ᒻ߇ߢ߈ߚߩ߇ਇᕁ⼏ߛߣᕁ ߞߚ‫߁޿ߣޠ‬ᗵᗐ߇޽ߞߚ‫⸥ߩࠄࠇߎޕ‬ㅀ߆ࠄ㧘᦭ᗧ๧ߥᵴേߢ޽ࠆߎߣߣ㧘੍ᗐᄖߩዷ 㐿ߦߥߞߚߣ޿߁ߎߣߢ㧘᭎ߨᧄ⎇ⓥߩߨࠄ޿ߪ㆐ᚑߐࠇߚߣ⠨߃ࠆ‫ޕ‬ԙߦߟ޿ߡߪ㧘㐳 ᣇᒻ߿ᱜਃⷺᒻߦ⋥ߒߚᠲ૞ߪ㧘ታߪ╬Ⓧᄌᒻߩᠲ૞ࠍⴕߞߡ޿ߚߣ޿߁ߎߣߦቇ↢⥄り㧘 ᳇߇ߟߊߎߣ߇ᄢಾߢ޽ࠆ‫ߩߎޕ‬㗴᧚ࠍᛒ߁႐㕙ߣߒߡ㧘଀߃߫╬Ⓧᄌᒻߩቇ⠌ᓟ߇⠨߃ ࠄࠇࠆ‫ޕ‬ 㧟㧚ᐔ㕙ߩಽഀᢙߪ޿ߊߟ㧫 㧔㧝㧕ᢎ᧚ߩ૏⟎ߠߌ 㜞╬ቇᩞ ╙ 2 ቇᐕ. Ԙ ቇᐕ. ԙ 㑐ㅪනరᢙቇ B ᢙ೉㧔㓏Ꮕᢙ೉࡮ẋൻᑼ㧕 㧔㧞㧕࿑ᒻߩ⟤ߒߐߣᢎ᧚ߣߩ㑐ㅪᕈ ‫ޟ‬㧔⟤ߒߐ㧞㧕㧦৻⥸⊛ߦᚑ┙ߔࠆ࿑ᒻ⊛ᕈ⾰ߩ⟤ߒߐ‫ޠ‬㧘‫ޟ‬㧔⟤ߒߐ㧡㧕㧦࿑ᒻ⊛ߦౕ૕ൻ ߒߡ⺑᣿ߢ߈ࠆ⟤ߒߐ‫ߦޠ‬ὶὐࠍᒰߡࠆ‫ᦨޕ‬ᄢಽഀᢙࠍ᳞߼ࠆߎߣ߹ߢߢ޽ࠇ߫㧘ᧄᢎ᧚ ߪᣢߦࠃߊᛒࠊࠇߡ޿ࠆ‫ߒ߆ߒޕ‬㧘ߐࠄߦ⊒ዷߐߖߡᑼࠍࠃ߻ᵴേࠍട߃ߡᛒ߁ߎߣߦࠃ ߞߡ㧘㧔⟤ߒߐ㧡㧕ࠍᗵᓧߔࠆߎߣ߇ߢ߈ࠆߣ⠨߃ࠆ‫ߚ߹ޕ‬㧘ᐔⴕ߿౒ὐࠍ฽߻႐วߦߟ޿ ߡ߽ห᭽ߦᑼߩᗧ๧ࠍ࿑ᒻߦ߅޿ߡ⠨߃ࠆߎߣ߇ߢ߈ࠆ‫ߚ߹ޕ‬㧘ᐔ㕙߆ࠄⓨ㑆߳ߣ⊒ዷߐ ߖࠆߎߣߢ㧘 㧔⟤ߒߐ㧞㧕ࠍᗵᓧߔࠆߎߣ߇ߢ߈ࠆߣ⠨߃ࠆ‫ޕ‬ 㧔㧟㧕ᢎ᧚ߩ᭎ⷐ Ԙ‫ޟ‬ᐔ㕙ಽഀᢙ‫ߩޠ‬ᛒࠊࠇᣇߩ⃻⁁ ᢙቇ B ߩᢙ೉ߦ㑐ߔࠆ໧㗴ߢ㧘㓏Ꮕᢙ೉ࠍᣢ⠌੐㗄ߣߒߡ㧘ᰴߩࠃ߁ߦ݊ᧄߩ⋥✢ߦࠃ ࠆᐔ㕙ߩᦨᄢಽഀᢙࠍ᳞߼ࠆ໧㗴߇޽ࠆ‫ޕ‬ ᐔ㕙਄ߦ޽ࠆ݊ᧄߩ⋥✢߇㧘ߤߩ 2 ᧄ߽ᐔⴕ ߢߥߊ㧘ߤߩ 3 ᧄ߽ 1 ὐߢ੤ࠊࠄߥ޿ߣ߈㧘ᐔ 㕙ߩᦨᄢಽഀᢙܽ௡ ࠍ᳞߼ࠃ‫ޕ‬.  ݊ ൌ ͳǡ ʹǡ ͵ǡ Ͷǡ̖ߣ࿑߿⴫ࠍ↪޿ߥ߇ࠄᏫ⚊⊛ ߦ⠨߃ߡ޿߈㧘ⷙೣᕈࠍ⷗ߟߌߡ╵߃ࠍ᳞߼ߡ ޿ߊ໧㗴ߢ޽ࠆ‫ޕ‬ᣂߚߦട߃ࠆ⋥✢ߦࠃߞߡᐔ 㕙߇޿ߊߟჇ߃ࠆ߆ࠍ⠨߃ࠆߣ㧘ሺ݊ ൅ ͳሻᧄ⋡ߩ. ⋥✢ߪᣢߦሽ࿷ߒߡ޿ࠆ݊ᧄߩ⋥✢ߣ੤ὐࠍ૞ ࠅ㧘ᐔ㕙ߪᣂߚߦሺ݊ ൅ ͳሻ୘Ⴧ߃ࠆ‫ࠍࠇߎޕ‬ẋൻ. ᑼߢ⴫ߔߣ㧘. ܽ௡ାଵ ൌ ܽ௡ ൅ ሺ݊ ൅ ͳሻ. 15. ݊ ൌ ͳ     ݊ ൌ ʹ      . . ݊ ൌ ͵ ͵     ݊ ൌ Ͷ Ͷ   ̖.   .  ̖.

(37) 32 池田敏和・馬場裕・橋本吉彦・岩立忠・藤原大樹・石谷優行・橋本吉貴・峰野宏祐・東谷洵・五十嵐潤・前田正男. ߣߥࠅ㧘᳞߼ࠆܽ௡ ߪᰴߩࠃ߁ߥᑼߦߥࠆ‫ޕ‬ ௡ିଵ. Ԛ  ᑼࠍࠃ߻ᵴേ. ܽ௡ ൌ ܽଵ ൅ ෍ሺ݇ ൅ ͳሻ ൌ ௞ୀଵ. ͳ ଶ ሺ݊ ൅ ݊ ൅ ʹሻ ʹ. ߎߎߢߪ㧘ܽ௡ ࠍ৻⥸ൻߒߚᓟߦ㧘ᑼࠍࠃ߻ߎߣߢ⊒ዷ⊛ߦขࠅᛒߞߡ޿ߊ‫ޕ‬ᑼࠍࠃ߻ߎ. ߣߢ㧘ߥߗߎߩᑼߦߥࠆߩ߆ࠍౕ૕⊛ߥ႐㕙ߦ㑐ㅪઃߌߡℂ⸃ߢ߈ࠆߎߣ߇ߘߩࠃߐߢ޽ ࠆ‫ޕ‬೨ㅀߩܽ௡ ߪ㧘ᰴߩᑼߦᄌᒻߢ߈ࠆߎߣ߇⍮ࠄࠇߡ޿ࠆ (ౝᶏ㧘1965)‫ޕ‬.             ܽ௡ ൌ ௡଴ ൅ ௡ଵ ൅ ௡ଶ.  ߎߩᑼࠍ↢ᓤ⥄り߇ዉ߈಴ߖࠆࠃ߁ߦߔࠆߚ߼ߦ㧘ᰴߩ໧㗴ࠍขࠅ਄ߍ㧘↢ᓤߦ⠨߃ߐ ߖࠆߎߣߦߔࠆ‫ޕ‬. ᐔ㕙਄ߦ޽ࠆ݊ᧄߩ⋥✢߇㧘ߤߩ 2 ᧄ߽ᐔⴕߢߥߊ㧘ߤߩ 3 ᧄ߽ 1 ὐߢ੤ࠊࠄߥ޿ߣ߈㧘 ੤ὐߩᦨᄢᢙ‫ݔ‬௡ ࠍ᳞߼ࠃ‫ޕ‬. ߎߎߢߪܽ௡ ࠍ᳞߼ࠆᤨߦ↪޿ߚ࿑ߦ߅޿ߡ㧘੤ὐߦߟ޿ߡ⠨߃ࠆᵴേࠍⴕ߁‫ߢߎߘޕ‬㧘ܽ௡ . ࠍ᳞߼ࠆ㓙ߦ↪޿ߚ⴫ߦ㨬੤ὐߩ୘ᢙ㨭ࠍട߃ࠆߎߣߢᰴߩⷙೣߦ᳇ઃߊᚻដ߆ࠅߦߒߡ޿ ߊߎߣߦߔࠆ‫ޕ‬ฝߩࠃ߁ߥ⴫߆ࠄ㧘. ܽ௡ ൌ ͳ ൅ ൫⋥✢ߩᧄᢙ൯ ൅ ൫੤ὐߩ୘ᢙ൯. ߣ޿߁ⷙೣߦ᳇ઃ߆ߖ㧘⸒⪲ߢ⟎߈឵ ߃ߚߘࠇߙࠇߩ㗄ࠍ݊ߢ⴫ߔᵴേࠍⴕ. ߁‫ݔޕ‬௡ ࠍ੹߹ߢߣห᭽ߦ㓏Ꮕᢙ೉߆ࠄ. ݊. ܽ௡ ‫ݔ‬௡. 1. 2. 3. 4. 5. 6. ̖. 2. 4. 7. 11. 16. 22. ̖. 0. 1. 3. 6. 10. 15. ̖. ዉߊߎߣ߽ߢ߈ࠆ߇㧘ᑼᄌᒻࠍవߦ⷗ᝪ߃㧘੤ὐ߇ߤߩࠃ߁ߦߢ߈ࠆ߆ࠍ⠨߃ࠆߎߣߢ‫ޟ‬੤ ὐߩ୘ᢙ㧦‫ݔ‬௡ ‫ࠍޠ‬ዉ޿ߡ޿ߊߎߣߦߔࠆ‫ ࠆ޽ޕ‬2 ᧄߩ⋥✢ࠍㆬ߮಴ߔߣ߈㧘ㆬࠎߛ 2 ᧄߩ ⋥✢ߦࠃߞߡߚߛ 1 ߟߩ੤ὐ߇ߢ߈ࠆ‫ࠅ߹ߟޕ‬㧘⚵ߺวࠊߖߩ⠨߃ᣇ߆ࠄ݊ᧄߩ⋥✢ߦࠃߞ ߡߢ߈ࠆ‫ݔ‬௡ ࠍ ௡ଶ ߣ⴫ߖࠆߎߣߦ᳇ઃ߆ߖࠆ‫ࠍࠇߎޕ‬ᚻដ߆ࠅߦ㧘⋥✢ߩᧄᢙࠍ ௡ଵ 㧘ᱷ ࠅߩ㗄ࠍ ௡଴ ߣห᭽ߦ⴫ߔߎߣ߇ߢ߈ࠆ‫ ޕ‬௡଴ ߪ݊ߩ୯ߦ㑐ଥߥߊᏱߦ 1 ߢ޽ࠆߎߣ߆ࠄ㧘 ‫ޟ‬ᐔ㕙ߘߩ߽ߩߩ୘ᢙ‫ߣޠ‬ᗧ๧ઃߌࠆߎߣ߇ߢ߈㧘ܽ௡ ߩߘࠇߙࠇߩ㗄߇࿑ᒻߦ߅޿ߡߤߩ ㇱಽࠍ⴫ߔߩ߆ࠍ⸒⪲ߢ⸒޿឵߃ࠆߎߣ߇ߢ߈ࠆ‫ޕ‬ ߎࠇߦࠃߞߡ㧘ܽ௡ ߇૗ࠍ⴫ߒߡ޿ࠆߩ߆ࠍࠃࠅౕ૕⊛ߦ⠨߃ࠆߎߣ߇ߢ߈㧘ᑼࠍࠃ߻ᵴ േߦ߽ߥࠆ‫ޕ‬ᑼߦౕ૕ᕈ߇޽ࠆᣇ߇ଔ୯ࠍ⷗಴ߒ߿ߔߊ㧘ߘߩᑼߩ⟤ߒߐ߿ᑼࠍ⊒⷗ߢ߈ ߚ༑߽߮ᄢ߈޿ߣ⠨߃ࠄࠇࠆ‫ޕ‬ Ԛ ᧦ઙᄌᦝߦࠃࠆ৻⥸ൻ ߎߩᑼᄌᒻࠍᚻដ߆ࠅߦߒߡߎߩ໧㗴ࠍᐔ㕙߆ࠄⓨ㑆߳ߣ⊒ዷߐߖࠆ‫ޕ‬ⓨ㑆ߦ޽ࠆ݊୘ߩ ᐔ㕙ߦࠃࠆᦨᄢಽഀᢙܾ௡ ߣߔࠆߣ㧘.            ܾ௡ ൌ ௡଴ ൅ ௡ଵ ൅ ௡ଶ ൅ ௡ଷ. ߣߥࠅߘ߁ߛߣ੍᷹ߔࠆߎߣ߇ߢ߈㧘Ꮻ⚊⊛ߦ⊒⷗ߔࠆᵴേ߆ࠄṶ➈⊛ߥᵴേࠍขࠅ౉ࠇ ࠆߎߣ߇ߢ߈ࠆ‫ܾߩߎޕ‬௡ ߩߘࠇߙࠇߩ㗄߇૗ࠍ⴫ߔߩ߆ߦߟ޿ߡ߽㧘ᐔ㕙ߩ႐ว߆ࠄṶ➈ ⊛ߦ੍᷹ߐߖ㧘ߘࠇࠍᬌ⸽ߔࠆᵴേߦߥࠆ‫ߦࠄߐޕ‬ᰴరࠍჇ߿ߒ㧘݊ᰴర߹ߢ⠨߃ࠆߎߣߦ ߽ߟߥߍࠆߎߣ߇ߢ߈ࠆߣ⠨߃ࠆ‫ޕ‬. ߐࠄߦ㧘ࠃࠅ৻⥸⊛ߥ㧘ᐔⴕ߿౒ὐࠍ฽߻႐วࠍ⠨ኤߔࠆᵴേߦ⊒ዷߐߖࠆߎߣ߇ߢ߈ 16.

(38) 算数・数学科における図形についての美しさを感得させる教材開発とその指導. ࠆ‫ޕ‬ᐔⴕ߿౒ὐࠍߥߔ⋥✢ߩᧄᢙ߿ߘࠇࠄߩ୘ᢙߢ႐วಽߌࠍߒߡ࿑ߦ⴫ߔߣ㧘ᐔⴕ㧘౒ ὐ߇ 1 ߟߢ㧘ߘࠇࠄࠍߥߔ⋥✢߇ߘࠇߙࠇ‫ᧄ݌‬㧘‫߈ߣߩᧄݍ‬㧘ᦨᄢಽഀᢙ߆ࠄ ௣ଶ 㧘௤ିଵଶ ᷫ ዋߔࠆ‫ߦࠄߐޕ‬ᐔⴕ㧘౒ὐߩ୘ᢙ߇Ⴧ߃ࠆߦᓥߞߡ㧘ߎࠇࠄߩ㗄ࠍჇ߿ߒߡ޿ߌ߫ࠃ޿‫ޕ‬ ߎߩⷙೣࠍ࿑߆ࠄᏫ⚊⊛ߦ⊒⷗ߔࠆߎߣ߇ߢ߈ࠆ‫ⴕ⹜ޕ‬㍲⺋ߒߡ㧘⥄ࠄ⠨߃㧘ᚻࠍേ߆ߒ ߡⷙೣࠍ⊒⷗ߒߚ༑߮ߪᄢ߈ߊ㧘࿑ᒻߩ⟤ߒߐࠍታᗵߒ߿ߔ޿ߣ⠨߃ࠄࠇࠆ‫ߚ߹ޕ‬㧘ᐔⴕ ߿౒ὐߦࠃߞߡᷫዋߔࠆ୘ᢙ߇㧘࿑ᒻߦ߅޿ߡߤߎࠍ⴫ߔߩ߆ࠍ⠨߃ࠆᵴേࠍขࠅ౉ࠇࠆ ߎߣ߽ߢ߈ࠆ‫ޕ‬ᐔⴕߩ႐ว㧘ᐔ㕙߇ᷫዋߔࠆ୘ᢙߪ㧘ᐔⴕ߇฽߹ࠇࠆߎߣߦࠃߞߡᷫዋߔ ࠆ੤ὐߩ୘ᢙߣ৻⥌ߔࠆ‫౒ޕ‬ὐߩ႐ว㧘ᐔ㕙߇ᷫዋߔࠆ୘ᢙߪ㧘ᦨᄢಽഀࠍߔࠆߣ߈ߦ⋥ ✢ߦࠃߞߡ࿐߹ࠇࠆᐔ㕙ߩ୘ᢙߣ৻⥌ߔࠆ‫ޕ‬ 㧠㧚⿥┙ᣇ૕ࠍ⺞ߴࠃ߁ 㧔㧝㧕ᢎ᧚ߩ૏⟎ߠߌ 㜞╬ቇᩞ╙ 1 ቇᐕ‫ޟ‬ⓨ㑆࿑ᒻ‫ޠ‬㧘㜞╬ቇᩞ╙ 2 ቇᐕ‫ޟ‬ੑ㗄ቯℂ‫ޠ‬㧘ᛒ޿ᣇߦࠃࠅਛቇᩞ╙ 1 ቇᐕ‫ޟ‬ⓨ㑆࿑ᒻ‫ߢޠ‬ขࠅᛒ߁ߎߣ߽น⢻ߢ޽ࠆ‫ޕ‬ 㧔㧞㧕࿑ᒻߩ⟤ߒߐߣᢎ᧚ߣߩ㑐ㅪ  ‫ޟ‬㧔⟤ߒߐ㧝㧕㧦࿑ᒻߩⷞⷡ⊛ߥ⟤ߒߐ‫ޠ‬㧘‫ޟ‬㧔⟤ߒߐ㧞㧕㧦৻⥸⊛ߦᚑ┙ߔࠆ࿑ᒻ⊛ᕈ⾰ߩ ⟤ߒߐ‫ߦޠ‬ὶὐࠍᒰߡࠆ‫ޕ‬ 㧔⟤ߒߐ㧝㧕ߦ㑐ߒߡ㧘ᧄᢎ᧚ߢߪ yogeometry (ᄢ㊁ኡᱞ᳁ߦࠃࠆ) ࠍ↪޿ߡ㧘3 ᰴరߢ ߩ┙ᣇ૕ߛߌߢߥߊ⿥┙ᣇ૕ߣ๭߫ࠇࠆ㧠ᰴరߩ┙ᣇ૕࡮5 ᰴరߩ┙ᣇ૕ߩࡕ࠺࡞㧔ਅ⸥ߩ 㧟ߟߩ࿑㧕ࠍ⴫ߔ‫ߩ࡞࠺ࡕߩߘޕ‬૞ᚑ߿ⷰኤࠍⴕ߁ߎߣࠍㅢߒߡ㧘ߘߩ᭴ㅧ߇ⶄ㔀ߦ⛊ߺ ว߁⟤ߒߐࠍⷞⷡ⊛ߦ⏕⹺ߔࠆߎߣ߇಴᧪㧘߹ߚߘߩ࿑ᒻߩਛߦ 3 ᰴర┙ᣇ૕ߥߤߩߘߩ ߽ߩ⥄૕ࠃࠅ߽ૐ޿ᰴరߩ┙ᣇ૕߇޿ߊߟ߽⏕⹺ߢ߈ࠆߎߣ߆ࠄߐࠄߦ⟤ߒߐࠍᗵߓࠆߎ ߣ߇ߢ߈ࠆ‫ޕ‬.  .  . ࿑㧚 4 ᰴర┙ᣇ૕(⦡ಽߌ޽ࠅ)    ࿑㧚 5 ᰴర┙ᣇ૕㧔⦡ಽߌ޽ࠅ㧕   ࿑㧚 5 ᰴర┙ᣇ૕㧔⦡ಽߌߥߒ㧕. 㧔⟤ߒߐ㧞㧕ߦ㑐ߒߡߪ㧘n ᰴరߩ┙ᣇ૕ߩਛߦẜ߻ⷐ⚛ߩ୘ᢙࠍ⴫ߦ⴫ߒ㧘ߘߩ๺ࠍ⠨ኤ ߔࠆߎߣߢ㧘ߘߩ๺߇͵ ߦߥࠆߣ޿߁㓝ࠇߚᕈ⾰ࠍ⷗಴ߔߎߣߢ㧘ᖱᗧ⊛లታᗵࠍᓧࠆߎߣ ߇ߢ߈ࠆ‫ߚ߹ޕ‬㧘ߘߩ๺ࠍዉ߈಴ߔㆊ⒟ߢᥧ⸥ߦ஍ࠅ߇ߜߥੑ㗄ቯℂࠍ೑↪ߒߡ⠨߃ࠆ႐ 㕙ࠍ૞ࠆߎߣ߇಴᧪ࠆ‫ޕ‬ 㧔㧟㧕ᢎ᧚ߩ․ᓽ  ᧄᢎ᧚ߢߪ㧘৻⥸⊛ߦ┙ᣇ૕ߣ⸒ࠊࠇߡ޿ࠆ 3 ᰴరߩ߽ߩࠍ 4 ᰴర߿ 5 ᰴరߣ޿߁ࠃ߁ ߦᰴరࠍ਄ߍߚߣ߈ߩᕈ⾰ࠍ⺞ߴࠆ‫ߢߎߎޕ‬㧘n ᰴర┙ᣇ૕ߣߪ㧘(n㧙1)ᰴర┙ᣇ૕ࠍု⋥ ᣇะߦ 1 න૏⒖േߐߖߚߣ߈ߩ゠〔ߣߒ㧘0 ᰴర┙ᣇ૕ࠍὐߣ⠨߃ࠆ‫ ߣࠆߔ߁ߘޕ‬1 ᰴర┙ 17. 33.

(39) 34 池田敏和・馬場裕・橋本吉彦・岩立忠・藤原大樹・石谷優行・橋本吉貴・峰野宏祐・東谷洵・五十嵐潤・前田正男. ᣇ૕ߪ✢ಽ(ㄝ)㧘2 ᰴర┙ᣇ૕ߪᱜᣇᒻߣ⠨߃ࠆߎߣ߇಴᧪ࠆ‫ޕ‬ Ԙ 4 ᰴర┙ᣇ૕࡮5 ᰴర┙ᣇ૕ࠍ૞ߞߡߺࠃ߁  ᐔ㕙ߦ 4 ᰴర┙ᣇ૕ࠍᦠߊߛߌߢߪ㧘᭴ㅧࠍℂ⸃ߔࠆߩߪኈᤃߢߥ޿‫ᧄޕ‬ᢎ᧚ߢߪῪᬢ ᨑߣࠣ࡞࡯ࠟࡦࠍ૶߁ߎߣߢᲧセ⊛◲නߦ 4 ᰴరߩ┙ᣇ૕ߩࡕ࠺࡞ࠍ૞ࠆ‫ߣࠆߔޕ‬㧘੤Ꮕ ߒߡ޿ࠆߣߎࠈࠍ⊒⷗ߢ߈㧘ⓨ㑆ߢߟߊࠆߎߣߩ㔍ߒߐࠍᗵߓࠆߎߣ߇಴᧪ࠆ‫ߚ߹ޕ‬㧘ߎ ߩࡕ࠺࡞ࠍ⦡‫ߥޘ‬ᣇะ߆ࠄ⌑߼ࠆߎߣߢᐔ㕙ߢߪಽ߆ࠅߦߊ޿᭴ㅧࠍ⷗ߟߌࠄࠇߚࠅ㧘ᣂ ߒ޿ᣇะࠍု⋥ߛߣ⷗┙ߡࠆߣ㧘᭽‫ߥޘ‬႐ᚲߦ┙ᣇ૕ߩ޽ࠆߎߣ߇ࠊ߆ߞߚࠅߒ㧘ⓨ㑆࿑ ᒻߦኻߔࠆᗵⷡࠍ⼾߆ߦߔࠆߎߣߦߟߥ߇ࠆ‫ߚ߹ޕ‬㧘೨㗁ߩ࿑ߩࠃ߁ߦ⦡ಽߌߔࠆߎߣߢ㧘 ೨ߩᰴరߩ߽ߩ߇⒖േߒߡ޿ࠆ᭽ሶ߇ಽ߆ࠅ߿ߔߊߥࠅ㧘⦡ಽߌߒߡ޿ߥ޿߽ߩࠍߺࠆߎ ߣߢ㧘޿ߊߟ߽หߓ᭴ㅧߩ࿑ᒻ߇㓝ࠇߡ޿ࠆߎߣࠍតࠅ߿ߔߊߥࠆߣ⠨߃ࠆ‫ޕ‬ ԙ ฦⷐ⚛ߩ୘ᢙࠍᢙ߃ߡߺࠃ߁  ߎߎߢߪ㧘n ᰴర┙ᣇ૕ߩਛߦ㓝ࠇߡ޿ࠆⷐ⚛㧔0 ᰴరߩ᭴ᚑⷐ⚛㧘1 ᰴరߩ᭴ᚑⷐ⚛㧘 2 ᰴరߩ᭴ᚑⷐ⚛㧘̖㧘n ᰴరߩ᭴ᚑⷐ⚛㧕ߩ୘ᢙࠍ⺞ߴࠆ‫ޕ‬ ‫ޣ‬᭴ᚑⷐ⚛ߩჇ߃ᣇߩ࡞࡯࡞‫ޤ‬ ࠕ㧚0 ᰴరߩ᭴ᚑⷐ⚛㧔㗂ὐ㧕ߩ୘ᢙߪ 2 ୚ߕߟჇ߃ࠆ‫ޕ‬ ࠗ㧚㨚ᰴర┙ᣇ૕㧔㨚-┙ᣇ૕ߢ⴫⸥ߔࠆ㧕ߦߪ㧘0 ᰴర߆ࠄ n ᰴర߹ߢߩ㧔n+1㧕୘ߩ᭴ ᚑⷐ⚛߇޽ࠅ㧘㨚ᰴర┙ᣇ૕ߦ߅ߌࠆ㨞ᰴరߩ᭴ᚑⷐ⚛ߩ୘ᢙࠍ N㧔n,r㧕ߢ⴫ߔߣ㧘ᰴ ߩᑼ߇ᚑࠅ┙ߟ‫  ޕ‬N(n,r)㧩㧺(n-1㧘r-1)㧗2N(n-1,r) ࡕ࠺࡞߇૞ࠇߡ޿ࠆ႐วߪᢙ߃ߡ߽ࠃ޿߇㧘ߘࠇߢ߽ n ᰴర߹ߢ⠨߃ࠆߚ߼ߦߪ㧘Ⴧ߃ ᣇߩ㑐ଥࠍ⷗ߟߌࠆᔅⷐ߇޽ࠅ㧘ߘߩ㑐ଥࠍ߽ߣߦ⴫ࠍ૞ߞߡ޿ߊ‫ޕ‬ (ὐ). (✢ಽ). (ᱜᣇᒻ). (┙ᣇ૕) 㧔⿥┙ᣇ૕㧕    㨯㨯㨯.       N(n,0) N(n,1)  N(n,2)  N(n,3)  N(n,4)  N(n,5)̖ N(n,r) ̖N(n,n) 0-┙ᣇ૕   1                                    ̖ 1-┙ᣇ૕   2    1                              2-┙ᣇ૕   4    4  .  1   .  ̖  3.          ̖. 3-┙ᣇ૕. 8. 12. 6. 1. 4-┙ᣇ૕. 16. 32. 24. 8. 1. 5-┙ᣇ૕. 32. 80. 80. 40. 10.  1 . 1 9.         . ̖. 27.         . ̖. 81.         . ̖243. 㨯㨯㨯           㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯㨯 n-┙ᣇ૕  nC02n. nC12n-1.  nC22n-2  nC32n-3. nC42n-4.  ̖   nCr2n-r  nCn20  ̖. 3n. n ᰴర┙ᣇ૕߇ߎߩ᭽ߦ␜ߖࠆߎߣߪ㧘r=㧝ߩߣ߈㧘ߔߥࠊߜ n ᰴర┙ᣇ૕ߩਛߩ✢ಽ 㧔=nC1㧕 ߩ୘ᢙࠍ଀ߦ⠨߃ࠆߣ㧘 Ԙฦ㗂ὐߩ୘ᢙߪ 2n㧘ԙฦ㗂ὐ߆ࠄ n ᧄߩㄝ߇಴ߡ޿ࠆ߆ࠄ n ୚㧘Ԛ1 ᧄߩㄝߦ㑐ߒߡ࠳ࡉ࡞ࠞ࠙ࡦ࠻ߒߡ޿ࠆ߆ࠄ 1/2 ୚ߣߥࠅ㧘(nC12n)㧛2㧩nC12n-1 ߣ ޿߁ࠃ߁ߦ⠨߃ࠆߎߣ߇಴᧪ࠆ‫ޕ‬ห᭽ߦ㧘Ԙฦ✢ಽߩ୘ᢙߪ n㨯2n-1(=nC12n-1)㧘ԙฦ✢ಽ߆ ࠄ(n-1)ࠤߩᐔ㕙߇಴ߡ޿ࠆ߆ࠄ(n-1)୚㧘Ԛ৻ߟߩ㕙ߦኻߒߡ 4 ࿁㧔=2+2㧕㧔ὐߩᢙ 2 ࡩ߇ ⒖േߒߡ㧞ߟߩ✢ಽߦߥࠅ㧘ర‫✢ߚߞ޽ޘ‬ಽߣᣂߒߊߢ߈ߚ✢ಽߢ 2 ߟ޽ࠆ㧕࠳ࡉ࡞ࠞ࠙ 18.

(40) 算数・数学科における図形についての美しさを感得させる教材開発とその指導. ࡦ࠻ߒߡ޿ࠆ߆ࠄ 1/4 ୚ߣߥࠅ㧘n(n-1)˜2n-1㧛4㧩nC22n-2 ߣߥࠆ‫ߩߎޕ‬Ⴧ߃ᣇ߇ߤߩ႐ว ߢ߽หߓࠃ߁ߦ⠨߃ࠄࠇࠆ‫ߡߒߘޕ‬㧘n ᰴర┙ᣇ૕ߩ᭴ᚑⷐ⚛ߩ୘ᢙߩ๺ߪ㧘ੑ㗄ቯℂߩ⠨ ߃ࠍ೑↪ߔࠆߎߣߢᰴߩࠃ߁ߦ⸘▚ߐࠇࠆ ⸼  ‫ޕ‬  σ௡௥ୀ଴ ݊‫ʹ ݎܥ‬௡ି௥ 㧩nC02n㧗nC12n-1㧗nC22n-2 㧗nC32n-3㧗nC42n-4㧗nC52n-5㧗̖. ާሺߙ ൅ ߚሻ௡ 㧩ͲǩǪͲ㧗ͳǩǦͳǪͳ㧗ʹǩǦʹǪʹ㧗͵ǩǦ͵Ǫ͵㧗ͶǩǦͶǪͶ㧗ͷǩǦͷǪͷ㧗̖ި . ࠁ߃ߦ σ୬୰ୀ଴ ” ʹ୬ି୰ 㧩nC02n㧗nC12n-1㧗nC22n-2 㧗nC32n-3㧗nC42n-4㧗nC52n-5㧗̖ 㧩ሺʹ ൅ ͳሻ௡ 㧩͵௡. 㧡㧚Ⴎߩᐞ૗ቇߦࠃࠆᬦ౞࡮෺ᦛ✢ߩ৻⥸ൻ 㧔㧝㧕ᢎ᧚ߩ૏⟎ߠߌ  Ԙ ኻ⽎ቇᐕ  㜞╬ቇᩞ ╙ 3 ቇᐕ㧔ᢙቇΥ㧕  ԙ 㑐ㅪනర  ᐔ㕙਄ߩᦛ✢ 㧔㧞㧕࿑ᒻߩ⟤ߒߐߣᢎ᧚ߣߩ㑐ㅪ ‫ޟ‬㧔⟤ߒߐ㧝㧕㧦࿑ᒻߩⷞⷡ⊛ߥ⟤ߒߐ‫ޠ‬㧘‫ޟ‬㧔⟤ߒߐ㧞㧕㧦৻⥸⊛ߦᚑ┙ߔࠆ࿑ᒻ⊛ᕈ⾰ߩ ⟤ߒߐ‫ޠ‬㧘‫ޟ‬ 㧔⟤ߒߐ㧡㧕㧦࿑ᒻ⊛ߦౕ૕ൻߒߡ⺑᣿ߢ߈ࠆ⟤ߒߐ‫ߦޠ‬ὶὐࠍᒰߡࠆ‫ޕ‬  (⟤ߒߐ㧝)ߦߟ޿ߡߪ㧘Ⴎߦࠃߞߡ߃߇߆ࠇߚ⒫✢ߘߩ߽ߩߩ⟤ߒߐߢ޽ࠆ‫ߐߒ⟤(ޕ‬㧞) ߦߟ޿ߡߪ㧘Ⴎߩᐞ૗ቇߦࠃߞߡߟߊࠄࠇߚ࿑ᒻ߇ߔߴߡ‫ޟ‬Ⴎߪ㧝⇟ㄭ޿ⓣ߆ࠄ⪭ߜ㧘ⓣ ߆ࠄ╬ߒ޿〒㔌ߩߣߎࠈߦ⒫✢߇ߢ߈ࠆ‫߁޿ߣޠ‬ၮᧄ⊛ᕈ⾰ߦၮߠ޿ߚ߽ߩߢ޽ࠆߎߣߦ ⿠࿃ߔࠆ⟤ߒߐߢ޽ࠆ‫ ߐߒ⟤(ޕ‬5)ߦߟ޿ߡߪ㧘Ⴎߢ޽ࠄࠊߐࠇߚ࿑ᒻࠍᢙᑼ߿ࠣ࡜ࡈ╬ߦ ࠃߞߡ⸃ᨆߒ,߹ߚᢙᑼ߿ࠣ࡜ࡈ╬ߣߒߡᓧࠄࠇߚ߽ߩࠍႮߢ޽ࠄࠊߖߚߣ߈ߦᓧࠄࠇࠆ⋧ ੕ߩߟߥ߇ࠅߦࠃࠆ⟤ߒߐߢ޽ࠆ‫ޕ‬ 㧔㧟㧕ᢎ᧚ߩ․ᓽ Ԙ Ⴎߩᐞ૗ቇߣߪ Ⴎߩᐞ૗ቇߣߪ㧘޽ࠆ࿑ᒻߩ࿯บߩ਄ߦ㧘 ႮࠍⓍ߽ࠄߖߚߣ߈ߦߢ߈ࠆ⒫✢ߩᒻࠍ ⷰኤߔࠆᢎ᧚ߢ޽ࠆ‫ޕ‬Ⴎߪ㧘ᐔ㕙ߩ਄ߩ 㧝ὐߦ⋡ដߌߡု⋥ߦ⪭ਅߐߖࠆߣ౞㍙ ࠍᒻ૞ࠅ㧘ߘߩ┵㧔ᐩ㕙ߩ౞㧕ߪ㧘౞㍙. ౮⌀ 1. ౮⌀ 2. ߩ㗂ὐࠍਛᔃߣߒߡหᔃ౞⁁ߦᐢ߇ߞߡ޿ߊ(౮⌀ 1)‫ߚ߹ޕ‬㧘ᐔ㕙਄ߦ 1 ὐࠍ޽ߌߡႮࠍᵹ ߒㄟ߻ߣ㧘ߔࠅ㋬⁁ߦ⪭ਅߒߡ޿߈㧘ߘߩ┵߽߿ߪࠅⓣࠍਛᔃߣߒߡหᔃ౞⁁ߦᐢ߇ߞߡ ޿ߊ(౮⌀ 2)‫߈ߣߩߎޕ‬㧘࿯บߣߥࠆ࿑ᒻࠍᄌ߃ࠆߎߣߢߢ߈ࠆ⒫✢㧔Ⓧ߽ߞߚㇱಽ㧕ߩ࿑ ᒻߦߟ޿ߡ⠨ኤߒߡ޿ߊ‫ޕ‬ ߎߩᢎ᧚ߩၮᧄ⊛ߥᕈ⾰ߪ㧘‫ޟ‬Ⴎߪ㧝⇟ㄭ޿ⓣ߆ࠄ⪭ߜ㧘ⓣ߆ࠄ╬ߒ޿〒㔌ߩߣߎࠈߦ⒫ ✢߇ߢ߈ࠆ‫ߜࠊߥߔ߈ߣߩߎޕࠆ޽ߢߣߎ߁޿ߣޠ‬⒫✢ߪ‫᧦ࠆ޽ޟ‬ઙ㧔ⓣ߆ࠄ╬ߒ޿〒㔌㧕 ࠍḩߚߔὐߩ㓸ว‫ޠ‬㧘ߟ߹ࠅ゠〔ߢ޽ࠆ‫ޟޕ‬Ⴎߩᐞ૗ቇ‫ࠍޠ‬ㅢߒߡ㧘࿑ᒻߩ゠〔ߣߒߡߩ⷗ ᣇࠍ⢒߻ߣߣ߽ߦ㧘Ⴎ߇߃߇ߊ࿑ᒻߩ⟤ߒߐࠍᗵᓧߐߖࠆߎߣ߇ᧄᢎ᧚ࠍᛒ߁ᗧ⟵ߢ޽ࠆ‫ޕ‬ ԙ ᢎ᧚଀  ᄙ᭽ߥᢎ᧚߇޽ࠆ߇,ߘߩਛߢᬦ౞࡮෺ᦛ✢ߩ৻⥸ൻߦߟ޿ߡߩᢎ᧚ࠍ⚫੺ߔࠆ‫ޕ‬ዏ,ᧄᢎ 19. 35.

(41) 36 池田敏和・馬場裕・橋本吉彦・岩立忠・藤原大樹・石谷優行・橋本吉貴・峰野宏祐・東谷洵・五十嵐潤・前田正男. ᧚ߪᬦ౞ᜰዉߩᓟߦⴕ߁߽ߩߣߔࠆ‫ޕ‬  ‫⺖ޣ‬㗴‫ޤ‬ ౞਄ߩછᗧߩὐߦⓣࠍ޽ߌ(౮⌀ 3)㧘Ⴎࠍ਄߆ࠄⓍ߽ࠄ ߖࠆߣ㧘⒫✢ߪ౮⌀ 4 ߩࠃ߁ߦߥࠆ㧚. ౮⌀ 3 ౮⌀ 4 ߎߩߣ߈㧘⒫✢ߪߤߩࠃ߁ߥ࿑ᒻࠍ߃߇ߊߛࠈ߁߆㧫 ⒫✢ࠍߟߊࠆⷐ⚛㧔࿯บߩᒻ㧘ⓣߩ૏⟎㧘⒫✢㧕ߩߺࠍ᛽಴ߒ㧘‫ޟ‬Ⴎߩᐞ૗ቇ‫ߩޠ‬ၮᧄ⊛ ᕈ⾰ࠍ߽ߣߦᐳᮡᐔ㕙਄ߢ⴫ߔߣ㧘ᰴߩࠃ߁ߦߥࠆ‫ޕ‬  ࿯บߩ౞ߩඨᓘࠍ㧝ߣߒ㧘ⓣࠍ x ゲ਄ߩὐ F(c,0)㧘゠〔ࠍ߃߇ߊേὐ P(x,y)ࠍ㧘౞๟਄ߩ ὐ Q ࠍㅢࠆඨᓘ਄ߢ㧘PQ=PF ߣߥࠆࠃ߁ߦ߅ߊ‫߈ߣߩߎޕ‬㧘OP+PF=1 ߣߥࠅ㧘േὐ P ߪὐ O㧘P ߆ࠄߩ〒㔌ߩ๺߇╬ߒ޿ὐߦߥࠆߩߢ㧘ᬦ౞ࠍ߃߇ߊߎߣ߇ࠊ߆ࠆ‫ޕ‬ ⓣࠍ޽ߌࠆ૏⟎ߦࠃߞߡᬦ౞ߩᒻߪߤߩࠃ߁ߦᄌࠊࠆߛࠈ߁߆㧫  ᒻߩᄌൻࠍ᣿⏕ߦߣࠄ߃ࠆߚ߼ߦ,ࠣ࡜ࡈឬ↹࠰ࡈ࠻ GRAPES ࠍ↪޿ࠆ‫ߩߘޕ‬㓙,ᢙᑼࠍ౉ ജߔࠆᔅⷐ߇޽ࠆߩߢ,వߦᓧࠄࠇߚᐳᮡࠍ߽ߣߦᢙᑼߦ⋥ߔߣ,.  . ౙ. ሺ୶ିమሻమ భ ర. ൅. ୷మ. భషౙమ ర. ൌ ͳ (-1<c<1). ߣ޿߁ᑼ߇ᓧࠄࠇࠆ‫ࠍ࠲࡯ࡔ࡜ࡄޕ‬㨏ߣߒߡࠣ࡜ ࡈߦ⴫ߒ,㨏ߩ୯ࠍᄌൻߐߖࠆߣฝ࿑ߩࠃ߁ߦߥࠆ‫ޕ‬ ߎߩߣ߈,ᑼߣᾖࠄߒวࠊߖߡࠣ࡜ࡈࠍⷰኤߔࠆ ߣ,଀߃߫㨥ߩಽᲣߪ,c ĺ 0 ߩߣ߈(1-c2)/4 ĺ 1/4 ߣ. c=0. c=0.5. c=0.9. c=1. ߥࠅ,x ߩಽᲣ 1/4 ߦㄭߠߊߎߣ߆ࠄᒻ߇౞ߦㄭߠߊ ߎߣ߇ࠊ߆ࠅ,߹ߚ c ĺ 1 ߩߣ߈ (1-c2)/4 ĺ 0 ߣߥࠆ ߎߣ߆ࠄࠣ࡜ࡈ߇߃߇ߌߥ޿ߎߣ߇ࠊ߆ࠆ㧔ߎߩߎ ߣߪ,౞๟਄ߦⓣࠍ޽ߌࠆߎߣ߇ߢ߈ߥ޿ߎߣ߆ࠄ ߽ࠊ߆ࠆ㧕‫ޕ‬  ୯ߩ▸࿐ࠍ⿥߃ߡߐࠄߦ㨏ࠍേ߆ߒߡ޿ߊߣ, 㨏㧪1 ߩߣ߈,ࠣ࡜ࡈߪᰴߩࠃ߁ߦߥࠆ‫ߪࠇߎޕ‬ ෺ᦛ✢ߢ޽ࠆ߇,ᑼߦ߅޿ߡ߽ 1-c2<0 ߣߥࠆߩ ߢ,╓ภ߇ᄌࠊࠆ‫ߣࠆߔޕ‬,ᬦ౞ߩὶὐߩ⒖േߦࠃ ߞߡ෺ᦛ✢ࠍዉ౉ߔࠆߎߣ߇ߢ߈ࠆ‫ޕ‬  ߢߪ,෺ᦛ✢ࠍ‫ޟ‬Ⴎߩᐞ૗ቇ‫ߪߣߎࠆߊߟߢޠ‬ ߢ߈ߥ޿ߛࠈ߁߆‫ޕ‬ᬦ౞߆ࠄⓣࠍߕࠄߔߛߌߢߪ. c=1.5. ߢ߈ߥ޿߇,৻Ꮏᄦߔࠆߣ,౮⌀ 5 ߩࠃ߁ߦߟߊࠆߎߣ߇ߢ߈ࠆ‫ޕ‬ 20. ౮⌀ 5.

(42) 37. 算数・数学科における図形についての美しさを感得させる教材開発とその指導. 㧢㧚྾ⷺᒻߩ㊀ᔃࠍ᳞߼ࠆᣇᴺߦߟ޿ߡ ಲ྾ⷺᒻ ABCD ߩ㊀ᔃࠍ᳞߼ࠆᮡḰ⊛ߥᣇᴺߪ (1) ྾ⷺᒻ ABCD ࠍኻⷺ✢ AC ߦࠃࠅ㧞ߟߩਃⷺᒻٌABC ߣٌADC ߦಽߌ㧘ߘࠇߙࠇߩ㊀ ᔃࠍ᳞߼㧞ߟߩ㊀ᔃࠍㅢࠆ⋥✢ࠍᒁߊ‫ޕ‬ (2) ྾ⷺᒻ ABCD ࠍኻⷺ✢ BD ߦࠃࠅ㧞ߟߩਃⷺᒻٌABD ߣٌCBD ߦಽߌ㧘ߘࠇߙࠇߩ ㊀ᔃࠍ᳞߼㧞ߟߩ㊀ᔃࠍㅢࠆ⋥✢ࠍᒁߊ‫ޕ‬ (3) (1),(2)ߦࠃߞߡᓧࠄࠇߚ㧞ߟߩ⋥✢ߩ੤ὐ߇྾ⷺᒻ ABCD ߩ㊀ᔃߣߥࠆ‫ޕ‬ ߣ޿߁߽ߩߢ޽ࠆ‫ߒ߆ߒޕ‬㧘ߎߩᣇᴺߢߪಳ྾ⷺᒻߩ႐วߦ㊀ᔃࠍ᳞߼ࠆߎߣ߇ߢ߈ߥ޿‫ޕ‬ ᦨㄭ Khorshidi(2007)ߪ,㧠ߟߩਃⷺᒻߢߪߥߊߚߛ߭ߣߟߩਃⷺᒻߩ㊀ᔃࠍ૶ߞߡ㧘ಲ ߿ಳߦ߆߆ࠊࠄߕߔߴߡߩ྾ⷺᒻߩ㊀ᔃࠍ᳞߼ࠆ◲නߥᣇᴺࠍ␜ߒߚ‫ߩߘޕ‬᭎ⷐࠍᰴߦ␜ ߔ‫ޕ‬ ྾ⷺᒻ ABCD ߩኻⷺ✢ AC ߣ BD ߩ੤ὐࠍ E ߣߒ㧘⋥✢ AC ਄ߦὐ F ࠍ CF=AE ߣߥࠆ ࠃ߁ߦߣࠆߣᰴߩቯℂࠍᓧࠆ㧔ਅ࿑ෳᾖ㧘(a)ߪಲߩ႐ว㧘(b)ߪಳߩ႐ว㧕‫ޕ‬ (a). (b).     B.  A  . B. E.       F   C  E    A. C. F.     .       D. D. ቯℂ ྾ⷺᒻ ABCD ߩ㊀ᔃߪٌDBF ߩ㊀ᔃߢ޽ࠆ‫ޕ‬ ߎߩቯℂߦኻߒߡ Khorshidi ߇ਈ߃ߚ⸽᣿ߪߘࠇ߶ߤ㔍ߒ޿߽ߩߢߪߥ޿߇㧘ߐࠄߦ߿ ߐߒ޿⸽᣿߇ߢ߈ߚߩߢߎߎߦ␜ߔ‫ޕ‬ 㧔ᣂ⸽᣿㧕 ಲ྾ⷺᒻߩ႐วࠍ⸽᣿ߔࠆ‫ޕ‬ಳ྾ⷺᒻߩ႐ว߽ห᭽ߦ⸽᣿ߢ߈ࠆ‫ޕ‬AC ߣ EF ߩਛὐߪ৻⥌ߔࠆ߆ࠄ㧘ٌABC ߣٌEBF ߪห৻ߩ㊀ᔃ G ࠍ߽ߜ ٌADC ߣٌEDF ߪห৻ ߩ㊀ᔃ H ࠍ߽ߟ‫ٌޕ‬DBF ࠍ྾ⷺᒻ DEBF ߇ㅌൻߒߚ߽ߩߣ⠨߃ࠆߣ㧘ٌDBF ߩ㊀ᔃ I ߣ ྾ⷺᒻ ABCD ߩ㊀ᔃ J ߪߤߜࠄ߽ G ߣ H ࠍ⚿߱✢ಽ਄ߦ޽ࠆ‫ ߚ߹ޕ‬I ߪ GH ࠍ ٌEBF : ٌEDF ߦౝಽߔࠆὐߢ޽ࠅ㧘J ߪ GH ࠍٌABC : ٌADC ߦౝಽߔࠆὐߢ޽ࠆ߇㧘 ٌABC : ٌADC=ٌEBF : ٌEDF ߢ޽ࠆߎߣࠃࠅ I ߣ J ߪ৻⥌ߔࠆ‫ޕ‬ Χ㧚⚳ࠊࠅߦ ᧄⓂߢߪ㧘࿑ᒻߦߟ޿ߡߩ⟤ߒߐࠍఽ┬࡮↢ᓤ߇ᗵᓧߔࠆᜰዉᴺߩ㐿⊒ߦะߌߡ㧘㧡ߟ ߩ࿑ᒻߦߟ޿ߡߩ⟤ߒߐߦὶὐࠍᒰߡ㧘ᜰዉߩၮᧄ⊛ᨒ⚵ߺࠍ⸳ቯߒߡ㧘ߘߩᜰዉߩ޽ࠅ 21.

(43) 38 池田敏和・馬場裕・橋本吉彦・岩立忠・藤原大樹・石谷優行・橋本吉貴・峰野宏祐・東谷洵・五十嵐潤・前田正男. ᣇࠍ੐଀⊛ߦ⠨ኤߒߚ‫ߚ߹ޕ‬㧘࿑ᒻߦߟ޿ߡߩ⟤ߒߐࠍᗵᓧߔࠆᢎ᧚ߦߟ޿ߡ㐿⊒ߒߚ‫ޕ‬ ౕ૕⊛ߦߪ㧘࿑ᒻߦߟ޿ߡߩ⟤ߒߐߣߒߡ㧘 (⟤ߒߐ 1)㧦࿑ᒻߩⷞⷡ⊛ߥ⟤ߒߐ (⟤ߒߐ 2)㧦৻⥸⊛ߦᚑ┙ߔࠆ࿑ᒻ⊛ᕈ⾰ߩ⟤ߒߐ (⟤ߒߐ 3)㧦࿑ᒻࠍ␠ળߦᔕ↪ߢ߈ࠆ⟤ߒߐ (⟤ߒߐ 4)㧦࿑ᒻᠲ૞╬ߦ߅ߌࠆ੍ᗐᄖߩ⌕ᗐߩ⟤ߒߐ (⟤ߒߐ 5)㧦࿑ᒻ⊛ߦౕ૕ൻߒߡ⺑᣿ߢ߈ࠆ⟤ߒߐ ߩ㧡ߟߦὶὐࠍᒰߡ㧘ਅ⸥ߩ㧟ߟߩᵹࠇࠍ࿑ᒻߦ߅ߌࠆ⟤ߒߐࠍᗵᓧߔࠆᜰዉߩၮᧄ⊛ ᨒ⚵ߺߣߒߡ⸳ቯߒߚ‫ޕ‬  Ԙఽ┬࡮↢ᓤߦ࿎㔍ࠍᗵߓߐߖࠆ  ԙ‫ߦޠߐߒ⟤ޟ‬㑐ࠊࠆ੐ᨩࠍ⷗಴ߔ  Ԛࠃߐࠍᝄࠅ㄰ࠆ‫ޕ‬A ߣ nonA ߩኻᲧ ਄⸥ߩᨒ⚵ߺߦၮߠ߈㧘ਛ࡮㜞╬ቇᩞߦ߅޿ߡ㧞ߟߩᜰዉታ〣ࠍⴕߞߚ‫ߪߟ৻ޕ‬㧘ਛቇ 2 ᐕ↢ࠍኻ⽎ߦߒߚ‫ޟ‬㡀⋡㄰ߒ‫ࠍޠ‬㗴᧚ߦߒߚᜰዉߢ㧘㧔⟤ߒߐ 2㧕㧘㧔⟤ߒߐ 4㧕ߦὶὐࠍᒰ ߡߡ޿ࠆ‫ߪߟ৻߁߽ޕ‬㧘㜞╬ቇᩞߦ߅ߌࠆᢙቇ A㧘ᢙቇ B ࠍጁୃߒߚ↢ᓤࠍኻ⽎ߦ㧘ࡌࠢ ࠻࡞ࠍ㗴᧚ߦߒߚࠦࡦࡇࡘ࡯࠲ࠍ↪޿ߚᜰዉߢ㧘㧔⟤ߒߐ 2㧕ߦὶὐࠍᒰߡߡ޿ࠆ‫ޕ‬ታ〣੐ ଀ࠍㅢߒߡ㧘࿑ᒻߦ߅ߌࠆ⟤ߒߐߦኻᔕߔࠆ↢ᓤߦߣߞߡߩ࿎㔍ߥᵴേࠍ⊛⏕ߦ․ቯߔࠆ ߎߣ㧘ਗ߮ߦ㧘㐳ᦼߦࠊߚߞߡߎߩࠃ߁ߥᜰዉࠍ➅ࠅ㄰ߒᜰዉߒߡ޿ߊߎߣ㧘ߩ㊀ⷐᕈ߇ ␜ໂߐࠇߚ‫ޕ‬ ߐࠄߦ㧘ዊ࡮ਛ࡮㜞╬ቇᩞߦ߅޿ߡ㧘ਅ⸥ߩࠃ߁ߦ㧘࿑ᒻߦߟ޿ߡߩ⟤ߒߐߦὶὐࠍᒰ ߡߚᢎ᧚ࠍ㧡ߟ㐿⊒ߒߚ‫ޕ‬  (a) ᱜᣇᒻߦᄌり㧍㧔ዊ 5㧘⟤ߒߐ 4)  (b) ࠞࡦ࠲ࡌ࡝࡯࡮ࡄ࠭࡞ࠍ↪޿ߚ࿑ᒻߩ╬Ⓧᄌᒻ㧔ዊ 5㧘⟤ߒߐ 4㧕  (c) ᐔ㕙ߩಽഀᢙߪ޿ߊߟ㧫㧔㜞 2㧘⟤ߒߐ 2࡮⟤ߒߐ 5㧕  (d) ⿥┙ᣇ૕ࠍ⺞ߴࠃ߁㧔㜞 1㨯2㧘⟤ߒߐ 1࡮⟤ߒߐ 2㧕  (e) Ⴎߩᐞ૗ቇߦࠃࠆᬦ౞࡮෺ᦛ✢ߩ৻⥸ൻ㧔㜞 3㧘⟤ߒߐ 1࡮⟤ߒߐ 2࡮⟤ߒߐ 5㧕  ᦨᓟߦ㧘྾ⷺᒻߩ㊀ᔃࠍ᳞߼ࠆᣇᴺߩᢎ᧚㐿⊒ߦ㑐ㅪߒߡ㧘ᣂߚߥ⸽᣿ᣇᴺ߇⷗಴ߐࠇ ߚߩߢߎߎߢ⚫੺ߒߚ‫ޕ‬  ੹ᓟߣ߽㧘ߐࠄߥࠆᢎ᧚ࠍ㐿⊒ߔࠆߣ౒ߦ㧘ߘߩᜰዉߩ޽ࠅᣇߦߟ޿ߡ⛮⛯⊛ߦ⎇ⓥࠍ ㅴ߼ߡ޿ߊᔅⷐ߇޽ࠆ‫ޕ‬ 㨇ෳ⠨࡮ᒁ↪ᢥ₂㨉 Banchoff, T.F.(1990)㧘“Dimension” In On the Shoulders of GIANTS㧘edited by Steen, L., National Academy Press㧘pp.53-58㧚 ᯅᧄศᒾ㧔2009㧕㧘‫▚ޡ‬ᢙᢎ⢒ේ⺰‫ޢ‬㧘᧲ᵗ㙚಴ 㧘p.42㧚 㧴.㧱.࠺ࡘ࡯࠼࠾࡯㧘઻↰⦟テ⸶㧔2009㧕㧘 ‫ޢ࡞࠭ࡄ࡮࡯࡝ࡌ࠲ࡦࠞޡ‬㧘ߜߊ߹ቇ⧓ᢥᐶ㧘pp.62-63㧚 Ꮢ⼱ჽ㧔2010㧕㧘 ‫ޟ‬ᱜᣇᒻψᱜਃⷺᒻߩ╬Ⓧᄌᒻ‫ޠ‬ 㧘 ‫ ╙ޡ‬68 ࿁ࡂࡦ࠭ࠝࡦ࡮ࡑࠬ⎇ⓥળ㈩ઃ⾗ ᢱ‫ޢ‬㧚 ᳰ↰ᢅ๺(2009)㧘‫ޟ‬ᢙቇ⊛ࡕ࠺࡝ࡦࠣߣᢙቇ⊛⍮⼂ߩ᭴ᚑ̆ࡕ࠺࡞ਥ⟵ߦၮߠߊᢙቇᢎ⢒ߩ 22.

(44) 算数・数学科における図形についての美しさを感得させる教材開発とその指導. ᭴ᗐ̆‫ޠ‬㧘‫ ╙ޡ‬33 ࿁⑼ቇᢎ⢒ቇળᐕળ⺰ᢥ㓸‫ޢ‬㧘 pp.251-254㧚 ᳰ↰ᢅ๺࡮ᅏ᧛೑㚅࡮ዊጊஜੳ࡮ጤ┙ᔘ࡮⚐ጟዏผ࡮㑐ญᘕ๋࡮೨↰ᱜ↵࡮㚍႐⵨࡮ᯅᧄ ศᒾ㧔2010㧕㧘‫ޟ‬ዊቇᩞ▚ᢙ⑼ߦ߅ߌࠆ࿑ᒻߦߟ޿ߡߩ⟤ߒߐࠍᗵᓧߔࠆᢎ᧚㐿⊒‫ޠ‬㧘‫ޡ‬ᮮ ᵿ࿖┙ᄢቇᢎ⢒ੱ㑆⑼ቇㇱ♿ⷐΣ㧔ᢎ⢒⑼ቇ㧕 ‫ޢ‬No.12㧘pp.1-12㧚 Khorshidi, B.(2007)㧘A new and improved method for finding the center of gravity of a quadrilateral㧘The College Mathematics Journal 38 (2007)㧘 pp.225-226㧚 㤥↰ବ㇢(2000)㧘‫ޡ‬Ⴎ߇ᢎ߃ࠆᐞ૗ቇ‫ޢ‬㧘ᮮጊᱜ㆏ ✬㓸࡮⊒ⴕ㧚 ೨↰ᱜ↵࡮ᳰ↰ᢅ๺࡮⮮ේᄢ᮸࡮㋈ᧁ⺈࡮ᯅᧄศ⾆࡮ዊጊ⋥ੱ࡮⍹⼱ఝⴕ࡮ዊේ⟤ᨑ࡮㚍 ႐⵨࡮ᯅᧄศᒾ㧔2010㧕㧘‫ޟ‬ਛ࡮㜞╬ቇᩞᢙቇ⑼ߦ߅ߌࠆ࿑ᒻߦߟ޿ߡߩ⟤ߒߐࠍᗵᓧߔ ࠆᢎ᧚㐿⊒‫ޠ‬ 㧘 ‫ޡ‬ᮮᵿ࿖┙ᄢቇᢎ⢒ੱ㑆⑼ቇㇱ♿ⷐΣ㧔ᢎ⢒⑼ቇ㧕‫ޢ‬No㧚12㧘pp.135-154㧚 ਛ⼱ቝศ㇢(1958)㧘‫⑼ޡ‬ቇߩᣇᴺ‫ޢ‬㧘ጤᵄᣂᦠ㧚 ᷡችବ㓶(2001)㧘‫ޡ‬ೋ╬ᐞ૗ߩߚߩߒߺ‫ޢ‬㧘ᣣᧄ⹏⺰␠㧚 ᢙቇᢎ⢒ද⼏ળ࡮ዊᴛஜ৻㧔✬㧕㧔1998㧕‫▚ޡ‬ᢙ࡮ᢙቇ߅߽ߜ߾▫‫ޢ‬㧘࿖࿯␠㧘p.32㧚 ㋈ᧁ⺈(2009)㧘 ‫ߥࠎߤޟ‬྾ⷺᒻ߇ߢ߈ࠆ߆ߥ㧫‫ޠ‬㧘೨↰ᱜ↵࡮ᳰ↰ᢅ๺ઁ‫ޡ‬ਛ࡮㜞╬ቇᩞᢙቇ ⑼ߦ߅ߌࠆ࿑ᒻߦߟ޿ߡߩ⟤ߒߐࠍᗵᓧߔࠆᢎ᧚㐿⊒‫ޢ‬㧘ᮮᵿ࿖┙ᄢቇᢎ⢒ੱ㑆⑼ቇㇱ♿ ⷐΣ㧔ᢎ⢒⑼ቇ㧕No.12㧘pp.137-140㧚 ┻ౝ⧐↵࡮ᴛ↰೑ᄦ(1984)㧘‫ޡ‬໧㗴߆ࠄ໧㗴߳̆໧㗴ߩ⊒ዷ⊛ߥᛒ޿ߦࠃࠆ▚ᢙ࡮ᢙቇ⑼ߩ ᝼ᬺᡷༀ̆‫ޢ‬ 㧘᧲ᵗ㙚಴ ␠㧚 ౝᶏᐣਃ(1965)㧘‫ޟ‬໧㗴⸃᳿ߦ߅ߌࠆⷙೣᕈߩ⊒⷗ߣߘߩᕁ⠨ߩ᭽⋧ߦߟ޿ߡ‫ޠ‬ 㧘‫ޡ‬ᣣᧄᢙቇ ᢎ⢒ળ⹹ ⥃ᤨჇೀภ ᢙቇᢎ⢒ቇ⺰ⓥΫ‫ޢ‬㧘 pp.33-55㧚 ศ↰᣿ผ(2004)㧘 ‫ޟ‬ᢙቇࠍㅢߒߚੱ㑆ᒻᚑߣߪ૗߆‫ޠ‬㧘㐳ፒᩕਃ࡮㐳የ◊ᔒ࡮ศ↰᣿ผ࡮৻ᭉ ㊀㓶࡮ᷰㆻ౏ᄦ࡮࿖ቬㅴ⪺, ‫ޡ‬᝼ᬺ⎇ⓥߦቇ߱㜞ᩞᣂᢙቇ⑼ߩ࿷ࠅᣇ‫ޢ‬㧘᣿ᴦ࿑ᦠ㧘pp㧚21-35㧚 Ziman, J.㧘᪉੗㇌᦮࡮ᄢᳯ⑲ᚱ⸶(1985)㧘‫⑼ޡ‬ቇℂ⺰ߩᧄ⾰‫ޢ‬㧘࿾ੱᦠ㙚㧚 㨇⸼㨉 (1) ಳ྾ⷺᒻߩᐔⴕ྾ㄝᒻ߳ߩᄌᒻߪ㧘ಳ྾ⷺᒻߩᒻߦଐሽߒߡߢ߈ࠆ႐วߣߢ߈ߥ޿႐ว ߇޽ࠆ‫ߒ߆ߒޕ‬㧘ߢ߈ߥ޿႐วߢ߽㧘⠨߃ᣇࠍ᜛ᒛߔࠆߎߣߢ㧘ᐔⴕ྾ㄝᒻ߳ߣᄌᒻߔ ࠆߎߣ߇น⢻ߦߥࠆ‫ߪߊߒ⹦ޕ‬㧘ᰴߩᢥ₂ߦឝタߐࠇߡ޿ࠆ‫ޕ‬ᳰ↰ᢅ๺(2009)㧘‫ޟ‬㕟๮⊛ ⍮⼂₪ᓧߣ⚥Ⓧ⊛⍮⼂₪ᓧߩႺ⇇✢ࠍ߼ߋߞߡ㧙᜛ᒛߩࡊࡠ࠮ࠬߦὶὐࠍᒰߡߡ㧙‫ޠ‬㧘ᢙ ቇ⊛ᵴേ‫ޟ‬ㅪタ㧦ߐ߹ࠃ޿߆ࠄ᳇ߠ߈㧘ߘߒߡ⚊ᓧ߳‫ޠ‬㧘 ‫ޡ‬ᢙቇᢎ⢒‫ޢ‬No.615㧘᣿ᴦ࿑ᦠ㧘 pp.92-97㧚 (2) ⿒ጟᱜᲞ㧘‫ޠ᧼⊕࡞࠻ࠢࡌޟ‬㧘ጊ᪸⋵┙㖴ፒ㜞ᩞ(ᒰᤨ)ߩ⿒ጟᱜᲞవ↢߇㧝㧞ᐕ߶ߤ೨ߦ ૞ࠄࠇߚ࠰ࡈ࠻‫ޕ‬ 㧔⿒ጟవ↢߆ࠄߩଐ㗬ࠍฃߌ⍹⼱ߩࡎ࡯ࡓࡍ࡯ࠫ߆ࠄ࠳࠙ࡦࡠ࡯࠼ߢ߈ ࠆ‫ޕ‬http://www.ishitani.com/vector1.htm㧕 (3) ࠞࡉ࡝ߩ⹏ଔࡃ࡯࡚ࠫࡦ‫ޟ‬http://www.naoco.com/cabri/download/‫ޠ‬ (4) ⚿ᨐ߇߈ࠇ޿ߦ 3n ߦߥࠆࠊߌߢ޽ࠆ߇㧘ߎߩᗧ๧ߦߟ޿ߡ⵬⿷ߔࠆ‫ޕ‬ (n-1)ᰴర┙ᣇ૕߆ࠄ n ᰴర┙ᣇ૕ࠍ᭴ᚑߔࠆߎߣߪ㧘(n-1)ᰴర┙ᣇ૕ߦ߅ߌࠆ(n-1)୘ߩ ᭴ᚑⷐ⚛ߩฦ‫ߩޘ‬୘ᢙߩ๺ߦ 3(=2+1)ࠍ߆ߌߚߎߣߦߥࠆ‫ޕ‬ᰴߩᑼࠍߺࠇ߫㧘૗᡿ 3㧔=1+2㧕 ࠍ߆ߌࠆߣࠃ޿߆߇⸃㉼ߢ߈ࠆߢ޽ࠈ߁‫ޕ‬   {N(n-1,0)㧗N(n-1,1)㧗㨯㨯㨯㧗N(n-1,r)㧗㨯㨯㨯㧗n(n-1,n-1)}˜(2+1)  㧩N(n-1,0)˜2㧗{N(n-1,0)˜1㧗N(n-1,1)˜2}㧗㨯㨯㨯㧗{N(n-1,r-1)˜1㧗N(n-1,r)˜2}㧗   㨯㨯㨯㧗{N(n-1,n-2)˜1㧗N(n-1,n-1)˜2}㧗N(n-1,n-1)˜1  =N(n,0)㧗N(n,1)㧗㨯㨯㨯㧗N(n,r)㧗㨯㨯㨯㧗N(n,n-1)㧗N(n,n) ਄ᑼߩਅ✢ㇱࠍኻᔕߐߖࠆߣ㧘3n ߩᗧ๧ߪᦨೋߦㅀߴߚࠕ㧘ࠗߩ࡞࡯࡞ߦઁߥࠄߥ޿ ߎߣ߇ࠊ߆ࠆ‫ޕ‬ 23. 39.

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参照

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