資料アップローダ 数学勉強会＠札幌

練習問題４－１ 別解

2010.11.2 H.Hiro

問

a, b ^{実ベクトル 場合} ||a + b||² = ||a||² + ||b||² + 2(a, b) (a, b) = (||a + b||² - ||a||² - ||b||²) / 2

表せ こ う _{(a, b)} を_{a b} ノルム 式 表すこ

a, b ^{複素ベクトル 場合} (a, b) ^をa b ^{ノルム 式 表せ}

導出 方針

複素ベクトル 場合 _{||a + b||}

2 _{= ||a||}2 _{+ ||b||}2 + (a, b) + ^あ Re(a, b) = {(a, b) + } / 2 = (||a + b||² - ||a||² - ||b||²) / 2

いう わ そこ こ う ノルムを使 _{Im(a, b)} す わ

{(a, b) - } / 2i ^{いう形 導出 ば あ} (a, b) = Re(a, b) + i^・Im(a, b) ^す

こ 所望 結果 得

そこ _{||a + kb||}

2 _k

複素数 を計算す ば そ 結果 _||a||

2 _{+ ||b||}2 + (a, b) +

係数 付い 予想し計算をし 実際

||a + kb||² = ||a||² + ||kb||² + (a, kb) + = ||a|| ² + |k|^・||b||² + (a, b) + k (a, b) - ^形を得 _{= -k} ^{複素数を一 取 ば}

い 実際 _{k = i} こ を満 す

回答

上記 通 Re(a, b) = (||a + b||² - ||a||² - ||b||²) / 2 あ

||a + ib||² = ||a||² + ||ib||² + (a, ib) + = ||a||² + |i|^2・||b||² + (a, b) + i

= ||a||² + ||b||² - i(a, b) + i

- i(a, b) + i = ||a + ib||² - ||a||² - ||b||²

∴Im(a, b) = {(a, b) - } / 2i = (||a + ib||² - ||a||² - ||b||²) / 2

以上

(a, b) = Re(a, b) + i^・Im(a, b)

= {(||a + b||² - ||a||² - ||b||²) + i^・(||a + ib||² - ||a||² - ||b||²)} / 2

= {||a + b||² + i||a + ib||² - (1 + i)(||a||² + ||b||²)} / 2

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