H23 コマの物理から素粒子のスピン

まずは数学の復習から

ベクトル

ベクトルの内積・外積

三角関数と極座標

関数の微分

関数の積分

いろいろな　「量」

いろいろな　「量」

スカラー量

大きさのみを問題にする量 質量・温度

ベクトル量

大きさと方向を問題にする量 位置、速度

テンソル量

ベクトル ベクトル

始点

終点

ベ^ク トル

の^長 さ^＝

大^き さ

「方向」と「大きさ」

の性質をもつ

→ 矢印をつかって表現される

ベクトルと座標

ベクトルと座標

x

y

O



OA _{=a , b}

A _{a , b}



OA _{= } ^a

b _

ベクトルOA

始点をO（原点）、終点をAにもつベクトル



OA

書き方

または

原点Oを省略する場合もあります

^A ⃗

ベクトルの大きさ

ベクトルの大きさ

A= _ ^a

b _

x

y

O

A _{a , b}

∣ ^A ∣ ⁼ _ ^a

^b

ベクトル

の大きさ

ベクトルの大きさは矢印の長さ

＝ (0,0) (a,b) 間の距離

三角関数・角度

三角関数・角度



a

b

c = _ a ² b ² _{sin =} ^b

c

cos = ^a

c

tan _= ^b

a ⁼

sin 

cos _

三角関数と座標：　極座標

三角関数と座標：　極座標

x

y

O

A _{a , b}



∣A∣

b =∣A∣sin 

a =∣A∣cos  _{A= } ^a

b _ ⁼ _

∣A∣cos 

∣A∣sin  _

ベクトルの大きさと、特定の座標軸に対する角度で表すことができる

ベクトルの演算：和・差

ベクトルの演算：和・差

JR山形駅から小白川キャンパスへの行き方

JR山形駅

山形南高

小白川キャンパス

A ^ B = C ^

C 

A ^{ B}

ベクトルの差

ベクトルの差

A ^ B = C ^

C 

A ^{ B}

 B = C ^ − A

 B = C ^  _ − ^ A _

C 

− ^ A ^{ B}

− ^ A

A

スカラー量とベクトル量のかけ算

スカラー量とベクトル量のかけ算

x

y

O

a , b

A= _ ^a

b _

A' =k A=k _ ^a

b _ ⁼ _

k a

k b _

− A= _ ^−a

−b _

−a ,−b

ka , kb

ベクトルの分解

ベクトルの分解

x

y

O

A _{a , b}



a i

b j

ベクトルは基本ベクトル

i = _ ¹

0 _ ^{j =} _

0

1 _

をつかって分解できる。

A= _ ^a

b _

A= _ ^a

0 _ ^ _

0

b _

A=a i b j

A=a _ ¹

0 _ ^b _

0

1 _

ベクトルの内積

ベクトルのかけ算：　内積

ベクトルのかけ算：　内積



a = _ ^a

a

_

 b = _ ^b

b

_



∣ a ∣ ^{cos }

∣ ^b ∣

内積 _{a⋅b= ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos }

ベクトルの内積はスカラー量

角度が90度(π/2)以上の場合は負 直交する２ベクトルの内積は0

a⋅a= _∣ a _∣∣ a _∣ ^{cos 0}



a _⋅a = _{∣ } a _∣ ²

基本ベクトル同士の内積

基本ベクトル同士の内積

i⋅i=1

i⋅j=j⋅i =0

j⋅j=1

i⋅j= _{ ^{1  i = j }

0 _ i ≠ j _{ }}

i⋅j=

この様にかく事もあります

y

O _i

j x

a⋅b= _∣ a _∣ ∣ ^b ∣ ^{cos }

ベクトルのかけ算：　内積をベクトルの成分で書き下すと

ベクトルのかけ算：　内積をベクトルの成分で書き下すと



a ⋅b= _ a

ia

j _ ⋅ _ b

ib

j _



a ⋅b =a

b

i⋅ia

b

i⋅ja

b

j⋅ia

b

j⋅j



a ⋅b =a

b

a

b

 ^{a a}

 ^⋅  ^{b b}

 ^=a

^b

^a

^b

i⋅i=1

i⋅j=j⋅i =0

j⋅j=1

ベクトルの外積

ベクトルのかけ算：　外積

ベクトルのかけ算：　外積

A× ^ B = C ^

A

 B

C 

∣ C∣=∣A∣∣B∣sin 



ベクトル A、B と共に垂直で、 大きさが ^{AB sin θ} のベクトル

ベクトル A 、ベクトル B で作られる菱形に垂直で、 その大きさが菱形の面積 ^{AB sin θ} _{に等しいベクトル}

A ∥ ^ B  C ^ =0

ベクトル A 、ベクトル B が平行（反平行）な場合、外積は0 ベクトルの外積はベクトル量

ベクトルの外積を成分で表すと

ベクトルの外積を成分で表すと

A× ^ B = C ^

A

 B

C 

∣ C ∣=∣A∣∣B∣sin 

A= _ ^a _a



2

a

_

 B = _

b

b

b

_

C  = _

a

b

−a

b

a

b

−a

b

a

b

−a

b

_

a ₁ a ₂ a ₃ a ₁ a ₂ a ₃

b ₁ b ₂ b ₃ b ₁ b ₂ b ₃

覚え方は

C=

_∣

i j k

a₁ a₂ a₃

_∣

３行３列の行列の行列式

３行３列の行列の行列式

∣ ^{a a}

^{a a}

∣ ^{= a}

^a

^{− a}

^a

∣ ^{a a a}

^{a a a}

^{a a a}

∣ ⁼

a

_∣

a

a

a

a

a

a

a

a

a

_∣

−a

_∣

a

a

a

a

a

a

a

a

a

_∣

a

_∣

a

a

a

a

a

a

a

a

a

_∣

∣ ^{a a a}

^{a a a}

^{a a a}

∣ ^=a

^{∣ a a}

^{a a}

^{∣ −a}

^{∣ a a}

^{a a}

^{∣ a}

^{(-1) ∣ a a}

^{for a a a}

^∣

この計算方法は任意の次元の行列に適応可

→　当然　２×２行列だって同じ ^{ためしてみましょう}

外積に関する公式

外積に関する公式

A× B =− B× A

入れ替え

A ⋅ _ ^ B × C ^ _ = ^ B ⋅ _ C ^ × A _ = C ^ ⋅ _ ^ A× ^ B _

ベクトルの３重積（あとから再考）

A× _ ^ B× C ^ _  ^ B × _ C ^ × ^ A _  C ^ × _ ^ A × ^ B _ =0

その他

 ^{ A ×  B}  ^⋅  ^{C  × D }  ⁼  ^{ A ⋅ C }  ^{ B ⋅ D }  ⁻  ^{A  ⋅ D }  ^{ B ⋅ C } 

A× _ ^ B× C ^ _ = _ ^ A ⋅ C ^ _ ^ B− _ A ⋅ ^ B _ C ^

等々