場合を順序よく整理して ２

第６学年 算数科学習指導案

１ 単 元 場合を順序よく整理して ２ 指導観 ○ 本学級の子ども達は、算数の学習に意欲的に取り組み、課題に対して自分の考えをつくったり、 考えをもとに友達と交流したりしながら問題を解決していくことを楽しんでいる。これまでに、 身の回りにある数量を分類したり、簡単な表やグラフに表現したりすることができるようになっ てきた。また、数量の関係を整理しながら順序よく落ちなく考えていくために、全ての場合を表 にかいて、その中から条件に合った場合を見つけることができるようになってきている。そこで、 数量の関係が多少複雑な場合でも、事象の特徴に着目して、適切な観点から分類整理し、順序よ く列挙できるようになることができるこの期に、本単元を取り上げる。そして、具体的な事柄に ついて、起こり得る全ての場合を順序よく整理して調べることができるようにする。また、事象 の特徴に着目して、順序よく整理をする観点を決めて、落ちや重なりがなく調べる方法を考察す ることができるようにする。このことは、根拠を基に筋道を立てて考えたり、目的に応じて柔軟 に表現したりすることができる子どもを育てる上からも意義深い。 ○ 本単元に関しては、これまでに、第１学年で、ものの個数を絵や図を用いて表したり読み取っ たりすること、第２学年では、身の回りにある数量を分類整理して、簡単な表やグラフを用いて 表したり読み取ったりすること、第３学年では、資料を分類整理して、簡単な２次元表や棒グラ フを用いて分かりやすく表したり読み取ったりすること、第４学年では、目的に応じて資料を集 めて、二つの観点から分類整理し、折れ線グラフを用いて分かりやすく表したり特徴を調べたり すること、第５学年では、全体と部分、部分と部分の間の関係から特徴を調べたり、割合を表す 円グラフや帯グラフに表したり読み取ったりする学習をしてきている。本単元では、これらの上 に立って、日常生活における具体的な事象を通して、起こり得る全ての場合を適切な観点から分 類整理して、順序よく列挙できるようにすることができるようにする。また、落ちや重なりが生 じるような順序や組み合わせ等の事象については、規則に従って正しく並べたり、整理して見や すくしたりして、誤りなくすべての場合を明らかにすることができるようにする。このことは、 中学校第２学年で学習する「確率」へと発展していく。 ○ 本単元の指導にあたっては、具体的な事柄について、起こり得るすべての場合を適切な観点か ら図や表などを用いて分類整理して、落ちや重なりがないように調べることができるようにする ことをねらいとしている。そこで、起こり得る全ての場合を考えていくときには、分類整理をす る観点を決め、それに従って表や図を用いながら順序よく組み合わせたり並べたりすることを大 切にしていく。そのために、まず、『つかむ・さぐる』段階では、学校での生活経験や修学旅行の 場面から、起こり得る場合を順序よく整理していく方法を考える本単元の学習課題をつかませる。 そして、落ちや重なりがないような組み合わせや並べ方の方法について、表や図を用いながら順 序よく整理して考えさせる。ここでは、組み合わせの中で、補集合の考えで調べさせたり部分を 取り出して並べる並べ方も考えさせたりすることで、場合の数の調べ方の理解を深める。次に、 『ふかめる』段階では、起こり得るさまざまな場合において、順序よく整理しながら、目的に合 った行き方や回り方を能率的に調べる方法を考えさせる。最後に、『まとめる』段階では、日常生 活に即した問題を通して、目的に応じて場合を順序よく整理する方法の理解を深め、単元学習を 振り返ることができるようにする。これらの活動を通して、物事を順序よく筋道を立てて考えた り、思考したことを図や表に表現しながら説明したりすることができる子どもを育てていきたい。

特に本時指導にあたっては、起こり得る全ての場合を落ちや重なりがなく並べるためには、特 定の一つに着目したり、起点を一つずつ決めたりしながら順序よく整理することができるように する。そのために、まず、「つかむ」段階では、前時学習の長崎の３つの名所の並べ方を振り返り、 名所が４つに増えると並べ方がどうなるか話し合い、本時のめあてをつかませる。次に、「さぐる」 段階では、４つの名所の並べ方について、落ちや重なりがなく起こり得る全ての並べ方を考えて、 求め方を説明し合う。ここでは、樹形図を用いて、どのように求めたかを説明させていくことで、 順列の場合の数の増えたときにも、起点を一つずつ決めていくと順序よく並べることができると いう見方・考え方が活かせることに気付かせる。そして、「ふかめる」段階では、名所が５つに増 えたとき、落ちや重なりがなく起こり得る全ての並べ方をグループで考えて、求め方を説明し合 う。最後に「まとめる」段階の本時学習の振り返りでは、次時からの学習意欲を向上させるため に、本時での自己の学びとこれから学びたいこと、友達と学ぶよさの観点で振り返らせる。 ３ 目標 （１）身近な事象を整理することに関心を持ち、起こり得る場合を順序よく整理して調べようとした り、能率的に整理する見方・考え方を進んで生活場面に発揮しようとしたりする態度を育てる。 （２）組み合わせや順序について、図や表を適切に用いながら、一つを固定してその条件の下で残り を順序よく変化させたり、落ちや重なりがないように筋道立てて考えたりすることができる。 （３）組み合わせや順序について、整理する観点をもとに、落ちや重なりがないように樹形図や表、 対角線図等の図を用いて、起こり得る全ての場合を順序よく整理して調べていくことができる。 （４）起こり得る場合を落ちや重なりなく順序よく整理していくためには、一つを固定する考え方を もとに、目的に応じて図や表を工夫しながら表して考えるとよいことを理解することができる。 ４ 計画（１０時間） （１）学習課題を設定し、場合の数の調べ方について考える・・・・・・・・・・・・・・・・（６） ○組み合わせ方について、落ちや重なりがないように順序よく調べる。――――――――① ○組み合わせ方で、補集合の考えを使って調べる。―――――――――――――――――① ○並べ方（３つ）について、落ちや重なりがないように順序よく調べる。―――――――① ○並べ方（４つ・５つ）について、落ちや重なりがないように順序よく調べる。――――①(本時) ○部分を取り出して並べる並べ方を調べ、練習問題に取り組む。 ――――――――――② （２）日常の生活場面に即したいろいろな場合の問題について考える。・・・・・・・・・・・・（３） ○起こり得る場合を順序よく整理して、目的に合う行き方や道順を考える。――――――② ○練習問題を基に、起こり得る場合を順序よく分類・整理しながら、 問題の解決方法を考える。―――――――――――――――――――――――――――① （３）補充的・発展的な問題を通して、学習の振り返りをする。・・・・・・・・・・・・・・・（１） ５ 主眼 ○起こり得る全ての場合を落ちや重なりがなく並べるためには、特定の一つに着目したり、起点を 一つずつ決めたりして順序よく整理していくとよいことを理解することができるようにする。 ○図を用いて順序よく整理していく過程で、順列の場合の数が増えたときでも、樹形図を使いなが ら特定の一つに着目して起点を決める考え方がいかせることを説明することができるようにする。 ６ 準備 教師 ５つの長崎市内の名所(板書用)、樹形図ヒントカード 児童 ５つの長崎市内の名所カード

７ 展開（４／１０） 階 学 習 活 動 具 体 的 支 援 つ か む ／ さ ぐ る ／ ふ か め る ／ ま と め る １ 前時学習の長崎の３つの名所の並べ方を振り返り、名所 が４つに増えると並べ方がどうなるか話し合い、本時のめ あてをつかむ。 ○既習の見方を活かせないか考え、自ら見通しを立てる。 ２ ４つの名所の並べ方について、落ちや重なりがなく起こ り得る全ての並べ方を考えて、求め方を説明し合う。 ○起点を決めるという見方をもとに、樹形図を用いながら 落ちや重なりがなく順序よく並べる方法を考え、グルー プや全体で説明し合う。 ３ 名所が５つに増えたとき、落ちや重なりがなく起こり得 る全ての並べ方を考えて、求め方を説明し合う。 ○３つや４つの名所を並べるときの見方を活かして、樹形 図を用いながら、落ちや重なりがなく順序よく並べる方 法を考え、グループや全体で説明し合う。 ４ 本時学習のまとめをして、振り返りをする。 ○本時学習を振り返り、自己の学びを自覚する。 ○自ら問いをつくることができる ために、前時と本時の学習問題 を比較させ、前時の求め方を想 起させる。 ○起点を固定して順序よく並べる という見通しを立てさせるため に、既習で学んだ見方・考え方 を想起させる。 ○２つ目の起点を決めて並べるよ さを味わわせるために、1 つ目の 起点以降が順序関係のない樹形 図と２つ目も起点を決めた樹形 図を比較しながら、グループや全 体で説明させる。 ○落ちや重なりがあるかすぐにわ かるために、場所を記号化(ＡＢ ＣＤ)して考えさせる。 ○グループや全体交流の観点を明 確にするために、「起点を決める よさは何か」を説明させる。 ○並べる数が増えても順序よく並 べることができることを捉えさ せるために、一つずつ起点を決め ていくことに着目させる。 ○５つを並べるときも、起点を決め ると全ての並べ方を順序よく並 べることができることを捉えさ せるために、３つと４つの並べる ときの見方を想起させる。 ○本時学習を自らまとめさせるた めに、並べ方を求めるときの見 方・考え方を振り返させる。 ○本時学習の成就感を味わわせた り、次時からの学習意欲を向上さ せたりするために、本時での自己 の学びとこれから学びたいこと、 友達と学ぶよさの観点で振り返 らせる。 長崎の名所が増えたとき、落ちや重なりがないように 順序よく並べる方法を考えよう。 《長崎の名所 ４つを並べる場合》 1 つ目をＡに決め、2 つ目をＢと決めると３つ目はＣかＤ の場所になるよ。１つ目を決めて、２つ目を決めると、落 ちや重なりがなく順序よく並べることができるね。 並べる数が増えたとき、1 つ目→2 つ目→3 つ目と決めて いくと、落ちや重なりなく順序よく並べることができる。 ・４つの名所を並べるときに、自分は1 つ目しか決めなかったので途中 分からなくなったけど、○○さんと交流して、2 つ目を決めるといいこ とに気付くことができました。 ・並べ方が、６つ、７つに増えるとどうなるのか考えてみたいです。 また、修学旅行の計画のときにこれをもとに検討してみたいです。 《長崎の名所5 つを並べる場合》 1 つ目をＡと決めて、2 つ目をＢと決 めるよ。そして、３つ目をＣと決めた ら、残りはＤとＥだね。３つ目がＤの 場合だったら、残りはＣかＥだね。 ３つ目がＥの場合だったら・・・ Ｄ Ｅ Ｄ Ｅ Ｃ Ｃ Ｅ Ｃ Ｅ Ｄ ］ Ｅ Ｂ Ａ Ｃ ①《２つ目の起点が決まっていない図》 ②《２つ目の起点が決まっている図》 Ｃ Ｄ Ｃ Ｄ (4) (2) (1) (3) (5) 3 つの並べ方のときは、1 つ目を決めればよかったから その考えが使えそうだ。樹形図で表してみよう。 Ａ― Ｂ－Ｃ－Ｄ Ｃ－Ｄ－Ａ Ｄ－Ａ－Ｂ Ｂ－Ｄ－Ｃ ･･･ Ａ Ｂ _Ｄ Ｃ _Ｃ Ｄ Ｃ _Ｄ Ｂ _Ｂ Ｄ Ｄ _Ｃ Ｂ _Ｂ Ｃ 《長崎の名所 ５つを並べる場合》 1 つ目の場所を決め、2 つ目の場所を決め、3 つ目の場所を 決めていくと、落ちや重なりがなく並べることができるね。 (4) (2) (1) (3) (1) (2) (3) (4)

８ 単元指導計画「場合を順序よく整理して」（１０時間） 段 階 学 習 活 動 具 体 的 支 援 つ か む ・ さ ぐ る ⑥ （ 本 時 ４ ／ ６ ） １ 学校での生活経験や修学旅行の場面から、起こり得る場合 を落ちや重なりがないように組み合わせていく方法について 話し合い、本単元の学習課題をつかむ。 ○４つや５つの中から２つを選ぶ場合の問題から、組み合わ せをつくるときに図や表を使って考えたり、組み合わせ方 を説明したりする。 《図の例》 《表の例》 ○４つの中から３つを選んだり、５つの中から４つを選んだ りする組み合わせ方を考える。また、選ばない 1 つに着目 して考え、２つの考え方を説明し合う。 ○修学旅行で行きたい３つの場所をどのような順番で巡る か、その並べ方について考え、求め方について説明し合う。 【３つの名所の並べ方】 【本時】（４/１０）【①４つの名所の並べ方】 ○起点を決めるという見方をもとに、樹形図を用いながら落 ちや重なりがなく順序よく並べる方法を考え、グループや 全体で説明し合う。 ○課題意識を持ち、意欲的に学 習に取り組むことができる ために、体育の試合をする場 面や修学旅行の事象を想起 させ、組み合わせ方を考えさ せていく。 ○落ちや重なりのないような 組み合わせ方を考えさせる ために、図や表をかいて考え させる。 ○５つの中から２つを選ぶ問 題で、組み合わせ方がどう変 化するか捉えさせるために、 １つを固定して、図や表を使 って順序よく整理させて、そ れぞれの考えを説明させる。 ○組み合わせに入れない方法 に着目してさせるために、既 習の表を使いながら、空白の 部分の意味を説明させる。 ○１つの起点を決めると順序 よく並べることができるよ さを捉えさせるために、起点 が決まっていない表や図と 起点が決まっている表と図 を比較させる。 ○落ちや重なりがないような 並べ方を考えさせるために、 文字を記号化したり、図で表 したりしながら考えさせる。 ○並べる数が増えても順序よ く並べることができること を捉えさせるために、一つず つ起点を決めていくことに 着目させる。 ○グループや全体交流の観点 を明確にするために、「起点 を決めるよさは何か」を説明 させる。 試合や修学旅行で行く場所の組み合わせなど、いろいろ な場合を順序よく整理する方法について考えていこう。 《場合の数の見方・考え方》 ある 1 つの起点を固定して、 その条件の下で、順序よく組 み合わせたり並べたりする。 ○イの表や○ウ の図のよう に、1 つ目を Ａの場所と決 めると、落ち や重なりがな く並べること ができるね。 (1) (2) (3) Ａ Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ Ａ Ｃ Ｂ Ａ Ａ Ｃ Ｂ Ｃ Ａ Ｂ Ｂ Ａ Ｃ (1) (2) (3) Ａ Ｂ Ｃ Ａ Ｃ Ｂ Ｂ Ａ Ｃ Ｂ Ｃ Ａ Ｃ Ａ Ｂ Ｃ Ｂ Ａ ○ア《順序関係ない表》 _○イ《起点を決めた表》 ○ウ《起点を決めた図》 (1) (2) (3) 《長崎の名所 ４つを並べる場合》 1 つ目をＡに決め、2 つ目をＢと決めると３つ目はＣか Ｄの場所になるよ。１つ目を決めて、２つ目を決めると、 落ちや重なりがなく順序よく並べることができるね。 Ａ― Ｂ－Ｃ－Ｄ Ｃ－Ｄ－Ａ Ｄ－Ａ－Ｂ Ｂ－Ｄ－Ｃ ･･･ Ａ Ｂ _Ｄ Ｃ _Ｃ Ｄ Ｃ Ｂ Ｄ Ｂ Ｄ Ｄ _Ｃ Ｂ _Ｂ Ｃ (4) (2) (1) (3) (1) (2) (3) (4) Ｃ Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ｂ Ａ Ｃ Ａ Ｃ Ａ Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ

【②５つの名所の並べ方】 ○４つのものの中から２つか３つを選んで、順序よく並べる 方法について、樹形図を使いながら考える。 ○順序よく整理しながら、組み合わせ方や並べ方、部分を取 り出して並べ方を考える場合の練習問題に取り組み、学習 理解を深める。 ○本時学習の成就感を味わわ せたり、次時からの学習意欲 を向上させたりするために、 本時の自己の学びとこれか ら学びたいこと、友達と学ぶ よさの観点で振り返らせる。 ○４つのものの中からいくつ か選んで並べる方法を捉え させるために、既習までの見 方・考え方を想起させ、樹形 図を使って考えさせる。 ○学習内容を確実に身に付け るために、表や図を使いなが ら組み合わせ方や並べ方の 考えを説明させる。 ふ か め る ③ ２ 起こり得るさまざまな場合において、順序よく整理しなが ら、目的に合った行き方を能率的に調べる方法を考える。 ○全部の行き方を調べ、条件にあてはまる場合を考え、図を 使いながら説明し合う。 ○全部のまわり方を調べ、条件にあてはまる場合を考え、図 を使いながら説明し合う。 ○起こり得る場合を順序よく分類・整理しながら、問題の解 決方法を考えて、その方法を説明し合う。 ○起こり得るすべての場合を 落ちや重なりがないよう整 理させるために、図や表に表 しながら考えさせる。 ○目的に合った行き方を能率 的に調べることができるよ うになるために、全部の場合 を列挙させ、その中から目的 に合うものを選び出させる。 ○順序よく整理して、目的に合 った行き方やまわり方にな っているか理解を深めさせ るために、考えを説明させた り、問題を作成して解き合っ たりさせる。 ○起こり得る場合を分類・整理 させるために、集合の図をか かせながら、重なりに着目さ せる。 ま と め る ① ４ 日常生活に即した問題を通して、目的に応じて場合を順序 よく整理する方法の理解を深め、単元学習を振り返る。 ○本単元学習のまとめを行い、本単元を振り返り、自己の学 びを自覚する。 ○本単元学習の成就感を味わ わせるために、自己の学びや 学びを活かしたいこと等の 観点から振り返らせる。 《問題Ⅰ》 ①費用の条件 ↓ ②時間の条件 ↓ ③費用＋ 時間の条件 《問題Ⅱ》 ○出発点と 終点が同じ ○道のりが 最短 ○希望しているもので 分類をする ○「両方」(共通部分)に 着目して考える 全部で６通りあるね。 まわり方は、右回りと 左回りがあるようだね。 全ての場合を落ちや重 なりがないように調べる ために図を使おう。 全ての行き方の中から、 費用が安いときの条件は バス(200 船(200 円)-バス(150 円)になるな。 《長崎の名所5 つを並べる場合》 1 つ目をＡと決めて、2 つ目をＢと決 めるよ。そして、３つ目をＣと決めた ら、残りはＤとＥだね。３つ目がＤの 場合だったら、残りはＣかＥだね。 ３つ目がＥの場合だったら・・・ Ｄ Ｅ Ｄ Ｅ Ｃ Ｃ Ｅ Ｃ Ｅ Ｄ ］ Ｅ Ｂ Ａ Ｃ Ｄ Ｃ Ｃ Ｄ (4) (2) (1) (3) (5)