はじめに

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高校数学の方法

2008 年11 月19 日

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はじめに

高校で数学を学ぶ意義は何か．それは次のようなことである．

第1 数学を使いこなすための基礎を身につける．

現代文明の土台には数学がある．身の回りにあるさまざまの道具，テレビ，パソコン，携帯電話，鉄道，そして橋やビルなどあらゆる建造物，すべて数学なしには存在しえない．経済活動もまた数学なしに組織することはできない．あるいは経済現象の解析など，社会科学もまた数学が用いられる．このように，数学は文明の基本的な方法なのである．数学の基礎を高校で身につけることは，現代社会で生きていくうえで不可欠である．高校では，数学の基礎を系統立てて順次分野別に学ぶ．

第2 論理的に考える力を身につける．

問題の状況，つまりそこにある数学的現象を適切にとらえ，与えられた条件から一定の結論を導く．これが問題を解くということであり，証明である．証明するということ自体が，近代の人間の必須の方法である．論述や弁証が典型的に用いられる数学を学び，結論の根拠を論述したり，証明すことをとおして，筋道を立て，予測し，論証する力をつける．その結果，

数学だけでなくすべての学科で力が伸びる．

大学入試は，この２つの面から大学での勉強にたえうるかどうかを試すものである．その力の度合いによって選抜しようということである．だから，入試数学とっても何か特別な数学があるわけではない．学問としての数学を正面から勉強することが，結局は力をつける早道である．ひとつの問題を深く考え，つねに論証を検証しよう．このような勉強の積みあげの結果として多くの問題が解けるようになる，これが本当の勉強である．他に楽な道はない．

そのための方法論が『高校数学の方法』のめざすところである．高校数学とは，人間が15〜18 歳の頃に身につけ，上述のような内容において人間形成の土台とするべき数学の範囲をいう．社会生活を送るにあたって必要な内容であり，また大学初年級の一般教養数学とあわせて，専門分野の勉強の前提となる内容である．

論理的に考える力をどのようにしてつけるか．この力は，数学の各分野の勉強をとおして身についていくのだが，分野別の基礎学習に加えて，数学的考え方，つまり数学の方法論を意識的に学べば，論証力が大きく飛躍する．

そこで本書は，一通り分野別の学習をした人を対象に，数学のさまざまな考え方や方法論をとりだし整理し，演習問題を提供する．数学では，分野は違うが用いる方法や考え方は同じ，ということがよくある．高校数学の方法として整理されるものはそんなに多くない．それを取り出して学ぶことで，方法を意識して問題を解くということを身につけ，問題解決能力と論証力，つまりは数学の力を飛躍させようとするものである．

さあ，高校数学を学問としてしっかりと学び，この時代を生きる智慧と力をつけよう！

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第

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_{章いま大学とは}

今，大学とは何かについての私の考えを述べる．なぜ大学に行くのか，当然のこととして，あまり考えたことがない人が多いだろう．そんな人には自分の進路をふりかえるきっかけや，何かの参考になればと思う．また読んでみて，自分は違う考えだという人もいるだろう．それでいい．自分の考えをもつということが大切だ．また意見を聞かせてほしい．

力石さて，私は兵庫県西宮市の北西部，六甲山系に連なる山の麓の丘陵地帯に住んでいる．

昔は田畑の広がる農村であった．つい二，三十年前はまだ狐や狸もいた．ここに越木岩(こしきいわ)神社という古い神社がある．

この越木岩神社の鳥居をくぐると左手に「力石」という大きな石が置いてある．江戸時代，この辺りの村では，この力石を持ちあげるとはじめて一人前と認められ，耕す畑などが割り当てられたそうである．

かつてはどんな社会も一人前として認められるための関門があった．

江戸時代は農業が基本で，とくに農村においては，農業に従事できる力があるかどうかがいちばん肝心なことだから，大石を持ちあげることが，関門を通過するための試験科目であった．人が生まれてから死ぬまでに経過する，誕生，成人，結婚，死などに伴う儀礼を「通過儀礼」という．大石を持ちあげるのは，大人になるための通過儀礼であった．

今日の社会では大人になるための通過儀礼は何なのだろうか．ほんとうはここで「大人」を定義しなければならないのだが，実はそれが難しいのだ．だから，私が言っていることはじつはいくらでもつっこみが可能である．それは承知で，問題提起としてこの話をしている．さて，「成人式」は成人したうえでの式であって，通過儀礼ではない．最近は「成人を祝う」という意味でも完全に形骸化してしまっている．近代社会では産業を担う働き手となるために学ばねばならないことが多岐にわたり，教育制度が長期かつ複雜になった．

近代社会で，現実に，一人前の人間であるかどうかを試すものとして機能している仕組みの一つが，大学入試・大学生活・就職と一組になった大学という制度である．明治時代に大学制度ができて以来，大学は大人への関門の一つという江戸時代の力石と同じ機能を果たしてきた．

大学の変貌その大学という制度が，見かけの形式はあまり変わらないが，内容が大きく変わってきている．

近代日本では「いい大学」に入ることが，社会に貢献することであり同時に自らの幸福にもつながるという時代があった．個人が努力することで高等教育を受ける機会を獲得し，その高等教育を媒介にして個人の生活や社会的地位といった利益がもたらされるとともに，それが同時に社会発展であるとされていた．ひと昔前は，自分のために「いい大学」を出ることが，すなわち社会に何かの貢献をするということであった，産業社会が発展する段階では，いずこの国でもそのようになる．

だから，がんばって勉強した．おしなべてみな貧しく，苦学しつつも機会は比較的均等であった．

しかし今，その段階は終わり，自己の利益と社会の発展が一体というのは幻想ではなかったかと，皆気づきはじめている．高度経済成長は達成した．しかし，人々は幸せになったか．とりわけ

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いわゆるバブル経済の崩壊以降，産業社会の拡大と人間の幸せは別のものであることが誰の目にも明らかなものになった．2006年，2007年，景気はよいといわれ続けてもそれは大企業経営の話で，現実に中小企業経営や，働くものにとっては生きがたい世の中だ．とりわけ，働き人の三分の一をしめるいわゆる非正規雇用者では生存権すら脅かされるようになっている．この数年，年間自殺者は3万人を割ることはなかった．

若者は貧困のもとで呻吟し，老人は社会の厄介者にされる．企業が安い労働力を求めて海外に展開する一方，日本国内では産業社会が縮小し，使い捨てにされる労働者が大変な数にのぼっている．

企業業績がいいといっても，それは国内・国外で安い，いつでも捨てられる労働力を使ってきた結果に過ぎない．若者の側からいえば，働こうにも生活が成り立つだけの収入を得ることが難しい．

経済合理性があれば何をしてもよいという社会になってしまった．こうして，いい大学を出ることは，必ずしも社会に貢献することではないことがはっきりとしてしまった．では自分が落ちこぼれないために勉強して自分だけがよくなればいいのか．確かに「勝ち組，負け組」などと宣伝され，自分力で勝つことはいいことだとされてきた．そう思っている人もいるだろう．しかしそれで人間は幸せか．そうではないのではないか．

この百年，「立身出世，産業立国」が人々を教育へと動員してきた．しかしもはやそれは人を動かす力を失っている．社会発展と一体となった大学のあり方が，根本から問われている．

だが，日本の高校では悲しいことに，学問することが，自分自身の内的な必然性をもたず，つねに立身出世のための「手段」でしかなかった．そしてその手段で実現すべき目的が実はそんなに価値がないかも知れない，ということになれば，勉強に身が入らないのも当然である．それが今の高校生のおかれている一般的な状況だ．感受性が鋭く人間性あふれる高校生ほどこの矛盾に苦しむ．

もっと言えば，「立身出世，産業立国」が人を動かす力を失った結果，勉強の目的だけではなく，

「なぜ生きるのか」，「なぜ働くのか」さえ崩れているのだ．これが今の世の中の現実である．

能動的に生きる私は，このような時代こそ，時代の客観的な姿から目をそらさずに，事実をおさえつつ，そのなかで能動的に生きることを模索してもらいたいと願っている．能動的に生きる？

そうだ．受け身にならず自分の方から試行錯誤し，生きる途を求めていくのだ．

最近よく「自分さがし」とか「やりたいことを見つけよう」とか大人がいう．「自分をさがさなければならない」「やりたいことを見つけなければならない」とか，外から強制されて考える必要はない．「自己実現」とか「自己変革」とか，そんなものは誰かに都合のように自分を作りかえることでしかない．学生がそんな言葉にとらわれるのは，多くの場合，現実と闘わずそこから逃げて，

「自分さがしの旅に出る」ときだ．どこかにほんとうの自分がいるわけではない．ここにいなくでどこにいるか?

その最初の試金石として，では今，何のために大学に行くのか，これをよく考えよう．結論からいえば，どのような人間としてどのように生きていくのか，その基本姿勢と方向を自分のなかに作っていく．その時間と空間を実現するためである．行動し思索し，勉強する．そんな課題を自分に課して大学生活を送る．そのための大学だ．

一昔前は，そこまでを高校のうちに考え，その上で大学を選んでいた．しかし今は実際問題として，自分の将来を考え，進む方向を決めてゆくのが大学時代である．

すべては自分の内面の問題なのだ．そのとき大学にいくことに意味があるとすれば，模索と試行錯誤の時間と空間を確保することでしかない．

学問をする上で，外からの理由づけはもはや，ない．このことをおさえた上で，では自分の内にはあるか．この問に答える自分というものを作っていくこと，それが，内面において大人になることである．一人前の人間であるかどうかを試すものとしての大学を，大人への通過儀礼を自ら設定

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し，これを引き受ける，それが大学生活というものだ．

自分の性格やある程度の特性や，とりあえずどんなことがしたいのかを考えて，そして現在の実力を考慮して，比較的自分と合いそうな大学を選ぶ．決めれば迷わず，とにかく時間と空間を実現するためにがんばる．大学に入って，多くの場合，自分が本当にしたいことは違っていたことに気づくのだが，そこからが本当の大学生活のはじまりである．

外面的に大人になるということはどちらでもよい．しかし，一人一人の内側で自分というものができていくことは，大切なことである．そういう数年間を過ごすために自分にあった大学に入る，

ということである．入学試験は目標ではない．第一の関門にすぎない．

いずれ合格通知は来るだろう．そのときに「受験勉強から解放された．これで遊べる」と思うか，

「自分の時間ができた．これで思いきり本が読める」と思うか．それが大切だ．

大学を使いたおす日本の大学には膨大な資料と情報が蓄積されている．しかし，「なぜ生きるのか」，「なぜ働くのか」に答えてくれはしない．それに答える内実を制度としての大学はもっていない．大学にできるのはせいぜい社会を観察するところまでだ．その先は自分で考えなければならない．

2008年も，合格した何人かの生徒があいさつにきてくれた．文学部合格の人にも言ったのだが，

1年で必修の単位をある程度とったら，2年生ではもう一つか二つ外国語の初級を増加単位で受けるくらいの意欲がほしい．大学の外で外国語の勉強をしようとすれば金がかかるが，増加単位に割り増し授業料はいらない．私は第2外国語はフランス語だったが，2年の時にロシア語とドイツの初級も履修届を出して単位を取った．辞書の引き方がわかる程度だけれど，それでもその後それぞれ何回かは使うことがあった．言葉の勉強はそれ自体が楽しい．外国語にかぎらず，面白そうな授業は必修分がとれていても，積みまして聞くくらいの気持ちをもってほしい．最近の大学生が最低必要なことしかしないように思えるので，新大学生にはいつも言っている．

こんな話しを合格者にしていたら，さっそくすぐ数学の本を買った人がいた．私の所に何を読もうか相談に来た人もいた．自分で探せといいつつ，お勧めはというので，新訳の『カラマ-ゾフの兄弟』を紹介した．彼らの大学生活のはじまりだ．

大学生になってから試行錯誤を重ねた人も多くみてきた．小さい頃から遊びたいことをおさえて勉強，みごと東大理一に合格した．が，大学ではサークルなどいろいろやっているうちに希望の学部へ進めず留年を重ね，結局中退．別の大学に入り直しそこも5年かかって卒業した人．東大での挫折と新たな大学での大人への再生．彼はそれを何とかやり終え社会人になった．都合9年間の大学生活はまさに大人への関門であった．

京大農学部の学生で一年休学して日本中を自転車で放浪，旅をすればそこで自分おしたいことが見つかるかも知れないと思うのは幻想だ．しかし，旅で考えることをとおして自分の内から力がわいてくるということはあるだろう．彼はその後東南アジアで社会活動をしている．

彼らはそれぞれに真剣に本来の大学生活をおくったともいえる．2002年の新聞報道では京大総合人間学部ではなんと学年の三分の一が留年している．もちろん留年すること自体が悪いことではない．が，京大総合人間学部で留年した三分の一のうちどれだけが「意味のある留年」なのだろう．大半は大学に入って目標を喪失し，その後の新しい試みを始められていないのではないかと思われる．

大学は方法である．自分の力をのばし世のなかで意味ある生を生きるために，大学を使いたおせ．

未来は君達のもの大学時代を有意義に送れるかどうかが，どんな受験勉強をするかということと深く関係する．受験勉強の途上でいちどは確認しよう．大学とは，自分の生き方を，基本姿勢を

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つくるための時間と空間そのものである．その意味で大学を大人への関門としてとらえる．そのうえで，今の自分が考える方向で，適切な大学・学部を選定し，勉強に打ち込む．

世間ではいわゆる「若者論」が大流行である．多くの場合，若者がおとなしく従順で分かりやすい存在であってほしいという，企業社会の願望の反映に過ぎない．そんなもの気にする必要はない．いつの時代も若者は時代をきり拓くものであり，既成の体制にとってはわからない存在であった．またそうでなければならない．

近代日本で学問をする理由は外部の要因だった．現代はそれが崩れた時代である．自分の内に学問への情熱をうち立てなければならない．新しい生き方，新しい学問のあり方をうち立てる．心ある高校生が今出会っている問題は，人類の歴史の新しい段階の問題として開かれているものだ．若い皆さんこそ，このような開かれた問題に挑戦してほしい．

このように大きく考え，その上でいま最善を尽くす，それがあなたの受験勉強だ．

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第

1

_{章数学の勉強法}

最初にまず，数学の勉強を考えておこう．といっても，何も特別なことではない．一般的な勉強法というものを数学を例にとって考えておこうということだ．ここに述べる方法が身につけば，すべての教科が伸びるだけではなく，大学生となり社会人となって，人間として生きていくうえでの力にもなるはずだ．

基本は，現在の自分の内部の力，自分の知っている方法でまず考えることである．教科書などで言葉の定義は正確に確認する．そして何が問題がつかめたら自分で考える．やり方を知らないからとあきらめたり，安易に解答を見てしまうようなことはしない．そのうえでまだ習っていない方法が必要なら勉強する．こうやって一歩一歩数学を自分のものにし，自分の内に考える力を育てていく．

自分の力を信じ，困難でも確実に目的地にいたる道を歩んで欲しい．目の前にいくつかの道がありいずれに進むか迷ったなら，いちばん困難に見える道を選べ．実はそれがいちばん確かな道なのだ．高校時代の勉強，受験期の勉強をとおして，このような勉強の姿勢，人生の態度が身につけば，それは何よりあなたの財産になる．

1.1

数学しなければ力はつかない

自分で乗らなければ自転車に乗れるようには絶対にならないどんな教科もそうであるが，とくに数学の勉強法の基本は，自分でやってみることである．昔，自転車に乗れるようになったときのことを思い出してほしい．そろそろ自転車の練習をしようかと大人に勧められたとき，皆さんはどのようにして練習しただろうか．

理論：自転車はタイヤが回転すれば慣性の法則によって倒れない．このような説明を聞いた人もいただろう．

手本：親や兄さん姉さんが「こうやって乗るのだ」と手本を見せてくれただろう．うまいなと感心したかも知れない．

実践：いよいよ自分で乗った．こけたりして痛かった．しかし，何回かこけても練習すれば，いつか乗れた．

自転車は(1)や(2)だけでは絶対に乗れるようにはならない．慣性の法則といっても，乗ってみればこける．人のまねをしようとして，乗ってもやはりこける．(1)や(2)は乗れるために必要な条件ではあるが，それで乗れるようになるわけではない．必ず(3)，つまり実際に乗ってみなければならない．これではじめて乗れるようになる．そうではないだろうか．

実践し体で覚える，ということは何ごとかを身につけるうえで基本である．

力をつけるには数学するしかない自転車に乗れるようになりたければ，自ら乗って練習するしかない．数学ができるようになりたければ，自ら数学するしかない．

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「数学する？」そう，数学するとは次のようなことを，自分ですることだ．

第1 言葉の意味や基本性質をしっかりと理解する．教科書を読み込む．教科書は食べるように読め．わからないところを消化不良のまま残すな．自分で考え，それでも納得がいかないときは必ず質問する．これが第一である．君は，教科書が自分のもになったといえるか．その点検は，すべての公式が自分で作れるかどうかである．公式は覚えるものではない．作れるようになる．そうすれば忘れようにも忘れられなくなる．

第2 練習問題を必ずまず自分で解く．演習では予習を欠かさない，ということである．先に答を見れば，その問題をする意味はなくなる．数学の問題とは，数学的な事実，数学的な現象の呈示そのものだ．これを自分の力で考えて，はじめてその数学的現象に触れることができる．

そして，一通り解けてもそれで終わりにせず，別解はないか，一般化はできないかを考える．

第3 まちがいに学べ．数学の問題を解こうとすると，多くの場合途中で止まるか，できたと思っていたのにまちがっていたか，いずれかになることが多い．そこでどのようにするかが大切だ．自分の予習ノートに×を入れてそのままにする人が多い．模範解答を見てなるほどと思い，それで自分の方法を捨ててしまう人がいる．しかしそれでは問題演習をする意味がない．

(1) 自分の方法は，不可能ではないが，複雑で，その結果まちがっていたり，途中で止まった．

(2) 自分の方法では，この問題を解くことはできない．

このいずれかである．いずれかである．どちらだったのか必ず確認しなければならない．不可能ではないのなら，その方法で最後までやってみる．不可能なら，なぜできない方法なのか，その理由をノートに書く．自分の方法でできるのかどうかわからないときも多いだろう．

そのときは必ず人に聞く．こうしてまちがいから教訓を引き出す．

これが大切だ．自分の予習を大切にする．自分の人生の経験を大切にすることにつながる．まちがった問題をそのままにしておくのに比べて，その間違いを分析し仕上げるかできない理由を明確にするなら，2倍も3倍も理解が深まり，次の問題をするときに大きく生きてくる．こういう勉強法をぜひ身につけてほしい．

人生において大切なことは，解けるか解けないか判らない問題に立ち向かうことだ．その点からいえば学校の演習問題や入試問題は，答えがあることがはっきりしているから単純だ．問題をよく読み，方法を考え，実行する，これができればよい．苦しいときに投げず，自分で問題を解くことをいとわず勉強すれば，かならずできるようになる．

勉強とは自分との闘い高校生にとって，当面の問題は大学受験である．受験勉強は，長期である．長時間のスポーツはマラソンである．そこで

マラソン −−− 受験勉強 −−− 合格

と対比したとき，には何が入るだろうか．受験勉強で合格することは，マラソンで優勝することか．入賞することか．そんなことはない．何も一番や数番で合格する必要などない．「完走だ」

と答える．その通り．完走と答える人は結構多い．あるいは「自己記録の更新」かも知れない．

では完走しない，というのはどういうことか．例えば勉強が苦しくなってその結果「(適当にして)行けるところに行こう」と考え，目的実現の努力を放棄することだ．これではどこにも行けな

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い．それが途中で投げるということだ．投げずに，自分の苦手なところを一つ一つ克服していく．

これを持続すれば，結果として「合格」がついてくる．

しかし大切なことは「完走」が意味する次のことである．完走するかどうかは，自分との闘いだ，他人は関係ない，ということである．目標を立てたうえは，目標実現のために今の自分に何が足りないのかを客観的につかみ，それを克服する手だてをたて，実行していく．例えば，模擬試験が返ってきた．思ったほど良くない．そのときに何となく見ていてはいけない．まず客観的事実をはっきりさせる．どこで思ったほどできなかったのか．どんなところで間違っているのか等々具体的に書きあげる．いくらこれは得意な分野だと思っていても，できなければ得意ではない．事実に即して判断する．

具体的に書きあげた事実に線を引きながら考える．自分の弱点がわかってきたら，弱点克服のための対策とそのための勉強の方向を考える．この弱点に対して，どのような方向でいくのか．今のままでよいのか．何か改めるのか．そして，弱点を克服するために何をするのか．どの参考書をいつまでにするのか．できるだけ詳しく，できるだけ具体的に．そして実行する．一定の期間経てばそこでまた振り返る．次の模試で点検する．これを自分でする．よく模試を見てくれともってくる人がいるが，自分で解析しなければならない．受験勉強とはこれをひとつひとつ実行すること以外にない．焦ることは何もない．やるべきことをやるかどうか．人は人，大切なのは自分との闘いなのだということだ．

高校時代の勉強を通じて，何事に対しても客観的に自分を見つめこのように行動する，そんな人生態度を身につけることができたら，それは皆さんの大きな財産となるし，肝心の大学生活においても力となる．大学に入ってから役立つことを，受験勉強で実行し身につけよう．

一般的な勉強法高校生の一般的な数学の勉強法は次の3つである．

(1) 教科書を徹底的に読み，章末問題まですべて解く．教科書に載っている公式は自分で再構成できるようにする．これが土台である．

(2) 学校の副教材の問題集はすべてやる．量をこなす．それを通して数学的な現象をつかむ．数学は実際に存在する現象である．(1)(2)とも，どんな疑問も残さないように，まず自分で考えその上でからないことは人に聞く．

(3) 何か1冊，答えの詳しい問題集等を決め深く考える訓練をする．いろんな面から考え，別の解き方はないか考える．問題はなぜ解けるのか根拠を考える．もっと一般的に成り立たないのか考える．考えたことをまとめておく等々．質である．塾や通信添削などでの勉強も，質を深めるものでなければならない．

この(1)，(2)，(3)をこつこつとやり抜く．そうすると，どんな問題をやっていても必ず「わかっ

た」というときがある．それを大切にしてほしい．これが勉強というものだ．

今から二千数百年昔，ユークリッド(Euclid，紀元前300頃)に幾何学を習ったプトレマイオス王は，そのあまりの厳密さに閉口し「ユークリッドよ．幾何学を学ぶもっとやさしい方法はないのか」といった．ユークリッドは「幾何学を学ぶには，王も皆と同じように努力しなければなりません．王のための特別な方法があるわけではありません」といって，「学問に王道なし」とたしなめた．これは今も真理である．

(12)

1.2

分かるまで考える

もうわからない，からあと5分演習問題はすべて予習する．問題は予習の質である．少し考えてすぐにあきらめていないか．問題をつかむ程度で終わっていないか．そこで提案したいのは，「わからない」からあと５分，ということである．分からなくても，そこであきらめずにもう5分，10 分考えてみる．もう一度問題を読みかえし，条件や結論を整理してみる．

2006年に大阪大学工学部に合格した人が合格体験記のなかで次のように言っている．

数学は，講師の方がおっしゃったとおり「分からなくてももう5分」考えているうちに数時間が経っていることもありました．それでも解けないことも多々あって，友達には「時閻がもったいない]と言われましたが，自分で試行錯誤することにより，解説を聞いたときの理解が深まり，また「ここまでは解けた」と自信にも繋がりました．

事実に裏づけられた言葉であり，私が言うよりも説得力がある．彼女は四月当初から大きく力が飛躍した．正しい勉強法を一年間続けたからだ．野球の守備練習で，もうへとへとで動けない，それでもノックの球は飛んでくる．体が反応する．球を取る．ここまでやって体が覚えていく．勉強も同じである．日頃このようにやらずに，どうして試験場でできるだろうか．

問題を能動的に解こうもう少し具体的に，数学の勉強姿勢を書いておこう．

問題に向かったとき，まず問題文をよく読み，何が問題であるのかをつかみ，それからいろいろ考える．問題が解けるときは，それまで勉強してきたことが無意識のなかから現れ，問題の解決に導いてくれる．具体的にいえば，与えられた条件と証明すべき結論を結びつけてくれる．しかしいつもうまくいくとはかぎらない．むしろどうしていいのかわからない場合がほとんどだ．

そのときにどうするのか．やみくもに図を描いて同じところに何回も線を引いたり，問題の条件を「…なので」と書いてみたものの，そこから一歩も前に進めないという経験はないだろうか．何となく考えてもなかなか先に進めない．問題に向かったとき，受け身になってはいけない．必ず能動的に考える．この条件からこの結論を導く以上，こうする中でできるはずだ，と考え，かならずできる方法で進む．問題集や参考書にあるようなうまいやり方でする必要はない．そんなもの思いつかない．自分の頭で考えた方法が，結局はいちばん大切だ．

また，問題を解いていると，解き方が一つではないことがある．問題集などにも「解1」，「解2」

などといくつかあがっていることがある．では，「一番いい解き方」というのがあるのだろうか，いろんな解き方はたがいに関係ないものなのか，別解を考えるのは大切なのか時間の無駄なのか，などいろんな疑問が出るだろう．ある問題に出会ったときに，いろんな視点から解くきっかけを探す力をつけるという点からいって，日頃から，一つの解き方がわかっても別解はないか常に考えるようにしたい．そうすれば，いざ新しい問題を解こうとするときに，いろんな切り口のどれかがひらめく．良くこれが「一番いい解き方」だといってそれだけを覚えようとする人がいるが，それでは力はつかない．「一番いい解き方」などはない．問題をどのような側面からとらえるかの違いで，それぞれ一理ある．

能動的に問題に立ち向かい，さらにいろんな解を考える．この積みあげが力をつける．そういう勉強法を身につけたい．解けない入試問題はない．いずれにせよ数学を通して考える方法を身につけたならば，それは，高校生活のあらゆる場面で有意義である．

解ける根拠を考える問題を読んで，「求めよ」といわれれば，さっそく求めはじめるし，「示せ」といわれればすぐに示そうとする……？と，そこで一呼吸おいて，「そもそもこの値は本当に定ま

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るのか」，そして「なぜ値は決まるのか」「なぜ示せるのか」と解ける根拠を考えたことはないだろうか．例えば，未知数が3個あるとき，条件が３個あれば基本的に問題は解ける．未知数の個数と条件個数を確認しているか．与えられた条件から，未知数を確定するのに必要な条件をどのように導くのか．このように，問題をそのまま解くだけでなく，解が決定できる根拠を考えつつ，少し高い視点を持ちながら解く．

このように，問題を読んだ段階で「なぜこの問題は解けるのか」を考えることをすすめたい．入試問題なので解けるに決まっている．解けない問題は問題としてまちがっているということになる．しかし，このように考えることで方法が発見されるのだ．

実際に何か新しいことを研究するときは解けるとはかぎらないし，人間生きていくのに，解けないかも知れない問題に立ち向かわなければならないことはしょっちゅうある．それが現実だ．が，

とにかく入試問題は解ける．解けるからといってすぐ解こうとしても解けない．そこで，「解ける根拠はどこにあるのか」を考える．そのことによって解き方がわかってしまう，ということはよくあるのだ．「解ける根拠」は必ず問題の中にある．

1.3

手で考え，論述力を育てよう

言葉の力は人間の土台人間は，どこで動物と違うのか．それは言葉を使うことだ．言葉を使い力をあわせて生産活動をする，これが人間を他の動物と区別するところだ．人間一人一人は弱いけれども，力をあわせるから生きていけるのだ．言葉によって人間は外に向かっては人とつながり，内に向かっては自省し自分の生き方を自覚する．だから，言葉は人間としての人の土台なのだ．

ところが近年，この言葉の力がだんだんと低下してきているように思われる．それは，国語の試験の成績がどうかというようなことよりもっと根本的なことだ．言葉で考えることができなくなってきている．数学でも，論述力がおしなべて低下している．これは何も高校生個人の責任ではない．やはり，世の中と教育の変化のなかで作られたものだ．昔はラジオで劇や漫才・浪曲をよく聴いた．ラジオを聴くと，言葉を受けとってそれから場面を想像して構成する訓練が，無意識のうちに行われる．ところが今は小さいときからテレビの時代になり，場面は向こうから与えられる．これでは言葉から場面を自分でつくりあげる力がつかない．さらに小さい頃に本も読まなかったら，

このような場面構成力はまったく形成されないまま高校生になる．近年，空間図形などなかなかつかめない人や，確率で試行がどのようなものかつかめない人が増えた．言葉の力は，すべての教科の土台であり，人間としての力の土台である．

青空学園数学科を訪れる高校生は理系の諸君が多い．理系高校生にはとくに「現代文の学習をおこたるな」ということを声を大にして言いたい．言葉の力は考える力そのものだ．考えるのは母語，つまり日本語だ．いくら英語が得意でも，英語では日本語で考えられるところまでしか考えられない．

毎年，センター試験の「国語で転(こ)けた」という生徒がたいへん多い．この数年特に多い．確かに小説の問題は考えにくい．しかし，それでも普通の日本語の力があれば80％は取れる．特に他の教科に比べて難しいものではない．ところが転けたという諸君は45％〜65％しかとれていない．マーク模試では成績も上がってきていたのに，本番では元に戻ってしまったという人も多い．

その結果，受験大学の変更を余儀なくされた人もいた．なぜセンター国語が他の教科に比べて悪い人が多いのか．その理由は，センター国語の技巧的な勉強しかせず，実際に書いて論述する訓練を少しもしないからである．たとえマーク式の問題練習で答えが合ってもなぜ合ったのか自分でわからず，まちがってもなぜまちがったのかがわかる力が，少しもついていない．ほとんどの3年理系

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学生の国語の勉強はセンター試験対策だけになり，手で書く勉強がなされない．読み・書き・計算はいつでも勉強の土台であり，基礎の基礎である．1980年代前半から共通一次試験・センター試験がはじまり「国語」の試験がマーク式だけになって，受験生が書かなくなった．書かなければだめだ．手で考えよ．京都大学では2009年入試から工学部も2次試験に国語が加わることになった．

長い間，工学部はセンター試験の国語・英語・社会を2次試験と合計して合否を決めてきた．しかし，センター国語はやはり書かない試験なので本当の言葉の力は量れない．その結果，大学に入ってレポートも書けない学生が増えたのだ．あまりにも言葉力が弱い．これに危機感を持った大学がついに記述の国語の試験を復活させたのだ．

手で考える自分の部屋で勉強するときも，授業の中でも，つねに必ず手で書いて考えよ．人間が手で書くことを身につけたのは，大きな飛躍だった．数学の問題を解いているとき，何かに気づいてフッと解けることがある．人間は，これまで勉強してきたことを無意識のなかに蓄えている．手で考えることで，無意識のなかにあることと，現実の問題とが結合されて，解けるのだ．手を動かさないと，意識に浮かんでいることしか使えない．手で書いて考えると，書いている自分を見つめるもう一人の自分がそこにできて，問題を立体的に考えることができる．

ノートの半分でもよいし，計算用紙でもよい．紙質はあまりよくなくてよい．無地のノートにどんどん計算し，自分で確認しながら教科書を読み，授業を聞こう．

黒板を写すな．ノートをとれ演習というのはというのは，生徒自身がグランドを走るトレーニングだ．教師の仕事は，適切な助言とヒントの呈示だ．つまりはコーチングである．適切なコーチングのためには，生徒の力を見抜くことが必要である．生徒の力を見抜けない教師が増えたのも事実だ．それでは適切な指導などできはしない．学校ではそうもいかないが，基本的にいって生徒はコーチを選ばなければならない．

それはともかく，授業において，黒板を写すことと，ノートをとることの違いをおさえよう．ノートをとらなければならない．自分で考え分かったことをノートする．こうすることで，大切なところを見抜く力，それを論述する力がつく．それ自体が論証力を養成するトレーニングだ．

教師の書いた板書や生徒の書いた解答を，そのまま写すな．よく予備校などでは，講師が模範解答を書いて，それを生徒が写す授業がおこなわれている．そして何か分かったような気にさせるのだ．だが，人が自転車に乗っているのを見ていて，それで自分が自転車に乗れるようになることはあり得ない．模範解答を写して解けるようになるのなら，勉強は要らない．それはいわば，講師がグランドを走り，生徒が観客席でそれを見ているようなものだ．そんな授業が多いようだ．それでは力がつくことなどありえない．走るのは君たちだ．生徒がグランドに出て走らなければ，どうして力がつくだろうか．

以上である．後は実践だ．自ら頭の汗を流して考え，力をつけよう．

(15)

1.4

問題一覧

1章1節文字を導入し式を立てる

• 出典不明【2.1】／２つの等号

• 92千葉大【2.2】／弦の通過範囲

• 出典不明【2.3】／二次方程式の共通解

• 03年京大【2.4】／正四面体の特徴づけ

• 出典不明【2.5】／方程式の解の存在範囲

• 02名大理系【2.1】／３つの等号条件

• 04早稲田商学部【2.2】／真数の最高位の数と対数

• 04名大【2.3】／連立方程式の解の存在条件

• 05東大文科【2.4】／方程式の解の存在範囲

• 05阪大【2.5】／空間図形

• 07早稲田【2.6】／特別な四面体の外接球

• 97名大【2.7】／ベクトルの論証

• 83東大【2.8】／空間図形の最小値

• 99お茶の水女子大【2.9】／量の最大最小

• 06名大【2.10】／場合の数の論証 1章2節同値変形で解きほぐす

• 01日本女子大【2.6】／数の論証

• 07早稲田・教育【2.7】／不等式の証明

• 作成問題【2.11】／等式・不等式の同値変形

• 作成問題【2.12】／ねじれの位置にある2直線

• 02京大理系【2.13】／円周上の点の位置

• 06京大理系後期【2.14】／外接円と内接円の半径

• 04岐阜大【2.15】／連立一次方程式

• 04愛媛大【2.16】／整数値関数

• 96甲南大【2.17】／2変数定符号二次式 1章3節問題を図にする

• 00京大文系【2.9】／数列と階差数列

• 92一橋【2.11】／確率と数列

• 92神戸大【2.10】／有限集合の写像の不動点定理

• 95大阪市大【2.18】／確率と数列

• 01名古屋【2.19】／確率と数列

(16)

• 04東大文系【2.20】／確率と数列

• 01東大文系【2.21】／有限集合の論証

• 06京大文系【2.22】／有限集合の論証 1章4節例で考え一般化する

• 01京大文系後期【2.12】／数列と集合

• 01愛媛大【2.13】／数列と整数

• 01慶応理工【2.14】／多項式関数

• 01京府医大【2.15】／多項式関数の一致

• 02北大【2.23】／場合の数

• 00名古屋市大【2.24】／確率

• 07名古屋市大【2.25】／出会いの数

• 01九大【2.26】／シュワルツの不等式

• 01東工大【2.27】／確率，二項定理

• 01お茶の水女子大【2.28】／素因数の集合 2章1節場合に分け問題を細分する

• 00京大文系【3.1】／絶対値関数の定積分で定まる関数

• 鳥取大過去問【3.2】／場合の数を数える

• 作成問題【3.1】／方程式の解

• 作成問題【3.2】／2次方程式の解の配置

• 87高崎経済大【3.3】／対数関数と領域

• 98京大文系【3.4】／分数式と不等式

• 00阪大文系【3.5】／絶対値で定まる関数

• 埼玉大過去問改題【3.6】／個数の処理

• 04三重大後期【3.7】／等差数列をなす自然数の部分集合

• 08東工大理特【3.8】／立体部分の個数処理 2章2節必要条件で絞る

• 出典不明【3.3】／不等式の成立条件

• 大阪市大過去問【3.5】／整数解をもつ条件

• 84東京工大【3.6】／3乗和を素数べきで表す

• 01京大理系【3.7】／整数の論証

• 97一橋大【3.9】／数列と整数

• 97お茶の水大【3.10】／数列と整数

• 94阪大文理【3.11】／数列と整数

(17)

• 04京大理系【3.12】／行列の論証

• 01千葉【3.13】／素数と整数解を求める

• 05京大理系【3.14】／整数解を求める 2章3節数学的帰納法

• 出典不明【3.8】／変形帰納法

• 00横浜国立大学改題【3.9】／整数解の有限性

• 出典不明【3.10】／命題の証明

• 97東京工大改題【3.11】／整数解の有限性

• 大阪市大過去問【3.15】／数列の決定

• 99上智・理工【3.16】／数列と余り

• 出典不明【3.17】／変形帰納法

• 阪大過去問【3.18】／数列と整数

• 作成問題【3.19】／相乗平均・相加平均の不等式

• 99滋賀医大【3.20】／複雑な数学的帰納法

• 01横浜市大【3.21】／複雑な数学的帰納法

• 04東大理系【3.22】／証明すべきことを強める

• 02京大後期理系【3.23】／整式の係数と数学的帰納法

• 作成問題【3.24】／方程式の解の配置 2章4節対偶証明と背理法

• 00北見工業大学【3.12】／素数が無数にある証明

• 既知事実【3.13】／√

2が無理数であること

• 名大類題【3.14】／2次チェビシフの多項式

• 出典不明【3.25】／不等式成立の条件

• 99阪大改題【3.26】／有理点を頂点とする正三角形

• 00千葉【3.28】／不定方程式の整数解の不存在証明

• 00九州大改題【3.29】／三角関数と3次，2次の方程式

• 98一橋【3.30】／対数と無理数

• 04一橋【3.27】／放物線上の格子点

• 06京大後期文系5番理系6番【3.31】／三角関数と無理数

• 02名大理系【3.32】／積分と数列

• 05東大理科改題【3.33】／2次方程式の(複素)定数の条件 3章1節図形は点の集合だ

• 作成問題【4.1】／領域と値域の基本

(18)

• 98中京大【4.1】／交点の軌跡

• 98奈良女子大【4.2】／反転と軌跡

• 01北大【4.3】／反転と軌跡

• 99都立大【4.4】／媒介変数表示と領域

• 出典不明【4.5】／直線の通過領域

• 97東大文系【4.6】／直線の通過領域

• 97一橋後期【4.7】／曲線の一部の通過領域

• 05阪大理系【4.8】／曲線の通過領域

• 05一橋【4.9】／曲線の一部の通過領域

• 07東大【4.10】／点の存在領域 3章2節不変なものを発見する

• 法政大過去問【4.8】／恒等式の応用

• 早稲田過去問改題【4.3】／恒等式の応用

• 出典不明【4.4】／関数の最大最小

• 作成問題【4.5】／濃度の推移

• 出典不明【4.6】／ある条件を満たす三角形の点

• 91関西大【4.11】／恒等式の応用，式の決定

• 00上智・文系【4.12】／恒等式の応用，式の決定

• 01名古屋後期【4.13】／恒等式の応用，式の決定

• 作成問題【4.14】／2直線の交点を通る直線

• 99神戸大【4.15】／恒等式の除法への応用

• 99京都府立医大【4.16】／周期をもつ多項式関数は定数

• 作成問題【4.17】／ある条件を満たす四面体の点

• 95関西大【??】／確率における不変量 3章3節漸化式を立てる

• 出典不明【4.9】／文字列の個数

• 出典不明【4.10】／状態の推移と確率

• 03東大文科【4.21】／確率過程

• 05京大理系【4.22】／場合の数

• 84東大文理【4.23】／細胞分裂過程

• 07名大理系【4.24】／ポリアの壺

• 05名大理系【4.25】／確率過程の論証

• 04阪大理系【4.26】／数列と整数問題

(19)

3章4節存在の証明

• 91広島大学【4.11】／鳩の巣原理

• 既知事実【2】／ディリクレの証明

• 00大阪女子大【4.12】／一次不定方程式の解の存在

• 99京大理系後期【4.13】／等面四面体の存在

• 92京大文系後期【4.27】／奇数解の存在条件

• 04千葉大後期【4.28】／ある種の図形の存在証明

• 99京大文系【4.29】／一次不定方程式の解の存在

• 99名大理系【4.30】／鳩の巣原理の応用

• 97京大理系【4.32】／部屋割り論法による数列の決定

• 06愛知教育大【4.31】／鳩の巣原理の応用

• 作成問題【4.33】／2次不定方程式の整数解

• 05信州大理系【4.34】／中間値の定理の活用

• 02京大文理後期【4.35】／中間値の定理の図形の存在証明への応用

• 作成問題【4.36】／正射影と三角形の変形

はじめに

高校数学の方法

はじめに

目 次

第

章 いま大学とは

第

章 数学の勉強法

数学しなければ力はつかない

分かるまで考える

手で考え，論述力を育てよう

問題一覧

目次

_{章いま大学とは}

_{章数学の勉強法}