A REMARK ON RESIDUES OF DIFFERENTIAL FORMS IN ALGEBRAIC FUNCTION FIELDS OF SEVERAL VARIABLES

SUT Journal of Mathematics （R）rmerly TRU Mathematics） Volume 29， Number 2（1993），311−322

AREMARK ON RESIDUES OF DIFFERENTIAL

FORMS IN ALGEBRAIC FUNCTION

FIELDS OF SEVERAL VARIABLES

YosHINoRI SUZUKI

（Received October 12，1993） ABsTRAcT． Let K be a fu皿ctio皿field over a perfect field k． After Kunz【51 a皿d Elzei丑［1】， KawaharauUchibori［4］has show皿that residue of a different呈aユform（三n the se丑se of｛5L【1］）of the highest．degree is deterlni皿ed up to addition by pseud（Fexact differentiaユs， provided that char．kニp＞0． This is a counter part of a result of Elzein［1】in case char．kニ0． Moreover they have studied b eh avior of residue u皿der finite extentions of K．   The purpose of this paper is to show that slight modifications of ［4］ give aJso similar results｛br differential．fbrms of a［n arbitrary degree（for h・t neCessarily perfect）． AMS 1991 Maht￠matics Suあ∫ect Classification， Pアimary 13NO5，12HO5． Key word5 and phrases． Di］Terentia1 form， residue， Caエtier operator， Frobenius map， fu皿ctio皿fie1d， val皿ation， trace map．

1．Prelimi皿aries

1．1 Throughout this papel， k w皿denote a field and K a fu皿ction field

oveエkof n variables． We always．assume that K is separable oveエk．

Let v l）e a pエime divisoエof K，（i．e． a discrete valuatio皿of ra皿k l of K s皿ch that the residue五eld of v has tra皿s．deg． n−lovel k）and」配be its valuatio皿エi皿g． If∫∈R， the皿we w姐denote by∫its cano皿ical image血 theエesidue field D of R． We also assume that 1）is separable overえ． So that we can always choose a family of elementsちt2，＿，tn i皿R such that tis a I）rime element of丑a皿d｛dt2，＿，dtn｝is a base of the．differe皿tial moduleΩ1（1）／k）；thelefble｛dt，dt2，＿，dtn｝fblms a・basis ofΩ1（R／k） and he皿ce it also forms a basis ofΩ1（K／k）． We wM call such a family 1＝｛t，孟2，＿，tn｝aparameteエof（K／k，R）． Let R”1）e the v−completio丑 of R， the皿thele exsists a unique coe伍cient field Eニ」脇2＿tn which co皿一 tains克（君2，＿，tn）such that the ca皿onical homomolphism of R＾onto D induces a皿isomorphism of E onto D． Si皿ce R＾is’a regular local ri皿g of

311

dim 1， so we may．identify．R＾to E［［t］］，hence the quotient丑eld KA of R＾can be Iega疋ded as the｛］ormal power series field E（（t））．

1．2 Letωbe a differe皿tial foエm inΩ7（K／k）（r≧1）． The皿ωca皿

be皿ni〈1皿ely explessed i皿the fbrM ω＝

ｰ9‘、…i，dti、＾…∧dti．＋Σhi、…i．dt・A・dti，・A…〈dti．，

   1＜il＜…＜i，      1＜82＜…＜8r       （9輌1…輌．，ん‘、…↓．∈K）．   1皿【1］EIZei皿de血皿edエesidue ofωas’fblows（cf． also Lomadze［6D． If        hi、．輌．＝Σ h，、−i，ktk，ん輌、…i，k∈E        k is the fbエmal expa血sidn in r＝E（（t）），Iesidue ofωis de五ned by       ・e・R，ε（ω）＝Σhi、…ir，一・砥、∧…（S dTi，，        t2〈…＜tr and has the fb皿Owi皿9 property       エeSR，1 d＋d・eSR，±＝0・   In paエticulaエ， IesR，± maps closed differe皿tials to closed differentials a皿d exact diffe1e丑tiaJs to exact ones．       、   Adiffe正ential fo丈皿ω∈Ω『（K／k）is ca皿ed holomolphic i皿t（oエholo− morphic atの， if a皿coefHcients g輌1．．．輌．，h‘2＿‘『aエe co皿tai皿ed、 i皿丑・We I）ut

foエanyω∈Ω7（K／k）：

    ∵獅（りニ．r．mi・｛m．∈Z ’1’tmω・h・1・m・・phi・in・t｝．   By麺・【5】， if・w・iS．・1・・ed・q・d if ・A（の≧『『−1，．・e・R，±（ω）． d6・・皿・t de− pend o丑the choice． of paエametels君，孟2，… ，tn・、 1．3 1f char．k’三jp＞、O and」K／k．姪separal）le as al）ove， i皿velse Caエtieエop＿ ・・a…『bR｝k i・duce・an i・・m・叩hi・m・f K（’）−m・d・1…（K…【31，皿・・i・ ［2D          O−1κ∫、・Ω・（K（・）／克）⇒2iΩ・（醐／dΩ・−1（頁／k）

Y．SUZUKI

313

whele K（ρ）＝K⑧k（k， Fk）（Fk：Fkobe皿ills map of k）and we Iegaエd

Kas」K（P）−algebla via relative Fエol）e】肛ius（c￡ Sectio皿2）， Z1Ω7（K／k） sta皿ds for the closed differe皿tials． This isomoエphism defines BmΩ「（K／k）， Z．Ω「（K／k），（m≧0）i皿ductively as fbllows（［2D：

      みoΩ（Klk）＝o，

     zoΩ’（K／k）＝Ω「（五／k），β・Ωず（頁μ）r4Ω「−1（、κ／k），        c−1、c／k（BmΩ’（K（ρ）／た））＝Bm・・Ωア（頁／克）／B・，        0−1κ1、（ZmSt「（K（’）／k））＝Zm・・Ω7（頁／k）／B・・ If壷e de五ne K（Pm）ind皿ctively by K（PM）＝K（，m−1）⑧k（k，Fk）i．e． K（PM）＝ K⑧k（k，Fkm）th・皿Bm・nd・Zm・・e頁（・m）一・・bm・d・1…fΩ’（K／k）・u・h

that

  o＝Bo⊂B1⊂…⊂Bm⊂…⊂B。。⊂z。。⊂…

      … ⊂Zm⊂… ⊂Z1⊂Zo ＝Ω「（K／k），

whele B。。＝uBm， Z。。ニ∩Zm．

      m        1・v・・se・f thi・i・・m・・phi・m O−1K／k d・fi…K（・）−li・…m・p…dl・d （｝artier OperatoエCKlk ：       oκ1、・z・Ωず（K／k）二・Ω「（K（P）／ゐ） wh・・e K・m・l i・．B・，・・d whi・h・ati・fi・・0κ／永（1）＝1・．．CK／k（ω〈・）＝

OKlk（ω）＾CKlk（・），0頁／k（x’−1dx）＝d聴）（f・・x∈K）， wh・・e VV

d・n・t・・c・n・ni・al・h・mOm・叩hiSm K−→頁（・）＝K⑧k（k，Fk）・AIS・

we have CKlk（Bm＋1）＝Bm， CK∫k（Zm＋1）＝Zm， a皿d itelated CaエtieI

・P・・at・・CMKlk＝Cκ…−1）lk・…。CK…／k。CKIk（・f・ L・mm・lb・1・w）

gi・・l the eX・・t綱・・n…f五（・m）血・dUles  ；   、

。＿B．Ωr（酬＿，ZmΩ・（酬竺竺Ω・（KIP・）／kト＿・．

 Clea丈ly，ω∈Zm if and o皿ly ifω，C（ω），＿，Om−1（ω） aエe closed i皿 Ω・（K／k），．・9・（κω／k），．．．，Ω・（K（・m−1）／k）・e・pecti・・ly．

Remark．」皿the・case of the highest deglee（r＝n），we have

Ω「（K／k）＝ZO＝Zl＝… ニZm＝… ＝Z■・

2．Poincare Re謡due

  Let K／k， R 1）e as i皿Sect．1． The皿we have the fb皿gwi皿g cartesiall

diagエam：

→

k

＼

D＝R／m

K（P）＝K⑧（k，Fk）

↑ k

R（・）＝丑⑧（k，Fk）        k D（P）＝1）⑧（k，Fk）        k     ＝R（P）／mR（P） k＝（k，Fk）

wheエe W is the homomolphism 1⑧Fk and m de皿otes the maXimal

ideal of R． Note that Frobe皿ius map FK：K−→Khas the ca皿onical

factoエization ：       頁＿M二→κ（ρ）＝K⑧先（k，Fk）＿竺ど→K． ］he1・ti・・F・・b・ni・・FKI・ i・・h・m・m・叩hi・m・fκ（・）一・19・b・a with im・g・ ゐKp，a皿d si皿ce K／肘s sepaエable it i皿duces an isomorphism頁（P）一：一＋ kKP． Lemma 1． Let・K／kαnd．D／克be sepaTαb∼e． Tゐen，編九e diαgrαm above，

  （1）K（・）‘・α3eρ・・αb’・，，fi・働g・π・硫d飼4・・er k・∫

オ・α・・．d・g．κ（・）／k＝ηω克er・k緬π・19・b・α…r itself・by Fk， and R（・） 輌・唖3c・eオ・・αr・吻・・迦↓0∫・απゐ1／Of K（・）／ゐω撤m促仇・1 id・αr

m⑧kkニmRIP） ；（2）D（ρ）‘3α5e卿αb’・，餌測g・・e・αオ・d飼4…r・le，

Y．SUZUI（1

315

の・α・・．晦。D（・）／鳶＝π一1． 抗・umm・・四・・α・・α鋤・‘オ九・・輌硫・呵（K（P）／え，R（・），D（・））‘・ オんe・sαme as tんαオq∫（Klk，R， D），   Pro Of SeparabMty of」K（ρ）／k（resp．1）（P）／k）is clear． By the preced− i皿gIemark，五（ρ）（Iesp．1）（P））is a五eld． O皿the other ha皿d， a五nitely generated field L over k means that L is loca血zation at（0）of integral k− algebra k［5］（5：αfinite subset of L）． Then L⑧k k is also locaMzation of k［5］⑧kkat（0），he皿ce it fblows that K（P）／k a皿d 1）（P）／k are fi皿itely gen− eエated， a皿d tra皿s．deg．（K⑧k k／k）＝tΣans．deg．（K／k）＝n（エesp．tra皿s．deg． （D⑧kk／fO）＝tra皿s．deg．（1）／k）＝n−1）（EGA IV 4．2．1）． Note that si皿ce W ：K −一→ K⑧k k ＝ K（P） iS pulely insepaΣable and 丑（P）is in− tegral over R， theエe exists only one maXimal ideal over m（Bou正1）aki，

Alg． comm． Chap． V p．49． Lemma 4）． It fbnows that丑（P）is a

local Ii皿9． Moreover si皿ce R is a k−algebra esse皿tia皿y of finite type， R（ρ）＝ 」配⑧kk is also a k−algebla of sanie type， he皿ce noethelian， of dim（R⑧k k）＝dim（丑）＝1（R⑧k k＝1配（ρ）is i皿tegral over’R』by injec− tioll W）， and si皿ce D／k is sel》aτable， the regular local ri皿g R is foエmally

smooth（EGA IVo．19．6．4），伽s impHes that丑（P）＝R⑧k k is folma皿y

smooth， he皿ceエegulaエ．We co皿clude that R（ρ）is a discIete vauatio皿】血g         ．Since 1）（ρ）＝．D⑧k k＝R（ρ）／mR（P）is a field a皿d R（P）／R is・fK（・）／ゐ 且at， mR（P）＝m⑧R（ρ）＝m⑧k k is the ma】dmal ideal of丑（ρ）．ロ        R

  Because W＝ 1⑧Fk品ises only k−actio皿to the p−th poweΣ， we

See that if t iS a plime eleme皿t Of丑the皿W（t）ニt⑧1、 iS a工SO that of R（P）by Lemma 1． Hence， if、1＝｛君，t2，．．．，tn｝is a parametel of （K／k，R）， the皿W（オ）＝｛W（り， W（君2），＿，W（tn）｝becomes a pa疏meteエ of（K（P），丑（ρ））by K（ρ）−isomo叩hismΩ1（頁／k）⑧K頁（ρ）一：・， Sti（K（P）／k） （df⑧1−→dvv（∫））． Hereaftel we w皿always conside正the parameter of thi・type a・th・p・・am・t・西・（K（・），丑（ρ））   Moleovel， this Lemma l guarantees the exsistence of itelated Caエtieエ         ope工atOI l皿our Sltuat10皿．

Lemma 2． Lε‘頁beα劃4（ザchαrαcteristicρ＞0． Forαny closed

畷アerentiα∼fornz w輌πΩず（K／k）， we・have re3R（・），w（りoκ∫先（ω）＝OD1た・e3R，￡（ω）

where CKIkαnd CD／k舵0α悟eア・perat・・3・π頁／ゐαヵば1）／わe3，ec一

加吻．，

  Furtherm O re，σω∈ZmΩ7（K／k）仇eπ ・e3R・，り，脚）cklk（ω）＝（払バe3R，・（ω），（・≦1≦m） w九・・eびκ／・αndびD／・d…碗・耐・d・C・tier Op・rαt・・5。   、、ProOf． The second assertio皿fbllows from the first by inductio皿， so it s皿］田ce to show the fiエst one． For this， p耐ti皿9君1ニちsi皿ce by P． Catieエ   Z・Ωず（K／k）コ・Ωず（K！k）＋｛freeFKlk（頁ω）−m・d・1・with        bas・君ζ「1…‡7ご1d‘・、∧…∧dti．｝       （f・1 il＜…＜i，） and l）oth sides of the asserted equality aLre k−lineaエand an皿ihilate exact fo・m・， w・a・e・educed t・th・・cas・（・・t・th・t FK／k（K（P））＝kKり

      ．ω＝αρ塔一1…‘rご1dい…熾．（・∈獅く…＜ir）．

B破ih this case if we de皿ote l）yα一1．∈Ethe coe伍cie皿t in t’”10f．the f・m・1』_{??吹EnSi…f・， th…i…Citk（・P）＝W（・），・・d・th・C・・駈・・t} Of W（α）i皿W（り一1 iS W（α＿1），Simple CalCUIatiOnS Show：   both sides of the equality

       ＝｛9．（。．、）die・（i；；）＾．1．＿（語漂1：ロ∫

Coro皿ary・Ifω二∈BmΩア（K／k）， then『reSR，重（ω）∈み玩Ω7−1（1）／k），αnd ・IS・ω∈ZmStア（K／k）卿∼輌…e・a￡（ω）∈ZmΩ’−1（D／k），   PrOqf．   1皿  faCt， SinCe  エeSR，1（」？1）  ⊂  Bl， reSR，±（Z1）  ⊂  Zi’ alid    c・cノ・（Bm・・Ω’（K／k））＝BmΩ「（Kω／k），cκ／・（Zm．・Ω「（ぴ））＝ Z・・St「（K（P）／k），（・・t・th・t・inv・rs6・im・g・・f・Bm（・esp．Zih） by Cκ1A i・ Bm＋1（エesp・Zm＋1）cf・definitio皿in Sectio皿1．3），this coroUaΣy is ploved l）y ind皿ction on m and the a1）ove’

_kemma．ロ

Y．SUZUKI

317

hL oul study of residlle，． we sha皿皿eed to make use of reductio皿、 fbエthe oldeエof a pole i皿tof differential iblms． For this p皿lpose the fo皿ow㎞g

Lemma wi皿s面ice．

Lemma 3・PVit九the 3αη葛e no施tionα3飢5ec君．1，1eτωbeα”do3eば

耐ere頑α1∫・rm in St「（K／k）． Then for any integer m≧1：   （1）if chαr・克二ρ＞Oandω∈ZmΩ7（K／k），〃R（ω）≧一ピπ，ωe力α㊨e 〃R（・・）（C繋ノた（ω））≧−1；（2）ヴ・克・r・k＝0励〃R（ω）≧−m，ψεcα・輌

α切e・・蜘1∫・r殉∈Ωず一1（K／k）8％C九tん吻R＠−dη）≧−1．

  Pro〔’f， Case（1）．（cf． fbエexample｛2D By hypotheses we ca皿wlite

ωニt”pM

モ魔潤@whereωo is holomorphic i皿t． Ol）seエve thatωo is closed ・nd・C・〈ノk（ω）＝」・V（t）’・M7’C、〈1k（ω・）． Since CKlk（ω・）i・h・1・m・・phi・i・ W（t），uR（P）（CKlk（ω））≧一ρM−1・Thus we get ouエLemma by i皿ductio皿

onm．

  Case（2）． Suppose vR（ω）．≧−m（m＞1）， dω＝0，the皿

ω＝t−Mdt∧α＋t−Mβ

wheyeα，βaエe holomo叩hic i皿tsuch that dt does皿ot occllL Since君mω

is bolomoエphic in t， d（tMω）is also holomolphic i皿‡・But sinCe

d（tMω）＝mtm−1dt Aω

       ＝’mt−1dt Aβ it follows thatγ＝オー1βis holomo丈phic i皿t，a皿d ω＝t−mdt∧α＋t−m＋1γ．

  Putη ＝ （−m十1）−lt−−m＋1α． The皿 吻＝ t−mdt Aα土（−m十

1）−lt−m＋idα， and we obtai皿ω＝dη十君一m＋1（干（−m十1）−Idα十「r）． Becallse dα，’）’aエe holomo叩hic i皿t， this shows YR（ω一吻）．≧−m十1， hence iterated use of this gives the lemm a i皿case chaLえ＝0．ロ

Theorem 1・．Leほbe a field w仙c九αr，k＝ρ＞0．∬ωゴ3α赫er−

・頑・げ・m‘・ZmΩず（K／k）・・C九オ九鋤R（ω）≧−pM−1，．オん…e3丑，±（ω）輌・ ％π勾％e「y（letermined％Pオ0α（ld栖0πby（lifferentiα∼3輌πBπじ＿1Ω゜−1（D／k）．

  Pr・Of・Let E＝｛8，52，＿，sn｝be an・ther parameteL If〃R（ω）≧

−P’”’1・伍・・vR・，一一・・（c謬（ω））≧一・by・L・mm・3・F・・th・−e w・ hav・C確（ω）・Z・Ω’（K（’M−1）／k），h・nce・by・L・mm・2・・d K…’・・e・・1・ （cf． Section 1）： C確（・e・R，±ω一・e・R，。ω）、 一・e・R・，一・），vv・一・（りo㌫1（ω）一・e・R・，M−・），w・一・（、）C㌫1（ω）＝・ i．・．・e・R，±ω一・e・R，。ω∈Bm．、Ω’−1（D／k）．口 Comllary・・ぴω∈2。。Ωず（K／k）， then reSR，圭（ω）is determined uniguely m・翻・β。。Ω’−1（D／k）．

Remark． As皿oted in theエemark of sect．1，Ωπ（K／k）＝z。。Ωn（KIk）

in the highest deglee．0皿the other ha皿d， when k is perfect， we may ide皿tify by the isomoエohismレV， k−…ilgel）la k一ナK（ρ）to k−algebra 可1・k−−K，・・th・t und・・thi・id・・ti丘・ati・n CKlk・g・ee・with・th・ 皿sual Cartier opeエatoエ． He皿ce this coエonaエy gives Theorem l in［41 as a Special case． Thus we have a map ResR i皿duced from resR，±， R・・R・z．．Ω’（K／k）一→z・・Ωア（D／k）／B・・Ω7（D／k） In case char．k＝0， a similar・map is obtai皿ed， if weエeplace Z。。1）y Zl and B。。1）y Bl（Elzei皿［1D．

3．Finite extention

  We fix a field k of characteエistic P ≧ 0． Let K and L be血nitely gener ated， separable field exte皿sio皿s oveエk．Assllme that L is 6nite over K・De皿ote by TrLIK trace map of differentialS of L（【5】，［6D・This tエace map commutes with d． Moyeoveエifρ＞0，it aiso commutes with C artier operator（cf．【61 for a peエfect k）：

Lemma 4．∬c九ar，れ3ρ＞0，ωe九αve言んe∫or∫oω卿com励tative飽一

Y．SUZUKI

319

9「αm・ Z1Ωア（K／k）

・…1

Ω．（K（ρ）／k）   TrL／K T・LωノXi・） Z1Ω『（．L／k） ・…⊥ Ω「（．L（ρ）／k）   ProOf． It su伍ce to check this． commutativity fbエthe case of sepalable a皿dof purely insepa正able exte皿sion of degエee P，respectively．   ㎞sepa正able case， Lemma is txivia1． Because the formation of Zl is compatible with etale localization， we have z1Ωず（LIK）＝zl st「（K／k）⑧K

・L・The1｝CLIk＝CK／k⑧land

T・L1κ＝1⑧君・・Z・Ω’（L／k）＝Z・Ω’（K／k）⑧κ五        一一一一一一＞Z1Ω7（K／k）⑧κK＝ Z1Ω7（K／k） where tr is the usual tエace map of L／k． The sameエelatio皿s hold for Ω7（L（ρ）！k）＝Ω゜（K（ρ）／k）⑭K（P）L（P）．He皿ce the diaglam in Lemma 4 is エeduced to the triVial one．   1皿p皿rely insepaエa1）le case， let％be．a皿eleme皿t of L such that u￠K， a皿d｛ti｝be a P−basefbr K／k1ア． Then｛u｝U｛ti｝is a P−1）a』seof L／k・ P皿tt＝up，｛ti｝or｛オ｝U｛ti｝is a P−base fol K／k． Consider the fo皿owi皿9 caエtesian diag品m（with trivia1 notations），

kLP

k

．L（ρ） K（ρ） kL（P）P

k

the皿situations of W（u）＝u⑧1， W（ti）＝ti⑧1 ale the sa血e fbl the

エight hand side， i．e． a】』o W（u）￠K（P），｛W（％）｝U｛W（ti）｝is aρ一1）ase ・fLω／k， and｛W（ti）｝・エ｛W（‘）｝U｛聯‘）｝is a p−base・f L（・）／k． T・ plove the lemma， since both sides of the asseエted equality ale k一㎞eal and

a皿ihilate on 81Ω「（L／k），it is enough to check the lemma for differe皿tiaJs of the followi皿g type（as in the proof of Lemma 2．）         ω＝αρ・・−1‘｛1”1…穏d・∧dti、＾…∧dt・r．、，・∈五・ The defi皿itio皿of TrL／K gives          T・。1κ（ω）＝αρ孟｛r1…鷺二｛4τ噛、〈…∧dt・．．、・ he皿ce       CKlkTrLll〈（ω）＝CK／k（αPdt）∧dVV㈲∧…〈dW（t｛．．、）・

O・th・・th・・h・nd，1・t・＝Σ・」・ゴ（α」∈K）， th・・W（・）＝

      0≦」≦P−1 Σ。≦ゴ〈“．・W（・」）W（・アS・th・t・      T・L・・）／κ（・）c・1・（ω）        TrL（P）1K（P）（W（α）dW（u）AdVV（tii）∧…∧dW（ti．一・））        ルv（αP−・）dW（りAdレv（ti、）A・…∧dW（tir．、）

Since・aPdt＝Σ

       j

Lemma follOWS．

・多（・ρYdちw・h訂・‘0κ1・（αPdt）＝W（・・一・晒（t）・H・nce 口   From TrL／K（Bl）⊂・Bl， TrL／K（Zl）⊂Z1，we obt ain i皿ductively by

the above Lemma， TrLIK（Bm）⊂Bm， TrqK（Zm）⊂・Zm・Theref（）le，

theエe eXists a map i皿duced by TrLIK： z．．Ω・（L／k）／B．．Ω・（口／k）一≡Lz．．Str（K／k）／B．．Str（K／k）

  Aplime divisoエvof頁／k has丘nite ma丑y exte皿sions vi（i＝

1，2，．．．，9）． Let ．Ri l）e its valuation ri皿g a皿d 1）｛its residue血eld （i＝ 1，2，．．．，の．We also assume that 1）i is separable oveエkfbエ訓i．   Now we plove the main aim in this secetio皿， which concems with be− havio正of Iesidues under finite exte皿sio皿s．

Y．SUZUKI

321

Theorem 2．碗λτ九e sameπo硫oπ3απばαssumptionsα3αbove，ガ

cんαr，kニρ＞0， t克enオんe∫o∼∼ow卿diagrαm is commutative．      z◎。Ω「（K／k）       R…⊥ z・・Ω・（D／k）／B・・Ω・（D／k） TrL／K ΣT『Di！D        z。。Ω「（L／k）      （ResRi）・⊥ ㊥（z・・Ω・（D・／k）／B・・Ω・（Di／k））， wheエe（ResR輌）輌is the map de五皿ed by（ResR輌）i（ω）「＝ （ResR1ω，＿， R・・R，ω）・ln the cas・・f・h…k＝0， the・・meエe・ult h・1ds江we・eplace Z◎o l）y ZI and 1300 by B1．   Pro（’f， It sufices to Pエove that if char．k＝P＞0，ω∈ ZooΩ「（L／k），

then

     ・e・R，εTr。／K（ω）一ΣT・D、1D・e・R、，、、（ω）≡Om・dB。。Ω（D／k）       i fOI ade（luate pa正ameters 主of （Lμ，＆） （i＝ 1，2，．．．，q）， and also the similal Ielatio皿in case chal．k＝0，when we replace Z。。 by Z1， B。。 by Bl．

  Let char．k＝ρ＞0． By Lemma 3， we cap choose m s皿ch that

URI．・m）（CMLlk（ω））≧−l f・・all i・Th・n   8         CMDlk（・e・R，±T・L／K（ω））一ΣT・D、／D（・e・R、，皇（ω））       ニ（エes丑・…，vv、？、T’L・…∫・・・…）（CML／k（ω））        一ΣT・Dl…1D・…（・e・R（…，vv，7i，cm・1k（ω））        t by Lemmas 2 and 4 a皿d I（u皿z，s Iesult（cf． Sectio皿1．1）． This co皿cludes the theorem i皿positive characteristic case．   In case char．k＝0， since L／K， DVD ale finite separal）1e extensio皿s， we can take a commo皿parameter 1 of（L／k，．Ri）fbl a皿i． Si皿ce the

constmctio皿i丑the proof of Lemma 3（2）depends o皿ly o丑ωa皿dちwe

can wエite：

ω＝ωo十吻

whereωo is a differential form such that vRi（ωo）≧−l for a皿i．   Si皿ce Tr comm皿tes with d， resR，±TrLIK（吻）and TrDi11）resRi，±（吻） aエeexact differentials． Hence we canエeduce to the case in whichωsatis− fies YRi（ω）≧−1 fbエa皿i． But i皿this case the co皿chsion of theo正em is tr皿e by Ku皿z［5】． This completes the proof．ロ   Acknowledgeme皿t． I would like to tha皿k Professor Y． K awahara fbI his guida皿ce a皿d advice duling the preparatio皿of this pape正・

REFERENCES

       ノ 【EGAI A． Grothe皿died【and J． Dieudo皿皿6， E∼6ments de Gごom6‡r‘e．Algibrigue   IV， PubL Math．1． H． E． S．20（1964），24（1965），28（1966），32（1967）． 【1】F．Elzein，丑￠sidue en g60m6悟eα砂65殉με， Compo8ito Math．23（1971），379−   405． ［2】L．皿usie， Oompl￠xe de 1）e Rh畝一Witt et cehomologie cristalline， An皿． Scient．   EcoL Norm． S皿p．12（1979），501−661． ［3】N．M． Katz，ハrilpotent connectiens and the monodoromy t克eorem ，， apρlication   o∫αresult o∫ Turrittin， Pub1． Math．1． H． E． S．39（1970），175−232． 【4］Y．Kawahara a皿d Uchibori， Onアe5idu es o∫difierential forms in晦e‘rα輌ε   function fie∼」50∫ severa∼variables， TRU Math．21（1985），173180． 【5】E．Ku皿z，、4r輌‡ゐme‘輌5c克e Anwendungen deアDl∬erentia∼α｛gebren， J． Reine   A皿gew． Math．214／215（1964），276−320． ［6】V．G． Lomadze， On residues‘πa lg eb ra ic geometry， Math． USSR丘v．   19（1982），495−520．

Yoshinori SUZUKI

Departme皿t of Mathematics

Josai University

Sa㎞do， Saitama

Japan