である直方体 が，直交座標系

[

問

右図に示すように，辺の長さがそれぞれ

および

である直方体 が，直交座標系

のそれぞれの軸に

辺をそろえて置かれている。

点

は直方体の頂点であり，点

は辺の中点とする。

A

B C

D

4 2

1 O

x

y z

(1)

ベクトル

BA，−→

BC

と

BD

を成分で表しなさい。

(2)

ベクトル

BC

と向きが逆で大きさが

のベクトル

の

成分をそれぞれ求めなさい。

(3)

線分

の中点を

とする。点

と点

の間の距離を求めなさい。

(4)

原点

を始点とし，点

を終点とするベクトル

OF

が次の式

−→OF =−−→

OB + 2−→

OC +t (

2−→

OB−2−→

OC )

, −∞< t <∞ (p1.1.1)

で表される時，点

の集合は

平面上の直線となる。この直線を図示しなさい。

(5)

点

は点

と点

から距離

だけ離れており，点

からは距離

だけ離れている。また，点

の

座標は正である。以上の条件から，点

の座標を求めなさい。

物数

問

[

答

各点の座標は

A: (2,0,1), B: (2,2,0), C: (1,4,0), D: (0,0,1) (p1.2.1)

となる。

(1)

−→BA = (2,0,1)−(2,2,0) = (0,−2,1) (p1.2.2)

−→BC = (1,4,0)−(2,2,0) = (−1,2,0) (p1.2.3)

−→BD = (0,0,1)−(2,2,0) = (−2,−2,1) (p1.2.4)

(2)−→

BC

と向きが逆で，同じ大きさのベクトル

は

BC = (1,−2,0)

となる。

の大きさは

|~b|=√

1²+ (−2)²+ 0²=√

5

なので，

~a= 1

|~b|~b= 1

√5 (1,−2,0) = ( 1

√5,− 2

√5,0 )

(p1.2.5)

となる。以上より

の

成分は

√5

，y 成分は

√5

，z 成分は

となる。

(3) −→

AE = 1 2

−→AC = 1 2 (

(1,4,0)−(2,0,1) )

= (−1

2,2,−1 2 )

, −→

BE =−→

BA +−→

AE = (−1

2, 0, 1 2 )

(p1.2.6)

より点

と点

の間の距離

BE|

は

|−→

BE|=√(

−1 2

)2

+ 0²+ (1

2 )2

= 1

√2 (p1.2.7)

となる。

(4)

−−→

OB + 2−→

OC = (0,6,0)，2−→

OB−2−→

OC = (2,−4,0))

より

−→OF = (2t ,6−4t ,0) (p1.2.8)

となる。点

の座標を

とすると

x= 2t , y= 6−4t , z= 0 (p1.2.9)

となる。この直線は点

と点

を通り，下図のようになる。

x

-2 -1 1 2 3 4

-2 2 4 6 8 10

尚，

を消去した

と

の関係式は

y= 6−2x (p1.2.10)

となる。

(5)

点

の座標を

とし，問題の条件を数式で表すと

x²+y²+z² = 1 (p1.3.1)

x²+y²+ (z−1)² = 1 (p1.3.2)

(x−2)²+ (y−2)²+z² = 9 (p1.3.3)

x > 0 (p1.3.4)

となる。まず，(p1.3.1)

より

2z−1 = 0 (p1.3.5)

なので，

z=1

2 (p1.3.6)

が得られる。次に，(p1.3.1)

より

4x+ 4y= 0 (p1.3.7)

なので，

y=−x (p1.3.8)

が得られる。(p1.3.6) と

を

に代入して得られる方程式

4 (p1.3.9)

より，x

√3

2

となるが，条件

から点

の座標は

1 2

√3 2, −1

2

√3 2, 1

2 )

(p1.3.10)

となる。

【注】

√5

などは

√5

5

などと書いても，もちろん構いません。

物数

問

問

下図に示すように，辺の長さがそれぞれ

および

である直方体が，直交座標系

のそれぞれの軸に

辺を そろえて置かれている。点

は直方体の頂点であり，点

は辺の中点，点

は面の中点とする。

点

を頂点とする

角形の板の後方にある点

に点光源を置くと，地面に板の影

ができた。

ただし，xy 平面を地面とする。

(1)

線分

と 線分

の間の角度を

とするとき，cos(θ

を求めなさい。

(2)

点

の座標をそれぞれ求めなさい。

(3)

線分

と 線分

の間の角度を

とするとき，cos(θ

を求めなさい。

(4)

地面が少し傾いていて次式

z=−2x+y

20 (p2.1.1)

で表される場合に，点

の座標を求めなさい．ただし，点

や

の座標は変わらないとする．

D

F C

S

4 2

2 A

O

E B

[

答

各点の座標は

A: (2,2,1), B : (0,4,1), C: (2,4,2), S: (0,0,3) (p2.2.1)

となる。

(1) cos(θ1) =

−→CA·−→

CB

|−→

CA| |−→

CB|

の関係を使う。

−→CA = (0,−2,−1), −→

CB = (−2,0,−1) (p2.2.2)

より

CA·−→

CB = 1, |−→

CA|=√

5, |−→

CB|=√

5 (p2.2.3)

なので

cos(θ1) =1

5 (p2.2.4)

となる。

【注】余弦定理を用いて

を求めてもよい．

AB = (−2,2,0)

より

AB|=√ 8 = 2√

2

なので

CA|²+|−→

CB|²− |−→

AB|² 2|−→

CA| |−→

CB| = 5 + 5−8 2√

5√ 5 =1

5 (p2.2.5)

となる．

|−→

AB|² = |−→

CB−−→

CA|²= (−→

CB−−→

CA )·(−→

CB−−→

CA )

= −→

CB·−→

CB−−→

CB·−→

CA−−→

CA·−→

CB +−→

CA·−→

CA

= |−→

CB|²+|−→

CA|²−2−→

CA·−→

CB (p2.2.6)

なので，実は同じ計算をしていることになる．

(2)

まず，点

の座標を求めてみよう。

−→SA = (2, 2, −2) (p2.2.7)

であり，

SA

と

AD

は同じ向きなので，α を正の実数として

−→AD =α−→

SA = (2α ,2α , −2α) (p2.2.8)

と書ける。α の値は点

が地面

平面) 上にあるという条件から決める。点

の座標は

−→OD =−→

OA +−→

AD = (2 + 2α ,2 + 2α ,1−2α) (p2.2.9)

なので，点

の

座標が

という条件から

2

となる。従って点

の座標は

D: (3,3,0) (p2.2.10)

となる。

物数

問

点

の座標も同様の手順で求めることができる。繰返しを避けるために，一般の場合を考えて，最後に数 値を代入しよう。板の頂点

の座標を

(xv, yv zv) (p2.3.1)

とし，点光源

による頂点

の

とする。

−→SV = (x_v, y_v, z_v−3) (p2.3.2)

であり，

SV

と

VD

は同じ向きなので，β を正の実数として

−→VP =β−→

SV = (βxv, βyv, β(zv−3)) (p2.3.3)

と書ける。β の値は点

が地面

平面) 上にあるという条件から決める。点

の座標

は

(xp, yp, zp) =−→

OP =−→

OV +−→

VP = (xv+βxv, yv+βyv, zv+β(zv−3)) (p2.3.4)

なので，点

の

座標が

という条件，z

3−zv

となる。従って点

の座標は

( 3x_v 3−zv

, 3y_v 3−zv

,0 )

(p2.3.5)

となる。以上より，点

の座標は，x

を

代入して

E: (0,6, 0), (p2.3.6)

点

の座標は，x

を

代入して

F: (6, 12,0), (p2.3.7)

となる。

(3) cos(θ2) =

−→FD·−→

FE

|−→

FD| |−→

FE|

の関係を使う。

−→FD = (−3,−9,0), −→

FE = (−6,−6,0) (p2.3.8)

より

FD·−→

FE = 72, |−→

FD|= 3√

10, |−→

FE|= 6√

2 (p2.3.9)

なので

cos(θ₂) = 2

√5 (p2.3.10)

となる。

(4) (2)

と同様に，点

の座標は

で表される。点

の座標

を代入すると

となる。今度は，点

が地面上にあるという条件は

zp=−2xp+yp

20 (p2.3.12)

なので，

2−β=−8(1 +β)

20 (p2.3.13)

より

が得られる。以上から点

の座標は

F : (10,20,−2) (p2.3.14)

となる。

[

問

図

に示すように辺の長さがそれぞれ

の直方体があ る．点

は辺の中点であり，点

は面の中央にある．図のよ うに座標系をとった場合に次の問に答えなさい．

(1)−→

AC×−→

AB

と

AD×−→

AC

を計算しなさい．

(2)

線分

を

辺とする平行

面体の体積を求めな さい．

(3)

点

を含む平面の方程式を求めなさい．

(4)

図

の点

を含む平面によって，空間は

つの領域 に区切られる．次の

点

F : (8,2,4), G : (−2,10, 1), H : (−6,−5,−7), I : (−6,−7,−7).

について，それぞれ，点

と同じ領域に入っているか，点

と違う領域に入っているか，あるいは，ちょうどこの平面上に あるかを判定しなさい．ただし

の中の数値は点の 座標を示す．

D

C

4 2

2

O A

B

図

[問3-2]

図

で線分

の長さは線分

の長さの

の 長さは線分

の長さの

である．このとき，3 角形

と

角形

の面積の比を求めなさい．この問題を以下の手 順によってベクトルを用いて考えよう．

以下で

AB =~a , −→

AC =~b

とする．

D C

A E B

F

図

BD

と

CE

を

を用いて表しなさい．

(2) −→

BF =α−→

BD, −→

CF =β−→

CE (p3.1)

とおく．等式

−→BF =−→

BC +−→

CF (p3.2)

が成り立つという条件から

を求めなさい．

(3)

3

角形

の面積

2|~a×~b|, 3

角形

の面積

CD×−→

CF| (p3.3)

より，3 角形

と

角形

の面積の比を求めなさい．

物数

問

答

この座標系について各点の座標は

A : (2, 2,1)

，

，

となる．

(1) −→

AB = (−2,2,0), −→

AC = (0,2,1), −→

AD = (−2,−2,1) (p3.5)

より，以下を得る：

−→AC×−→

AB = (−2, −2,4), −→

AD×−→

AC = (−4, 2,−4). (p3.6) (2)

平行

面体の体積は

¯¯¯−→

AD·(−→

AC×−→

AB)¯¯¯=|(−2,−2, 1)·(−2,−2,4)|=|12|= 12 (p3.7)

あるいは

AB·(−→

AD×−→

AC)¯¯¯=|(−2, 2,0)·(−4,2,−4)|=|12|= 12 (p3.8)

などより，12 となる．

(3)−→

AC×−→

AB = (−2,−2,4)

は点

を含む平面に直交するベクトルとなる. 平面上の任意の点

の座標を

とすると

AP

と

AC×−→

AB

は直交するので

AP·(−→

AC×−→

AB )

= (x−2, y−2, z−1)·(−2,−2,4) =−2(x+y−2z−2) (p3.9)

が成り立つ．従って平面の方程式は

x+y−2z= 2 (p3.10)

となる．式

を定数倍した式でも構いません．

【注】平面の方程式は一般に

ax+by+cz=d (p3.11)

と書けるの．点

の座標を式

に代入した方程式

2a+ 2b+c =d (p3.12)

4b+c =d (p3.13)

2a+ 4b+ 2c =d (p3.14)

を満たすように未知数

を決めてもよい．

(4)

−→AD = (−2,−2,1), −→

AF = (6,0,3), −→

AG = (−4,8,0),

−→AH = (−8,−7,−8), −→

AI = (−8,−9,−8) (p3.15)

より

−→AD·(−→

AC×−→

AB )

= 12, −→

AF·(−→

AC×−→

AB )

= 0, −→

AG·(−→

AC×−→

AB )

=−8,

−→AH·(−→

AC×−→

AB )

=−2, −→ AI·(−→

AC×−→

AB )

= 2 (p3.16)

となる．これより点

が平面に対して点

同じ側，点

と

が逆側に位置することがわかる．また，点

はちょうど平面上にある．

【注】点

の座標を式

の右辺に代入して，その値の正負から判断してもよい．

f(x, y, z) =x+y−2z−2 (p3.17)

とすると

f(0,0,2) =−6, f(8,2,4) = 0, f(−2,10,1) = 4

f(−6,−5,−7) = 1, f(−6,−7,−7) =−1 (p3.18)

より，点

は点

と同じ領域に属し，点

と

は違う領域に属することがわかる．また点

は ちょうど平面上にある．

[答3-2]

(1)

−→BD = −→

AD−−→

AB =2 3

−→AC−~a= 2

3~b−~a (p3.19)

−→CE = −→

AE−−→

AC = 3 4

−→AB−~b= 3

4~a−~b (p3.20)

(2)

−→BF = α−→

BD = 2α

3~b−α~a (p3.21)

−→BC +−→

CF = ~b−~a+β−→

CE =~b−~a+β (3

4~a−~b)

= (3β

4 −1 )

~a+ (1−β)~b (p3.22)

なので，等式

は

2α

3~b−α~a= (3β

4 −1 )

~a+ (1−β)~b (p3.23)

となる．この式を変形すると

1−α−3β 4

)

~a= (

1−β−2α 3

)~b (p3.24)

が得られる。ところが，

と

は方向の異なるベクトルなので，(p3.24) が成り立つのは両辺がともに

ベク トルの場合，すなわち

1−α−3β

4 = 0, (p3.25)

1−β−2α

3 = 0 (p3.26)

となる場合のみである．上の

式より以下が得られる：

α= 1

2, β =2

3. (p3.27)

【注】１つの等式

から２つの未知数

が求まるのは奇妙に感じるかもしれないが，(p3.24) は

ベクトルの間の等式なので，実際にはベクトルの各成分が等しいという複数

のベクトルなので２つ) の等式をまとめて表していることになる．

物数

問

(参考) “~a

と

は方向の異なるベクトルである” は数学の用語では

と

は線形独立である”といいます．

(線形代数・演習I

の資料

を参照．)

(参考)

式

は図形的には

の面積が

を用いて次のように表されることを意味します：

4CDF

の面積

の面積

34CAE

の面積

3

4 4ABC

の面積

の面積

の面積

3 4ABC

の面積

同様に，式

は図形的には

の面積が

を用いて次のように表されることを意味 します：

4EBF

の面積

の面積

4 4ABD

の面積

2

3 4ABC

の面積

の面積

の面積

4 4ABC

の面積

(3)

−→CD×−→

CF = 1 3

−→CA×β−→

CE =−β 3~b×(3

4~a−~b)

=−β 3

(~b×3

4~a−~b×~b)

= −β

4~b×~a= β

4 ~a×~b= 1

6 ~a×~b (p3.30)

となる．従って，

(3

角形

の面積) : (3 角形

の面積) = 6 : 1

となる．

[

問

(1) 4

つの力

と

が物体に働いてつりあっている。

F~4

を求めよう．大きさが最大の力と最小の力はそれぞれどれ？

(2)

図

に示すように辺の長さがそれぞれ

の直方 体がある．点

は辺の中点であり，点

は

にあ る面の中央にある．また点

は直方体の中央にある．

図のように座標系をとった場合に次の問に答えなさい．

(2-1)

点

から 点

に向かう単位ベクトル

，~

，

~

u_C

，~

，~

をそれぞれ求めなさい．

(2-2)

点

にある物体に，点

に向かって大きさ

6 N

の力

が働いているとき，

を成分で表しなさい．

(2-3)

点

にある物体を点

に向かって大きさ

の力

で引っ張る．さらに点

に向けて大きさ

5 N

の力

で，点

にむけて大きさ

の力

で，点

に むけて大きさ

の力

で，点

にむけて大きさ

√6 [N]

の力

で引っ張る．力がつりあって物体が静止 する場合に

，f

，f

を求めなさい．

D

C

4 2

2 A

O

E B

図

[問4-2]

長さ

と

の棒を，棒の中心で直角に組み合わせた物体を考える．

この物体を棒の中心を原点として

平面内に置き，x 軸を回転軸 として，そのまわりに自由に回転できるようにする．長さ

の棒が

軸から

だけ傾いているとき，点

に力

( 0,1, 3

)

を加え，点

に力

0,2,2 )

を加えた．

(1)

力

がこの物体に及ぼす，原点の回りの力のモーメント

を 求めなさい．

(2)

力

がこの物体に及ぼす，原点の回りの力のモーメント

を 求めなさい．

(3)

この物体に力

と

を加えた場合，この棒は

軸のまわりに，

時計回りに回り始めるか，反時計回りに回り始めるか，あるいは 静止したままかを答えなさい．

(4)

点

に力

0, F_y,0 )

をさらに加えて回転軸のまわりに回 転しないようにした．F

を求めなさい．

θ

A

B C

z

y

ᤨ⸘࿁ࠅ

෻ᤨ⸘࿁ࠅ

O 2L

L D

図

物数

問

答

(1)

F~4=−F~1−F~2−F~3=

(−1,−3,−3 )

. (p4.1)

また，

|F~₁|=√

5, |F~₂|=√

6, |F~₃|=√

10, |F~₄|=√

19 (p4.2)

なので，大きさが最大の力は

，最小の力は

となる．

(2)

この座標系について各点の座標は

(2-1)

−→EA = (

1, 0, 0 )

, −→

EB =

(−1,2,0 )

, −→

EC = (

1, 2, 1 )

,

−→ED =

(−1,−2, 1 )

, −→

EO =

(−1,−2,−1 )

(p4.3)

となる。点

から点

および

に向かう単位ベクトル

，~

，~

はそれぞれ

~ uA =

−→EA

|−→

EA| = (

1,0,0 )

, ~uB =

−→EB

|−→

EB| = 1

√5

(−1,2,0 )

,

~uC =

−→EC

|−→

EC| = 1

√6 (

1,2,1 )

, ~uD=

−→ED

|−→

ED| = 1

√6

(−1,−2,1 )

,

~ uO =

−→EO

|−→

EO| = 1

√6

(−1,−2,−1 )

(p4.4)

となる．

(2-2)

F~O=√ 6~uO=

(−1,−2,−1 )

(p4.5)

(2-3)

点

から点

および

に向かう力をそれぞれ

，

，

，

および

とすると

( 1,0,0

)

, F~_B=√ 5 ~u_B =

(−1,2,0 )

, F~_C = f_C~u_C= f_C

√6 (

1,2,1 )

, F~_D=f_D~u_D= f_D

√6

(−1,−2,1 )

F~_O = √ 6 ~u_O=

(−1,−2,−1 )

(p4.6)

となる．

力のつりあいの条件

F~_A+F~_B+F~_C+F~_D+F~_O=











−2 +f_A+^fC√^−fD 6

√2 6

(

f_C−f_D )

−1 +^fC√^+fD 6











=









 0 0 0











(p4.7)