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位相入門演習 No.8問題

2013/2/8

1. (X, d) を距離空間とする。 X の部分集合族 O

d

を

O ∈ O

d

⇔ ∀ x ∈ O, ∃ ϵ > 0 s.t. N (x; ϵ) ⊂ O で定める。 O

d

は X 上の位相であることをしめせ。

2. (X, d) を距離空間、 A ⊂ X とする。 A 上の距離を

d

A

(x, y) = d(x, y), x, y ∈ A

で定める。 このとき O

A

= O

dA

を示せ。 但し O

A

は例 15.4 で定義された A 上の位相であ る。

3. (問 15.1) X = { 1, 2, 3 } 上の位相を全て求めよ。

4. (問 15.2) 離散位相は常に距離可能であることを示せ。

5. (問 15.2) X を２点以上を含む集合、 O を X 上の密着位相とする。 X 上のどんな距離 d に 対しても O ̸ = O

d

であることを示せ。

6. (問 15.3) (X, O ) を位相空間とする。 U を X の閉集合全体のなす集合族とする。 U は次を 満たすことを示せ。

(a) X, ∅ ∈ U

(b) F

1

, . . . , F

k

∈ U ⇒

∪

k j=1

F

j

∈ U

(c) { F

λ

| λ ∈ Λ } ⊂ U ⇒ ∩

λ∈Λ

F

λ

∈ U

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