多種球充填モデルとその応用例
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(2) 情報処理学会研究報告 IPSJ SIG Technical Report. Vol.2011-MPS-85 No.18 2011/9/16. れは，大きな球体に比べて小さい球体を十分小さ. これを解決する一つの方法として，あらかじめ充. くすることで，大きな球体の隙間に小さな球体が. 填球を容器内にランダムにばらまいておき，それ. 入り込むことが理由である．そこで，ある形状の. らを，互いに干渉せず不必要な隙間が生じないよ. 容器に大小 2 種類のナノ粒子の混合物を充填した. うな位置まで微少な移動を繰り返す，という手法. とき，その充填の様子と充填密度とを，容器形状， があるが，これは非常に大きな計算量となる。 粒子の大きさ，混合比率などから導くことが，充 填効率を上げるために必要となる．. 当研究では，この問題を解決するために「被覆 充填モデル」を導入した。これは，大球を被覆係. 当研究では，ナノ粒子が充填される様子をシミュ 数 δ だけ大きなものとして充填した後に，大球を レートするモデルを単純な原理を元に構築し，さ. 元の大きさに戻して小球をその間隙に充填すると. らにその充填密度の近似公式を与えるということ. いうモデルである．この被覆係数を変化させるこ. を目的としている．. とで，大小球の混合比率をそれらの大きさとは独. 球の充填シミュレーションに関する論文は多数. 立に変化させることができる．実際のナノ粒子充. 出版されているが，その多くは， 「球を z 座標に関. 填において，小さい方のナノ粒子が大きい方のナ. して上方から下方に落とし込み，既に充填された. ノ粒子を取り囲むような状態になったまま，コン. 球に接した位置，もしくは接したままで移動させ. クリート間隙に入っている様子が観察されている，. て，他の 2 個の球に接する位置で止めて，そこを. ということを良く再現するモデルでもある．. 充填位置とする」という充填アルゴリズムを採用 している。しかしながら，この方法では計算量が 多く，109 を超えるような個数の球を充填するシ ミュレーションを行うのは難しい。さらに，充填 結果から数理的なモデルを作成するときに，アル ゴリズムが複雑なだけに，その数理的な解析も難 しくなる。さらに，当研究の研究対象であるナノ 粒子の充填は，重力よりも分子間力の寄与が大き く，そのような充填をシミュレートするモデルと してはふさわしくない。 そこで，当研究では「ピット」という概念を用 いた充填アルゴリズムを採用している。これによ. 計算実験モデル. 3. ここでは，球充填の計算実験で用いたモデルを 詳しく解説する。 既に充填された球がいくつかあるとしよう。次 に充填される球は，容器外部あるいは既充填球の 内部とは交わりをもたず，既充填球表面あるいは 容器境界面に接する位置に置かれる。このとき， そのような位置の中でどの位置が選択されるかは， パラメタ µ ≥ 0 で定まる次の確率分布に従う。. c ∈ R3 を中心とする半径 ϵ の球体 {x ∈ R |d(x, c) ≤ ϵ} を Bϵ (c) と書く。A ⊂ R3 に対 ∪ きる。また，そのアルゴリズムの単純さから数理 して，A の ϵ-閉近傍 c∈A Bϵ (c) を Bϵ (A), A の ϵ∪ 的な解析も容易であり，さらに， 「ピット」につけ 開近傍 int( c∈A Bϵ (c)) を Nϵ (A) と書く。 られた確率密度パラメタを変化させることで，分 次に充填する球の半径を r とする。また，µ は 子間力の違いによる充填様相の違いを再現するこ 正のパラメタとする。容器外部あるいは既充填球 とも可能である。 の内部とは交わらない，半径 r の球の中心全体 球を 1 個ずつ充填するというアルゴリズムで， の集合を Rr と書く。次充填球の中心は Rr の境 大きさの異なる多種類の球の充填シミュレートを 界 ∂Rr 上の 1 点である。∂Rr の部分集合 A に対 しようとしたとき，ある困難にぶつかる。それは， して， 大球の充填の直後はその周りに大きな隙間できる ∩ ため，その隙間を小球が埋め尽くす前に次の大球 suppµ (A) = ∂Bµr (A) − Nµr (Nϵ (A) ∩ Rr ) ϵ>0 が充填されてしまう，という状況が起こり，多種類 の球の混合比率が所定のものにならない，という と定める (図 1)。また，A が可測集合であるとき， り，計算実験のスピードを格段に上げることがで. 3. ことである。これは，かなり本質的な問題であり， A の測度を mµ (A) = area(suppµ (A)) と定める。. 2. ⓒ 2011 Information Processing Society of Japan.
(3) 情報処理学会研究報告 IPSJ SIG Technical Report. Vol.2011-MPS-85 No.18 2011/9/16. ここで，area は ∂Bµr (A) 上での面積測度である。 ことから，µ > 2 とするのはあまり意味がなく，. 0 ≤ µ ≤ 2 の範囲にとるべきである。µ = 2 とし た場合，次の充填球が置かれる位置は，1 個の既 充填球だけに接する位置ではありえず，容器壁面 に接する位置か，3 個の球に接する位置のみにな る。これは，分子間力が小さく，粒子が機械的に 落ち着く位置にのみ充填されるという状況となる。 以後の節では，中間的な値 µ = 1 を用いて考察 を行う。. 4. 単一種球による充填 容器内をランダム充填する場合，充填球半径と. 図 1: 容器内に既に 2 個の球が充填されている状. 比較して容器表面から十分に遠い部分では，容器. 態の 2 次元模式図。グレー部分が Rr であり，太. 形状に依存しない，ある一様な密度で充填されて. 線部分を A とするとき suppµ (A) が点線で表され. いる，という仮定は妥当なものであろう．この密. ている。ただし，µ = 0.8 としている。. 度を中心部充填密度と呼び， Dc で表すことにす る．計算実験によると， µ = 1 の場合，その数値. この測度 mµ を，∂Rr 上で積分した値を Mµ. は Dc = 0.543 (±0.001) である（±0.001 は，行っ. とする。そして，次充填球中心選択の確率分布. たすべての計算実験の実測値がその範囲に入るこ. を，微小部分 A ⊂ ∂Rr 内に選択される確率が. とを意味する）．. しかし，容器表面では，表面の内側に球体がな mµ (A)/Mµ であるようにとる。 c ∈ ∂Rr とする。c を中心とする半径 r の球 ければならいという束縛と，表面に接する充填球 と，既充填球および容器境界面との接点の個数 t(c) が多いという状況から，充填密度が中心部とは異っ は，一般には 1, 2, 3 の値を取る。t(c) = 1 ならば たものとなる．容器表面からの距離 x における充. supp(c) は 1 点であり，t(c) = 2 ならば supp(c) 填密度 f (x) を，計算実験のデータから求めたも は円弧であり，t(c) = 3 ならば supp(c) は球面三 のが図 2 である．曲線が充填密度 f (x) であり， 角形である。t(c) = 3 のとき c をピットと呼ぶ。 ドットを先端とするヒストグラムは充填球中心の ピット c は，それ 1 点だけで正の測度 m (c) = 分布である．水平な直線は中心部充填密度 Dc で µ. あるが，その左端が欠けているのは，境界面排除 areaµ (supp(c)) > 0 をもつ。 パラメタ µ を大きく取ることで，ピットにおけ 効果を表している． る確率分布が µ にほぼ比例して大きくなる。また， 充填密度は容器表面近傍では振動し，容器表面 µ を 0 に近づけることにより，m は単なる ∂R から離れるに従い中心部充填密度 Dc に収束して µ. r. 上の面積測度に近づく。. いる．この充填密度分布 f (x) の積分値は中心部. た場所で固定されるような状況の場合，確率分布. 充填密度の積分値をやや下回り，その差の積分値 ∫∞ を Dc で割った値 D1c 0 (Dc − f (x))dx が境界面. 密度は単なる面積測度であるとみなせるので，パ. における充填球の排除効果である．この値は充填. ラメタを µ = 0 とすればよい。また，分子間力が. 球の半径に比例し，その比例係数 ∫ ∞ 1 (Dc − f (x))dx β= rDc 0. 分子間力が強く，粒子が他の物質に始めて接し. 弱く，機械的に安定する位置まで粒子が移動する 場合，µ を大きく取ればよい。しかし，半径 r の 既充填球の近くでの ∂Rr の平均曲率が 2r である. (1). を境界面排除効果係数 (boundary evacuation co-. efficient) と呼ぶ．β の値は，計算実験によると，µ. 3. ⓒ 2011 Information Processing Society of Japan.
(4) 情報処理学会研究報告 IPSJ SIG Technical Report. Vol.2011-MPS-85 No.18 2011/9/16. る，というものがある。しかし，この方法ではう. density 1.0. まくいかない。なぜならば，大球を充填したとき の隙間が，指定された小球の混合比率よりも大き. 0.8 fHxL. くなり，充填ムラが生じたり，充填に隙間が生じ. 0.6. たりするからである。この問題を解決する方法と しては，指定の混合比率に応じて，予め球を充填. 0.4. 空間内にランダムに配置しておき，それを出発点. 0.2. として微小運動を繰り返して，すべての球がオー 0.0. 2r. 4r. 6r. 8r. x. バーラップすることなく，間隙が開きすぎること もないような配置を求める，ということがある。. 図 2: 容器表面からの距離に対する充填密度. しかし，この計算量は非常に大きく，球の個数が. (r は充填球半径). 大きい場合には短い時間で計算を行うのは難しい。 そこで，被覆充填モデルと名付けた方法を紹介. に依存して変動する（µ の減少に伴い増加する） が，容器形状にはあまり依存しない．µ = 1 の場 合，その数値は約 β = 0.387 (±0.01) である． そこで，容量 V ，表面積 S の容器に半径 r の 球を充填するとき，容器表面から距離 βr の範囲 に境界面排除効果が及び，その部分を排除した残 りの容器部分が均一的な充填密度 Dc で充填され ていると考えれば，全体の充填密度の近似が得ら れる．さらに，容器表面から距離 βr の範囲の容 積を βrS と近似することで，容器全体における充 填密度 D の次のような近似式が得られる．. する。それは，すべての大球を先に充填し，その 後でその間隙に小球を充填する，という方法であ る。ただし，大球を充填するときには，本来の大 きさに，ある係数（被覆係数 δ > 1）を掛けた大 きい球として充填を行い，その後で，中心位置は そのままにして，大きさを本来のものに戻す。こ の被覆係数を調節することで，指定の混合比率を 満たし，充填ムラも不必要な間隙も生じない充填 が得られる。また，大球，小球を取り混ぜて充填 するのではなく，大球の充填が終わってから小球 を充填するので，その充填密度を，前節で求めた 近似公式を 2 回用いることで近似することが可能. (V − βrS)Dc = (1 − βrS/V ) Dc D= V. (2) となる。 その 2 種球充填密度近似公式は次のようになる。 この式にある，容器の表面-体積比率 (surface- まず半径 δr1 の大球を先に充填する。その充填体 volume ratio) S/V はスケーリングも含めた図形 積は (2) によると，(V − βδr1 S)Dc であり，その の形状を表す最も単純なパラメターの一つであり， 充填球の半径を実際の r1 に戻すと，実際の充填 同一体積ならば表面が滑らかで球形に近いほど， 体積 v1 は また，相似形ならば体積が大きいほど，表面-体積. v1 = (V − βδr1 S)Dc δ −3. 比率は小さな値となる．たとえば，半径 r の球の 場合 S/V =. 3 r. の場合 S/V =. であり，1 辺の長さが a の立方体 6 a. である．. となる。次に，半径 r2 の小球をその間隙に充填す るが，間隙の体積は V − v1 , 表面積は S + 3r1−1 v1 であるので，再び (2) を適用すると，その充填体. 5. 2 種球による充填. 積は. v2 = (V − v1 − βr2 (S + 3r1−1 v1 ))Dc. 大小 2 種類の球の充填を，その 2 種球の混合比 率を指定してシミュレーションをするとする。考え られる一つの方法として，混合比率に応じて（ラ. となる。したがって，大小の球を合わせた充填密. ンダムに）2 種類の球を選択して 1 個ずつ充填す. 4. ⓒ 2011 Information Processing Society of Japan.
(5) 情報処理学会研究報告 IPSJ SIG Technical Report. Vol.2011-MPS-85 No.18 2011/9/16. 度 D12 は. D12 =. v1 + v2 V. (3). r2 −3 βδ Dc r1 −((1 − 3Dc βδ −2 )r2 + (1 − Dc )δ −2 r1 )βS/V )Dc. = ((1 + (1 − Dc )δ −3 ) − 3. となる。 被覆係数 δ の値を変化させることで，大小球の 混合比率 v2 /v1 を所定の値にすることができる。 また，容器中心部における大小の球の充填体積比 率は，S = 0 としたときの. v2 v1. 値であり，それは. (v2 /v1 )|S=0 = δ 3 − Dc − 3βr2 /r1 Dc. (4). で与えられる。近似的には，これが大小球の混合 比率とみなせる。 図 3 は，2×2×2 の立方体容器に，半径 r1 = 0.13 の大球と半径 r2 = 0.01 の小球とを，混合比率. v1 : v2 = 1 : 1 で充填している途中，充填球の個 数が 1000 個および 100000 個の時点での様子であ る。混合比率を v1 : v2 = 1 : 1 とするために被 覆係数を δ = 1.103 として先に大球を充填し，そ. 図 3: 充填過程（上図 1000 個，下図 100000 個）. の後，小球をその間隙に充填している。最終的に は大球が 290 個と小球が 639426 個とが充填され， 混合比率は 0.3336 : 0.3348 となる。 図 4 は，小球の半径を r2 = 0.01 に，混合比率 を v1 : v2 = 1 : 1 に保ったまま，大球の半径 r1 を （同時に被覆係数 δ をも）変化させて，2 × 2 × 2 の立方体容器に充填するコンピュータ実験をした ときの充填密度と，充填密度の近似式 (3) が取る 値とをグラフにしたものである。. 空気抵抗値を下げて飛距離を伸ばすためには， ハンマーの大きさを下げる，すなわち鉛粒子の充 填密度を上げればよい。そこで，当研究で得た充 填密度近似公式を用いてその充填密度上げること が行われた。そこで用いられた鉛粒子の同重量あ たりの体積比較が図 6 にある。 実際には，充填密度近似公式から導かれる最適 大きさの鉛粒子が手に入らなかったため，それに近 いものが用いられた。その結果，飛距離を約 1cm. 6. 応用例. ほど伸ばすことができた。. 当研究は，コンクリート劣化防止に用いられる ナノ粒子の大きさを最適化するということが当初 の目的であったが，当研究の結果が，他の商品開 発に応用されている一例を紹介する。 アメリカでは，屋内競技である “Weight throw” が盛んである。それに用いるハンマー（図 5）の ヘッド部分には，床面に与える衝撃を和らげるた めに，金属の塊ではなく鉛金属粒子を詰め込んだ ものが使われる。. 5. ⓒ 2011 Information Processing Society of Japan.
(6) 情報処理学会研究報告 IPSJ SIG Technical Report. Vol.2011-MPS-85 No.18 2011/9/16. density D12 0.72 0.71 0.70 0.69 0.68 0.67 0.66 0.65 0.64 0.10. 0.15. 0.20. 0.25. 0.30. 0.35. r2. 図 4: 充填密度（近似式と実験値）. 図 6: 鉛粒子の密度比較. 図 5: ハンマー. 6. ⓒ 2011 Information Processing Society of Japan.
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