関数 exp のグラフ

(1)

関数 e ^−x

²

(2)

以下のような手順で関数 g(x) = e⁻^x²^/2のグラフの概形を調べることができる。

g^′_{(x) = − xe}⁻^x²^/2

g^′′_{(x) = − e}⁻^x²^/2+ x²e⁻^x²^/2= (x²_{− 1)e}⁻^x²^/2

である。g^′(x) = 0 とおけば、e⁻^x²^/2 > 0であるから、x = 0. また、g^′′(x) = 0とおけば x = ±1. これに基づき、関数 g(x) の増減表は次のようになる。グラフの凹凸も g^′(x)と g^′′(x)の符号でわかる。

x · · · −1 · · · 0 · · · 1 · · · g^′(x) + + + 0 ₋ ₋ ₋ g^′′(x) + 0 ₋ ₋ ₋ 0 + g(x) _✆^✻ e⁻^1/2 ^✞^✲ 1 ^☎^❄ e⁻^1/2 ✝^✲

表 1: g(x) の増減表

さらに、g(x) = g(−x) であるから、グラフは y 軸に関して対称である。また

x→∞lim ^{g(x) = lim}x→−∞^{g(x) = 0}

で、かつ g(x) > 0 あるから、x 軸がこのグラフの漸近線になっている。

^x2²

図 1: 関数 y = e⁻^x²^/2 のグラフ

1