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❞❡♥♦t❡❞ ❜②Wj✱ ❛♥❞ ❛ ✈❡❝t♦r ♦❢ L t②♣❡s ♦❢ ♥♦♥✲♣❡❝✉♥✐❛r② ❛ttr✐❜✉t❡s✱ ❞❡♥♦t❡❞ ❜② Aj✳ ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱Aj ♠❛② ✐♥❝❧✉❞❡
✇♦r❦✐♥❣ ❤♦✉rs✱ ✇♦r❦✐♥❣ ❧♦❝❛t✐♦♥✱ ❛♥❞ ♦✈❡rt✐♠❡ ♣♦❧✐❝②✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ✇❡ ❝❛♥ ❞❡✜♥❡ ❛♥ ✐♥❞✐❝❛t♦r ✈❛r✐❛❜❧❡ Yij✇❤✐❝❤ ✐s ❡q✉❛❧ t♦ ♦♥❡ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ❛♥ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ i ❝❤♦♦s❡s ❛ ❥♦❜ j✳
▲❡t Yij({wj, aj} , {w−j, a−j})❞❡♥♦t❡ t❤❡ ♣♦t❡♥t✐❛❧ ♦✉t❝♦♠❡ ❢♦r ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ i ❛♥❞ ❛ ❥♦❜ j✱ ✇❤❡r❡ wj✱ w−j∈ ΦW✱
❛♥❞ aj✱ a−j ∈ ΦA✳ ❚♦ ♦❜t❛✐♥ ✉♥❜✐❛s❡❞ ❡st✐♠❛t♦rs ♦❢ t❤❡ ♣♦t❡♥t✐❛❧ ♦✉t❝♦♠❡✱ ✇❡ ❢♦❧❧♦✇ t❤❡ r❛♥❞♦♠✐③❛t✐♦♥ ❛♣♣r♦❛❝❤
♦✛❡r❡❞ ❜② ❍❛✐♥♠✉❡❧❧❡r✱ ❡t✳✱ ❛❧ ✭✷✵✶✹✮✳ ❊❛❝❤ ❛ttr✐❜✉t❡s ♦❢ ❛ ❥♦❜ j✱ Wj ❛♥❞ Aj✱ ❛r❡ ♣✉r❡✲r❛♥❞♦♠❧② s❡❧❡❝t❡❞ ❢r♦♠ ΦW
✶❇❤❛tt❛❝❤❛r②❛ ✭✷✵✶✻✮ ♣r♦✈✐❞❡s s♦♠❡ ❡①t❡♥❞❡❞ r❡s✉❧ts ♦❢ ❇❤❛tt❛❝❤❛r②❛ ✭✷✵✶✺✮✱ ❢♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ s✐♠✉❧t❛♥❡♦✉s ♣r✐❝❡✲❝❤❛♥❣❡ ♦❢ ♠✉❧t✐♣❧❡
❛❧t❡r♥❛t✐✈❡✱ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ ❝❤♦✐❝❡✲❛❧t❡r♥❛t✐✈❡✱ ❛♥❞ ❝❤♦✐❝❡ ❛♠♦♥❣ ♥♦♥✲❡①❝❧✉s✐✈❡ ♦♣t✐♦♥s✳
✸
❛♥❞ ΦA ✐♥ ❡❛❝❤ ❝❤♦✐❝❡ t❛s❦s✳ ❇② t❤❡ r❛♥❞♦♠✐③❛t✐♦♥✱ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ♣♦t❡♥t✐❛❧ ♦✉t❝♦♠❡ ✭r❡❢❡rr❡❞ ❛s t❤❡
♣♦t❡♥t✐❛❧ ❝❤♦✐❝❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t②✮ ❝❛♥ ❜❡ ✐❞❡♥t✐✜❡❞ ❜② t❤❡ s✉❜✲s❛♠♣❧❡ ♠❡❛♥ ❛s
E[Yij({wj, aj} , {w−j, a−j})] = E [Yij| {Wj = wj, Aj= aj} , {W−j = wj, A−j = a−j}] . ✭✶✮
◆♦t❡ t❤❛t t❤❡ ♣♦t❡♥t✐❛❧ ❝❤♦✐❝❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❣❡♥❡r❛❧❧② ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ ♥♦t ♦♥❧② ❥♦❜ j✬s ❛ttr✐❜✉t❡s ❜✉t ❛❧s♦ ❛♥♦t❤❡r ❥♦❜✬s
❛ttr✐❜✉t❡s ✭❞❡♥♦t❡❞ ❜② W−j ❛♥❞ A−j✮✳
✷✳✷ ❘❛t✐♦♥❛❧ ❝❤♦✐❝❡ ❢r❛♠❡✇♦r❦
❚❤❡ ✉t✐❧✐t② ♦❢ ❛ ✇♦r❦❡r i ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜②
ui(w, a),
✇❤❡r❡ w ∈ ΦW ❛♥❞ a ∈ ΦA✳ ❙❛♠❡ ❛s ❇❤❛tt❛❝❤❛r②❛ ✭✷✵✶✺✮✱ ♦✉r ❢r❛♠❡✇♦r❦ ❞♦❡s ♥♦t r❡q✉✐r❡ ❛♥② str♦♥❣ ❛ss✉♠♣t✐♦♥s
♦♥ t❤❡ ✉t✐❧✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥s❀ ✐t ✐s ♥♦♥♣❛r❛♠❡tr✐❝❛❧❧② s♣❡❝✐✜❡❞ ❛♥❞ ❛❧❧♦✇s ♣r❡❢❡r❡♥❝❡✲❤❡t❡r♦❣❡♥❡✐t② ❛♥❞ ✐♥❝♦♠❡ ❡✛❡❝ts✳
❲❡ ❥✉st ♥❡❡❞ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♥♦♥♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❛ss✉♠♣t✐♦♥s❀
▼♦♥♦t♦♥✐❝✐t② ❋♦r ❛♥② w, w′ ∈ ΦW ❛♥❞ a ∈ ΦA✱ ui(w, a) ≥ ui(w′, a)✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ w ≥ w′✳
❈♦♥t✐♥✉✐t② ❋♦r ❛♥② a ∈ ΦA✱ ui(w, a)✐s ❛ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ w✳
❇♦✉♥❞❛r② ❋♦r ❛♥② a, a′ ∈ ΦA ❛♥❞ w ∈ ΦA✱ ui(w, a) ≥ ui(0, a′)✳
▼♦♥♦t♦♥✐❝✐t② r❡q✉✐r❡s t❤❛t ❛❧❧ ✇♦r❦❡rs ♣r❡❢❡r ❥♦❜s ✇✐t❤ ❤✐❣❤❡r ✇❛❣❡s ❣✐✈❡♥ ♥♦♥✲♣❡❝✉♥✐❛r② ❛ttr✐❜✉t❡s✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛ ❦❡②
❛ss✉♠♣t✐♦♥ t♦ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ♠❛✐♥ ✐❞❡♥t✐✜❝❛t✐♦♥ r❡s✉❧t✳ ❈♦♥t✐♥✉✐t② ✐s ❛ t❡❝❤♥✐❝❛❧ ❛ss✉♠♣t✐♦♥✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ♥❡❡❞❡❞ ♦♥❧② t♦ ❡♥s✉r❡ t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❲❚P✳ ❇♦✉♥❞❛r② r❡q✉✐r❡s t❤❛t ♥♦ ✇♦r❦❡rs ♣r❡❢❡r ❛ ❥♦❜ ✇✐t❤♦✉t ✇❛❣❡✱ ✇❤✐❝❤
♣r♦✈✐❞❡s ✉♣♣❡r ❛♥❞ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞s ♦❢ ❲❚P✳
❋✐♥❛❧❧②✱ ♦♥ t❤❡ ❥♦❜✲❝❤♦✐❝❡ ❜❡❤❛✈✐♦r ❜❡t✇❡❡♥ ❥♦❜s j ❛♥❞ −j✱ t❤❡ r❛t✐♦♥❛❧✐t② ✐s ❛ss✉♠❡❞❀
❘❛t✐♦♥❛❧✐t②✿ ❋♦r ❛♥② wj, w−j ∈ ΦW ❛♥❞ aj, a−j ∈ ΦA✱ Yij= 1 ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ui(wj, aj) ≥ ui(w−j, a−j)✳
❘❛t✐♦♥❛❧✐t② r❡q✉✐r❡s t❤❛t ✇♦r❦❡rs ❝❤♦♦s❡ ♠♦st ♣r❡❢❡rr❡❞ ❥♦❜ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ❡✈❡♥ ✐♥ t❤❡ ❝♦♥❥♦✐♥t ❡①♣❡r✐♠❡♥t✱ ✇❤✐❝❤
❛❧❧♦✇s ✉s t♦ ❝♦♥♥❡❝t t❤❡ ❝♦♥❥♦✐♥t ❞❛t❛ ❛♥❞ ✇♦r❦❡r✬s ♣r❡❢❡r❡♥❝❡✳ ❆s ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✷✳✶✱ t❤❡ ♣♦t❡♥t✐❛❧ ❝❤♦✐❝❡
♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s ❝❛♥ ❜❡ ✐❞❡♥t✐✜❡❞ ❜② E [Yij| {wj, aj} , {w−j, a−j}]✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ❘❛t✐♦♥❛❧✐t② ❧❡❛❞s t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡q✉❛t✐♦♥❀
E[Yij| {wj, aj} , {w−j, a−j}] = Pr [u (wj, aj) ≥ u (w−j, a−j)] . ✭✷✮
❊q✉❛t✐♦♥ ✭✷✮ ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t t❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❝❛♥ ❜❡ ✐♥t❡r♣r❡t❡❞ ❛s t❤❡ ♣r❡❢❡r❡♥❝❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t②✱ ✇❤✐❝❤ ❝❛♥ ❜❡
✐❞❡♥t✐✜❡❞ ❜② ❝♦♥❥♦✐♥t ❞❛t❛✳
✹
■♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ s❡❝t✐♦♥s✱ t♦ ❡✈❛❧✉❛t❡ ❲❚P✱ ✇❡ ♣r♦♣♦s❡ t✇♦ q✉❛♥t✐t✐❡s✳ ❚❤❡ ✜rst ✐s ❲❚P ❢♦r ❛ ✈❡❝t♦r ♦❢ ❛ttr✐❜✉t❡s✱
✇❤✐❝❤ ✐s r❡❧❡✈❛♥t t♦ ❝♦♠♣❛r❡ ✇❤♦❧❡ ❥♦❜ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡s✱ ❜✉t ❝❛♥♥♦t ❡✈❛❧✉❛t❡ t❤❡ ✐♠♣♦rt❛♥❝❡ ♦❢ ❡❛❝❤ ❛ttr✐❜✉t❡s✱ ❛♥❞ t❤❡
❡st✐♠❛t✐♦♥ ✐s ❞✐✣❝✉❧t ✐♥ ♣r❛❝t✐❝❡✳ ❚❤❡ s❡❝♦♥❞ ✐s t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❛✈❡r❛❣❡ ❲❚P ❢♦r ❛ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ♦❢ ❛ttr✐❜✉t❡✱ ✇❤✐❝❤
❝❛♥ ❡✈❛❧✉❛t❡ t❤❡ ✐♠♣♦rt❛♥❝❡ ♦❢ ❡❛❝❤ ❛ttr✐❜✉t❡ ✐♥ str❛✐❣❤t❢♦r✇❛r❞ ♠❛♥♥❡r✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ ✉♥❞❡r t❤❡ q✉❛s✐✲❧✐♥❡❛r ✉t✐❧✐t②
❢✉♥❝t✐♦♥✱ ✐t ❝❛♥ ❜❡ ❡st✐♠❛t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ❧✐♠✐t❡❞ s❛♠♣❧❡ s✐③❡✳
✷✳✸ ❲❚P ❢♦r ❛ ✈❡❝t♦r ♦❢ ❛ttr✐❜✉t❡s
❲❡ ✜rst s❤♦✇ ❤♦✇ t♦ ✐❞❡♥t✐❢② t❤❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ ❲❚P t♦ ❡①♣❡r✐❡♥❝❡ ❛ ✈❡❝t♦r ♦❢ ❥♦❜ ❛ttr✐❜✉t❡s a✳ ▲❡t ❝♦♥s✐❞❡r ❛
❝❤❛♥❣❡ ✐♥ ❛ ✈❡❝t♦r ♦❢ ❛ttr✐❜✉t❡ a ❢r♦♠ a = a0 t♦ a = a1✳
❇❡❝❛✉s❡ ♦✉r ❢r❛♠❡✇♦r❦ ❛❧❧♦✇s t❤❡ ♥♦♥✲❧✐♥❡❛r ✉t✐❧✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥✱ t❤❡r❡ ❡①✐st t✇♦ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ ❲❚P❀ t❤❡ ❝♦♠♣❡♥s❛t✐♥❣ ❛♥❞ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ✈❛r✐❛t✐♦♥✳ ❚❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❝♦♠♣❡♥s❛t✐♥❣ ✈❛r✐❛t✐♦♥ ❢♦r ❛ ✈❡❝t♦r ♦❢ ❛ttr✐❜✉t❡s ✐s
❞❡✜♥❡❞ ❛s
ui(w + CVi(w, a1, a0) , a0) = ui(w, a1) ,
✇❤✐❧❡ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ✈❛r✐❛t✐♦♥ ✐s
ui(w, a0) = ui(w − EVi(w, a1, a0) , a1) .
■t ✐s ❛♥ ✐♠♣♦rt❛♥t ♥♦t❡ t❤❛t ❇♦✉♥❞❛r② ♣r♦✈✐❞❡s t❤❡ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞ ♦❢ t❤❡ ❝♦♠♣❡♥s❛t✐♥❣ ✈❛r✐❛t✐♦♥ ❛s −w ❛♥❞ t❤❡ ✉♣♣❡r
❜♦✉♥❞ ♦❢ t❤❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ✈❛r✐❛t✐♦♥ ❛s w✳ ❆s ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ ❢♦❧❧♦✇s✱ t❤❡s❡ ❜♦✉♥❞s ❛❧❧♦✇ ✉s t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❡st✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ❲❚P✳
❇❡❝❛✉s❡ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ❛♥❞ ❝♦♠♣❡♥s❛t✐♥❣ ✈❛r✐❛t✐♦♥s ❝❛♥♥♦t ❜❡ ❡st✐♠❛t❡❞✱ ✇❡ ❢♦❝✉s ♦♥ ✐ts ❞✐str✐❜✉t✐♦♥❛❧
❝❤❛r❛❝t❡r✐st✐❝s✳ ❚❤❡ ❝✉♠✉❧❛t✐✈❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦❢ ❡❛❝❤ ✈❛r✐❛t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ❛s
FCV(w,a1,a0)(X) = Pr [CVi(w, a1, a0) ≤ X] ,
❛♥❞
FEV(w,a1,a0)(X) = Pr [EVi(w, a1, a0) ≤ X] .
▼♦♥♦t♦♥✐❝✐t② ❧❡❛❞s t❤❛t ui(w + X, a0) ≥ ui(w + CVi, a0) = ui(w, a1) ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ CVi ≤ X✱ ❛♥❞ ui(w, a0) = ui(w−EVi, a1) ≥ ui(w−X, a1)✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ EVi≤ X✳ ❚❤❡ ❝✉♠✉❧❛t✐✈❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❝❛♥ ❜❡ t❤❡♥ r❡✇r✐tt❡♥
❛s
FCV(w,a1,a0)(X) = Pr [ui(w + X, a0) ≥ ui(w, a1)] ,
❛♥❞
FEV(w,a1,a0)(X) = Pr [ui(w, a0) ≥ ui(w − X, a1)] .
✺
❈♦♠❜✐♥✐♥❣ ✇✐t❤ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✷✮ ♦❜t❛✐♥s ✐❞❡♥t✐✜❝❛t✐♦♥ r❡s✉❧ts ❛s
FCV(w,a1,a0)(X) = 1 − E [Yij| {Wj= w, Aj= a1} , {W−j = w + X, A−j= a0}] , ✭✸✮
❛♥❞
FEV(w,a1,a0)(X) = 1 − E [Yij| {Wj= w − X, Aj= a1} , {W−j = w, A−j= a0}] . ✭✹✮
▼♦r❡♦✈❡r✱ ❜② ✉s✐♥❣ ✐❞❡♥t✐✜❡❞ FCV(w,a1,a0)(X) ❛♥❞ FEV(w,a1,a0)(X)✱ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ❛♥❞ ❝♦♠♣❡♥s❛t✐♥❣
✈❛r✐❛t✐♦♥s ❛r❡ ❛❧s♦ ✐❞❡♥t✐✜❡❞ ❛s
ECV(w,a1,a0)(X) = ˆ
−w
XdFCV(w,a1,a0)(X),
❛♥❞
EEV(w,a1,a0)(X) = ˆ w
XdFEV(w,a1,a0)(X),
✇❤❡r❡ ✇❡ ✉s❡ t❤❡ ✉♣♣❡r ❛♥❞ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞s ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ❛♥❞ ❝♦♠♣❡♥s❛t✐♥❣ ✈❛r✐❛t✐♦♥s✳
❊q✉❛t✐♦♥s ✭✸✮ ❛♥❞ ✭✹✮ ♣r♦✈✐❞❡ ❡st✐♠❛t♦rs ♦❢ t❤❡ ❜❛s✐❝ ✇❡❧❢❛r❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts✳ ❊s♣❡❝✐❛❧❧②✱ ✐♥ t❤❡ s✐♥❣❧❡ ❛ttr✐❜✉t❡
❝❛s❡✱ ❜♦t❤ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❝❛♥ ❜❡ ❞✐r❡❝t❧② ✐♥t❡r♣r❡t❡❞ ❛♥❞ ❡❛s✐❧② ❡st✐♠❛t❡❞✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ✐♥ t❤❡ ♠✉❧t✐✲❛ttr✐❜✉t❡ ❝❛s❡✱ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❤❛✈❡ t✇♦ ♣r♦❜❧❡♠s✳ ❚❤❡ ✜rst ♣r♦❜❧❡♠ ✐s t❤❡ ❞✐✣❝✉❧t② ♦❢ st❛t✐st✐❝❛❧ ✐♥❢❡r❡♥❝❡✳ ❇❡❝❛✉s❡ ❝♦♥❥♦✐♥t
❡①♣❡r✐♠❡♥ts ♦❢t❡♥ ✐♥❝❧✉❞❡ ♠❛♥② ❛ttr✐❜✉t❡s ✇✐t❤ ♠✉❧t✐✲❧❡✈❡❧✱ t❤❡ ♥✉♠❜❡rs ♦❢ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥s t❤❛t ❜❡❧♦♥❣ t♦ t❤❡ ❝♦♥❞✐✲ t✐♦♥✐♥❣ s❡t ✐♥ t❤❡ r✐❣❤t✲❤❛♥❞ s✐❞❡ ♦❢ ❡q✉❛t✐♦♥s ✭✸✮ ❛♥❞ ✭✹✮ ❛r❡ ✈❡r② s♠❛❧❧✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ✐♥ ♣r❛❝t✐❝❡✱ ✐t ✐s ✈❡r② ❞✐✣❝✉❧t t♦ ❡st✐♠❛t❡ FCV(w,a1,a0)(X)❛♥❞ FEV(w,a1,a0)(X)✳
❚❤❡ s❡❝♦♥❞ ❛♥❞ ♠♦r❡ s❡r✐♦✉s ♣r♦❜❧❡♠ ✐s t❤❛t ✐t ✐s ❞✐✣❝✉❧t t♦ ✐♥t❡r♣r❡t t❤❡ ❡st✐♠❛t❡❞ ❲❚P ❜❡❝❛✉s❡ ❜❡t✇❡❡♥
❥♦❜s j ❛♥❞ −j✱ ♠✉❧t✐✲❛ttr✐❜✉t❡s ❞✐✛❡r ❛t s❛♠❡ t✐♠❡✳ ❆❧t❤♦✉❣❤ ✐t ✐s ♠♦r❡ ♣♦❧✐❝② r❡❧❡✈❛♥t t♦ ✐❞❡♥t✐❢② t❤❡ ❲❚P ♦❢
❡❛❝❤ ❛ttr✐❜✉t❡✱ ❡st✐♠❛t❡❞ ❲❚P ♦❢ ❛ ✈❡❝t♦r ♦❢ ❛ttr✐❜✉t❡s ❝❛♥♥♦t ♣r♦✈✐❞❡ ❛♥② ❛♥s✇❡rs✳
✷✳✹ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❲❚P ❢♦r ❛♥ ❛ttr✐❜✉t❡
❚♦ ❡st✐♠❛t❡ ❲❚P ❢♦r ❛♥ ❛ttr✐❜✉t❡ l✱ ✇❡ ♣✉t ❛♥ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❛ss✉♠♣t✐♦♥✿
◗✉❛s✐✲❧✐♥❡❛r ✉t✐❧✐t②✿ ui(w, a) = w + vi(a)✇❤❡r❡ vi ✐s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ ♥♦♥✲♣❡❝✉♥✐❛r② ❛ttr✐❜✉t❡s✳
◗✉❛s✐✲❧✐♥❡❛r ✉t✐❧✐t② ❧❡❛❞s t♦ ❡①♣❧✐❝✐t ✈❛❧✉❡s ♦❢ t❤❡ ❝♦♠♣❡♥s❛t✐♥❣ ❛♥❞ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ✈❛r✐❛t✐♦♥s ❛s
w+ CVi+ vi(a0) = w + vi(a1),
❛♥❞
w+ vi(a0) = w − EVi+ vi(a1).
✻
❚❤❡r❡❢♦r❡✱
CVi= EVi≡ W T Pi(a1, a0) = vi(a1) − vi(a0).
❆❜♦✈❡ ❡q✉❛t✐♦♥ s❤♦✇s t❤❛t ✐♥ t❤❡ q✉❛s✐✲❧✐♥❡❛r ✉t✐❧✐t② ❝❛s❡✱ t❤❡ ❝♦♠♣❡♥s❛t✐♥❣ ❛♥❞ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ✈❛r✐❛t✐♦♥s ♠✉st ❜❡ s❛♠❡✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ ❜❡❝❛✉s❡ t❤❡r❡ ❛r❡ ♥♦ ✐♥❝♦♠❡ ❡✛❡❝ts✱ t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ ❲❚P ❞♦❡s ♥♦t ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤❡ ✇❛❣❡ ❧❡✈❡❧✳
❲❡ ♥♦✇ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❛✈❡r❛❣❡ ❲❚P ❢♦r ❛♥ ❛ttr✐❜✉t❡ l ❛s
µW T Pl({a1,a−l},{a0,a−l})= E [W T Pi({a1, a−l} , {a0, a−l})]
= E [vi(a1, a−l) − vi(a0, a−l)] ,
✇❤❡r❡ ♦♥❧② ❛ttr✐❜✉t❡ l ✐s ❞✐✛❡r ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❥♦❜s✳ ■t ✐s ❛ q✉✐t str❛✐❣❤t❢♦r✇❛r❞ q✉❛♥t✐t② t♦ ❡✈❛❧✉❛t❡ t❤❡ ✐♠♣♦rt❛♥❝❡
♦❢ ❛♥ ❛ttr✐❜✉t❡ l✱ ❜✉t ✐t✬s st❛t✐st✐❝❛❧ ✐♥❢❡r❡♥❝❡ ✐s st✐❧❧ ❞✐✣❝✉❧t✳
❲❡ t❤❡♥ t✉r♥ t♦ t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❛✈❡r❛❣❡ ❲❚P ❢♦r ❛♥ ❛ttr✐❜✉t❡ l✳ ❇❡❝❛✉s❡ ❛ttr✐❜✉t❡s ❛r❡ ✉♥✐❢♦r♠❧② ❞✐str✐❜✉t❡❞✱ t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❛✈❡r❛❣❡ ❲❚P ❝❛♥ ❜❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❛s
¯
µW T Pl(a1,a0)= P
a
−l
E[vi(a1, a−l) − vi(a0, a−l)] P
L6=lnL
,
✇❤❡r❡ nL ✐s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❧❡✈❡❧ ♦❢ ❛♥ ❛ttr✐❜✉t❡ L. ¯µW T Pl(a1,a0)✐s ❛❧s♦ ❛ str❛✐❣❤t❢♦r✇❛r❞ q✉❛♥t✐t② t♦ ❡✈❛❧✉❛t❡ t❤❡
✐♠♣♦rt❛♥❝❡ ♦❢ ❛♥ ❛ttr✐❜✉t❡ l✳
❚❤❡ ♠❛✐♥ ✐❞❡♥t✐✜❝❛t✐♦♥ r❡s✉❧t ♦❢ t❤❡ ♣❛♣❡r ✐s s❤♦✇♥ ✐♥ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✶✳
Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✶✳ ❋♦r ❛♥② ❣✐✈❡♥ w✱ t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❛✈❡r❛❣❡ ❲❚P ❝❛♥ ❜❡ ✐❞❡♥t✐✜❡❞ ❛s
µW T Pl(a1,a0)= ˆ
Xd ˜FEVl(a1,a0)(X) = ˆ
Xd ˜FCVl(a1,a0)(X) ,
✇❤❡r❡
F˜CV(a1,a0)(X) = 1 − E [Yij| {Wj= w, Alj= a1} , {W−j = w + X, Al−j = a0}] , ✭✺✮
❛♥❞
F˜EV(a1,a0)(X) = 1 − E [Yij| {Wj= w − X, Alj= a1} , {W−j = w, Al−j = a0}] . ✭✻✮
Pr♦♦❢✳ ❙❡❡ ❆♣♣❡♥❞✐①✳
❆❜♦✈❡ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥ s❤♦✇s t❤❛t t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ❲❚P ❝❛♥ ❜❡ ❡st✐♠❛t❡❞ ❡✈❡♥ ✇✐t❤ t❤❡ ❧✐♠✐t❡❞ s❛♠♣❧❡ s✐③❡ ❜❡❝❛✉s❡ ✇❡
♥❡❡❞ t♦ ❡st✐♠❛t❡ ❝❤♦✐❝❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s ❝♦♥❞✐t✐♦♥✐♥❣ ♦♥ ❥✉st ✇❛❣❡ ❛♥❞ t❤❡ ❧❡✈❡❧ ♦❢ ❛♥ ❛ttr✐❜✉t❡ l✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ ✇❡ ❝❛♥ ♦❜✲ t❛✐♥ ♣♦✐♥t✲❡st✐♠❛t♦rs ♦❢ ❲❚P ✐❢ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❝❤♦✐❝❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s✱E [Yij| {Wj= w, Alj= a1} , {W−j = w′, Al−j = a0}]✱
❝❛♥ ❜❡ ❡st✐♠❛t❡❞ ❢♦r ❛♥② w✳ ❯♥❢♦rt✉♥❛t❡❧②✱ ♦✉r ❝♦♥❥♦✐♥t ❞❛t❛ ❥✉st ❛❧❧♦✇s ✉s t♦ ❡st✐♠❛t❡ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❝❤♦✐❝❡ ♣r♦❜✲
❛❜✐❧✐t✐❡s ♦♥ s♦♠❡ ❧❡✈❡❧s ♦❢ w✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ✐♥ t❤❡ ♥❡①t s❡❝t✐♦♥✱ t❤❡ ❜♦✉♥❞ ❡st✐♠❛t♦rs ♦❢ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ❲❚P ❛r❡ ♣r♦♣♦s❡❞✳
✼
✷✳✺ ❊st✐♠❛t✐♦♥
Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✶ s❤♦✇s t❤❛t ✇❡ ♥❡❡❞ t♦ ❡st✐♠❛t♦rs ♦❢ E [Yij| {Wj= w, Alj= a1} , {W−j = w′, Al−j= a0}]t♦ ❡❧✐❝✐t t❤❡
❛✈❡r❛❣❡ ❲❚P✳ ■♥ ♣r❛❝t✐❝❡✱ E [Yij| {Wj= w, Alj= a1} , {W−j = w′, Al−j = a0}]❝❛♥ ❜❡ ♥♦♥♣❛r❛♠❡tr✐❝❛❧❧② ❡st✐♠❛t❡❞
❜② ❛ s✉❜✲s❛♠♣❧❡ ♠❡❛♥ ❡st✐♠❛t♦rs✱ ♦r r❡❣r❡ss✐♥❣ t❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ♦✉t❝♦♠❡ ♦♥ ❞✉♠♠② ✈❛r✐❛❜❧❡s ❢♦r ✇❛❣❡ ❛♥❞ ❛ttr✐❜✉t❡s l❀
Yij= β0+ βWWij+ βlAij+ uij, ✭✼✮
✇❤❡r❡ β ✐s ❝♦❡✣❝✐❡♥t✱ ❛♥❞ uij ✐s ❛♥ ❡rr♦r t❡r♠✳ ◆♦t❡ t❤❛t ❜❡❝❛✉s❡ ❛❧❧ ❥♦❜ ❛ttr✐❜✉t❡s ❛r❡ ♣❡r❢❡❝t❧② r❛♥❞♦♠✐③❡❞✱ t❤❡
❛ss✉♠♣t✐♦♥ ♦❢ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡✱E[uitj|Witj, Aijl] = 0,♠✉st ❤♦❧❞✳
❆♥♦t❤❡r ✐♠♣♦rt❛♥t ♥♦t❡ ✐s t❤❛t t❤❡ ✉♥✐t ♦❢ ❛♥❛❧②s✐s ✐♥ t❤❡ r❡❣r❡ss✐♦♥ ✐s ❡❛❝❤ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ✐♥ ❡❛❝❤ t❛s❦ ♦❢ ❡❛❝❤ r❡s♣♦♥❞❡♥t✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ❡✈❡♥ t❤♦✉❣❤ r❡s♣♦♥❞❡♥ts ❛r❡ r❛♥❞♦♠❧② s❛♠♣❧❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ ♣♦♣✉❧❛t✐♦♥✱ t❤❡ ♦❜s❡r✈❡❞ ❝❤♦✐❝❡
♦✉t❝♦♠❡s ✇✐t❤✐♥ ❛ r❡s♣♦♥❞❡♥t ♠❛② ❜❡ ❝♦rr❡❧❛t❡❞✳ ❚❤❡ st❛t✐st✐❝❛❧ ✐♥❢❡r❡♥❝❡ r❡s✉❧ts ♠❛② ❜❡ t❤❡♥ ♠✐ss✲❧❡❛❞✐♥❣✳
❋♦r ❛♥ ❡①❛♠♣❧❡✱ r❡s♣♦♥❞❡♥ts ❤❛✈❡ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ ❛ttr✐❜✉t❡s t❤❛t ❛✛❡❝t t❤❡✐r ❛♥s✇❡r ✐♥ ❡✈❡r② t❛s❦✱ ✇❤✐❝❤ ❣❡♥❡r❛t❡s ❛
❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ♦❢ ❝❤♦✐❝❡ ♦✉t❝♦♠❡ ✇✐t❤✐♥ ❛ r❡s♣♦♥❞❡♥t✳ ❚♦ ❛✈♦✐❞ t❤❡ ❜✐❛s ❢r♦♠ s✉❝❤ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ❡rr♦r t❡r♠s✱
✇❡ ✉s❡ t❤❡ ❝❧✉st❡r r♦❜✉st st❛♥❞❛r❞ ❡rr♦r ❛t t❤❡ r❡s♣♦♥❞❡♥t ❧❡✈❡❧ ✐♥ ❛❧❧ r❡❣r❡ss✐♦♥s✱ ❛s s✉❣❣❡st❡❞ ❜② ❍❛✐♥♠✉❡❧❧❡r✱
❍♦♣❦✐♥s✱ ❛♥❞ ❨❛♠❛♠♦t♦ ✭✷✵✶✹✮✳
■♥ ♣r❛❝t✐❝❡ ♦❢ ❝♦♥❥♦✐♥t ❡①♣❡r✐♠❡♥ts✱ E [Yij| {Wj= w, Alj= a1} , {W−j = w′, Al−j = a0}]❝❛♥♥♦t ❜❡ ❡st✐♠❛t❡❞ ✐♥
❛♥② w ❛♥❞ w′ ❜❡❝❛✉s❡ t❤❡ ✏♣r✐❝❡✑ ♦❢ ❛ttr✐❜✉t❡ ♠❛② ❤❛✈❡ ♦♥❧② ❞✐s❝r❡t❡ ✈❛r✐❛t✐♦♥s✳ ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ✐♥ ♦✉r ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥✱ Wij t❛❦❡ ♦♥❧② ✈❛❧✉❡s ❛s 200, 000 ❏P❨✱ 250, 000 ❏P❨✱ 350, 000 ❏P❨✱ ❛♥❞ 550, 000 ❏P❨✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❡✈❡♥ ✐♥ t❤❡ ❝❛s❡✱ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❡st✐♠❛t♦rs ❝❛♥ ❜❡ ♦❜t❛✐♥❡❞❀ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ❝♦♠♣❡♥s❛t✐♥❣ ✈❛r✐❛t✐♦♥ ❝❛♥ ♣r♦✈✐❞❡ t❤❡ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞✱ ✇❤✐❧❡ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ✈❛r✐❛t✐♦♥ ♣r♦✈✐❞❡s t❤❡ ✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞✳
❋✐rst✱ ❧❡t ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡ t❤❡ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞ ♦❢ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ❲❚P ✇✐t❤ w = 200, 000 ❏P❨✳ ❋r♦♠ ❇♦✉♥❞❛r②✱ t❤❡ ❧♦✇❡r
❜♦✉♥❞ ♦❢ ❛♥ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❲❚P ✐s −200, 000 ❜❡❝❛✉s❡ ˜FCV(a1,a0)(−200, 000) = 0 ✭s❡❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✺✮ ✐♥ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✶✮✳
❚❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ❲❚P ❝❛♥ ❜❡ t❤❡♥ r❡✇r✐tt❡♥ ❛s
µW T Pl(a1,a0)= ˆ 0
−200,000
Xd ˜FEVl(a1,a0)(X) +
ˆ 50,000 0
Xd ˜FEVl(a1,a0)(X)
+
ˆ 150,000 50,000
Xd ˜FEVl(a1,a0)(X) +
ˆ 350,000 150,000
Xd ˜FEVl(a1,a0)(X) + ˆ
350,000
Xd ˜FEVl(a1,a0)(X) .
❚❤❡ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞s ✐s t❤❡♥ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❛s
µlowerW T Pl(a1,a0)= −200, 000 × ˜FEVl(a1,a0)(0)
+0 ×h ˜FEVl(a1,a0)(50, 000) − ˜FEVl(a1,a0)(0)i+ 50, 000 ×h ˜FEVl(a1,a0)(150, 000) − ˜FEVl(a1,a0)(50, 000)i
✽
+150, 000 ×h ˜FEVl(a1,a0)(350, 000) − ˜FEVl(a1,a0)(150, 000)i+ 350, 000 ×h1 − ˜FEVl(a1,a0)(350, 000)i. ✭✽✮
❇② s✐♠✐❧❛r ♠❛♥♥❡r✱ t❤❡ ✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞s ❝❛♥ ❜❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ✉s✐♥❣ t❤❡ ❝♦♠♣❡♥s❛t✐♥❣ ✈❛r✐❛t✐♦♥✳ ❊q✉❛t✐♦♥ ✭✻✮ ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t t❤❡ ✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞ ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❲❚P ✇✐t❤ w = 550, 000 ✐s 200, 000. ❚❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ❲❚P ❝❛♥ ❜❡ t❤❡♥ r❡✇r✐tt❡♥ ❛s
µW T Pl(a1,a0)= ˆ 0
Xd ˜FCVl(a1,a0)(X) +
ˆ 200,000 0
Xd ˜FCVl(a1,a0)(X)
+
ˆ 300,000 200,000
Xd ˜FEVl(a1,a0)(X) +
ˆ 350,000 300,000
Xd ˜FEVl(a1,a0)(X) +
ˆ 550,000 350,000
Xd ˜FEVl(a1,a0)(X) ,
❛♥❞ ✐t✬s ✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞ ✐s
µupperW T Pl(a1,a0)= 0 × ˜FEVl(a1,a0)(0)
+200, 000 ×h ˜FEVl(a1,a0)(200, 000) − ˜FEVl(a1,a0)(0)i+ 300, 000 ×h ˜FEVl(a1,a0)(300, 000) − ˜FEVl(a1,a0)(200, 000)i
+350, 000 ×h ˜FEVl(a1,a0)(350, 000) − ˜FEVl(a1,a0)(300, 000)i+ 550, 000 ×h1 − ˜FEVl(a1,a0)(350, 000)i. ✭✾✮
❈♦♠❜✐♥✐♥❣ ✇✐t❤ ❡q✉❛t✐♦♥s ✭✺✮✱ ✭✽✮✱ ❛♥❞ ✭✾✮ t❤❡♥ ❛❧❧♦✇s ✉s t♦ ✐❞❡♥t✐❢② t❤❡ ❧♦✇❡r ❛♥❞ ✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞s ♦❢ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡
❲❚P✳
✸ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥
❖✉r ❝♦♥❥♦✐♥t ❡①♣❡r✐♠❡♥t ✇❛s ❝♦♥❞✉❝t❡❞ ✐♥ ❏❛♣❛♥✳ ❚❤❡② ✇❡r❡ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❡❞ ❜② ❛♥ ✐♥t❡r♥❡t s✉r✈❡② ❛s ◆■❑❑❊■ ◆❊❊❉
✐♥ t❤❡ t✐♠❡✲♣❡r✐♦❞ ✶✶ ▼❛r❝❤✲✶✽ ▼❛r❝❤ ✷✵✶✻✳ ◆■❑❑❊■ ◆❊❊❉ ✐♥t❡r✈✐❡✇❡❞ ✸✱✵✻✸ r❡s♣♦♥❞❡♥ts ✇❤♦ ❧✐✈❡ ✐♥ ❚♦❦②♦ ❛♥❞
❖s❛❦❛ ♠❡tr♦♣♦❧✐t❛♥ ❛r❡❛✷✱ t❤❡✐r ❛❣❡ ✐s ❜❡t✇❡❡♥ ✷✵ ②❡❛r ♦❧❞ t♦ ✸✵ ②❡❛r ♦❧❞✱ ❛♥❞ t❤❡② ❤❛✈❡ ♠♦r❡ t❤❛♥ t❤❡ ❜❛❝❤❡❧♦r
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■♥ t❤❡ ❝♦♥❥♦✐♥t✲s✉r✈❡② ❡①♣❡r✐♠❡♥t✱ r❡s♣♦♥❞❡♥ts ✜rst r❡❛❞ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ s❝❡♥❛r✐♦✳
✏❨♦✉ ♥♦✇ ❤❛✈❡ ❥♦❜✲♦✛❡rs ❢r♦♠ t✇♦ ✜r♠s✳ ❊❛❝❤ ✜r♠ ❤❛s ✸✵✵ ❡♠♣❧♦②❡❡s ❛♥❞ ♦✛❡rs ♦✣❝❡ ❥♦❜s ✇✐t❤ r❡❣✉❧❛r✲
❡♠♣❧♦②♠❡♥t ❝♦♥tr❛❝ts✳ ❲♦r❦✐♥❣ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❛r❡ s❤♦✇♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t❛❜❧❡✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ❝♦♥tr❛❝t❡❞✳ ◆♦t❡ t❤❛t t❤❡r❡ ❛r❡
♥♦ ❞✐✛❡r❡♥❝❡s ❢♦r ♦t❤❡r ✇♦r❦✐♥❣ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✳✑
❊❛❝❤ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ✐s ❛ ♣r♦♣♦s❡❞ ❛ ❤②♣♦t❤❡t✐❝❛❧ ❥♦❜ ❛♥❞ ✐s ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② s❡✈❡♥ ❛ttr✐❜✉t❡s✳ ❚❤❡ ✜rst ❛ttr✐❜✉t❡
✐s ✇♦r❦✐♥❣ ❧♦❝❛t✐♦♥✱ ✇✐t❤ t❤r❡❡ ❧❡✈❡❧✳ ❚❤❡ ✜rst ❧❡✈❡❧ ✐s t♦ ✇♦r❦ ✐♥ ❆❦✐t❛ ♣r❡❢❡❝t✉r❡ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛ t②♣✐❝❛❧ ✏r✉r❛❧✑ ❛r❡❛ ✐♥
❏❛♣❛♥✸✳ ❚❤❡ s❡❝♦♥❞ ❧❡✈❡❧ ✐s ✇♦r❦✐♥❣ ✐♥ t❤❡✐r ❤♦♠❡ ♣r❡❢❡❝t✉r❡✳ ❚❤❡ t❤✐r❞ ❧❡✈❡❧ ✐s t♦ ✇♦r❦ ✐♥ ❚♦❦②♦ ♣r❡❢❡❝t✉r❡ ✇❤✐❝❤
✷❚♦❦②♦ ❛r❡❛ ✐s ❛ ✇♦r❧❞ ❧❛r❣❡st ♠❡tr♦♣♦❧✐t❛♥ ❛r❡❛✱ ✇❤✐❧❡ ❖s❛❦❛ ❛r❡❛ ✐s t❤❡ s❡♥❞ ❧❛r❣❡st ✐♥ ❏❛♣❛♥✳
✸❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ t❤❡ r❛t✐♦ ♦❢ ❛❣❡❞ ♣❡rs♦♥ ✭♦✈❡r ✻✺ ♦❧❞✮ ♦✈❡r t❤❡ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥✲❛❣❡ ♣♦♣✉❧❛t✐♦♥ ✭❜❡t✇❡❡♥ ✶✺✲✻✹ ♦❧❞✮ ✐s ❤✐❣❤❡st ❛♠♦♥❣
❏❛♣❛♥❡s❡ ♣r❡❢❡❝t✉r❡ ✐♥ ✷✵✶✹✳
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✐s ❛♥ ❡❝♦♥♦♠✐❝ ❛♥❞ ♣♦❧✐t✐❝❛❧ ❝❛♣✐t❛❧ ✐♥ ❏❛♣❛♥✳
❚❤❡ s❡❝♦♥❞ ❛ttr✐❜✉t❡ ✐s ❛❜♦✉t ❛ ❥♦❜ tr❛♥s❢❡r✱ ✇✐t❤ t✇♦ ❧❡✈❡❧✳ ❚❤❡ ✜rst ❧❡✈❡❧ ✐s t❤❛t ❡♠♣❧♦②♠❡♥t ♠❛② ❢♦r❝❡ t❤❡
❥♦❜ tr❛♥s❢❡r ❢♦r ❛♥② ♦t❤❡r ♣r❡❢❡❝t✉r❡s✱ ❛♥❞ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❧❡✈❡❧ ✐s t❤❛t t❤❡r❡ ✐s ♥♦ s✉❝❤ tr❛♥s❢❡r✳ ❚❤❡ t❤✐r❞ ❛ttr✐❜✉t❡ ✐s
♦✈❡r t✐♠❡❀ t❤❡ ✜rst ❧❡✈❡❧ ✐s t❤❛t ✇♦r❦❡rs ♠❛② ♥❡❡❞ t♦ ✇♦r❦ ♦✈❡rt✐♠❡✱ ✇❤✐❧❡ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ✐s t❤❛t ✇♦r❦❡rs ❞♦♥✬t ♥❡❡❞ t♦
♦✈❡rt✐♠❡✲✇♦r❦✳
❚❤❡ ❢♦✉rt❤ ❛♥❞ ✜❢t❤ ❛ttr✐❜✉t❡s ❛r❡ ❛❜♦✉t s♣❡❝✐❛❧ ❧❡❛✈❡ s②st❡♠✳ ❚❤❡ ❢♦✉rt❤ ✐s ❝❤✐❧❞✲❝❛r❡ ❧❡❛✈❡✱ ✇✐t❤ t❤r❡❡ ❧❡✈❡❧s✳
❚❤❡ ✜rst ❧❡✈❡❧ ✐s t❤❛t ✇♦r❦❡rs ❝❛♥ t❛❦❡ ✉♥♣❛✐❞ ❝❤✐❧❞✲❝❛r❡ ❧❡❛✈❡ ❛s ♦♥❡ ②❡❛r✳ ❚❤❡ s❡❝♦♥❞ ❧❡✈❡❧ ✐s t❤❡ ♦♥❡ ②❡❛r ❝❤✐❧❞✲❝❛r❡
❧❡❛✈❡ ✇✐t❤ ❤❛❧❢ ♦❢ r❡❣✉❧❛r ♣❛②♠❡♥t✱ ✇❤✐❧❡ t❤❡ t❤✐r❞ ❧❡✈❡❧ ✐s t❤r❡❡ ②❡❛r ❜✉t ✉♥♣❛✐❞✳ ❚❤❡ ✜❢t❤ ❛ttr✐❜✉t❡ ✐s ❡❧❞❡r❧②✲❝❛r❡
❧❡❛✈❡❀ t❤❡ ✜rst ❧❡✈❡❧ ✐s t❤❛t ✇♦r❦❡rs ❝❛♥ t❛❦❡ ❡❧❞❡r❧②✲❝❛r❡ ❧❡❛✈❡ ❛s ♥✐♥❡ ♠♦♥t❤ ♠❛①✐♠✉♠✱ ✇❤✐❧❡ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❧❡✈❡❧ ✐s
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❚❤❡ s✐①t❤ ❛ttr✐❜✉t❡ ✐s ❛♥ ♦♣♣♦rt✉♥✐t② ♦❢ ♣r♦♠♦t✐♦♥✱ t❤❡ ✜rst ❧❡✈❡❧ ✐s t❤❛t ✇♦r❦❡rs ❤❛✈❡ ❛♥ ♦♣♣♦rt✉♥✐t② ♦❢
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