貯水池群操作方式の基礎的考察　（Ⅱ）　－流入及び無効放流のない場合（諸損失水量の最少化を目的とする場合）－

貯水池群操作方式の基礎的考察 （ｎ）

  一流入及び無効放流のない場合（諸損失水量の

    最少化を目的とする場合）-近   森 (農学部   邦 利水工学研究室）

Fundamental

Consideration

 Methods

of Dam

Group

英

on the Operational

 （皿）

-Ａ

Case When

no Inflow and no Spill. (A Case

  toMinimize Total Natural Losses. ) '

      Kunihide Chikamori

・(Laboi･肘のでy of Water-Ｕtiliｚａtｉｏｎ Ｅｎｇｉｎｅｅ?･柚ｇ３Ｆａｃｉｉｌりｏｆ Ａｇｒicｕltｉぽｅ）

 In this paper, fundamental consideration on the operational methods of dam group is studied, mainly on the case when no inflow and no spill, in other words, the case to minimize total natural losses. Such a case is experienced in ａ arid region and in ａ long -succeeding dry period. As ａ condition for optimal operation, it is used that totallosses which are lost in the reservoir and on the way from reservoir to the user during a period are to be minimized.

 Total losses are divided into two kinds, namely   (1) Losses in the reservoir.

  (2) Losses in the river or in the channel.

 Dam groups are divided into three groups by the condition how they are located to the user. And their optimal operational methods are studied respectively. The basic rules obtained are as follows.   (1) Serial type

    To use stored water from upper to lower reservoir in sequence.   (2) Parallel type

    The larger ￡。/Q is, the sooner its stored water is used.   (3) Composite type ・

    The operational rules of (1) and (2) are applied.

      Ｉ．ま え が き   （Ｉ）においてspillの最少化を目的とする場合の貯水池群の操作方式について考察した。ここ ではspillの恐れのない貯水池群の操作方式について考察する。       ･。  流入のない貯水池は長期連続干天時に生じる。乾燥地帯あるいは乾期と雨期が明確に分かれてい る地帯の貯水池の多くはこの状態を経験する。無効放流は過大な降雨，融雪によるspillによるも のと，人為的な貯水池操作によるものとの２種類に大別され，何らの利用目的なしに放流され流去 するものである。このspillの最少化が最適操作方式のーつの条件であり，前稿においてはこの条 件のもどに基礎的考察を行なった。ここでは無効放流はないものとし，貯溜中の水が受益地に到達 するまでに失う水量を最少化することを目的として基礎的な考察を行なう。       Ｈ．一 般 的 考 察 本論文においては（Ｉ）におけると同様，貯水池群をその受益地に対する配置状態によって（i）

178 高知大学学術研究報告  第18巻  農  学  第19号 直列型貯水池群, (ii)並列型貯水池群, (iii)複合型貯水池群の３種類に分け，単一貯水池はその 最も単純な型として規定して考察を進める。       Ｉ  流入および無効放流のない一箇の貯水池の時間Ｔ経過後の貯水状態は①式で表わされる。ただ し貯水量は全て有効貯水量を意味するものとする。 Qr=Qo ここに T ￡Ｇ)ﾄﾞ……… … …Jﾃﾞj'゜……‘ご…… Q。: 時間Ｔ経過後の貯水量（ ｢） Qo : 初期貯水量（ ｢） ￡)(Z): Z､(､Z): 時刻Ｚにおける･有効放流量ト(mVs) / / 諸損失水量の和＼( ｢/s) ①  貯水の限界価値が各貯水池および時間に関して等しいと仮定すれば，―箇の貯水池の最適操方式 は①式左辺のＱ７,を最大にすることになる。しかし①式右辺各項のうちQoは確定している６ ￡)(Z)は各時期の必要水量に等しくとれば③式のように確定する。-ﾌ:)(Z)゜￡)(Z)ｎｅｅｄ＞0……… ②       ここにsuffixのneedは必要水量であることを表わす。  ただし実際には Dit)く￡)(Z)ｎｅｅｄの場合も生じ，利益の面赤ら考えるとそれが最適操作方式 となる場合もあるが，ここでは常に必要水量を供給するものとして考(え，前述のヶ−スについては 別稿にて考察することにする。 Qo, ￡)(Z)が確定したので￡(Z)を最少にするあるいはＱｒを最 大にすることになる。従って目的関数を次のように設定できる。 Ｚ＝  max OぶＱ７ Qr = m i n    OぶLit) I L(t) dt ③  さて，貯水池の水が放流されて受益地区に入るまでには途中の水路で種々の損失がある。これを 河道損失と定義すると，期間Ｔの間における一箇の貯水池の損失水蚤は（i）貯水池内における損 失(ii)河道損失の２種類に分けることかできる。従って次式か成立する。 ￡(Z)冶＝ ﾀﾞ41￡衣z)十Ｌ貳￡)}冶       ここにＬ(z)＝Ｌｎ(z)十￡lAt)         ゛＼'         Ｌｌ: 受益地までの河道における損失を表わす。         7,が貯水池における損失を表わす。 た箇の貯水池群の期間Ｔ内の最適操作方式のための目的関数は⑤式のようになる｡。

Z =

min剖‰)゛ 〕

 ≒Ｊtづﾐ4球心(ぬ十jLrXt)]

り

④ ⑤  ⑤式の右辺は一般に簡単な関数形では現わされないため解析的には解けず，試算によるほかな い。次に両損失を分析がる。

Ｑ∼I^n  貯水池群操作方式の基礎的考察 ｎ     （近森） 一一-      Ⅲ。貯水池における摘失 Ｌｒ（ ｢/s） 貯水池における単位時間当り損失水量￡,lは次のような関数形で表わすことができる。 Ｏ「 Lk = L≪ (a、ｂ） ……  ここに α：水面積      み：潤面積 ￡。＝ＬＪ､ａ(珀)十Ｌａ人ｂ(ん))  = ＬｈOi)  ＝￡ふU(Q))十Ln2(b{Q))  = L≪(Q)      ∂￡n ∠￡。      ￣尻:ドフＴ ……… ⑩式を差分になおすと      ∠1以∠乙    ，      ￣沢：ドフスＦ ……… Lr Lrb Lra Ｏ Qa     Fig. Q８ 1 Ｑ 179 ⑥ ⑦−１ ⑦−２ ⑥ ⑨ ⑩ ⑩

・等

Ｑ 0 Qo Fig. ２ Ｃ直線群およびＣ∼Ｑ  ⑤式において水面積αは蒸発による損失を表わし，潤面積みは惨透による損失に関係する。両 者は互いに無関係であるので⑥式は し＝Ｌｒi(α)十L≪2(i)のように分離形で取扱うことか可能 であり，またαおよび＆ともに水深h，あるいは貯水量Ｑの関数として表わすことができるか ら ⑦−２式は一般に次のような性格を有する。      優一＞ｏ，⑤うｏ また，単位貯水量当り損失水量￡丿Ｑを考えると

嗇陪ト引言一介修，

士(音)の正負は⑨式中央の式のｶﾌﾆﾆl内の正負によって定まる。即も 1.0  C 0.5 ０ ． ０ Lr ￡ａ∼ＱのグラフとしてFig. 1の曲線を考えると，⑩´式は図中に示すような関係になる。これに よれば⑩’式はある貯水状態における損失量の増分の比をそのときの損失水量対貯水量の比とくら

 180･        Ｊ包大星星眼研究報告  第18巻  ａ  学  第19号 ＾゛て，その大小に従って損失率￡μＱのＱに関する変化率の正負を判定する判定式であること かわかるo Fig. 1でＯＡはＬｒ＝Ｑなる直線であり，単位時間中に貯水量の全てか失われるこ とを意味する。またＬｎ＞Ｑはあり得ないから Ｌｒ/Ｑ＝ＣとおいてＯくＣぶ１となる。 Ｃは Fig. 2に示すような直線群を表わし｡  Ｔ≪∼Ｑ曲線とＣ直線群の交点付近の状態によって判別式 ⑩'式がどのようになるか判断できる。 Ｃ∼Ｑの関係をグラフに描けばFig. 2の点線のような曲 線になる。各種の標準横断面形における￡。∼Ｑの関係はFig. 3-2∼Fig. 3-7におけるｈ∼9 の関係と同じであり，嗇(七)≧Ｏとなる場合は少ない。ただし以上の考察において惨透係 数は各断面の単位潤辺長につき一定と仮定する。 IＶ.河道損失￡ｚ （ ｢/s） 河道損失は次のような関数係で表わすことができる。 ￡ｚ＝ＬＵ、ｑ） ‥‥‥‥‥ ＠       こ｡こに ｌ ： 河道延長 （ｍ）       ９：放流量 （ ｢/s）  河道損失量を各変数についての一変数関数と考え，他変数を固定した場合の河道損失のグラフは 一般にFig. 3のような形になる。 ｈ 曙︶ Ll 河道損失 １  １  ︵咳︶

晦)，

訓詣で

qo qo Fig  河辺延長 ((n.) Fig 3−1 Z∼￡￡

所驚

      (呪) 3−2 三角形断面

黙ご

討)にて

       q Fig. 3-4 台形断面 Ll Ll

誇)o

則二で

q6   qo Fig.

紳にご

       q Fig. 3-3 長方形断面

辱にで

紳にご

       q. 3−う 曲線断面（半円形・放物線形等）

Ll qo qi q2q3 貯水池群操作方式の基礎的考察 ｎ      （近森） ｑ 〉? ｡0印幻。 けf叫鴎

回鏃

囃こ

Fig. 3-6 複断面−1 Ll Qo Fig. 3 河道損失の特性   qi 12qa q4 q Fig. 3-7 複断面−２ 181 〉o:い‘μS3  Fig. 3の各図において惨透係数は単位潤辺長当り一定とする。  河道損失の内容は惨透および蒸発損失である。従って，  1，０を一定とした場合の全河道損失量の 関係はFig. 4のようになる。また，全放流量を一定とした場合の全河道損失量と放流量の関係は 一般にFig. 5のようになる。 仝河道損失量︵｢︶   Do   全放流量 Ｄ（ ｢） Fig. 4 z，･7が一定の場合の  （放流ｍ）∼（全河道損失ｍ） 全河道損失量︵｢︶      放流量･q f/s) Fig. 5 仝放流ｍを一定とした場合の  （全放流量）∼（全河道損失量） 、Fig. 3-1においてＬもが乙の増加関数であることは明白である。 −1ﾙｼﾞ!Ｌ＞0 である理 由はq, I qdt : const の条件から，実流量が下流に行柚こ従って漸減(∂9/∂Zく･o)なるためで

ある。Fig. 3-2∼Fig. 3-7においても∂Ｌｉ,/∂９＞Oは明白であるが，0≦９≦9oの範囲におい てはＬｉ,= ｑとなる。すなわち放流量は受益地に達することな＜全て河道において失われる。q>qo の部分でびＬｔＪ∂92くＯであるのはFig. 3-2∼Fig. 3-5 のような単断面の場合である。 Fig. 3−6∼Fig. 3−7 のような複断面の場合は断面形にょって∂2￡z;/∂92≧Oの部分や不迎続点が現わ れる。一般に単位辰流量当り損失水量ｏ放流丘ｕｃ対する変化率膏(午)（ｏ゛あるが･jUy

≧0の部分では尚(等)≧Ｏの場合が生じる。このことはFig 3−6 およびFig 3−7 に

おいて原点と曲線上の一点を結んだ直線のこう配の変化が正となることを意味しておヴ，単位放流 量当りの損失水量は増大する。

182 高知大学学術研究報告  第18巻  ａ  学  第19号 Ｖ。直列貯水池群の操作方式  流入および無効放流のない直列貯水池群内各貯水池が各々単独で受益地に一定量を供給するため には⑩式のような損失水量を生じる。ただした箇の直列貯水池群を考え上流端から番号を付す。 貯水池番号 第ん貯水池   た−1 ･ ｡ -< -J         ︱ ' （貯水池損失）十（河道損失）  ｋＬｒ ｉ−iTjR  込a  iLr  ＼I^ｎ 十    ｌａＬｒ. 十*-iLバ＝Ｊ 十sL､Ｌ(＝i＋iLｔ十∠３Ｌｌ=り。１)、Ｊ＝Σ∠ＩＬＪ）    Ｅ         ａ  ｊ ＋2￡バ＝３Ｌｌ十^LiS.3∼2＝Σ^Ll) 十χＬむ( = 2Ll十4L/. = 2、1＝Σ∠iLｒ.) (損失水量)   ＝ａ   °で1￡   ＝j￡ ＝2￡ ＝1￡      こ･こにj￡ :第丿貯水池から放流したときの受益地｡までの損失水量･      ４Ｌｉ.-(３＋1） j:第（j＋1）貯水池と第丿貯水池間の河道損失を表わす。 ⑩式の各￡について明らかに次式か成立つ。 IｓＬｌくｌ-1￡ｚく……く2￡j;く、Ｌ！5 ⑩ ⑩  自然流量のない場合にはZ,６が大きくなるため見掛け上の放流水量の損失は大きくなる。このこ とが水量制御の難易度と相って，利水時には一般に上流側貯水池の水から順に使用すべき理由であ る。しかるに⑧式およびFig. 2から推察されるように，貯水池の形状によっては上流側貯水池の 単位水量当りの損失率Ｌ/Ｑが小さくなる場合が生じる。連続した２箇の貯水池について考察す る・ j￡ﾉ迫く91￡/jJ2 とおけば⑩式より jＬｒ十迂 3＋iLｒ＋か1￡￡    くｰ---j(2        j＋1(2 ⑩ しかるに ｊＬ・―i＊＼L,ｈ十∠1￡ｚ｡り。1) J であるから       jLｒ十ｊ＋ｉＬｔ    ∠ＩＬ。(ｊ。) J   み＼Lr･＋3＋ｉＬｌ        十        く       ー ………●……… ⑩         jQ      迫      み1Q 従って両貯水池間の河道損失がきい場合は⑩式は成立し難い。⑩式か成立するのは⑥式および Fig. 2，Fig. 3 ―6, Fig. 3 ―7を参照して次のような場合であるが必ず成立するとは限らないので 正確に判定するには⑩式によらねばならない。   (i)両貯水池の河道損失が十分小さい。   (ii)上流側貯水池の量が下流側貯水池の貯水量よりも大。   (iii)上流側貯水池の平均径深が下流側貯水池の平均径深よりも大。  ⑩式が成立する場合には下流側貯水池の貯水から使用する方が適当な取水方法となる。ただしこ の場合は減水するに従って，上流側貯水池から取水する方が適当となるような状態に移る場合が多 い。また一般の貯水池ではFig. 2に見られるように士(jy￣)くＯのものか多い゜このよう な貯水池は貯水量が多いほど有利である。従って貯水池群全体の貯水量が一定の場合は少量を多数 の貯水池に貯溜するよりも大量を少数の貯水池に貯溜する方が有利となるら  単位時間当りの放流量9( ｢/ｓ)はlｖで説明したように特別な支障のある場合を除いて，できる だけ大きい方が望ましい。  さて，直列貯水池群における期間Ｔ内の最適操作方式のための目的関数は次式で表わされる。

Ｚ＝ 貯水池群操作方式の基礎的考察 n     ・（近森）

(誼

引声')゛

=忿帽

}LR{Q,t)dt十 jで ￡バq, t) dt＼ 18ろ ⑩ ⑩式のカッコ内は一般に簡単な関数形では表わし得ないので解析的に解くことはできない。また期 間をＮ箇に区切れば目的関数として次式か得られる。 2≒nMZ瓦証丿L≪jCQ) +}Ll‘(9)} ⑩ @, c'式カッコ内のＱおよび９は変数でありかつ人為的に操作することが可能である。このよ うな差分化した問題に対するＯ良的な解法としてはDynamic Programmingの手法が挙げられ るが多次元となった場合には実用的でなくなる。最も簡単な２箇直列の場合を例にとると Ｚ＝ 迦ZS{(ｉＬｒj(Q) +2￡″‘(Ｑ))べφφ7ト2以(9))} となり，この場合でも４次元の問題となりＮが大きくなれば実用的に解くことは困難になる。な お，河道損失が小さいものとして無視した場合には，２次元の配分問題となり制約条件を考慮して ＤＰ手法1り）により比較的容易に解くことができる。  以上｡の考察より直列貯水池群の操作方式は次のようになる。  Ｇ）上流側貯水池の貯水から順に使用するのを原則とし,｡下流側大容量の貯水池にできるだけ 大量に貯水する。  (ii)Ｌｒ/Ｑの大きい貯水池の貯水から順に使用する。  (iii)嗇（ｊｊＬ）＞Oの部分をもつ貯水池は，その部分でGi）の条件を検討する。  （iｖ）単位時間放流量9（ ｢/s）はできるだけ大きい方がよいか嗇（ｲyと）＞Ｏの場合に注 意する。  上の４つの操作基準のうち(ii)は（i）に優先する６  なお，直列貯水池群においては上流側貯水池から順に取水するにしても，受益者側からみれば最 下流の貯水池から取水することになる。従って実際の取水方式としては，下流端の貯水池からある 程度取水した後，上記の４基準を検討して上流側貯水池から放流して下流側貯水池を補給すること になる。従って期間を幾つかに区切って考慮することが適当であり，試算法あるいは逐次近似法に より最適操作方式を求めることにする。       Ⅵ。並列貯水池群の操作方式  並列貯水池群を構成する各貯水池の流域は独立であると考えられるから，その損失水量の動態を 直列貯水池群におけるようなマルコフ系列的な複雑な関係を考慮に入れる必要はなくて，各貯水池 について独立に考慮すればよくなる。損失水量の面から見た最適操作方式は単に各貯水池の残期間^ における損失水量の和を最少にするということにしぽられる。従って全期間を対象とすると目的関 数として⑩式が得られる。

184  (iii) らない。 高知大学学術研究報告  第18巻  農  学  第19号 Z = minΣ   O≦￡ﾉｰ1 じ L{t)dt ゴ￡″。tnLn  7Q   。Ｑ ’  iLｒ ｘ． ｗ､Ｌ、ｌ ￣ﾇ:Ｆ≒ﾆｺ:Ｆ’（  xLr   2￡尺_{￣万￣＞ニ:Γ}

盲(普

ＩＩ／ // ） … ⑩ ⑩ ……⑩´ ⑩ ＞Ｏの場 貯水量と損失水量の間には⑧式および⑨式のような関係かある。各貯水池の貯水の限界価値は等し いから最適操作方式選定のための道具として全損失水量の代りに各貯水池の単位水量当り損失水量 Ｌｒ/Ｑを選ぶ。次の⑩式が成立していればどの貯水池から取水してもよいことは明らかであるが， ⑩'式の状態にある場合は⑨式を考慮しなければならない。 Cj ．１７１=1,2,……,k;j≒7,l)‘ ･… / ／ すなわちⅢで述べたように殆んどの場合士＼ Q )く０であって貯水量が少なくなるにつ れて損失率は大となるので貯水量はできるだけ大きい方が望ま.しいか，必要量を放流するためには 何れかの貯水池において貯水量の減少はやむを得ない。従って一定期間内にどのようにすれば全損 失量を最少にできるか操作方式を選ぱねばならない。  まず２箇の並列貯水池について考え，次のように仮定する６ vn.複合型貯水池群の操作方式 ＶおよびⅥで述べたことから，複合型貯水池群の操作方式ば次のようになる。 （i）少数の貯水池に大佃:に貯水する。 (ii)Ｌｒ/Ｑの大きい貯水池の貯水池から順に使用する。   （iｖ）単位時間放流量g（ ｢/s）は一般にできるだけ大きい方がよいが 合に注意しなければならない。 まず一期間だけを考えて期末に残る貯水量を最大にする。すなわち一期間内の損失水量を最少にす ることを考える。このためには損失率の大きい第１貯水池の水をまず使用すればよいことは明らか である。そして殆んどの貯水池では１ 失率が増大するのでまず第１貯水池の水を使い尽すことが最適操作方式となる。しかしFig. 3-6, Fig 3−7 のような複断面形をもつ貯水池では士（ｽEjL）＞0の部分が存在することかあり， このような部分に入ったときは⑩式が成立するか検討しなければならない。  この方式は貯水池の箇数および期間数を増加しても同様に適用できる。個々の貯水池の放流方法 は受益地までの河道損失に関し，lｖで述べたように単位時間放流量g（ ｢/s）と Ll (mVs)の関 係に注意しなければならない。 ＞０ の部分をもつ貯水池は，その部分で(li)の条件を検討しなければな

嗇(等

（ｖ）直列型貯水池群はまず一箇の貯水池と考えて計算し，その後各貯水池に分ける。 目的関数はV, VIと同様に

Ｚ＝ 一 一 貯水池群操作方式の基礎的考察 Ｈ      （近森）

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血万ぶ,Liit)

185 ⑩ ⑩式はＶ，Ⅵと同様に，まず解析的には解けない。従って上記の５基準を考慮して計算範囲を狭め た後に試算法によって解くことになる。       VI.あ と が き  本論文では流入および無効放流のない場合の貯水池群操作方式について基礎的な考慮を加えた。 前論文3’では無効放流(Spill)の恐れのない連続干天等に適用すべきものである。  実際問題に本論文を適用する場合には惨透係数の変化，用水慣行等で多くの制約条件が加り，計 算か繁雑になることは当然である。       引 用 文 献 1) R.ベルマン，Ｓ．ドレイファス（小田中，有水訳） 「応用ダイナミック・プログラミング」日本科  学技術連盟, 1962.

2) W. A. Hall & N. Buras : The Dynamic Programming Approach to Water-Resources Develop- ment. J. G. R., Vol. 66, No. 2, 1961.

3）近森邦英：貯水池群操作方式の基礎的考察（Ｉ）一無効放流量の最少化を目的とする場合-，農業  土木学会論文集第24号, 1968.

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