Sur un chemin des champs de vecteurs dont les cooronn6es se trouvent dans un voisinage assez petit de 1’616ment neutre

1

Sur un chemin des champs de vecteurs dont

      les cooronn6es se trouvent dans un    voisinage assez petit de 1 616ment neutre

by J∂ツδKαnitani＊

      R6sum6

    Ala d6monstration de 1 existence des int6grales d un systbme d 6quations difE6rentielles qui sert h d6terminer les chemins horizontaux au dessus d un dlemin contenu dans㎜e vari6t6 diκ6rentiable M admettant les hom60皿orphismes locaux a 1 espace projectif b di皿ension in丘nie， nous avons pro丘t6 皿 （；hemin sur 1 espace tangent T（の au groupe structural G、 en 616ment neutre e de ce groupe， qui se trouve dans un voisinage assez petit de P616ment neutre de T（e）． Cet article a pour but de prouver qu il existe un tel chemin， pourvu que la vari6t6 M soit deux fois

dif［6rentiable．

    1 Soient S 1 espa㏄projectif ti dimellsion infinie，（（A∂（i∈1））une l〕ase de 5．

Quant aux repere E｝1（・4i）de sommets（A，）（i∈1）， aux coordonn6es normales（xつ

（i∈1，Σ1到＝1）d un point 1）（x）de 8 par rapport au repbre班（A乞）， au cube

projctif（匡（α，2）（1，ensemble des point x tels que l a i一ゴ1＜？，）et ti la transformation

       ρx i＝Σカ」izゴ（ΣIPゴil＝1）

3        t

nous avons fait un sommaire au d6but de 1 article（［4］p．1）． En particulier， pour Ia transformation projective normale T qui laisse invariant le cube projectif（匡・＝

G（At，1）ainsi que le sommet A，， on a

       P，  ＝・ 1，Pt ＝0， P，t ＝＝ o  （1∈lt＝1−｛e｝）

de sorte que son 6quation s 6crit

       z 一宇ゴ zゴ （ど・ゴ∈1  ；z 一芸∫i］1p，il−1）・

（On suppose que 1 Qsemble d indices I possede， conform6ment le th60rさme de Zermelo， un l）on ordre et on d6signe par e 1 616ment le plus petit de 1）．

    On d6丘nit， dansぽ， un vecteur comme une classe d 6quivalence des couples de deux points de （S−、 （［3］， P．4）．  Chaque vecteur peut se repr6senter par un couple de la forme （A，（1，0）， P（1，ピ）） de sorte qu il s 6crit u（z）． L espace de ces vecteurs se llote y、． Le vecteur（A，，σtn・）se note ek． On a

       u（2）＝Σ 2Ses．

      s

    Envisageons un autre repbre Ql de sommetsん， At ∈Q3芭，（la frontiere de（X，）

＊一般教養教授 数学

2

et de points d un三t6 Ur （r∈1×…×の． La transformation projective nomlale T

telle que      

       TA．、＝ノ1，， TA，＝∠4 ， Tσ7＝σ㌶

est dite attach6e au changement de repbre班→E｝（ ． Dans ce cas pour chaque∫∈∫

1esクジ（i∈1 ）sont les coordonn6es nomales du sommet Aゴ par rapport au repさre 製．  On a， pour chaque 元， Z）ゴi＝O sauf pour un nombre fini des indices i et les ヵ兇≠Ose relient au moyen de 1 6quationΣilp」i l＝1． Soit io（あ元）1 616ment le plus petit de ces indices i． On a 2り〆。（P・元）＞O d aprbs d6丘nition． On peut prendre lesヵジ＠≠どo（ク，ブ）∫i，ブ∈1 ）comme coordonn6es de la transformation projective normale（T（Pジ）（ち∫）∈1 ））・

    2 L ensemble G、 des transformations projetives nomales T poss6dant la propri6 dont nous venons de mentionner fo㎜e un groupe qui opさreら⑤comme un automorphisme． On induit sur G、1a topologie du produit（8（匡t）1 ， en faisant correspondreら1a graphe fonctionnelle F telle que F（i）∈（8E、）∬ 1a transformation projective nomale qui apPlique le sommet・七C∈1）de？（sur un point・4 ∈ε麗 ・     Etant donn6 un 616ment p＝T（ρ兇）∈G，， consid6rons 1 ensemble σ（あ元o，ε） des

transformations T（ζ♂）teUes queζゴ∈題， mais pour un indice元o∈1

       ζ」。∈E（Pj。，ε）∩題（ξ，  （カブ。≡T（ク㍗）・4ゴ。，ζ・≡T（ζゴリ∠1・）・

On peut prendre lesζノ。i（i≠io（ク，ブo）comme une partie des coordonn6es locales de la transforlnation ζ一T（ζ兇）． En effet， cela revient ti la convention mentionn6e plus

haut， si l indice io（ヵ，元o） est le plus petit des indices i tels que ζゴ。i≠0、 Au cas

       ζブ。i・＝1一ζグ。i・ 一 Σ ｜ζゴ。彗＞0，

       i（≒io， io，）

carζゴ♂・est de meme signe queカゴ。i…

    L ensemble 乙「（p，ゴ。，ε） est un voisinage ouvert de G、 （la topologie de G， est

p．61）．L intersection Up，， de la forme

       Up，，一σ（ヵ，力，ε）∩…∩σ（ヵ，カ，ε）

se nomme le voisinage 616mentaire de p． D une maniさre pr6cise， on a pour

ζ∈Up，，

       ζ元，∈（5（Pゴ，・ε）∩田（5・ （5・＝1・…・1）》

       ζゴ∈8⑤，．

D，aprbs la collvention par rapport au largeur d un cube projectif on a

       O＜ε∠mini．（｜ヵゐゼ1≠0 （5＝1，…，1；i∈1 ））．

L ensemble（（Up，，）（p∈G，））fome une base pour la topologie de G． On d6signe

         ζゴ，∈U（Pj、， ・）．∩巴（ξ， （5＝1，…，1），

      ζ」＝t）ブ （元∈1 一｛元1，…，jz｝）．

      3

    3 Soit T（γメ）une transformation apPartenant h un voisinage σ（9，元。，z）de g・

Envisageons la translatlonらgauche associ6e ti un 616mentツde G：L（5，）γ＝O， r・

S，g se note カ．  On a

      ｜γゴoi−9元0《1〈2，  9∫0ゼー2＜γゴei＜9ゴ♂十2・

    Comme 2∠mini．．（｜9∫。il≠0）， on a aussi

       O∠19∫♂1−2＜1γ元oil＜1 9i ，i 1十7・，

d o口

       Σ1γi。〆｜＜b2 （9ブ。i ＝0，γ∫。i ≠0），，

i

b（＞0） 6tant le nombre des indices i tels que gグoi≠0・ Il vient donc      ．        1Σ yti ri。Lρゴ♂｜＝1yi， iγゴoil＋…＋ Yibiγブ。 ib＋Σツ〆γ」♂

 t 

   『  ，・   一 ．          ．        i

       一（3， il i gio il十…十S，ib i 9 」， ib）｜＜2ろ2，

c est−ti・dire，       ．      ・

  （3．1）   L（3 ）U（9，io，λ／2わ）⊂σ（ρ，グo，λ）・

    Si l，on fait g＝e， il vientツ＝メ）， b＝−1，

  （3．1）       L（ρ）〔ノとe，ゴo，〃2）⊂： L7（ρ，グo，2）

tandis que si Pon fait 1り＝e， il vientッ・＝g−1，

  （3．1）      Z二（9−1）乙「（9，jo，）．／2b）⊂ L々c，∫o，λ）．

    Nous pouvons donc conclure que la translation b gauche opさre b G comlne un automomorph三sme，1 ensemble（L（P）（Uε）（P∈G、））formant ainsi une l〕ase pour la

topologie de G、．

    4 Consid6rons une fonction r6elle ∫d6丘nie dans G． Prenons un 616ment N      〜

ク＝T（lb 」t）∈G；  Soit∫ 1a restriction de ∫sur llp．  D aprさs la convention

lpentionn6e plus haut， les ζゴ、i（ち元、∈1ノ；∫＝1，…，1；i≠io（♪，元ε））sont les coordon一

      ぺ      

n6es locales deζ＝T（ζジ）∈Up， car， dans llp，1esζ〆（i∈lt，元∈1 一｛元ユ，…，元1｝）sont

〜      〜

les constants Z）ゾ． 11 existe donc une fonction f＊（ζ元、っ．d6丘nie dans llp satisfaisant

ti l，6galit6

       ∫（ζ）＝∫＊（ζ元si（ζ））  （5＝1，… ， Z； i≠io（カ，ノs））・

Lorsque cette fonction ∫＊ est diff6rentiable par rapPort b ζノ，i， la fonction ∫ est dite diff6rentiable dans Up． Si cela arrive en tous pointクdans G， ind6pendamment du chiox de voisinage 616melltaire孤p， ell est dite diff6rentiable dans G．     ．     Soit F 1 ensemble des fonctions continuement di∬6rentiable dans ．G． L appli−

cation qui fait correspondre Ie nombre r6eI

       （∂f＊∂ζi，i）、．．（・・元・∈・ ・・一・・……i≠i・（P・タ・）・⑭

・u…pl・・（♪…lf）・e・…∂芸・・．・・1・・ ⊂・1…n・   ・

      ∂舞（P・u・・∫）一∂多ブ、i（ρ・u〆・∫）・

4

   0n dξfinit co血e 1 habitude que

       （∂；〆＋∂k）（ク・u・・s）一∂》〆i（P・Up・∫）＋∂；］・（P・u…s）

      （Up⊂u（P，∫・）∩u（P，ゴ〃）），

       ・、fi（P， Up，∫）一、b（P・・…∫）・ 

    Lorsque le point p reste fix6，1，enseml）1e des combinaisons 1三n6aires des

      ∂k （ち元∈lt；i≠i。（ヵ，元））

forme un espace vectoriel qui se nomme l espace tangent b G en pointヵ． Tout vecteur tangent a G、 en pointクs，6crit

      （    Σi（≒io（P，i），ゴ）2ゴ㌔』メ

o丘2！＝Osauf pour un nombre fini des couple （（i，」）∈1 ×1 ）． Cela peut s 6crire aussi

       ヘ      ハ        ξ］ど（Σ≒io（ρ，ブ）） ノノ ∂多ゴt ou bien  ≡≡］元（∫忍ゴ）≒D 2ノ乞∂多」・ ・

o口ΣゴetΣ乞sont 6tendues b un nombre丘ni des indices respectifs．

      ふ      パ

    De la restriction ∫ de ∫ sur σ（ヵ，i。，λ） on d6fint， dans U（g，ノo，a／2の tel que

      エ L（ツ）U（9，グo，〃2b）⊂U（P，∫o，7．）， la fonction プ 1 satisfaisant b 1，6galit6

N       N

       ∫ （γ）＝∫（L（3 ）γ）  （γ∈σ19，∫。．λ／2b）．

Cela revient a dire que

       パ       ふ

       ∫ソ＊（…，γ∫。i，…）＝∫＊（…，Σツε《γゴ。z，…）。       一        

RemplaCons y γゴo・ （α∈1） par r元o・d6丘ni par

       γゴoα＝（1一ρ）9ioa十pri，a （α∈．陥0∠≦ρ∠≦1）．

Commeγゴo∈⑮（9i，，2／2ろ），γゴoαainsi queτバs⑩t de meme signe que gioa， si gゴoa≠0． Donc lesγ元o侭et 7ゴo・sont toujours de meme signe． On a de plus

       O＜γ∫ofo（9・ゴo）＝1一Σ    1γ元o 1

       （≒io（9，ゴ0））

      ら et， Pεtr SUIte，

      Σツεfγ∫。ε＝Σ   S，tir元ot＋5 ゴ。（9，グ。）i（1一Σ

       1γゴ。tD       Z         t（≒io（9，ゴ0））

      t（≒io（9，元0））

       ＝S 。（9，元。）i＋Σ   fゴ。 （Pti一σ」。t5，i。（9，」。）り，

       t（≒io（8， io））

otiσゴoz est le signe de γ∫o （≠0）．

    Fixons maintenant un indice h（≠io（g，ブo））． Supposons que lesγj。i（i≠io（g，ブo））

…t diff6・ent・d・9i・t seul・m・nt p・頑一1・・S。i・・t（io・・1・・ il） 1 …eg bl・d・・ i・di・es

tels que i≠io（1り，元o） et （3rhi ou 3 io（9，∫o）り≠0．  Il vient alors

1

7j。lt−9」。h

     1

｛ア＊（…，γ元♂・，…）一ア＊（…，9ゴ。 ㌧…）

      lc v．｝し 1  j， L gj。

γ∫o

1

｛ア・（…，S i。（9，ゴ。）il＋；ソ♂・（3 、i・一・ゴ♂・・S，i。（9，i。）il），

       ・   ・   ●   ●   ●   ●   ●   ●   ●   ●   ●   ■   ．   ・   ・   ．   ・   ・

      ，S，i。（9，ノ。）il＋γゴ。 ↓（0，・it一σゴP 5・i。（9，j。）〆・）ジ・ ）

一

∫＊（・ ，ツゴo（9，io）仲9ブ。h（5，・ゼ1一σゴ。le），i。（9．」。） 1），…

       ●     ●   ●   ■   ●   ，   ●   ．   ．   ・   …         ．   ．   ・   ・

γi。n−9元。h

      り       ＋∫＊（

      ・   ●   ●   ■   ●   ●   ●   ●   ●   ●   ●   ●   ●   ●   ．   …      ．   …

      ＋∫＊（…，S，i。（＆ノ。）i1＋γ〆♂ぱ」，i、i1一σ」♂L3 f。（鋤）t1），

      」・i。（9，i。）ゴ・＋9ブ。」〈ツ 〆・一σ∫力，〆。働）i・），

      ・   ．   ●   ■   ●   ●   ■   ■   ●   ■   ●   ●   ■   ・   ．   …

      3，i。（9，ゴ。）it＋9∫。ノ〈ツ 〆t一σ〆。 ↓〉，i。（9，i。）il，…）

      エ

一

ゴ「＊（s、・．， 3i l （、9、jb）iiキ9ioh（、5， hi1一σjblL 3，｛o（9， jti）｛1）〉

       ●   ．   ●   ■   P   ●   P   ●   ・   ■   ■   ●   ●   ．   ・   ・   ．   ・

      ツ〆。（9，、i，。）it＋9ノ。 KO，hit 一σ二。7↓5，i。（9，元。）《㌧…）｝

       り

一

（・…一醐・（9…）it）、票、（…・・…鋤・・＋… t（・ぽ・乱一ゾ1・

       …       ●   ■   ●   ●   ■   ■   ●   ●   ●   ■   ●   ・   ．   ．   ・

，．3，、1 （。， j，＞i・ ＋ 〈9 、・。 ・ ・・ e．（1［i。  一 g i♂し））（が・一σ」♂y｛。（・、 」，＞it・…）

       ・   ．   ●   ■   ●   ●   ■   ●   ●   ■   ■   ■   ．   ・   ．   ・   ・   ．

      ，5 i。（   ら9， JO）il＋9ゴ。 ↓（51hit一σi。 t S，i。（9，元。）il），…）｝

       ヘ       ロ

     げ＊（…，5，i。（9，グ。）il÷γ∫♂ （3 hi・一σ∫。IL V ど。（ρ元。）ど・），

       ●   ■   ●   ●   悟   ■   ●   ●   ■   ●   ・   ．   ．   ・   ・   ．   ．   ．

      ，yi。（9，ゴ。）好γグ。1く5，hit一σゴ。hs，i。（ゐ，∫。）tt，…）

    イ＊（…・5，io（9，ブo）il＋γ元♂く5 ・ノ・一σ∫。ノ 5，i。（＆ブ。） 1）・

       ・    ■    ■    ●    ●    ■    ■    ■    ●    ●    ●    …       ．    ・    ．    ・

       ヘ      ウ

      ，」， 。（9，ノ。）i・−1＋〆ゴ。九（5，・イト1一σゴカ，ど。（9，」。） 1−・），

       3，i。（9， j．。ゾ・＋9〆。 文3 ・ゴ‥σ∫。 づ i。（宮，元。）il，…）

      idem    ）

       へ

＋（討・一σ 」，1し5・・i。（9、）・1）嘉1（…・…㈹i4

十（9j，  lt十θ1（F］lph−9fon））（Yltil一σ jo 

lL 3sゴo（9，ゴ。ぷ1），

      S，i。（9，jo） ・＋9ゴ♂（ツ パ・一σ元。ノ 5，i。（。，ノ。）「・），

       ・・・・・・・・・・・・・・・…  ）       （0く0、，…，Om＜1）．

5

6

Si 1・。。 y f。it P−・0・t， par・日it・，汚。・→9ブ。・㌧i1・i・・t

       （ ふ∂f ＊∂γi，h），一（．、。（P，、。ピー・・… ・・…）つ（一鵠）ガ

Cela revient b dire que

（…） dL（・）（、￡。ヨー忍。，P，、。）（画・・…（・…つ・￡。・

       （il≠i。（9， j。）， L（ッ）Ul9，∫。，）一／2b）⊂U（ヵ，《。tZ）），

・ロ・∫。・est l・・ig・・d ・・・…d・nn6・1・・a1・d un p・i・tγゴ・P・i・a・bit・a・em・nt d・n・

G（gro，2／2b）．

    Si 1 on fait g＝e， il vientッ＝」ρ， io（g，元o）＝元o， b＝1，

（4・） ・L（・）（、￡、・）一忍。（P，、。）！輌・・カ・・つ・￡。・

       （ゐ≠ブo，  L（ク） U（。，ゴ。，λ／2）⊂U仇∫。，・））・

tandis que si 1 on fait 1う＝ε il vient ッ＝g−1，

（…）〃・L（9−・）（、：、の一蔦。（・・一・・・・…（…）・・＆

       （9−9−・，1・≠《。（9，ブ。），L（9−1）σ（・，i。，・ノ・b）⊂σ碗・，・））・

     5 Consid6rons maintenant Pensemble H des vecteurs tangents enθ        ・言忍、・ゾ∂；⊂亨、9、fノ∂3−￥、9，・ノ∂；、・

satisfaisant b la condition queΣi（≒力16ゴi l＜1 pour chaque元． Soitγ1 application H→G，qui fait correspondre b un tel vecteur c la transformation projetive normale  d6丘nie par

       ・・ 一干ψ（cノ＝1苦、、1ら8D・

L・im。g。 rH・e t・・uv・d…1・・e・t・i・ti・n d un v・i・i・・g・616m・・t・i・e d・1 616m・nt  neutre． On induit la topologie de G、らγH ainsi qu ti 1 ense血ble H lui−meme．

     SupPosons mamtenant que        億恩，）…∂曇

  et que pour chaque元s

      、嵩，）1… 1＜、i＜・｝・

  oa b est le nombre des indices i tels queヵブ、f≠O pour au moins un des元s（1≦5≦7？の．

A1。rs，、。mm。・ブ、∈E（δ元，，・／、、）・n p・u・p・end・e c・mm・σ・・U・・ig・・d・・ゴln e・

・PPIiqu・nt（4．1） ． C・1・6t・nt f・it・il vi・nt

（…）・L（ク）（・）一

委忍，・・晒）（・曇）

翠、蕊。漏・」・1・細…w）・；、ξ

︐

      7

       一る置∫。（ヵ，万G力萌九一カゴつ∂；ノ、i

       一顯。（    （ξ元sる一クiρ，∫8）） ）、￡，i（ξ・，・一翠幽・り・

Or， on a

      lξ・・ 一酬≦1、昌，19・  U ，i・hl＋1捌（・一…js）1＜、6・

c est−hrdire，ξゴ、∈⑤（pノ、，2／2のde sorte， qu on peut prendre commeσ∫、りe signe de ξ元sh en appliquant（4．1），1esξグノt etク〆， h 6tant de mame signe， siヵノ，h≠0． On a ainsi

  （5・2）   dL（グ1）dL（ク）（c）＝ΣΣ   Σ（ξ∫、 h一力∫，リ

∫81z（≒fo（P，is））i（㍉8）

          ・（・・1−・・…9io （p， 」s・つ、；ノ

       ーΣΣ Σ   （ξ j，h−Pノ，り9hi

js i（≒∫ε）ll（≒io（P、∫s））

      一（1ξ・ノ・1−1捌）…（P…）つ、C

       −？、，忍、（；（ξ…−P・，h）g・・）毒

       一8∫（Σ≒∫ε）昂翠9〃れ㌔曇一る蕊）・㌔み一・・

    6 So三t A4 une vari6t6 diff6rentiable dont les cartes locales〜Dσrf（α∈α）sont des applications topologiques de Ua⊂M dans S（［1］， p．10）． Prenons un pointξ∈M．

Il existe un Ua contenantξ． So三ent

       σo＝〜クσαξ， S（σo）＝＝∠4，V／1i，V… V／4im．（h＜il，＜… ＜im）

et T・1a transformation projective norlnale qui permuteムavec A，，ひh乞avec U，i et qui laisse invariant les autres sommets ainsi que les autres points d unit6 du repさre

gJ．  On peut prendre un cube projectif （ξ（le。，7．） contenu dans Thg）σα（σα）  （1 。＝

Thσo）． Soit Ve＝（Thgu。）−i6（uo，2）． Prenons un point x∈Ve． Soient 2〆 （i∈1）

les coordonn6es du point Thpuαエ・  On a ltt＞O d aprさs la convention mentionn6e plus haut． On prend les が（i∈1 ＝1−｛d） comme coordonn6es locales du point x． Consid6rons l ensemble F des fonctions r6elles dif［6relltiables d6finies dans IVe．

Pour une fonction ∫∈F il existe une fonction diff6rentiable ∫＊（…，u乞，…）d6丘nie

dans （S（uo，2）  teUe que

       ∫（x）＝∫＊（…，が（x），…）．

・…∂11・・pPl・ca…nq・・f・・…rre・p・…el…mb・e…1

       （∂∫＊∂ui）u（x、

・u・・upl・（・・∫）・L…semb・・（（、；ヨ（i∈・・））・ng・ndre un・・pace vec・・…ITx

8

qui se nomme 1，espace tangent b M en point x （［1］， p．11）．

    7 Nous pouvons toujours supposer que 1 enselnble des domaines de cartes locales possede un bon ordre et que 1 ensemble d indicesαlui est 6quipotent． Alors，

1 ensemble des indices pour les domaines qui contiennent un pointξ∈M 6tant une partie deα， il admet un 616mentαle plus petit． Soit ξ∈（Ua∩Ufi） et

       IZe＝（Thgu。）−1（ξ（tle，2）∩（コ㍗〜クσ声）−1（匡（VO，μ）．

Les deux syst6mes（（が），（が）（ど，ブ∈∫ ））de coordonn6es locales d un point x∈Vξ，

qui sont les coordonn6es normales de lt＝7｝、Pσ。 x， v＝Tn 兜βエ se relient au moyen d quations de la forme

  （7．1）   『   wi＝rj（… ，lti，… ），  lti＝ψご（… ，u∫，… ）．

Posons

吟一a器，，q・ 1・一漂，・        ・

D aprさs l hypothese de ce que la vari6t6 M est diff6rentiable nous avons， un indice 元une fois丘x6，

  （7．2）      」rコノ膓＝0， φ！＝O

sauf pour un nombre fini des indices乃，差∈∫，（［1］， p．13）． Nous avons aussi（［3］，

p．8；［4］p．13）．

（7．3）   Σr ，tφ jS ＝・ 2ψsil  jε＝δ♂，

s      s

（・・） 、2、一￥・ゾ∂；、・、1。一？r・・∂1・ ．

    Soient Xα， x et Zfi， x les bijections y，→Tx qui fait correspondre respectivement leS VeCteUrS tangentS

       ￥・・∂；、e・干Σ詰．。1、；、

       m

au vecteur α（z）∈Y，．  La compos6e gβ、＝Zβ，三1Z。， x devient un automorphisme

ヱ→Ye．   Soit gfiロα（z）＝b（zノ）．  11 vient alors， gr含ce ti（7．4）

       …xb（・ ）一ΣΣ〒参、fnv 1、；、

       況

      一…α（・）一Σ・・∂％一？（叉・r・・∂；、）・

oti la sommationΣ。 est 6tendue a un nombre fini des indices 7・et pour chacun de ces indices 7・1a sommationΣs est 6tendue， d apres（7．2）， ti un nombre丘ni des indices∫de sorte qu 皿peut 6changer l ordre de ces sommations． Ainsi 1 automor−

phisme gβ． s exprime par

  （7．5）   z i＝Σf）」 zゴ，

3

oin

  （7．6）   Pゾ＝Σ1φ剖・t f．

      71t

■

      9

    0n peut donc regarder gp． colnme une transformation projective qui applique，

dans（匡e，1e point （0，￡〆） sur Ie point （0，2ソi）．

    Si 1，0n pose

（7・・） q・1一Σ㍑；川

       肌

on a， gr含ce b （7．3），

E）iq ，i P 」8 一ΣΦ ，T 」s ＝δf．

s      s

Au moyen de cette relation on tire de（7．6）

Σq ，kz s一が

      8

ce qui exprime 1 inverse g。p de la transformation gき。 donn6e par（7．5）． Or， on a        る1・剖一聯≒1一皇il蒜ll−・ぴ∈・・）・

      7刀

    On peut donc regarder g。βcomme une transformation projective appartenant ti G，．Il en est donc de m6me pour gP。．

    Envisageons ensuite deux cartes locales dont les domaines乙Tli et Ur contiennent ξ．Soit

       τ聾＝（Th〜クσ。）−」（ε（lt o，2）∩（Th 〜Dup）−1（！（VO，μ）∩（Th〆sクσr）−1（5（WO，・V）．

Il existe alors la relation de la forme

       lti＝じ i（…， zv Tl，…）   （w∈7フ〆〜クu；x），

d o口

       ∂％一る蘇・∂；、 （西一篭）・

    Soit Zr， x la bijection  y，→Tx qui fait correspondre le vecteur tangent        翠Σ蒜。1、％

      鴉

au vecteurα（z）∈y、（lorsqueγ＝αon a ui＝τvi，る 1，i ・． 61，i，Σ仇1酊 剖＝1）． On a alors

       −1

       −1

       −1 _{9TP＝つこ了， x} 9Tβ＝7−T， x ▲ZP， x＝＝）二77 x 9rP＝Zr， ＝ ZP， X＝  ZT， x 7．a， x−Za， m

       ZP， x＝9Tα 9aP・

    On peut donc regarder 9アP comme un 616ment de G、．

    8 Envisageons， sur M， un chemin x（t） （0∠Z∠1）ho皿60morhpe ti 1，intervalle

［0，1コ． Comme ce chemin est compact nous pouvons extraire de son recouvrement ouvert （（τ㍗） （ξ∈M）） un recouvrement fini de sorte que nous obtenons une subdivision de x（り en parties de nombre fini dont chacune xα（り（tα4t∠tα＋1；0

＝to＜tl＜…〈1） est contenue dans γξ（の⊂ひ。（a）∩Ufi（α）． SupPosons maintenant que chaque chemin xa（のest r6gulier． D une manibre prξcise， lesが（i∈1 ）6tant les coordonn6e locales de x∈τ㍗（。）， on suppose que les fonctionsが（t．）sont continuement

diff6rentiables et que pour chaque valeur k∈［ta， ta＋1］1a l〕orne inf6rieur de ｜z〆i（k）1≠0

10

。、t p・・iti・・， h m・i・・q・・1・・u ・（k）・…i・ent t・u・u・1・・D孤・ce ca・1…  （k）

s annulent sauf pour un nombre丘ni des indices i（［4］， p．8）．

   En portant lti（t）（t∈［tα， tα＋1］） き（7．6）， on obtient， sur G， un cheminクα（り

（t。4t∠t。＋、）． M・i・t・n・nt・n・upP・・a・t q・・1・・P s・nt…tinu・m・nt diff6・enti・b1・・

posons

       躍仁一P・…干力・酬の一（カノ） （り・

D apres ce que nous venons de remarquer， la sommationΣs est 6tendue a un nombre

丘ni des indices ∫．

    Le chemin jウα（り （tα∠t∠ta＋1） est dit r6gulier si，1 indice元une fois fix6， pour

       （（P ） （k）≠0 （i∈1 ））

。，t p・・itif a m・i・・qu・1・・（クジ） （k）・…i・nt t・u・nu1・・D…ce ca・・1 i・dice元 un。 f。i，五。6，1・・（カ5り・（k）・ ・nnu1・nt・auf p・u・un n・mb・e五ni d・・indice・i・

En effet lesヵヌ（り6tant continuement difε6rentiables dans［ta， t。＋1］par 1 hypothese il existe， pour un nombre positifεdonn6 ti 1 avance， un nombre positifδtelle que

       l〆一〆1＜δ⇒1（カゴつ（t 「）一（カゴつ（〆）1＜・（〆・〆∈［t・・t・＋・］）・

Donc，1 indice元une fois fix6，0n a un nombre positifδtel que， pour tout indice ゴsatisfaisant b（Pjt） （k）≠0，

       1・−k1＜・⇒1㈱ ω一（P・つ ④1＜》⇒1㈱ （t）1＞デ

Or，

       ク〆（…，・〆（の，…）一㌘ゴt（…，・〆（k） …）一（t一毘）（カゴつ ω・

o口tl est un nombre entre彦et k． D ailleurs， gr合ce ti（7．2）， on aヵゴi（の一クゴ￠（克）＝O

donc qu il en soit de Ine皿e pour （クジ） （ゐ）・

    Pour que cela arrive ind6pendamment du choix de chemin x（り， de sous−chemin

二τα（りet de valeurゐ， il faut et il su伍t qu un couple （元， r）∈1 X∫ une fois fix6，

les d6riv6es du second ordre rゴ，i etφゴ，t s anrlulent sauf pour un nombre丘ni des indices i． Lorsque cette condition est v6ri丘6e ind6pendamment du choix deξ∈M et de こlp∋ξ la vari6t6 M est dite deux fois diff6rentiable．

    Associons maintenant ti chaque valeurゐ∈［t。， ta＋1］， non suelement le pointク（え），

maiS aUSSi Un VOiSinage 616melltaire

       Uρ（k）−U（P（L・），．j、（1、））∩…∩σ（ρ（め，カ（め）

de ズ）（☆） et consid6rons， 6tant donn6 une fonction diff6rentiable ∫（オ） d6finie dans

      エ       

G、，sa restriction∫sur Up（i；）． Posons

〜       〜        f （t）＝＝∫（1）（t））・

Si la vari6t6 Aグ est deux fois diff6rentiable， cornrne nous le supPoserons d6sorrnais，

on a

      11

       り

      （df 百「）。一（湯虜・（…・ぴ（…，ur（の，…），…））k

      一るf（Σ≒ゴo（ρ，∫8））（Pisつ （k）（51il）、．，，J：，

      −lil i（§。（P，i、））（カ∫・つ （k）（∂会（力鬼∫））a．e

o01a sommationΣノ， est 6tendue h（元1（k），…，jz（k））tandis que la sommationΣ，

est 6tendue ti皿nombre des indices ゼ（≠io（ク（k），∫s（k））． Or， si Pon regarde rintervalle［0，1］comme une vari6t6 diff6rentiable， tout vecteur tangent b cette

・・・・・… ・x…m・・…1・f・・m・・念・A・…1・d・ff・・en…ll・d・1・・pPlica…n

      k∈［tα，ta＋1］一→（カ（k）， Up（K−））

・b…u・p・・1 ・・・・・・・・・…u・d・・eapPliq…6・u・1・・ec・・u・・ang・n・

      2 ？i（Σ≒．ib（b，A）（クノ・つ （ゐ）晶、i

a G・・np・i・tρ（k）・C・1・i・・i・e n・mm・1・vect…t・ng・nt…heml・P。（り

 （ta∠t∠ta＋1） en ce point．

    9 En prenant un 616ment 5，0＝（3 兇）o∈G， posons d al〕ord

      η（t）＝＝L（ノ）0（t））S，0  （ZO∠『≦≦≦tl）．

Soit

      5，1＝L（9a（1）α（0）（tl））5 0．

Posons erlsuite

      η（t）＝．乙（f エ（t））S ユ  （右∠τ∠t2）

et ainsi de suite． On a en g6n6rale，

（9・1）      η（t）＝L（P（L（t））S，a  （tα4t∠≦ta＋1）．

  （9。2）      ツα＝Z⊃（9α（α），α（α＿1）（tα））ツρ＿1．

    Maintenant en associantきツα un voisinage 616mentaire

       Uyα＝σ（チ・α，ノ、（a））∩…∩σ（3・α，元zω），

associons a chaque valeur k∈［t。， t。＋1］， non seulement le pointη（え）mais aussi un VOiSinage 616mentaire

       u・，（k）＝σ（ri㈹，カ（a））∩…∩σ（写（々），it（α））．

Soitπ1 application ゐ∈［ta， tα＋1］一→（η（k）， Uc（k））． On a        （ηブ、つノ（え）＝Σ（カ。り α（k）（ツブ，つ。．

      r

D aprさs leエaisonnement mentionn6e plus haut， on tire        d・（・￡）一黒恩。（。、、（…）・（・）、㌃

o田asommation Σブ， est 6tendue aux indices （元1（の，…，元↓（の） tandis que pour chaque元、 la sommationΣ， est 6tendue b un nombre丘ni des indicesど（≠io（η，元、）．

12

    Maintenant，6tant donn6 un nombre positif rca moindre que 1， d6丘nissons

1。vect。u， t。ng・nt 1・1・・g du・h・mi・η（り（t・∠t4t・＋・）・n f・i・ant

       ・一、（         κα． ．1＋ΣΣKη元、つ （t）1）・

      8  i

   Le vecteur tangentσen pointη（k）engendre alors， sur G， un champ de vecteur dont la coordonn6e s 6crit

（…） ・一ξ、昌，）ρ…∂書 （… −2；（・is嘱・一η二1）；

gr含ce ti（4．1） oti、σゴ、h est le Signe deηゴ、n． En effet， comme

       ￥1・剖一・・￥−4＃・L・

on a

       i、。（，，。，）（（・パリ …一差多れ1・1・（・…）う一￥（・isア） ・・

    On Obtient ainsi une bijection de 1 intervalle ［tα， ta＋1コau chemin ρsur Te・

satisfaisant ら 1，in6galit6

（…） る、昌、）㈱＜7＜1・

car

       Σ1Σ（ηゴ，つ μ．ifi∠ΣΣ1（ηパ） llμ川＝Σ1（ηゴ，「） 卜       t  ゲ       i  ア      「

    10 Envisageons maintenant 1 espace丘br6 principal B（M， Gt）， o口les fonctions grfi d6五nies au no 7 sont prises comme les fonctions de transition． Soit gr 1 hom60−

morphisme loca1σr×G一→（proj．）−iUr． Reprenons le voisinage Vξ（α）⊂仏（α）∩Ufi（。）

du pointξ（の∈M． 1／application 望β（o）induit， sur 1 espace B， un chemin

       bo（t）＝Pfi（o）（Xo（t），η（t））    （0＝to∠≦t∠tl）・

Ona

      〈クξ（0）（XO（t），η（t））＝9p（0）（XO（t）×L（PO（t））ツ0）

       −9fi（。）＠。（t），（9β（・）， a（・）（t））y・）

       ＝9a（0）（XO（り，5 0）・

De mame， Papplicat三〇n glia）induit

      b1（t）＝〜Op（1）（￠エ（t），η（t））＝〜クコ（1）（Xl（t），ツユ）  （tゴ9≦t∠≦ち）

et ainsi de suite． En vertu de（9．2）， on a

      bo（の＝b、（t、），

en g6n6rale，

      ba（ta＋1）＝ba＋1（ta＋1）・

    Nous obtenons a三nsi， sur B， un chemin ろ（彦）（0∠t∠1）continu et dif［6rentiable par morceau， qui se trouve au dessus du chemin x（り⊂ハ4．

      13

    L hom60morphisme dgp（α）， x、（t）applique le vecteur tangentσ en pointη（k）

sur le vecteur tangentθau chemin ba（り（ta〈llt∠ta＋i）en point ba（k）tandis que l hom60morphisme d（P。（α），x。（t））−1 apPliqueθsur un vecteur tangentτ註G、 en pointッ。． D aprさs（9．1）1es vecteursσetτengendrent， sur G，1e meme champ de vecteurs． Autrement dit，1 hom60morphisme d（g。（α）， x。（t））−1 appliqueθsur un vecteur g6n6rateur du champ de vecteurs dont la coordonn6e est donn6e par（9．4）．

Le v㏄teur tang飽t le long du chemin bα（り＝g。（α）（xa（t），b 。） engendre donc un chemin ρ（の sur T（の satisfaisant b 1 in6galit6（9．5）．  C est le chemin dont 1 existence s est 6nonc6 au d6but．

［1］

［2］

［3コ

［4］

［5コ

      R6f6rences

J．Kanitani． Sur une vari6te localemet applicable dans 1 espace projectif h dimension infinie． Research BuUetin， Meisei Univ．（Hino City， Tokyo， Japan）， No．5（Science

and Engineering），ユ970， pp．1−13．

J．Kanitani． Sur 1 ensemble des transformations projectives normales dans 1 espace projectifら dimension infinie． Research Bulletin， Meisei Univ．，No．6（Science and

Engineering），1971， pp．1−14．

J．Kan三tan三． Sur 1 espace fibr6 tensoriel b une、・ari6t6 diff6rentiable admettant les

Meisei Univ．， No．9（Science and Engineering），1973， pp．1−16．

J．Kanitani． Sur Ies champs de vecteurs au dessus d une vari6t6 diff6rentiable admettant les hom60morphismes locaux h 1 espace projectif h dimension infinie．

Research Bulletin Meisei Univ ， No，10（Science and Engineering），1974， pp．1−13．

工Kanitani． Sur 1，existence dcs int6grales d un syst6me d，6quations diff6rentielles

aux fonctions inconnues de nombre infini． Jour． Matl〕． Kyoto Univ．， Vo王．16， No．1，

1976，pp． 123−136．